資源簡介

熱點必刷題01 新定義與規律性探究題
題型一 數字類規律探索問題 2
題型二 圖形類規律探索問題 3
題型三 數與式中新定義問題 6
題型四 方程與不等式中新定義問題 7
題型五 函數類新定義問題 9
題型六 四邊形中新定義問題 10
題型七 圓中新定義問題 13
題型八 相似三角形新定義問題 16
題型九 三角函數新定義問題 19
題型一 數字類規律探索問題
1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖所示的是一個按某種規律排列的數陣，根據規律，自然數應該排在從上向下數的第行，是該行中的從左向右數的第個數，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇淮安·二模）將正整數按照如圖規律排列：
第一層：
第二層：
第三層：
第四層：
······
在這個數字寶塔中，請問在第（ ）層．
A． B． C． D．
3．（2024·江蘇南京·一模）觀察等式：；；已知按一定規律排列的一組數：、、、、、．若，用含的式子表示這組數的和是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）我國古代數學中的“楊輝三角”是重要的成就，它的發現比歐洲早五百年左右，（如圖），這個三角形給出了（＝1，2，3，4，5，6）的展開式（按的次數由大到小順序排列）的系數規律．例如，第三行的三個數1，2，1，恰好對應展開式中各項的系數；第五行的五個數1，4，6，4，1，恰好對應著展開式中各項的系數．則展開式中各項系數的和為 ．

5．（2024·江蘇鹽城·三模）觀察下面的等式：，，，
(1)根據題目中規律的格式，寫出的結果為 ；
(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）；
(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．
題型二 圖形類規律探索問題
6．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，平面直角坐標系中，都是斜邊在x軸上的等腰直角三角形，點；則根據圖示規律點A2025的坐標為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江蘇鎮江·一模）如圖，把置于平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點是內切圓的圓心．將沿軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與軸重合，第一次滾動后圓心為，第二次滾動后圓心為，…，依此規律，第2023次滾動后，內切圓的圓心的坐標是 ．

8．（2025·江蘇宿遷·一模）用同樣大小的正方體木塊依次堆放成如圖（1）、圖（2）、圖（3）所示的實心幾何體，并按照這樣的規律繼續堆放下去，設第n個圖形中含有正方體木塊s個．
(1)填表：
n 1 2 3 4 …
s
(2)已知s是n的二次函數，求這個二次函數的表達式．
(3)第10個圖形中的正方體木塊有多少個？
(4)是否存在某個圖形，它對應的幾何體由1770個正方體木塊組成？若存在，指出它是第幾個圖形；若不存在，請說明理由．
9．（2024·江蘇連云港·二模）高樂同學在手工課上利用等邊三角形、白色正方形和彩色正方形按一定規律搭建圖形，觀察圖形，回答下列問題：
(1)圖1的彩色正方形有：；
圖2的彩色正方形有：；
圖3的彩色正方形有：；
圖4的彩色正方形有：…；
圖n的彩色正方形有：
(2)圖1中，白色正方形比彩色正方形多1個；圖2中，白色正方形比彩色正方形多2個：圖3 中，白色正方形比彩色正方形多3個； …；圖n 的白色正方形有 個．
(3)若圖n 中彩色正方形的個數比等邊三角形的個數多45個，求圖n 中白色正方形的個數．
10．（2024·江蘇宿遷·一模）觀察如圖圖形，把一個三角形分別連接其三邊中點，構成4個小三角形，挖去中間的一個小三角形（如圖1），對剩下的三個小三角形再分別重復以上做法…，據此解答下面的問題．
(1)填寫下表：
圖形 挖去三角形的個數
圖形1 1
圖形2 1＋3
圖形3 1＋3＋9
圖形4 ___________________
(2)根據這個規律，求圖n中挖去三角形的個數（用含n的代數式表示）；
(3)若圖中挖去三角形的個數為，求．
題型三 數與式中新定義問題
11．（2024·江蘇南通·二模）定義：如果兩個實數m，n滿足，則稱m，n為一對“互助數”．已知a，b為實數，且，是一對“互助數”．若，則p的值可以為（ ）
A． B．6 C． D．3
12．（2024·江蘇蘇州·一模）已知且，我們定義，記為；，記為；……；，記為．若將數組中的各數分別作的變換，得到的數組記為；將作的變換，得到的數組記為；……；則的值為 ．
13．（2024·江蘇揚州·二模）對于有序實數對，定義關于“”的一種運算如下：．例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求+的值．
14．（2023·江蘇揚州·模擬預測）為了探究函數在圖象不明的情況下，函數值的變化情況，我們可以這樣定義：如果點、在函數的圖象上，那么我們把稱為該函數的“單位鉛直高”．例如：函數，當時，；當時，，，則函數“單位鉛直高”
(1)正比例函數的“單位鉛直高”______；
(2)若點，在反比例函數的圖象上，當這個反比例函數的“單位鉛直高”，求m的值；
(3)已知二次函數，求這個二次函數的“單位鉛直高”t的最小值；
(4)求反比例函數的“單位鉛直高”t的最大值．
15．（2023·江蘇鹽城·一模）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數），則稱這兩個分式互為“N 分式”．
例如.分式 與 互為“三 分式”．
(1)分式 與_____互為“六 分式”；
(2)若分式 與互為“一 分式”（其中a，b為正數），求ab的值；
(3)若正數x，y互為倒數，求證：分式 與 互為“五 分式”．
題型四 方程與不等式中新定義問題
16．（2024·江蘇常州·模擬預測）定義[x]為不大于實數x的最大整數，如．函數的圖象如圖所示，則方程的根為（　　）
A．
B．
C．，
D． ，，
17．（2024·江蘇泰州·一模）對于實數a，b，定義運算“*”：，例如4*2，因為4>2，所以4*2=42－4×2=8． 若a，b是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個根，則a*b= ．
18、（2024·江蘇揚州·一模）定義：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）的根均為整數，稱該方程為“全整方程”，規定T（a，b，c）＝為該“全整方程”的“全整數”．
（1）判斷方程x2﹣x﹣1＝0是否為“全整方程”，若是，求出該方程的“全整數”，若不是，請說明理由；
（2）若關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m為整數，且滿足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整數”．
19．（2024·江蘇揚州·一模）在平面直角坐標系中，對于任意三點的“矩面積”，給出如下定義:“水平底”為任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”為任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”.
例如:三點坐標分別為，則“水平底”，“鉛垂高”，“矩面積”.
(1)已知點.
①若三點的“矩面積”為12，求點的坐標;
②求三點的“矩面積”的最小值.
(2)已知點，其中.若三點的“矩面積”為8，求的取值范圍.
20．（2024·江蘇南京·模擬預測）新定義：已知關于x的一元二次方程的兩根之和與兩根之積，分別是另一個一元二次方程的兩個根，則一元二次方程稱為一元二次方程的“再生韋達方程”，一元二次方程稱為“原生方程”．
比如：一元二次方程的兩根分別為，則，所以它的“再生韋達方程”為．
(1)已知一元二次方程，求它的“再生韋達方程”；
(2)已知“再生韋達方程”，求它的“原生方程”．
題型五 函數類新定義問題
21．（2024·江蘇蘇州·一模）現定義一種新的距離：對于平面直角坐標系內的點，，將稱作P、Q兩點間的“拐距”，記作，即，已知點，動點B在直線上，橫坐標為，當取得最小值時，應滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·江蘇徐州·一模）我們定義：如果點在某一個函數的圖象上，那么我們稱點P為這個函數的“好點”．若關于x的二次函數對于任意的常數n，恒有兩個“好點”，則常數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
23．（2025·江蘇蘇州寧波·一模）小明在研究函數特性時，給出了這樣的定義：對于函數圖象上的點，若且，則稱點P為該函數的“軸近點”．已知一次函數（k為常數）的圖象上存在“軸近點”，則k的取值范圍 ．
24．（2024·江蘇南京·模擬預測）如定義：對于一次函數、，我們稱函數為函數、的“組合函數”．
(1)若，試判斷函數是否為函數，的“組合函數”，并說明理由：
(2)設函數與的圖像相交于點．
①若，點在函數、的“組合函數”圖像的上方．求的取值范圍；
②若，函數、的“組合函數”圖像經過點，是否存在大小確定的值，對于不等于1的任意實數．都有“組合函數”圖像與軸交點的位置不變？若存在．請求出的值及此時點的坐標；若不存在．請說明理由．
25．（2024·江蘇鹽城·三模）新定義：若函數圖像一定過點，我們稱為該函數的“永固點”．如：一次函數，無論k值如何變化，該函數圖像一定過點，則點稱為這個函數的“永固點”．
【初步理解】一次函數的“永固點”的坐標是______；
【理解應用】二次函數落在x軸負半軸的“永固點”A的坐標是______，落在x軸正半軸的“永固點”B的坐標是______；
【知識遷移】點P為拋物線的頂點，設點A到直線的距離為，點P到直線的距離為，請問是否為定值？如果是，請求出的值；如果不是，請說明理由．
題型六 四邊形中新定義問題
26．（2024·江蘇蘇州·二模）新定義：兩邊之比等于黃金比的矩形叫做黃金矩形，如圖，矩形是黃金矩形（），點E、F分別在邊、上，將矩形沿直線折疊，使點B的對應點落在CD邊上，點A的對應點為，過點E作于點G，當矩形也是黃金矩形（）時，則（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·江蘇無錫·一模）定義：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．
如圖①，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，，則圖中的“等垂四邊形”是 ；
如圖②，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，，，則邊AB長的最小值為 ．
28．（2025·江蘇常州·一模）綜合與實踐
在數學學習中，我們發現除了已經學過的四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形，請結合已有經驗，對下列特殊四邊形進行研究． 定義：在四邊形中，若有一個角是直角，且從這個直角頂點引出的對角線，把對角分成的兩個角中，有一個是直角，我們稱這樣的四邊形為“雙垂四邊形”．
【初步探究】
（）如圖，在“雙垂四邊形”中，若，則_____，的值為_____．
【問題解決】
（）如圖，在“雙垂四邊形”中，，，為線段上一點，且，求的值．
【拓展應用】
（）如圖，在“雙垂四邊形”中，，，為線段上一動點，且，連接，將沿翻折，得到，連接，若，請直接寫出的面積．
29．（2024·江蘇揚州·二模）定義：有三個內角相等的四邊形叫準矩形．
(1)如圖1，中，，點在上，點在的延長線上，，與交于點，則四邊形準矩形(填“是”或“不是”)；

(2)如圖2，折疊平行四邊形紙片，使頂點，分別落在邊，上的點，處，折痕分別為，，求證：四邊形是準矩形；

(3)如圖3，準矩形中，且為銳角，，當長最大時，求的值．

30．（2024·江蘇常州·模擬預測）在學習了“中心對稱圖形…平行四邊形”這一章后，同學小明對特殊四邊形的探究產生了濃厚的興趣，他發現除了已經學過的特殊四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形，勇于創新的他大膽地作出這樣的定義：有一個內角是直角，且對角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊形”．請你根據以上定義，回答下列問題：
(1)下列關于“雙直四邊形”的說法，正確的有 （把所有正確的序號都填上）；
①雙直四邊形”的對角線不可能相等：
②“雙直四邊形”的面積等于對角線乘積的一半；
③若一個“雙直四邊形”是中心對稱圖形，則其一定是正方形．
(2)如圖①，正方形中，點、分別在邊、上，連接，，，，若，證明：四邊形為“雙直四邊形”；
(3)如圖②，在平面直角坐標系中，已知點，，點在線段上且，是否存在點在第一象限，使得四邊形為“雙直四邊形”，若存在；求出所有點的坐標，若不存在，請說明理由．
題型七 圓中新定義問題
31．（2023·江蘇蘇州·二模）我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．根據定義：
①等邊三角形一定是奇異三角形；②在中，，，，，且，若是奇異三角形，則；③如圖，是的直徑，是上一點（不與點、重合），是半圓的中點，、在直徑的兩側，若在內存在點，使，.則是奇異三角形；④在③的條件下，當是直角三角形時，.其中，說法正確的有 .

32．（2024·江蘇南京·模擬預測）定義：當點在射線上時，把的值叫做點在射線上的射影值；當點不在射線上時，把射線上與點最近點的射影值，叫做點在射線上的射影值．例如：如圖（1），三個頂點均在格點上，是邊上的高，則點和點在射線上的射影值均為．
(1)在中，下列說法：
①點在射線上的射影值小于1時，則是銳角三角形；
②點在射線上的射影值等于1時，則是直角三角形；
③點在射線上的射影值大于1時，則是鈍角三角形．
其中，正確說法的序號是___________．
(2)是射線上一點，，以為圓心，為半徑畫圓，是上任意點．
①如圖（2），點在射線上的射影值為，求證：直線是的切線．
②如圖（3），已知為線段的中點，設點在射線上的射影值為，點在射線上的射影值為，直接寫出與之間的函數關系式．
33．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）定義：如果一個四邊形的一組對角互余，那么我們稱這個四邊形為“對角互余四邊形”．
(1)如圖1，在對角互余四邊形中，，且．若，求四邊形的面積和周長．
(2)如圖2，在四邊形中，連接，點O是外接圓的圓心，連接，求證：四邊形是“對角互余四邊形”；
(3)在（2）的條件下，如圖3，已知，，，連接，求線段的長．
34．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）定義：在平面內，將點關于過點的任意一條直線對稱后得到點，稱點為點關于點的線對稱點．
理解：在直角坐標系中，已知點．
（1）點關于直線對稱的點的坐標為________；
（2）若點、關于直線對稱，則與的數量關系為________；
（3）下列為點關于原點的線對稱點是________．
①；②；③；④；
運用：
（1）已知直線經過點，當滿足什么條件時，該直線上始終存在點關于原點的線對稱點；
（2）已知拋物線，問：該拋物線上是否存在點關于的線對稱點，若存在請求出點坐標，若不存在請說明理由．
35．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）定義：如果一個三角形中有兩個內角滿足，那我們稱這個三角形為“近直角三角形”．

(1)若是“近直角三角形”，，，則　　度；
(2)如圖1，在中，，．若是的平分線，
①求證：是“近直角三角形”；
②在邊上是否存在點E（異于點D），使得也是“近直角三角形”？若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，在中，，點D為邊上一點，以為直徑的圓交于點E，連接交于點F，若為“近直角三角形”，且，求的長．
題型八 相似三角形新定義問題
36．（2024·江蘇泰州·二模）定義：如果三角形中有兩個角的差為，則稱這個三角形為互融三角形．在中，，，，點是延長線上一點．若是“互融三角形”，則的長為 ．
37．（2024·江蘇揚州·二模）定義：等腰三角形底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．例如，在中，，頂角A的正對．當時， ．（結果保留根號）
38．（2024·江蘇揚州·二模）定義：若直角三角形的兩直角邊的比值為（為正整數），這樣的直角三角形稱為“型三角形”．

(1)利用尺規在圖1中作出以點為直角頂點，以為直角邊的“型三角形”；（作出一種情況即可）
(2)如圖2，已知是“型三角形”，其中，，點在斜邊上，且，過點作于點，連接，證明是“型三角形”；
(3)如圖3，已知是“型三角形”（為正整數），其中，，利用尺規作圖在中作出一個，使得是“型三角形”（其中）．
39．（2024·江蘇泰州·一模）【定義呈現】有兩個內角分別是它們對角的兩倍的四邊形叫做倍對角四邊形，其中，這兩個內角稱為倍角．例如：如圖1，在四邊形中，，，那么我們就叫這個四邊形是倍對角四邊形，其中，稱為倍角．
【定義理解】如圖1，四邊形是倍對角四邊形，且，是倍角．求的度數；
【拓展提升】如圖2，四邊形是倍對角四邊形，且，是倍角，延長、交于點A．在下方作等邊三角形，延長、交于點G．若，，，四邊形的周長記為．
（1）用的代數式表示；
（2）如圖3，把題中的“”條件舍去，其它條件不變．
①求證：；
②探究是否為定值．如果是定值，求這個定值，如果不是，請說明理由．
40．（2024·江蘇鹽城·一模）定義點切圓：把平面內經過已知直線外一點并且與這條直線相切的圓叫做這個點與已知直線的點切圓．如圖1，已知直線外有一點，經過點且與直線相切于點，則稱是點與直線的點切圓．

閱讀以上材料，解決問題；
已知直線外有一點，，，，是點與直線的點切圓．

(1)如圖2，如果圓心在線段上，那么的半徑長是______（直接寫出答案）：
(2)如圖3，以為坐標原點、為軸的正半軸建立平面直角坐標系，點在第一象限，設圓心的坐標是．
①求關于的函數解析式：
②點是①中所求函數圖象上對稱軸右邊的一點，過點作，垂足是，連接，，若中有一個角等于的2倍，求點的坐標．
題型九 三角函數新定義問題
41．（2023·江蘇蘇州·一模）定義：在中，，我們把的對邊與的對邊的比叫做的鄰弦，記作，即： ．如圖，若，則的值為 ．
42．（2023·江蘇鹽城·一模）定義：如果三角形的一個內角是另一個內角的2倍，那么稱這個三角形為“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，，則的長為 ．
43．（2024·江蘇常州·一模）我們給出定義：如果兩個銳角的和為，那么稱這兩個角互為半余角．如圖，在中，，互為半余角，且，則 ．
44．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）數學活動課上，指導老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．同時老師還給出如下幾個問題，請同學們幫忙解決：
(1)如圖1，在平面直角坐標系中，小正方形的邊長均為1，已知A、B、C、D在格點（小正方形的頂點）上，且以、為邊的四邊形是對等四邊形，則頂點D的坐標為______；
(2)如圖2，在圓內接四邊形中，是的直徑，．求證：四邊形是對等四邊形；
(3)如圖3，在中，，，，點A為中點，動點D從點P出發，沿以1/秒的速度向終點C運動．設運動時間為t秒，若四邊形是對等四邊形時，求t的值．
45．（2023·江蘇泰州·三模）【概念認識】定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對角線與交于點E，若，，，則的長度＝______cm．
【數學理解】（2）在探究如何畫“圓內接垂等四邊形”的活動中，小李想到可以利用八年級的所學三角形全等．如圖2，在中，已知是弦，是半徑，求作：的內接垂等四邊形．（要求：尺規作圖，不寫作法，保留痕跡）
【問題解決】（3）如圖3，已知A是上一定點，B為上一動點，以為一邊作出的內接垂等四邊形（A、B不重合且A、B、O三點不共線），對角線與交于點E，的半徑為，當點E到的距離為時，求弦的長度．

21世紀教育網(www.21cnjy.com)熱點必刷題01 新定義與規律性探究題
題型一 數字類規律探索問題 2
題型二 圖形類規律探索問題 6
題型三 數與式中新定義問題 15
題型四 方程與不等式中新定義問題 23
題型五 函數類新定義問題 29
題型六 四邊形中新定義問題 36
題型七 圓中新定義問題 53
題型八 相似三角形新定義問題 73
題型九 三角函數新定義問題 90
題型一 數字類規律探索問題
1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）如圖所示的是一個按某種規律排列的數陣，根據規律，自然數應該排在從上向下數的第行，是該行中的從左向右數的第個數，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】每行的最后一個數是這個行的行數的平方，第行的數字的個數是，所以2024在第45行，45行最后一個數字是2025，從2025往前數4個數據得到2024，進而得出2024是第85個數據，從而得出答案．
【詳解】解：每行的最后一個數是這個行的行數的平方，
第行的數字的個數是，
，
所以2024在第45行，
，
行最后一個數字是2025，
第45行有個數字，從2025往前數3個數據得到2024，從而得出2024是第86個數據，
，，
．
故選：A．
【點睛】本題考查了規律型：數字的變化．解題的關鍵是確定第45行的最后一個數字和第45行的第一個數字．
2．（2024·江蘇淮安·二模）將正整數按照如圖規律排列：
第一層：
第二層：
第三層：
第四層：
······
在這個數字寶塔中，請問在第（ ）層．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圖象可知第n行有2n-1個數字，前n行的數字個數為1+3+5++（2n-1）=n2個，進而根據442，452與2024大小關系進而判斷出2024所在的層數．
【詳解】解：依題意可知第n行有2n-1個數字，前n行的數字個數為1+3+5++（2n-1）=n2個，
∵442=1836，452=2025，且1836＜2024，2025＞2024，
∴2024在第45層．
故選：C．
【點睛】本題考查了數字類的規律題，解題的關鍵是求得前n行的數字個數．
3．（2024·江蘇南京·一模）觀察等式：；；已知按一定規律排列的一組數：、、、、、．若，用含的式子表示這組數的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，一組數：、、、、、的和為250＋251＋252＋…＋299＋2100＝＝a＋(2＋22＋…＋250)a，進而根據所給等式的規律，可以發現2＋22＋…＋250＝251－2，由此即可求得答案.
【詳解】250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋2a＋22a＋…＋250a
＝a＋(2＋22＋…＋250)a，
∵，
，
，
…，
∴2＋22＋…＋250＝251－2，
∴250＋251＋252＋…＋299＋2100
＝a＋(2＋22＋…＋250)a
＝a＋(251－2)a
＝a＋(2 a－2)a
＝2a2－a ，
故選C.
【點睛】本題考查了規律題——數字的變化類，仔細觀察，發現其中哪些發生了變化，哪些沒有發生變化，是按什么規律變化的是解題的關鍵.
4．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）我國古代數學中的“楊輝三角”是重要的成就，它的發現比歐洲早五百年左右，（如圖），這個三角形給出了（＝1，2，3，4，5，6）的展開式（按的次數由大到小順序排列）的系數規律．例如，第三行的三個數1，2，1，恰好對應展開式中各項的系數；第五行的五個數1，4，6，4，1，恰好對應著展開式中各項的系數．則展開式中各項系數的和為 ．

【答案】64
【分析】根據題意規律，可知各系數之和的變化特點，從而得到多項式（取整數）的展開式的各項系數之和，據此解答．
【詳解】解：當＝6時，各項系數分別為1，6，15，20，15，6，1，
那么的展開式中各項的系數的和為1+6+15+20+15+6+1＝64，
故答案為：64．
【點睛】本題考查楊輝三角的展開式的系數規律，能夠運用規律解決問題是解題關鍵．
5．（2024·江蘇鹽城·三模）觀察下面的等式：，，，
(1)根據題目中規律的格式，寫出的結果為 ；
(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）；
(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．
【答案】(1)
(2)
(3)推理說明見解析
【分析】本題考查的是數字的變化規律，有理數的混合運算和列代數式，熟練掌握上述知識點是解題的關鍵．
（1）根據前4個等式，寫出結果即可；
（2）根據上述等式，可得一般規律：第個等式為；
（3）證明等式左邊等式右邊即可．
【詳解】（1）解：，
故答案為：．
（2）解：根據上述等式，可得一般規律：第個等式為；
（3）解：推理如下：
等式左邊
等式右邊，
故等式成立．
題型二 圖形類規律探索問題
6．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，平面直角坐標系中，都是斜邊在x軸上的等腰直角三角形，點；則根據圖示規律點A2025的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依次求出點為正整數）的坐標，發現規律：點的坐標為，為正整數），，結合圖象，則，即可解決問題．本題考查點的坐標變化規律，抓住點坐標的變化規律是解題的關鍵．
【詳解】解：由題知，
點的坐標為；
點的坐標為；
點的坐標為；
點的坐標為；
點的坐標為；
點的坐標為；
點的坐標為；
點的坐標為；
，
由此可知，點的坐標為，為正整數），
又∵，
∴，
觀察圖象,得出，為正整數
即
∴點的橫坐標為，縱坐標為0
∴點的坐標為．
故選：B．
7．（2024·江蘇鎮江·一模）如圖，把置于平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點是內切圓的圓心．將沿軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與軸重合，第一次滾動后圓心為，第二次滾動后圓心為，…，依此規律，第2023次滾動后，內切圓的圓心的坐標是 ．

【答案】
【分析】作交于，交于，交于，連接、、，由、的坐標得出，，由勾股定理可得，再由內切圓的性質可得，設，根據三角形的面積計算出，從而得到，根據旋轉可得出的坐標為：，即，設的橫坐標為，根據切線長定理可得：，即可得到的坐標，從而得到每滾動3次為一個循環，最后根據，進行計算即可得到答案．
【詳解】解：如圖，作交于，交于，交于，連接、、，
，
點的坐標為，點的坐標為，
，，
，
點是內切圓的圓心，，，，
，
設，
，，
，
解得：，
，
將沿軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與軸重合，第一次滾動后圓心為，第二次滾動后圓心為，
由圖可得的坐標為：，即，
設的橫坐標為，
根據切線長定理可得：，
解得：，
，
的坐標為，即，
每滾動3次為一個循環，
，
第2023次滾動后內切圓的圓心的橫坐標是：，即的橫坐標是8093，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了坐標與圖形、三角形內切圓的相關性質、勾股定理、旋轉的性質等知識點，得出每滾動3次為一個循環是解此題的關鍵．
8．（2025·江蘇宿遷·一模）用同樣大小的正方體木塊依次堆放成如圖（1）、圖（2）、圖（3）所示的實心幾何體，并按照這樣的規律繼續堆放下去，設第n個圖形中含有正方體木塊s個．
(1)填表：
n 1 2 3 4 …
s
(2)已知s是n的二次函數，求這個二次函數的表達式．
(3)第10個圖形中的正方體木塊有多少個？
(4)是否存在某個圖形，它對應的幾何體由1770個正方體木塊組成？若存在，指出它是第幾個圖形；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)1；6；15；28
(2)
(3)第10個圖形中的正方體木塊有190個
(4)存在，它是第30個圖形
【分析】（1）由圖形可知：第1個疊放的圖形中，小正方體木塊個數有1個；第2個疊放的圖形中，小正方體木塊個數有個；第3個疊放的圖形中，小正方體木塊個數應有個…由此規律得出第n個疊放的圖形中，小正方體木塊個數應有個，進一步代入求得答案即可；
（2）把代入函數解析式即可得到結論；
（3）把代入函數解析式，解方程即可得到結論．
【詳解】（1）解：∵第1個疊放的圖形中，小正方體木塊個數有1個；
第2個疊放的圖形中，小正方體木塊個數有個；
第3個疊放的圖形中，小正方體木塊個數應有個；
第4個疊放的圖形中，小正方體木塊個數應是個；
（2）解：第n個疊放的圖形中，小正方體木塊個數應有個，
二次函數的表達式為；
（3）解：當時，，
答：第10個圖形中的正方體木塊有190個；
（4）解：當時，即，
解得：（舍去），，
存在，它是第30個圖形．
【點睛】此題考查了二次函數的應用，圖形的變化規律，找出圖形之間的聯系，得出數字之間的運算規律，利用規律解決問題是解題的關鍵．
9．（2024·江蘇連云港·二模）高樂同學在手工課上利用等邊三角形、白色正方形和彩色正方形按一定規律搭建圖形，觀察圖形，回答下列問題：
(1)圖1的彩色正方形有：；
圖2的彩色正方形有：；
圖3的彩色正方形有：；
圖4的彩色正方形有：…；
圖n的彩色正方形有：
(2)圖1中，白色正方形比彩色正方形多1個；圖2中，白色正方形比彩色正方形多2個：圖3 中，白色正方形比彩色正方形多3個； …；圖n 的白色正方形有 個．
(3)若圖n 中彩色正方形的個數比等邊三角形的個數多45個，求圖n 中白色正方形的個數．
【答案】(1)
(2)
(3)圖n中有66個白色正方形
【分析】本題主要考查了圖形類的規律探索，解一元二次方程：
（1）求出前面幾個圖形中彩色正方形的個數，進而得到規律求解即可；
（2）求出前面幾個圖形中白色正方形比彩色正方形的多的個數，進而得到規律求解即可；
（3）求出前面幾個圖形中等邊三角形的個數，進而得到規律求解即可；
（4）根據前面所得規律可得方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：圖1的彩色正方形有：；
圖2的彩色正方形有：；
圖3的彩色正方形有：；
圖4的彩色正方形有：，
……，
以此類推可知，圖n的彩色正方形有，
故答案為：；
（2）解：圖1中，白色正方形比彩色正方形多1個；
圖2中，白色正方形比彩色正方形多2個：
圖3 中，白色正方形比彩色正方形多3個；
……，
以此類推可知，圖n 的白色正方形比彩色正方形多n個，
∴圖n 的白色正方形有個，
故答案為：；
（3）解：圖1中，等邊三角形的個數為2個；
圖2中，等邊三角形的個數為3個：
圖3 中，等邊三角形的個數為4個；
圖4中，等邊三角形的個數為5個；
……，
以此類推可知，圖n 中等邊三角形的個數為個，
∵圖n 中彩色正方形的個數比等邊三角形的個數多45個，
∴，
解得或舍，
當時，，
∴圖n 中白色正方形的個數為66個．
10．（2024·江蘇宿遷·一模）觀察如圖圖形，把一個三角形分別連接其三邊中點，構成4個小三角形，挖去中間的一個小三角形（如圖1），對剩下的三個小三角形再分別重復以上做法…，據此解答下面的問題．
(1)填寫下表：
圖形 挖去三角形的個數
圖形1 1
圖形2 1＋3
圖形3 1＋3＋9
圖形4 ___________________
(2)根據這個規律，求圖n中挖去三角形的個數（用含n的代數式表示）；
(3)若圖中挖去三角形的個數為，求．
【答案】(1)
(2)＝
(3)
【分析】（1）由圖1挖去中間的1個小三角形，圖2挖去中間的（1+3）個小三角形，圖3挖去中間的（1+3+32）個小三角形，據此可得；
（2）由（1）中規律可知＝；
（3）將wn+1＝減去wn＝即可得．
【詳解】（1）解：圖1挖去中間的1個小三角形，
圖2挖去中間的（1+3）個小三角形，
圖3挖去中間的（1+3+32）個小三角形，
則圖4挖去中間的（1+3+32+33）個小三角形，即圖4挖去中間的40個小三角形，
故答案為：1+3+32+33；
（2）解：由（1）知，圖n中挖去三角形的個數wn＝；
答：wn＝
（3）解：∵wn+1＝，wn＝
∴wn+1﹣wn
＝（）﹣（）
＝3n．
答：wn+1﹣wn＝3n．
【點睛】本題考查了規律型：圖形的變化，本題是一道找規律的題目，這類題型在中考中經常出現．解題的關鍵是掌握對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．
題型三 數與式中新定義問題
11．（2024·江蘇南通·二模）定義：如果兩個實數m，n滿足，則稱m，n為一對“互助數”．已知a，b為實數，且，是一對“互助數”．若，則p的值可以為（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【分析】此題考查了新定義實數問題，解不等式組，分式的化簡等知識，
首先根據題意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式組求解即可．
【詳解】∵，是一對“互助數”
∴
去分母得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
整理得，
∴
∴或
∴或
∴解得或
但當時，，，不符合題意，
所以或，
∴p的值可以為．
故選：A．
12．（2024·江蘇蘇州·一模）已知且，我們定義，記為；，記為；……；，記為．若將數組中的各數分別作的變換，得到的數組記為；將作的變換，得到的數組記為；……；則的值為 ．
【答案】4160
【分析】本題考查了數字類規律探索，要先根據題意找到規律，多算幾組，發現每三次變換為一個循環，進而可得到結果，準確計算、發現規律是解題的關鍵．
【詳解】由題意得：
∴；
∴；
∴；
∴；
∴；
∴
∴，，
，
，
由規律可得每三次變換為一個循環，
∴
∴
故答案為：4160．
13．（2024·江蘇揚州·二模）對于有序實數對，定義關于“”的一種運算如下：．例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求+的值．
【答案】(1)1；
(2) ．
【分析】本題主要考查了新定義，解二元一次方程組：
（1）根據新定義列式計算即可；
（2）根據新定義可得方程組，解方程組即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意得，；
（2）解：由題意得，，
， 則有方程組，
解得，
∴．
14．（2023·江蘇揚州·模擬預測）為了探究函數在圖象不明的情況下，函數值的變化情況，我們可以這樣定義：如果點、在函數的圖象上，那么我們把稱為該函數的“單位鉛直高”．例如：函數，當時，；當時，，，則函數“單位鉛直高”
(1)正比例函數的“單位鉛直高”______；
(2)若點，在反比例函數的圖象上，當這個反比例函數的“單位鉛直高”，求m的值；
(3)已知二次函數，求這個二次函數的“單位鉛直高”t的最小值；
(4)求反比例函數的“單位鉛直高”t的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)當時，有最大值；當時，t沒有最大值
【分析】依據題意，仿照例子代入計算即可得解；
依據題意，可以列方程，進而可以得解；
由題意，列出關于t的方程，再由，從而可以得解；
依據題意列出關系式，通過法變化即可得解．
【詳解】（1）解：由題意，當時，；當時，，
正比例函數的“單位鉛直高”
故答案為：
（2）解：由題意得，，
或
經檢驗，或是方程的解．
或
（3）解：由題意得，
，
又，，
的最小值為
（4）解：由題意，，
，且對于關于m的一元二次方程有解，
或
當時，有最大值；當時，t沒有最大值．
【點睛】本題主要考查了新定義問題的應用，解題時要能讀懂題意，學會轉化．
15．（2023·江蘇鹽城·一模）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數），則稱這兩個分式互為“N 分式”．
例如.分式 與 互為“三 分式”．
(1)分式 與_____互為“六 分式”；
(2)若分式 與互為“一 分式”（其中a，b為正數），求ab的值；
(3)若正數x，y互為倒數，求證：分式 與 互為“五 分式”．
【答案】(1)
(2)
(3)見解析
【分析】（1）根據新定義，用即可求解；
（2）根據定義可得，根據分式的加減進行計算，即可求解；
（3）根據題意首先利用倒數關系，將、 進行消元，然后兩分式相加計算得到結果，利用新定義即可判斷．
【詳解】（1）解：依題意，，
∴分式 與互為“六 分式”，
故答案為：；
（2）解：∵分式 與互為“一 分式”
∴
即
∴，
即，
∵a，b為正數
∴
（3）∵正數x，y互為倒數，
∴
∴
∴分式 與 互為“五 分式
【點睛】本題主要考查了分式的加法，正確理解題意并掌握分式通分、約分運算方法是解決本題的關鍵．
題型四 方程與不等式中新定義問題
16．（2024·江蘇常州·模擬預測）定義[x]為不大于實數x的最大整數，如．函數的圖象如圖所示，則方程的根為（　　）
A．
B．
C．，
D． ，，
【答案】B
【分析】本題考查了函數的圖象，解一元二次方程．根據新定義和函數圖象進行討論是解題的關鍵．
根據新定義和函數圖象分情況討論：當時，；當時，；當時，；當時，；然后分別求關于x的一元二次方程即可．
【詳解】解：由題意知，當時，，解得或，均不合題意；
當時，，解得或（舍去）；
當時，，方程沒有實數解；
當時，，方程沒有實數解；
∴方程的解為0，
故選：B．
17．（2024·江蘇泰州·一模）對于實數a，b，定義運算“*”：，例如4*2，因為4>2，所以4*2=42－4×2=8． 若a，b是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個根，則a*b= ．
【答案】或/或12
【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，得到，再根據新定義運算，分情況求解即可．
【詳解】解：由方程可得，解得或，
當，時，，；
當，時，，；
故答案為：或．
【點睛】此題考查了一元二次方程的求解以及實數新定義運算，解題的關鍵是正確求解一元二次方程，理解新定義運算規則以及分類討論的思想求解．
18、（2024·江蘇揚州·一模）定義：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）的根均為整數，稱該方程為“全整方程”，規定T（a，b，c）＝為該“全整方程”的“全整數”．
（1）判斷方程x2﹣x﹣1＝0是否為“全整方程”，若是，求出該方程的“全整數”，若不是，請說明理由；
（2）若關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m為整數，且滿足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整數”．
【答案】（1）是，全整數為；（2）全整數為
【分析】（1）本題通過求解一元二次方程的根，判斷它的根是否為整數以確定該方程是否是“全整方程”，繼而帶入題目所給公式求解“全整數”．
（2）本題可通過m的取值范圍確定根的判別式范圍，繼而根據“整數根”特點確定根的判別式的取值，最后結合m為整數確定m取值，按照“全整數”公式求解本題．
【詳解】（1）是，理由：
∵解方程x2﹣x﹣1＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴兩個根均為整數，滿足“全整方程”定義，
∴方程為“全整方程”，
∴T（a，b，c）＝；
（2）∵一元二次方程，
∴b2﹣4ac＝4m+29，
∵5＜m＜22，
即：49＜4m+29＜117，
∵關于x的一元二次方程是“全整方程”，
∴b2﹣4ac是完全平方數，
即4m+29是完全平方數，
∴4m+29＝64或81或100，
∵m為整數，
∴求解4m+29＝64，得m＝（舍去）；
求解4m+29＝81，得m＝13；
求解4m+29＝100，得m＝（舍去），
即原方程為x2﹣23x+112＝0，
∴T（a，b，c）＝．
【點睛】本題考查一元二次方程，并在此基礎上進行拓展延伸，解答“新定義”類型題，需要了解題目背后的常規考點，按照該考點常用考法求解該類型題目，求解一元二次方程時需要根據不同類型題目選擇合適的解題方法，十字相乘法較為常用．
19．（2024·江蘇揚州·一模）在平面直角坐標系中，對于任意三點的“矩面積”，給出如下定義:“水平底”為任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”為任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”.
例如:三點坐標分別為，則“水平底”，“鉛垂高”，“矩面積”.
(1)已知點.
①若三點的“矩面積”為12，求點的坐標;
②求三點的“矩面積”的最小值.
(2)已知點，其中.若三點的“矩面積”為8，求的取值范圍.
【答案】(1)①時，；時，；②；(2) 0＜m≤.
【分析】（1）①首先由題意可得：a=4，然后分別從：當t＞2時，h=t-1，當t＜1時，h=2-t，去分析求解即可求得答案；
②首先根據題意得：h的最小值為：1，繼而求得A，B，P三點的“矩面積”的最小值．
（2）由E，F，M三點的“矩面積”的最小值為8，可得a=4，h=2，即可得．繼而求得m的取值范圍．
【詳解】（1）①由題意：a=4．
當t＞2時，h=t-1，
則4（t-1）=12，可得t=4，故點P的坐標為（0，4）；
當t＜1時，h=2-t，
則4（2-t）=12，可得t=-1，故點P 的坐標為（0，-1）；
②∵根據題意得：h的最小值為：1，
∴A，B，P三點的“矩面積”的最小值為4；
故答案為4；
（2）∵E，F，M三點的“矩面積”為8，
∴a=4，h=2，
∴．
∴0≤m≤．
∵m＞0，
∴0＜m≤．
【點睛】此題考查了不等式組的應用．此題屬于新定義題，難度較大，解題的關鍵是理解a與h的含義，注意掌握分類討論思想與方程思想的應用．
20．（2024·江蘇南京·模擬預測）新定義：已知關于x的一元二次方程的兩根之和與兩根之積，分別是另一個一元二次方程的兩個根，則一元二次方程稱為一元二次方程的“再生韋達方程”，一元二次方程稱為“原生方程”．
比如：一元二次方程的兩根分別為，則，所以它的“再生韋達方程”為．
(1)已知一元二次方程，求它的“再生韋達方程”；
(2)已知“再生韋達方程”，求它的“原生方程”．
【答案】(1)
(2)或
【分析】題目主要考查一元二次方程根與系數的關系及因式分解法解一元二次方程，熟練掌握根與系數的關系是解題關鍵．
（1）根據一元二次方程根與系數的關系得出，然后根據新定義求解即可；
（2）令它的“原生方程”兩根分別為，根據題意得出，或，然后求解即可．
【詳解】（1）解：解
得，
則，
所以一元二次方程的“再生韋達方程”為，
即；
（2）解得，
令它的“原生方程”兩根分別為，
則，或．
當，則所求“原生方程”為；
當，則所求“原生方程”為．
綜上所述，它的“原生方程”為或．
題型五 函數類新定義問題
21．（2024·江蘇蘇州·一模）現定義一種新的距離：對于平面直角坐標系內的點，，將稱作P、Q兩點間的“拐距”，記作，即，已知點，動點B在直線上，橫坐標為，當取得最小值時，應滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了新定義，用到了一次函數的性質、一元一次不等式的應用等知識，先求出，根據m的取值范圍分三種情況進行討論即可得到答案.
【詳解】解：∵動點B在直線上，橫坐標為m，
∴點B的坐標為，
∵點A的坐標為
∴，
當時，，
當時，，
當時，，
∴當取得最小值時，應滿足的條件是，
故選：C
22．（2024·江蘇徐州·一模）我們定義：如果點在某一個函數的圖象上，那么我們稱點P為這個函數的“好點”．若關于x的二次函數對于任意的常數n，恒有兩個“好點”，則常數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是二次函數圖象和性質，以及根于系數的關系，數量掌握根與系數關系是求解的關鍵． 由“好點”的坐標可得，可得，，整理得：，根據有兩個“好點”可得方程有兩個不相等的實數根，，根據對于任意常數，恒有兩個“好點”，可得關于的一元二次方程無解，，即可求出的取值范圍．
【詳解】解：令，
有，整理得：
，
有兩個“好點”可得方程有兩個不相等的實數根
有，
即，
∵對于任意常數，恒有兩個好點，
∴關于的一元二次方程無解，
∴
解得：，
故選：D．
23．（2025·江蘇蘇州寧波·一模）小明在研究函數特性時，給出了這樣的定義：對于函數圖象上的點，若且，則稱點P為該函數的“軸近點”．已知一次函數（k為常數）的圖象上存在“軸近點”，則k的取值范圍 ．
【答案】且
【分析】本題考查的是一次函數的定義，一次函數的圖象與性質，如圖，由且，可得，，可得在正方形內，包括邊界；當一次函數過時，如圖，當一次函數過時，再結合一次函數的定義可得答案．
【詳解】解：如圖，∵且，
∴，，
∴在正方形內，包括邊界；
當一次函數過時，
，
解得：，
如圖，當一次函數過時，
∴，
解得：，
∵，
∴一次函數（k為常數）的圖象上存在“軸近點”，則k的取值范圍為
且；
故答案為：且
24．（2024·江蘇南京·模擬預測）如定義：對于一次函數、，我們稱函數為函數、的“組合函數”．
(1)若，試判斷函數是否為函數，的“組合函數”，并說明理由：
(2)設函數與的圖像相交于點．
①若，點在函數、的“組合函數”圖像的上方．求的取值范圍；
②若，函數、的“組合函數”圖像經過點，是否存在大小確定的值，對于不等于1的任意實數．都有“組合函數”圖像與軸交點的位置不變？若存在．請求出的值及此時點的坐標；若不存在．請說明理由．
【答案】(1)是；理由見解析
(2)① ②存在；，
【分析】本題考查了一次函數的圖像和性質，一次函數與不等式的關系，一次函數與一元一次方程，正確理解“組合函數”的定義是解本題的關鍵．
（1）把，代入組合函數中，化簡后進行判斷即可；
（2）①先求出點的坐標和“組合函數”，把代入“組合函數”，再根據題意，列不等式求解即可；②將點代入“組合函數”，整理得，把代入“組合函數”，消去，把代入解一元一次方程即可求解．
【詳解】（1）解：是函數，的“組合函數”，
理由：由函數，的“組合函數”為：，
把，代入上式，得，
函數是函數，的“組合函數”；
（2）解：①解方程組
得．
函數與的圖像相交于點，
點的坐標為，
、的“組合函數”為，
，
，點在函數、的“組合函數”圖像的上方．
，整理，得，
，
解得：，
的取值范圍為；
②存在，理由如下：
函數的“組合函數”圖像經過點．
將點坐標代入"組合函數"，得
，
，
，．
將代入，
把代入，得
解得：，
設，則，
．
對于不等于的任意實數，存在“組合函數”圖像與軸交點的位置不變．
25．（2024·江蘇鹽城·三模）新定義：若函數圖像一定過點，我們稱為該函數的“永固點”．如：一次函數，無論k值如何變化，該函數圖像一定過點，則點稱為這個函數的“永固點”．
【初步理解】一次函數的“永固點”的坐標是______；
【理解應用】二次函數落在x軸負半軸的“永固點”A的坐標是______，落在x軸正半軸的“永固點”B的坐標是______；
【知識遷移】點P為拋物線的頂點，設點A到直線的距離為，點P到直線的距離為，請問是否為定值？如果是，請求出的值；如果不是，請說明理由．
【答案】【初步理解】；【理解應用】，；【知識遷移】為定值．
【分析】本題考查二次函數的性質和新定義，關鍵是對新定義的理解和運用．
初步理解：把化為，根據“永恒點”的定義得出結論；
理解應用：把化為，根據“永恒點”的定義得出結論；
知識遷移：先求出頂點P的坐標，分別過點P、A作直線的垂線，垂足為Q、C，作軸交直線于點E，作軸交直線于點F，求出E，F坐標，然后求出，再由，求出為定值．
【詳解】解：初步理解：∵，
∴無論m值如何變化，該函數圖象恒過點，
∴一次函數的永固點的坐標是，
故答案為：；
理解應用：，
當或時，，
∴無論m值如何變化，恒過定點和，
∴，，
故答案為：，；
知識遷移：為定值．
∵，
∴頂點，，
作軸交直線于點E，作軸交直線于點F，
則，，，
分別過點P、A作直線的垂線，垂足為Q、C，則

∴，，
∴，
∴，
即．
題型六 四邊形中新定義問題
26．（2024·江蘇蘇州·二模）新定義：兩邊之比等于黃金比的矩形叫做黃金矩形，如圖，矩形是黃金矩形（），點E、F分別在邊、上，將矩形沿直線折疊，使點B的對應點落在CD邊上，點A的對應點為，過點E作于點G，當矩形也是黃金矩形（）時，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查黃金比，矩形與折疊，勾股定理．
連接，根據黃金矩形的定義設，，則，證明得到，從而，設，則
，在中，根據構造方程，求解得到，從而．
【詳解】連接，
∵矩形是黃金矩形，，，
∴設，，
∵矩形是黃金矩形，，
∴，
∴，
∵四邊形是四邊形翻折得到，
∴，，
，
∴，
∵在矩形中，，
又
∴，
∴，
∴，
設，則
，
∵在中，，
∴
解得：，
∴，
∴．
故選：D
27．（2023·江蘇無錫·一模）定義：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．
如圖①，四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，，則圖中的“等垂四邊形”是 ；
如圖②，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，，，則邊AB長的最小值為 ．
【答案】
【分析】如圖：延長交于點H，先證可得，．結合可得，即，從而得到四邊形是“等垂四邊形”； 如圖②，延長交于點H，分別取的中點E、F、G，連接，然后根據中位線的定義可得，再，根據平行線的性質可得，由角的和差可得，由勾股定理可得；如圖③：延長交于點H，分別取的中點E，F．連接，由, 由勾股定理可得即可解答．
【詳解】解：如圖①，延長交于點H，
∵四邊形與四邊形都為正方形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，即，
∴．
∴．
又∵，
∴四邊形是“等垂四邊形”；
如圖②，延長交于點H，分別取的中點E、F、G，連接
∴
∴．
∴
∴,
∴．
延長交于點H，分別取的中點E，F．連接，
則，
∴
故答案為：，．
【點睛】本題屬于四邊形的綜合問題，主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理、等腰直角三角形的性質等知識點，靈活運用相關性質定理是解題的關鍵．
28．（2025·江蘇常州·一模）綜合與實踐
在數學學習中，我們發現除了已經學過的四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形，請結合已有經驗，對下列特殊四邊形進行研究． 定義：在四邊形中，若有一個角是直角，且從這個直角頂點引出的對角線，把對角分成的兩個角中，有一個是直角，我們稱這樣的四邊形為“雙垂四邊形”．
【初步探究】
（）如圖，在“雙垂四邊形”中，若，則_____，的值為_____．
【問題解決】
（）如圖，在“雙垂四邊形”中，，，為線段上一點，且，求的值．
【拓展應用】
（）如圖，在“雙垂四邊形”中，，，為線段上一動點，且，連接，將沿翻折，得到，連接，若，請直接寫出的面積．
【答案】（），；（）；（）或
【分析】（）由直角三角形兩銳角互余可得，，進而可得，即可求解；
（）根據等腰直角三角形的性質可證，得到，即可求解；
（）如圖，過點作于點，由（）知，，，即得，，進而由折疊可得四邊形為正方形，連接，則，，分兩種情況：①當點的對應點在的上方時；②當點的對應點在的下方時，
分別畫出圖形解答即可求解．
【詳解】解：（）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案為：，；
（）∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）如圖，過點作于點，
由（）知，，
∴，
∵，
∴，
同理（）可得，，
∴，
由折疊的性質可知四邊形為正方形，
連接，則，，
分兩種情況：①如圖，當點的對應點在的上方時，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴；
②如圖，當點的對應點在的下方時，
同理可得，
∴；
綜上可得，的面積為或．
【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余，三角函數，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，折疊的性質，正方形的性質，運用分類討論思想并正確畫出圖形解答是解題的關鍵．
29．（2024·江蘇揚州·二模）定義：有三個內角相等的四邊形叫準矩形．
(1)如圖1，中，，點在上，點在的延長線上，，與交于點，則四邊形準矩形(填“是”或“不是”)；

(2)如圖2，折疊平行四邊形紙片，使頂點，分別落在邊，上的點，處，折痕分別為，，求證：四邊形是準矩形；

(3)如圖3，準矩形中，且為銳角，，當長最大時，求的值．

【答案】(1)是
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據等腰三角形的性質求出，即可判定四邊形是準矩形；
（2）由四邊形為平行四邊形，得到，且，再根據等角的補角相等，判斷出，即可得證；
（3）過點作，，則四邊形是平行四邊形，結合平行四邊形的性質求出，，，設根據相似三角形的性質求出，再根據二次函數的最值求解即可．
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，
則四邊形是準矩形，
故答案為：是；
（2）證明：四邊形為平行四邊形，
，且．
根據折疊的性質得，，，
，
，，，
，
四邊形是準矩形；
（3）解：如圖3，過點作，，
四邊形是平行四邊形，，
，，
，，
，，，
設
，
，
，
，
，
，
當時，有最大值，
長最大時，的值為．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、準矩形的判定、相似三角形的判定與性質，二次函數的性質，熟記平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質并作出合理的輔助線構建相似三角形是解題的關鍵．
30．（2024·江蘇常州·模擬預測）在學習了“中心對稱圖形…平行四邊形”這一章后，同學小明對特殊四邊形的探究產生了濃厚的興趣，他發現除了已經學過的特殊四邊形外，還有很多比較特殊的四邊形，勇于創新的他大膽地作出這樣的定義：有一個內角是直角，且對角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊形”．請你根據以上定義，回答下列問題：
(1)下列關于“雙直四邊形”的說法，正確的有 （把所有正確的序號都填上）；
①雙直四邊形”的對角線不可能相等：
②“雙直四邊形”的面積等于對角線乘積的一半；
③若一個“雙直四邊形”是中心對稱圖形，則其一定是正方形．
(2)如圖①，正方形中，點、分別在邊、上，連接，，，，若，證明：四邊形為“雙直四邊形”；
(3)如圖②，在平面直角坐標系中，已知點，，點在線段上且，是否存在點在第一象限，使得四邊形為“雙直四邊形”，若存在；求出所有點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)②③
(2)證明見詳解；
(3)或
【分析】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，一次函數的應用等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．
（1）由“雙直四邊形”的定義依次判斷即可；
（2）證明，得到，由余角的性質可證，可得結論；
（3）根據“雙直四邊形”的定義分當時，當時，當時三種情況討論，分別求出點的坐標即可．
【詳解】（1）解：∵正方形是“雙直四邊形”，正方形的對角線相等．
故①不正確．
∵“雙直四邊形”的對角線互相垂直，
∴“雙直四邊形”的面積等于對角線乘積的一半．
故②正確．
中心對稱的四邊形是平行四邊形，再根據“雙直四邊形”的定義得到四邊形是正方形．
故③正確；
故答案為：②③；
（2）證明：設與交于點，
正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形為“雙直四邊形”．
（3）解：設如圖②，設與交于點，
點，，
，，
，，
，
，
，
點，
四邊形是“雙直四邊形”，
，
，
，即點是的中點，
點，，
點，
設直線的表達式為，
，
解得：，
直線的表示為：，
當，點的橫坐標為，
，
點，
當時，
，，
是的垂直平分線，
，
，
，
，
點，
當時，如圖③，過點作于點，于點，
是的垂直平分線，
，
平分，
，
，
，
設，則，，
即點坐標為，
代入，
得，
為，
綜上所述，點的坐標或
題型七 圓中新定義問題
31．（2023·江蘇蘇州·二模）我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．根據定義：
①等邊三角形一定是奇異三角形；②在中，，，，，且，若是奇異三角形，則；③如圖，是的直徑，是上一點（不與點、重合），是半圓的中點，、在直徑的兩側，若在內存在點，使，.則是奇異三角形；④在③的條件下，當是直角三角形時，.其中，說法正確的有 .

【答案】①③/③①
【分析】①設等邊三角形的邊長為，代入檢驗即可；②在中，由勾股定理可得，因為是奇異三角形，且，所以，然后可得，，代入可求；③要證明是奇異三角形，只需證即可；④由③可得是奇異三角形，所以，當是直角三角形時，由②可得或，然后分兩種情況討論．
【詳解】解：設等邊三角形的邊長為，
則，滿足奇異三角形的定義，
等邊三角形一定是奇異三角形，
故①正確；
在中，，
，
，，
若是奇異三角形，一定有，
，
，得．
，
，
，
故②錯誤；
在中，，
是的直徑，
，
在中，；
在中，．
是半圓的中點，
，
，
，
又，，
．
是奇異三角形，
故③正確；
由③可得是奇異三角形，
．
當是直角三角形時，
由②可得或，
（）當時，
，即，
，
，
∴．
（）當時，
，即，
，
，
，
的度數為或，
故④錯誤；
故答案為：①③．
【點睛】本題主要考查了勾股定理；圓周角定理及推論；直角三角形的性質．能牢固掌握以上知識點并綜合運用是做出本題的關鍵．
32．（2024·江蘇南京·模擬預測）定義：當點在射線上時，把的值叫做點在射線上的射影值；當點不在射線上時，把射線上與點最近點的射影值，叫做點在射線上的射影值．例如：如圖（1），三個頂點均在格點上，是邊上的高，則點和點在射線上的射影值均為．
(1)在中，下列說法：
①點在射線上的射影值小于1時，則是銳角三角形；
②點在射線上的射影值等于1時，則是直角三角形；
③點在射線上的射影值大于1時，則是鈍角三角形．
其中，正確說法的序號是___________．
(2)是射線上一點，，以為圓心，為半徑畫圓，是上任意點．
①如圖（2），點在射線上的射影值為，求證：直線是的切線．
②如圖（3），已知為線段的中點，設點在射線上的射影值為，點在射線上的射影值為，直接寫出與之間的函數關系式．
【答案】(1)②③
(2)①見解析；②（）
【分析】（1）根據射影值的定義一一判斷即可．
（2）①根據兩邊成比例夾角相等的兩個三角形相似，可得，由相似三角形的性質可得，根據切線的判定定理可得答案；②圖形是上下對稱的，只考慮B在直線上及上方部分的情形．分兩種情況考慮：當時，設，根據，可得，根據，得，根據，得，得；當時，y不存在．
【詳解】（1）解：①錯誤．點B在射線上的射影值小于1時，可以是鈍角，故不一定是銳角三角形；
②正確．點B在射線上的射影值等于1時，，是直角三角形；
③正確．點B在射線上的射影值大于1時，是鈍角，故是鈍角三角形；
故答案為：②③．
（2）解：①如圖1，作于點H，
∵點B在射線上的射影值為，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴直線是的切線；
②圖形是上下對稱的，只考慮B在直線上及上方部分的情形．
過點D作，作，

當時，如圖2，
設，
∵D為線段的中點，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵在和中，
，
∴，
∴①，
∵，
∴②，
①②消去h，得；
如圖3，當點N與點O重合時，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴；
當時，
點B與點A重合，點D與點M重合，點D在中點，
∴，
∴；
當時，不存在，
∴y不存在．
綜上所述，（）．
【點睛】本題考查新定義——射影值．熟練掌握射影值的定義，相似三角形的判定和性質，圓切線判定，勾股定理，面積法求三角形高，分類討論的思想思考問題，利用參數構建方程解決問題，添加輔助線，是解題的關鍵．
33．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）定義：如果一個四邊形的一組對角互余，那么我們稱這個四邊形為“對角互余四邊形”．
(1)如圖1，在對角互余四邊形中，，且．若，求四邊形的面積和周長．
(2)如圖2，在四邊形中，連接，點O是外接圓的圓心，連接，求證：四邊形是“對角互余四邊形”；
(3)在（2）的條件下，如圖3，已知，，，連接，求線段的長．
【答案】(1)四邊形的面積為，周長為；
(2)見解析；
(3)線段的長是．
【分析】（1）由四邊形是對角互余四邊形，，得，則，可求得， ，于是可求得，；
（2）延長交于點E，連接，由是的直徑，得，而，則，即可證明四邊形是“對角互余四邊形”；
（3）作于點F，使點F與點A在直線的異側，由，根據勾股定理得，可證明，得，，所以，由，得，而，則，因為，所以，連接，證明，可求得．
【詳解】（1）解：如圖1，
∵四邊形是對角互余四邊形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形的面積為，周長為；
（2）證明：如圖2，延長交于點E，連接，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是“對角互余四邊形”；
（3）解：如圖3，作于點F，使點F與點A在直線的異側，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
連接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴線段的長是．
【點睛】此題重點考查圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數與解直角三角形、相似三角形的判定與性質、新定義問題的求解等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
34．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）定義：在平面內，將點關于過點的任意一條直線對稱后得到點，稱點為點關于點的線對稱點．
理解：在直角坐標系中，已知點．
（1）點關于直線對稱的點的坐標為________；
（2）若點、關于直線對稱，則與的數量關系為________；
（3）下列為點關于原點的線對稱點是________．
①；②；③；④；
運用：
（1）已知直線經過點，當滿足什么條件時，該直線上始終存在點關于原點的線對稱點；
（2）已知拋物線，問：該拋物線上是否存在點關于的線對稱點，若存在請求出點坐標，若不存在請說明理由．
【答案】理解：（1）；（2）；（3）①②③；運用（1）；（2） 或．
【分析】理解：（1）畫出圖形，判斷對稱點的位置，再利用垂直平分線的性質可得答案；
（2）畫出圖形，利用線段的垂直平分線的性質可得答案；
（3）如圖，由，，取的中點，連接，可得，可得，證明，可得直線是線段的垂直平分線；故③符合題意；② 符合題意，④不符合題意；而①顯然符合題意；從而可得答案；
運用：
（1）如圖，設為點關于原點的線對稱點，則，在以為圓心，半徑為2的圓上，當為的切線時，切點為，與軸的交點為，則，，，證明，求解；再求解一次函數的解析式 即可得到答案；
（2）如圖，記，若該拋物線上存 在點關于的線對稱點，則，設，可得，再解方程即可．
【詳解】解：（1）如圖，，關于直線對稱，
，
在軸上，，
；
故答案為：；
（2）如圖，
點、關于直線對稱，
直線是線段的垂直平分線，
；
故答案為：；
（3）如圖，描點，
，，取的中點，連接，
，
，
，，
，
，
直線是線段的垂直平分線；
故③符合題意；
同理可得：② 符合題意，
④不符合題意；
而①顯然符合題意；
故①②③符合題意；
故答案為：①②③；
運用：（1）如圖，設為點關于原點的線對稱點，
則，
在以為圓心，半徑為2的圓上，
當為的切線時，切點為，與軸的交點為，
則，，，
，
即，
可得；
，
直線為，
，
解得：，
直線與圓有交點，
；
（2）如圖，記，若該拋物線上存在點關于的線對稱點，
，
設，
，
解得：，
此時，
對稱點的坐標為： 或．
【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，求解一次函數的解析式，二次函數的性質，圓的性質，切線的性質，勾股定理的應用，新定義的含義，理解新定義再確定合適的方法解題是關鍵．
35．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）定義：如果一個三角形中有兩個內角滿足，那我們稱這個三角形為“近直角三角形”．

(1)若是“近直角三角形”，，，則　　度；
(2)如圖1，在中，，．若是的平分線，
①求證：是“近直角三角形”；
②在邊上是否存在點E（異于點D），使得也是“近直角三角形”？若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，在中，，點D為邊上一點，以為直徑的圓交于點E，連接交于點F，若為“近直角三角形”，且，求的長．
【答案】(1)20
(2)①詳見解析；②存在，
(3)或．
【分析】（1）根據題意可得不可能是或，當時，，，不成立；故時，，，由此即可得到答案；
（2）①由是的平分線得到，再由在中，，得到，則，由此即可證明；
②當是近直角三角形，得到或，當時，可證得此時D、E重合不符合題意；當時，得到，則，可證明，得到，即，則，；
（3）分兩種情況：當時，是近直角三角形，當時，是近直角三角形，進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，
∴不可能是或，
當時，，
∴，
∴不成立；
當時，，
∵，
∴，
∴
故答案為：20；
（2）①證明：如圖1所示，∵是的平分線，
∴ ，
∵在中，，
∴，
∴，
∴是“近直角三角形”；
②解：如圖所示，假設在邊上存在點E（異于點D），使得是“近直角三角形”
∵在中，，
∴，
∵是近直角三角形，
∴或，
當時，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴此時D、E重合不符合題意；
當時，
，
∴，
又∵，
則，
∴，即，
∴，
∴；
（3）解：如圖所示，由（2）①可知，當時，是近直角三角形，

∴由垂徑定理得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
如圖所示，由（2）②可知當時，是近直角三角形，
過點A作交于點H，交于點G，連接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴為線段的垂直平分線，
∵是圓的直徑，
∴G為圓心，，
∴
∴，
∴
∴，
∴，
設，則（圓的半徑），
∵點H是的中點，G是的中點，
∴是的中位線，
∴，
在中，，
在中，，，，
由勾股定理得：，
∴
解得：，
∴
在中，，
∴綜上所述，的長為或．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，勾股定理，三角形內角和定理，垂徑定理，圓周角定理，三角形外角的性質，線段垂直平分線的性質與判定，等腰三角形的性質與判定等等，解題的關鍵在于能夠正確理解題意和掌握相似三角形的性質與判定．
題型八 相似三角形新定義問題
36．（2024·江蘇泰州·二模）定義：如果三角形中有兩個角的差為，則稱這個三角形為互融三角形．在中，，，，點是延長線上一點．若是“互融三角形”，則的長為 ．
【答案】3或
【分析】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質等知識，分兩種情形：當時，則，當時，則，分別進行計算，依據定義進行分類討論是解題的關鍵．
【詳解】解：是“互融三角形”，
當時，則，
，
由勾股定理得，，
，
當時，則，
，
，
，
設，，
，
，
，
解得，
，
故答案為：3或．
37．（2024·江蘇揚州·二模）定義：等腰三角形底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．例如，在中，，頂角A的正對．當時， ．（結果保留根號）
【答案】
【分析】過點B作BD平分∠ABC交AC于D，設BC=x，AB=y；由三角形內角和定理及等腰三角形的判定和性質求得DA=DB=BC=x，則CD= y-x；由△BCD∽△ACB求得；令t=，解關于t的方程即可解答；
【詳解】解：由題意作圖如下：過點B作BD平分∠ABC交AC于D，
設BC=x，AB=y，
△ABC中：∠A=36°，AB=AC，則∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
BD平分∠ABC，則∠CBD=∠DBA=∠ABC=36°，
△BCD中：∠BDC=180°-∠CBD-∠DCB=72°=∠BCD，
∴BC=BD=x，
∴△DAB中：∠DAB=∠DBA=36°，
∴DA=DB=x，
∴CD=AC-AD=y-x，
△BCD和△ACB中：∠CBD=∠CAB，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴，
令t=，則，解得：t=，
經檢驗t=符合題意；
∴，
故答案為：；
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程等知識；正確作出輔助線是解題關鍵．
38．（2024·江蘇揚州·二模）定義：若直角三角形的兩直角邊的比值為（為正整數），這樣的直角三角形稱為“型三角形”．

(1)利用尺規在圖1中作出以點為直角頂點，以為直角邊的“型三角形”；（作出一種情況即可）
(2)如圖2，已知是“型三角形”，其中，，點在斜邊上，且，過點作于點，連接，證明是“型三角形”；
(3)如圖3，已知是“型三角形”（為正整數），其中，，利用尺規作圖在中作出一個，使得是“型三角形”（其中）．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)見詳解
【分析】該題主要考查了復雜作圖-作垂線，作相等線段，以及相似三角形的性質和判定，勾股定理等知識點，解題的關鍵是正確理解題意，作出對應圖形．
（1）根據“型三角形”的定義即可得出需要作以為直角邊等腰直角三角形即可；
（2）根據是“型三角形”，得出，設，則，，根據，證明，根據相似三角形的性質即可求出，從而求出，即可證明．
（3）在上截取，再過點作交于點，即為所求；
【詳解】（1）根據“型三角形”的定義即可得出，作以為直角邊的“型三角形”即過點作的垂線，且等于，即以為直角邊等腰直角三角形，如圖：

（2）∵是“型三角形”，
，
設，則，
∵，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴是“型三角形”．
（3）在上截取，再過點作交于點，即為所求；

理由：∵是“型三角形”（為正整數），，
，
設，則，
∵，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
∴是“型三角形”．
39．（2024·江蘇泰州·一模）【定義呈現】有兩個內角分別是它們對角的兩倍的四邊形叫做倍對角四邊形，其中，這兩個內角稱為倍角．例如：如圖1，在四邊形中，，，那么我們就叫這個四邊形是倍對角四邊形，其中，稱為倍角．
【定義理解】如圖1，四邊形是倍對角四邊形，且，是倍角．求的度數；
【拓展提升】如圖2，四邊形是倍對角四邊形，且，是倍角，延長、交于點A．在下方作等邊三角形，延長、交于點G．若，，，四邊形的周長記為．
（1）用的代數式表示；
（2）如圖3，把題中的“”條件舍去，其它條件不變．
①求證：；
②探究是否為定值．如果是定值，求這個定值，如果不是，請說明理由．
【答案】定義理解：；拓展提升：（1）；（2）①見解析；②是定值，
【分析】定義理解：由倍對角四邊形的定義，結合四邊形內角和可以推出的度數；
（1）方法一：根據倍對角四邊形的定義，結合等腰三角形的性質，四邊形內角和證明出是等邊三角形，再證和是等邊三角形，從而得到,
，從而表示出；
方法二：延長、交于點H，證、是等邊三角形，再證也是等邊三角形，從而變出從而表示出；
（2）①由定義理解，可知，，結合為等邊三角形，可以知道，，再結合是的外角，可以得到
，得證；
②延長、交于點H，可證，結合，可以得到，從而證明出和相似，根據相似三角形對應邊成比例，得到，從而算出定值．
【詳解】定義理解：
解：，
又，，
，
，
．
（1）方法一：，
，
又四邊形BDEC是倍對角四邊形，
，
，
是等邊三角形，
，
，是倍角，
，
，
是等邊三角形，
，
，
等邊三角形，
，，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
．
方法二：延長、交于點H，易證、是等邊三角形，
，，
也是等邊三角形，
，
．
（2）①∵四邊形BDEC是倍對角四邊形，，
，
等邊三角形，
，
，
，，
又，
，
．
②延長、交于點H，同①可證：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了倍對角四邊形的定義，四邊形的內角和公式，等邊三角形的證明與性質，等角對等邊，等邊對等角，三角形的外角性質，熟練掌握以上知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．
40．（2024·江蘇鹽城·一模）定義點切圓：把平面內經過已知直線外一點并且與這條直線相切的圓叫做這個點與已知直線的點切圓．如圖1，已知直線外有一點，經過點且與直線相切于點，則稱是點與直線的點切圓．

閱讀以上材料，解決問題；
已知直線外有一點，，，，是點與直線的點切圓．

(1)如圖2，如果圓心在線段上，那么的半徑長是______（直接寫出答案）：
(2)如圖3，以為坐標原點、為軸的正半軸建立平面直角坐標系，點在第一象限，設圓心的坐標是．
①求關于的函數解析式：
②點是①中所求函數圖象上對稱軸右邊的一點，過點作，垂足是，連接，，若中有一個角等于的2倍，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)①；②或或或
【分析】（1）當點在上時（圖中，作軸于點，則，可證得，從而，從而，從而求得；當點在的延長線上，同樣的方法得出結果；
（2）①根據圓心到的距離等于點到軸的距離得出，化簡得出結果；②先運用解直角三角形的相關性質得出，證明，且結合勾股定理得出，結合矩形性質得出，然后分類討論，即當點B在對稱軸右側P點上方時，或當點B在對稱軸右側P點下方時，根據相似三角形的性質分別列式代入數值，運用公式法解方程，結合“點是①中所求函數圖象上對稱軸右邊的一點”這個條件進行刷選，即可作答．
【詳解】（1）解：如圖1，

作軸于點，
則，
軸，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）①由題意得，
圓心到的距離等于點到軸的距離，
，
；
即；
②過點P作，使，
∴，
在中，，
∴
∵
∴；
過H作，垂足為M，

∴
∵
∴
∴
∴，
則
即
∴
∴
可得，
過H作，垂足為N，
又∵四邊形為矩形，
∴，
（1）當點B在對稱軸右側P點上方時，

當時，
設，
則
即
解得（不在對稱軸的右邊），，
則
∴
當時，
設，
則
即
解得（不在對稱軸的右邊），，
則
∴；
（2）當點B在對稱軸右側P點下方時，
當時，
設，
則
即
解得 （不在對稱軸的右邊），，
∴；
當時，
設，
則
即
解得（不在對稱軸的右邊），，
把代入，得出
∴．
綜上：滿足題意的點的坐標為或或或．
【點睛】本題考查了二次函數的幾何綜合，涉及解直角三角形的相關性質以及相似三角形的判定與性質，公式法解一元二次方程，勾股定理，求二次函數的解析式，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
題型九 三角函數新定義問題
41．（2023·江蘇蘇州·一模）定義：在中，，我們把的對邊與的對邊的比叫做的鄰弦，記作，即： ．如圖，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】如圖，作，垂足為H，然后根據三角函數的定義即可可解答．
【詳解】解：如圖，作，垂足為H，
在中，，即，
在中，，即，
所以．
故答案為．
【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握三角函數的定義是解題的關鍵．
42．（2023·江蘇鹽城·一模）定義：如果三角形的一個內角是另一個內角的2倍，那么稱這個三角形為“倍角三角形”．若是“倍角三角形”，，，則的長為 ．
【答案】1或或3
【分析】分；；；四種情況求解即可．
【詳解】解：由題意知，分；；；四種情況求解：
①當時，則，
∴，
∴；
②當時，同①可得；
③當時，
∵，
∴，，
∴，
∴；
④當時，
∵，
∴，，
∴，
∴；
綜上所述，的長為1或或3；
故答案為1或或3．
【點睛】本題考查三角形內角和定理，正切等知識，解題的關鍵在于正確理解“倍角三角形”的概念，并分類討論．
43．（2024·江蘇常州·一模）我們給出定義：如果兩個銳角的和為，那么稱這兩個角互為半余角．如圖，在中，，互為半余角，且，則 ．
【答案】
【分析】要求tanA的值，想到構造直角三角形，根據已知可得∠ACB的補角為45°，所以過點B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，分別在Rt△CDB和Rt△ABD中利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．
【詳解】解：過點B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，如圖所示，
∵，
∴設，，
∵，互為半余角，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
故答案為：
【點睛】本題考查了余角和補角，解直角三角形，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
44．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）數學活動課上，指導老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．同時老師還給出如下幾個問題，請同學們幫忙解決：
(1)如圖1，在平面直角坐標系中，小正方形的邊長均為1，已知A、B、C、D在格點（小正方形的頂點）上，且以、為邊的四邊形是對等四邊形，則頂點D的坐標為______；
(2)如圖2，在圓內接四邊形中，是的直徑，．求證：四邊形是對等四邊形；
(3)如圖3，在中，，，，點A為中點，動點D從點P出發，沿以1/秒的速度向終點C運動．設運動時間為t秒，若四邊形是對等四邊形時，求t的值．
【答案】(1)或或；
(2)見解析
(3)若四邊形是對等四邊形時， t的值為或或．
【分析】（1）根據對等四邊形的定義，進行畫圖即可解題；
（2）根據對等四邊形的定義，利用弧、弦、圓心角的關系，即可解答；
（3）根據對等四邊形的定義，分兩種情況討論：①若；②若，此時點D在、的位置；利用勾股定理和解直角三角形，求出相關相關線段的長度，即可解答．
【詳解】（1）解：由有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．
分以下兩種情況討論，
當時，如下圖所示：
由圖知，點D的坐標為或；
當時，如圖所示：
由圖知，點D的坐標為，
綜上所述，點D的坐標為或或；
故答案為：或或．
（2）證明：，
，
，
，
，
由題知，
四邊形是對等四邊形．
（3）解：在中，，，，
，
，
點A為中點，
，
四邊形是對等四邊形，
分以下兩種情況討論，
①若，
，
，
動點D從點P出發，沿以1/秒的速度向終點C運動．
秒；
②若，
過點A分別作，，垂足為E，F，
，
設，則，
，解得或（舍去），
，，
當在點處時，，
，
秒；
當在點處時，同理可得，
秒；
綜上所述，若四邊形是對等四邊形時， t的值為或或．
【點睛】本題主要考查了對等四邊形的定義，弧、弦、圓心角的關系，坐標與圖形，勾股定理和解直角三角形，解題的關鍵是理解并能運用“對等四邊形”這個概念．注意分類討論思想的應用和勾股定理的應用．
45．（2023·江蘇泰州·三模）【概念認識】定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．
（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對角線與交于點E，若，，，則的長度＝______cm．
【數學理解】（2）在探究如何畫“圓內接垂等四邊形”的活動中，小李想到可以利用八年級的所學三角形全等．如圖2，在中，已知是弦，是半徑，求作：的內接垂等四邊形．（要求：尺規作圖，不寫作法，保留痕跡）
【問題解決】（3）如圖3，已知A是上一定點，B為上一動點，以為一邊作出的內接垂等四邊形（A、B不重合且A、B、O三點不共線），對角線與交于點E，的半徑為，當點E到的距離為時，求弦的長度．

【答案】【概念認識】；【數學理解】見解析；【問題解決】或
【分析】（1）根據垂等四邊形的定義列式求解即可；
（2）作，分別交于點D、C，即可得到垂等四邊形；
（3）連接，由（2）可得等腰，從而求出，作，根據條件證明，利用相似三角形的性質可求設，作，證明即可求出．
【詳解】（1）解：由垂等四邊形的定義得，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：作，分別交于點D、C，即可得到垂等四邊形， 如圖，

以點O為圓心，長為半徑畫弧，交于點，分別以點A、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，
以點O為圓心，長為半徑畫弧，交于點，分別以點B、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點C，
連接，四邊形即為所求的垂等四邊形；
（3）解：連接，由（2）可得等腰，

∴，
作，
∴，，
∵四邊形是垂等四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半徑為，
∴，
∴，
設，則，
∵，
∴，
解得：或3，
∴或3，
∵，
∴或，
作，
∵
∴，
∴，
∴ 或，
∴或；
【點睛】本題主要考查了圓的綜合應用，結合相似三角形的判定與性質、三角函數的應用和四邊形綜合知識的計算，正確作出輔助線是解題的關鍵．
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