資源簡介

熱點必刷題03 圖形的變化類選填壓軸題（翻折、旋轉(zhuǎn)、平移、最值等）
題型一 選填壓軸題之翻折問題 2
題型二 選填壓軸題之旋轉(zhuǎn)問題 14
題型三 選填壓軸題之平移問題 26
題型四 選填壓軸題之軸對稱問題 38
題型五 選填壓軸題之最值問題（含隱圓） 52
題型六 選填壓軸題之相似問題 65
題型七 選填壓軸題之三角函數(shù)問題 76
題型八 選填壓軸題綜合 89
題型一 選填壓軸題之翻折問題
1．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為2，M是的中點，將四邊形沿翻折得到四邊形，連接，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了正方形與折疊問題，求角的正弦值，勾股定理，等角對等邊等等，延長交于G，過點D作于G，先證明得到，設(shè)，則，由勾股定理建立方程，解得，則，利用面積法求出，則，由折疊的性質(zhì)可得，則，可得，則，證明，得到，即可得到．
【詳解】解：如圖所示，延長交于G，過點D作于G，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，
∴，
∴，
∵點M是的中點，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，
∴，
∴，
∴，
由折疊性質(zhì)可得，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
2．（22-23九年級下·江蘇無錫·期中）已知在平行四邊形中， ，，點E在上，，將沿翻折到，連接，則的長為（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】過點B作交延長線于點G，過點E作于點H，先證明是等腰直角三角形，可得，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理可得， ，從而得到，再由折疊的性質(zhì)可得，，再結(jié)合，可得，從而得到是等腰直角三角形，可求出，，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點B作交延長線于點G，過點E作于點H，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵將沿翻折到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊，作適當(dāng)輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·江蘇宿遷·一模）如圖，在矩形中，，，先將沿翻折到處，再將沿翻折到處，延長交于點，則的長為 ．
【答案】
【分析】過點作的延長線于點，設(shè)與交于點，根據(jù)矩形性質(zhì)和翻折性質(zhì)，設(shè)，，利用勾股定理求出的值，證明，求出，然后證明，得，再由，得，求出，，證明，對應(yīng)邊成比例即可求出的長．
【詳解】解：如圖，過點作的延長線于點，設(shè)與交于點，
四邊形是矩形，
，，，
，
由翻折可知：，
，
，
由翻折可知：，，
，
，
設(shè)，
，
在中，根據(jù)勾股定理得：
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題是相似形的綜合題，難度大，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造相似三角形．
4．（2024·江蘇南京·三模）如圖，在正方形中，是邊上的一點，將沿翻折，得到，若是等腰三角形，則等于 ．
【答案】或．
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的定義，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由正方形可得，，由折疊可得，，由等腰三角形可得或，分兩種情況解答即可求解，運用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形為正方形，
∴，，
由折疊可得，，，
∵是等腰三角形，
∴或，
當(dāng)時，則，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)時，過點作于，延長交于，
∵，，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴等于或，
故答案為：或．
5．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，已知，等邊中，，將沿翻折，得到，連接，交于O點，E點在上，且，F(xiàn)是的中點，P是上的一個動點，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】由折疊可證四邊形為菱形，是邊上的中線，如圖，連接，交于，是邊上的中線，的角平分線，則，，，由，可得，則，，，可知當(dāng)點P運動到點A時，最大，最大為，勾股定理求，則，計算求解即可．
【詳解】解：為等邊三角形，，
，
將沿翻折，得到，
，
四邊形為菱形，
∴，，，
∴是邊上的中線，
如圖，連接，交于，
∵F是的中點，
∴是邊上的中線，的角平分線，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴當(dāng)點P運動到點A時，最大，最大為，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形等知識．根據(jù)題意確定最大值的情況是解題的關(guān)鍵．
6．（2024·四川成都·二模）如圖，矩形中，，點E是的中點，點F是邊上一動點．將沿著翻折，使得點B落在點處，若點P是矩形內(nèi)一動點，連接，則的最小值為 ．

【答案】/
【分析】本題考查了圖形的折疊與旋轉(zhuǎn)，兩點之間線段最短的應(yīng)用，勾股定理等知識點，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，連接，由等腰三角形得出，再由折疊得出點的軌跡在以點E為圓心，為半徑的圓周上，所以的最小值為，即的最小值為，經(jīng)計算得出答案即可，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)及圖形的折疊對稱的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
【詳解】將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，連接，
則三點共線，，
∴，
∴，
∵點E是的中點，
∴，
∵，
∴，
由折疊成，
∴，
∴點在以點E為圓心，為半徑的圓上，
∴，
∵兩點間線段最短，
∴，
即，
∴，
∴，
則的最小值為，
故答案為：．
題型二 選填壓軸題之旋轉(zhuǎn)問題
7．（2024·安徽淮南·二模）如圖，在中，，，，點D是斜邊上的動點，將線段繞點B旋轉(zhuǎn)至，連接，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，正確找出當(dāng)?shù)闹底钚r，點的位置是解題關(guān)鍵．
過點作于點，過點作于點，先確定出當(dāng)點三點共線時，最小，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理可得，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，然后解直角三角形可得，從而可得，利用勾股定理可得，則，最后根據(jù)三角形的面積公式可得，由此即可得出答案．
【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，
∵，
則當(dāng)點三點共線時，，此時最小，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
∴是等邊三角形，
∴點是的中點，，
∴，
又∵，點是的中點，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即的最小值為，
故選：C．
8．（2024·江蘇常州·二模）如圖，在中，，，．將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，邊上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為Q，連接，，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，化為最簡二次根式，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．
如圖，作關(guān)于直線的對稱點，連接，過作于，由，當(dāng)三點共線時，最小，再進一步利用勾股定理可得答案．
【詳解】解：如圖，作關(guān)于直線的對稱點，連接，過作于，
∴，共線，，
由旋轉(zhuǎn)可得：，，
∴，
當(dāng)三點共線時，最小，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值是；
故選B
9．（2024·江蘇徐州·二模）如圖，和是以點為直角頂點的等腰直角三角形，且，分別作射線、，它們交于點．以點為旋轉(zhuǎn)中心，將按順時針方向旋轉(zhuǎn)，若的長為2，則面積的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．
先證明，則，推出，由題意知，E在以A為圓心，2為半徑的圓上運動，如圖，當(dāng)在下方且與相切時，線段最短，面積的最小；再證明四邊形是正方形，則，由勾股定理得，，則，最后根據(jù)三角形的面積公式計算即可．
【詳解】解：∵和是以點A為直角頂點的等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
如圖：由題意知，E在以A為圓心，2為半徑的圓上運動，
∵，
∴當(dāng)在下方且與相切時，點M到距離最小，面積的最小
∵，
∴四邊形是矩形，
∵
∴四邊形是正方形，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴．
故選：A．
10．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，，，點E是三角形內(nèi)部一點，且滿足，則點E在運動過程中所形成的圖形的長為 ．
【答案】/
【分析】將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，連接，過點A作，過點O作，先證明，推出點E的運動軌跡為圓弧，再求得圓心角，然后按照弧長公式計算即可．
【詳解】解：作的外接圓O，交于一點G，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，連接，過點A作，過點O作，如圖：
由旋轉(zhuǎn)可知：，，，
，
在中，；
在中，；
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
點E在運動過程中所形成的圖形的長為
故答案為：
【點睛】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)與弧長的計算等知識點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．
11．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，正方形的邊長為2，點是邊上的動點，連接、，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的取值范圍為 ．
【答案】/
【分析】本題是正方形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，不等式的性質(zhì)等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，作于點，可證得，得出，，同理：，，得出，再證得四邊形是矩形，得出，，，再運用勾股定理即可求得答案．
【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，作于點，
則，
由旋轉(zhuǎn)得：，，，
，，
，，
，，
正方形的邊長為2，點是邊上的動點，
設(shè)，則，
，，
在和中，
，
，
，，
同理：，，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
，
即，
，
線段的取值范圍為．
故答案為：．
12．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，已知與中，，，，將繞著點旋轉(zhuǎn)，連接、、，分別取，，的中點，，，連接，在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，面積的最大值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了中位線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，先得出，進而得出，則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到最大值，即可求解．
【詳解】解：∵與中，，，，
∴，
∴
∴
∴,
設(shè)
∴，
∴
延長交于點，則
∵，，的中點，，，
∴，，
∴，
∴
又∵
∴
∴，
∴當(dāng)最大時，即最大，的面積最大，
∵繞點旋轉(zhuǎn)，
∴當(dāng)時，取得最大值為，
∴
故答案為：．
題型三 選填壓軸題之平移問題
13．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面內(nèi)，線段，為線段上的動點，三角板的邊所在的直線與線段垂直相交于點，且滿足．若點沿方向從點運動到點，則點運動的路徑長為（ ）
A．9 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，根據(jù)三角板的邊所在的直線與線段垂直相交于點，且滿足，判斷出三角板平移的角度，要求的路徑長，只需要轉(zhuǎn)化為求的路徑長，而，主動點的運動路徑即是線段，由此可求出從動點的路徑長．
【詳解】解： 三角板的邊所在的直線與線段垂直相交于點，且滿足，
，
，
當(dāng)點沿方向從點運動到點，點的運動軌跡必須保證，因此三角板的運動軌跡如圖所示，
要求點運動的路徑，根據(jù)平移的性質(zhì)，，
，
在中，
，又，
．
　點運動的路徑長為．
故選：D．
14．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，四邊形是邊長為4的菱形，，將沿著對角線平移到，在移動過程中，與交于點，連接、、．則下列結(jié)論：
①；
②當(dāng)時，；
③當(dāng)時，的長為；
④的面積最大值為．
其中正確的為（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，解一元二次方程．證明四邊形是平行四邊形，都是等邊三角形，即可判斷①；利用三角形內(nèi)角和定理，通過計算即可判斷②；設(shè)，證明，得到關(guān)于的一元二次方程，解方程即可判斷③；設(shè)，利用，得到關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．
【詳解】解：連接，
∵四邊形是邊長為4的菱形，，
∴和都是等邊三角形，
∴，
由平移的性質(zhì)得，四邊形是平行四邊形，
∴，，，，
∴都是等邊三角形，
∴，
∴，①正確；
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，②正確；
設(shè)，則，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得，解得，
∴，③錯誤；
作于點，于點，
設(shè)，則，，
∴，，
∴等邊、、的高都是，
∴，，
，
，
，，
∵，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，
④正確．
綜上，①②④正確，
故選：D．
15．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，在矩形中，，，將矩形沿對角線剪開，得到與，將沿方向平移得到，連接、，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】由，可得，如圖，連接，，由平移的性質(zhì)可知，，，，可知在直線上運動，四邊形是平行四邊形，則，如圖，作關(guān)于直線的對稱點，連接交于，交于，連接，，，則，，，，由，可知當(dāng)三點共線時，最小為， ，由，可知，即三點共線，則，，根據(jù)，求解作答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
如圖，連接，，
由平移的性質(zhì)可知，，，，
∴在直線上運動，四邊形是平行四邊形，
∴，
如圖，作關(guān)于直線的對稱點，連接交于，交于，連接，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴當(dāng)三點共線時，最小為，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴三點共線，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了正切，勾股定理，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識．熟練掌握正切，勾股定理，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，已知矩形，，，、分別是邊、上的動點，且，將沿著方向向右平移到，連接、，當(dāng)時，長是 ；運動過程中，的面積的最小值是 ．

【答案】 /
【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．結(jié)合圖形，由已知先證明為正方形，設(shè)，則，求出的長，進而求出；由得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的面積的最小值．
【詳解】解：連接，如圖所示：
，
，，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
，
四邊形為正方形，
，
設(shè)，則，
，
，
，解得，
，
，
；
，
，
的面積的最小值是，
故答案為：，．
17．（2024·江蘇徐州·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)是，點B的坐標(biāo)是，長為2的線段在y軸上移動，則的最小值是 ．

【答案】
【分析】此題主要考查平移的性質(zhì)，勾股定理；將把向下平移2個單位長度得到線段，連接，則，進而得出的最小值為長，即可求解答案．
【詳解】解：如圖，把向下平移2個單位長度得到線段，連接，則，

∴，
∵，
∴的最小值為．
故答案為：．
18．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，將向右平移到的位置，點依次與點對應(yīng)點，是的中點，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，則的值是（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、求反比例函數(shù)解析式、三角形中位線定理、平移的性質(zhì)，由題意得，，由平移的性質(zhì)可得：，，，，證明四邊形為矩形得出，過點作軸于點，軸于點，過點作軸于，則四邊形是矩形，得到，，設(shè)，求出，得出，求出的值，即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，
∴，，
由平移的性質(zhì)可得：，，，，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，
過點作軸于點，軸于點，過點作軸于，如圖所示，

則，
∴四邊形是矩形，
∴，，
設(shè)，
∴，
∵為的中點，軸，軸，
∴
∵
∴
∴
∴為的中位線，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故選：B．
題型四 選填壓軸題之軸對稱問題
19．（2024·江蘇揚州·三模）如圖，在正方形中，，點E是邊的中點，點P是直線上的動點（點P不與點C重合），將沿所在的直線翻折，得到，作點F關(guān)于對角線的對稱點，連接，，若為等腰三角形時，則線段的長為（ ）
A．1 B．1或4 C．1或2 D．1或2或4
【答案】D
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)分三種情況：當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別求解即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，，
取的中點，連接，，
∴，
∵點是邊的中點，
∴，
∴，
∵是正方形的對角線，
∴，，
∴點、關(guān)于直線對稱，
∵點、關(guān)于直線對稱，，
∴，
∴點在以點為圓心，為直徑的圓上運動，
當(dāng)時，點在線段的垂直平分線上，
此時可得點與點重合，點與點重合，
故；
②當(dāng)時，連接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得：，
∴，
∴，
∴點、、共線，
∵點、關(guān)于直線對稱，
∴，
設(shè)，則，，
由勾股定理可得：，即，
解得：，即；
③當(dāng)時，連接，
同②可證，
∴，
連接，，故點、，點、，點、分別關(guān)于直線對稱，
∴與關(guān)于直線對稱，
∴，
∴，
∵，點在上，
∴點與點重合，
∴；
綜上所述，的長為或或，
故選：D．
20．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）正方形的邊長為2，點P在射線上，連結(jié)、，點M、N分別為、的中點，連結(jié)交于點Q，點與點P關(guān)于直線對稱，且在線段上，連接，若點Q恰好在直線上，則的長是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延長，交于點E，利用正方形的性質(zhì)即可證明，有，則有，進一步證得，，有，結(jié)合對稱性得，即可求得．
【詳解】解：如圖，延長，交于點E，
∵四邊形為正方形，
∴，
∴，
∵N為的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形的邊長為2，點M為的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵點與點P關(guān)于直線對稱，，
∴，
則．
故選：D．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及對稱性，解題的關(guān)鍵是做輔助線和三角形性質(zhì)之間的轉(zhuǎn)化求解．
21．（2024·江蘇無錫·二模）在中，，將平行四邊形沿對角線翻折，點落在同一平面內(nèi)的點處，且點與點不重合，設(shè)點到邊的距離分別為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形三邊性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，過點作的延長線于點，交的延長線于點，則，連接，利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可證，得到，進而得，由此可得，得到，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，得到，，即可得，又由得，根據(jù)三角形三邊性質(zhì)得，，又證明，得，即得，當(dāng)點在的延長線時，，得，即可得到，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，過點作的延長線于點，交的延長線于點，則，連接，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，，，
∴，，
由折疊得，，，，，，
∴，，，，，
即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
當(dāng)點在的延長線時，，
∴，
∴，
故選：．
22．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，垂足為，點P、Q分別在上，則最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題，利用最小值的常規(guī)解法確定出的對稱點，從而確定出的最小值的位置是解題的關(guān)鍵，利用條件證明是等邊三角形，借助幾何圖形的性質(zhì)可以減少復(fù)雜的計算．
已知，因此證明，表示出的長，在中，運用勾股定理求出的長，再運用勾股定理或求三角形的面積法求出的長．根據(jù)兩點之間線段最短，添加輔助線將和轉(zhuǎn)化到同一條線段上，因此作A點關(guān)于的對稱點為，連接，可證得是等邊三角形，由垂線段最短可知當(dāng)時，最小，即可求出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)，則，
∵四邊形為矩形，且，
，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
∴，，，
∴，
如圖，設(shè)A點關(guān)于的對稱點為，連接，
則，
∴是等邊三角形，
∴，
∴當(dāng)三點在一條線上時，最小，
又垂線段最短可知當(dāng)時，最小，
∴，
故答案是：．
23．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，點E、F分別是線段、上的動點，且，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查軸對稱的性質(zhì)，勾股定理矩形的判定與相似三角形知識，并建立平面直角坐標(biāo)系，求出是的最小值是解題的關(guān)鍵，過E點作于點H，得到,,從而求出，
方法一：延長到點，使得,并連接,過H點，作∥,可得,故當(dāng)三點共線時最短，最小值為,從而即可求出線段和的最小值；
方法二：再建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè),則,由勾股定理求出，并把求最小值轉(zhuǎn)化為在x軸上找一點，使其到兩點的最小距離，由軸對稱即勾股定理即可求解.
【詳解】解：過E點作于點H，
∴,
∵,
∴,
在矩形中，∥,，，，
∴,,,
∴,
又,
∴,
∴,
即,解得：,
方法一：如圖，延長到點，使得,并連接,過H點，作∥,
∵,∥,∥,
可知四邊形,四邊形都是平行四邊形，
∴,
∴,
故當(dāng)三點共線時最短，最小值為,
方法二：如圖，建立直角坐標(biāo)系，則
設(shè),則,
∴,
∴,
其中可以看作是點到兩點的距離，則求最小值就可以轉(zhuǎn)化為，在x軸上找一點，使其到兩點的最小距離，
且關(guān)于x軸的對稱點為,
故答案是：．
24．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，在四邊形中，，，，點在邊上，將紙片沿折疊，點落在處，，垂足為，若，，則

【答案】
【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、解直角三角形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過點E作于點H，設(shè)，在中，利用，即可求出x的值，已知，，由折疊可知，設(shè)，在中，利用即可求m的值，進而也可求出．
【詳解】解：如圖，過點E作于點H，

設(shè)，
由折疊可知，則，
在中，
，
解得，
即，
，，
，
由折疊可知，
，
是等腰直角三角形，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得，
，
，
故答案為：．
題型五 選填壓軸題之最值問題（含隱圓）
25．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形中，，與邊、對角線均相切，過點作的切線，切點為，則切線長的最小值為（ ）
A．6 B．7 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．設(shè)與、分別相切于點G、H，連接、、、，連接并延長交于E，過點E作于F，過點O作于K，設(shè)，則，可證得，得出，即，求得，再運用勾股定理可得，故當(dāng)時，．
【詳解】設(shè)與、分別相切于點G、H，連接、、、，連接并延長交于E，過點E作于F，過點O作于K，如圖，
則，，
，，，
平分，
，
四邊形是矩形，
，，，
，，
平分，，，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，，
，
，即，
，
，，
，
設(shè)的半徑為r，則，
，，
，
，即，
，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
是的切線，
，
，
當(dāng)時，．
故選：D．
26．（2024·江蘇揚州·一模）如圖，一塊四邊形材料，，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓半徑與三角形的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造三角形用等面積法是解題的關(guān)鍵．延長交延長線于，當(dāng)這個圓是的內(nèi)切圓時，此圓的面積最大，構(gòu)造三角形，通過等面積法求解即可．
【詳解】解：延長交延長線于
，，
，
，即，
解得，
，
在中，，
，
設(shè)這個圓的圓心為，與分別相切于，
，
，
，
，
，
即，
解得，
故選：B．
27．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）在中，，，點P在射線上，過P分別作所在的直線于點F，作所在的直線于點H，連接，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查圓周角定理，解直角三角形，添加合適的輔助線，構(gòu)造四點共圓是解題的關(guān)鍵．連接，結(jié)合題意可知、、、四點共圓，為直徑，取中點為，即點為圓心，進而可知，由垂線段最短，當(dāng)時，最小，則取得最小值，進而即可求解．
【詳解】解：連接，
∵，，
∴、、、四點共圓，為直徑，取中點為，即點為圓心，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴點最小時，取得最小值，
由垂線段最短，當(dāng)時，最小，則取得最小值，
此時，
∴的最小值為，
故答案為：．
28．（2021·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形中，與相交于點E，，將沿折疊，點A的對應(yīng)點為F，連接交于點G，且，在邊上有一點H，使得的值最小，此時 ．
【答案】
【分析】首先證明，從而得到，，，再證明△ADF為等邊三角形得到△CDF≌△BAF從而求出FC的長，E點關(guān)于AD的對稱點E ，連接B E 與AD交于H，求出BH的長即可得到答案.
【詳解】解：設(shè)BD與AF交于M，AB=a，則AD=
∵四邊形ADCD是矩形
∴∠DAB=90°，
∴，∠ABD=60°
∴△ABE，△CDE都是等邊三角形
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a
∵將△ABD沿BD折疊，A的對應(yīng)點為F
∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=
∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2
∴，
∴
∵在矩形ABCD中，BC∥AB
∴
∴即
∴
∴，，
∵∠GBM+ABM=90°=∠BAM+∠ABM
∴∠BAM=∠GBM=30°
∴
∴
又∵∠ADF=90°-∠BAM=60°
∴△ADF為等邊三角形
∴FD=FA，∠ADF=60°
∴∠CDF=30°
∴△CDF≌△BAF
∴FC=BF=
如圖作E點關(guān)于AD的對稱點E ，連接B E 與AD交于H，連接EH，此時EH+BH的值最小
∴EN= E N
∵∠BAD=END=90°，E為BD的中點
∴AB∥EE
∴EN為三角形ABD的中位線，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故答案為：
【點睛】本題主要考查了勾股定理，矩形與折疊，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.
29．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，已知拋物線的對稱軸為，過其頂點的一條直線與該拋物線的另一個交點為，要在坐標(biāo)軸上找一點，使得的周長最小，則點的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】首先利用待定系數(shù)法確定該拋物線解析式，進而確定拋物線頂點的坐標(biāo)；結(jié)合的長度，且是定值，故只需取最小值，即可使得的周長最小．過點作關(guān)于軸和軸對稱的點，分別計算兩種情況下的周長再取最小值即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，拋物線的對稱軸為，且經(jīng)過點，
則有，解得，
∴該拋物線的解析式為，
∵，
∴該拋物線頂點的坐標(biāo)為，
∵的長度，且是定值，所以只需取最小值，即可使得的周長最小，
如圖1，過點作關(guān)于軸對稱的點，連接，與軸的交點即為所求的點，
則，，
設(shè)直線的解析式為，
將點和點代入，
可得，解得，
故該直線的解析式為，
當(dāng)時，，即，
∵，
且，
∴此時的周長；
同理，如圖2，過點作關(guān)于軸對稱的點，連接，與軸的交點即為所求的點，
則，
設(shè)直線的解析式為，
將點和點代入，
可得，解得，
故該直線的解析式為，
當(dāng)時，，即，
∵，
且，
∴此時的周長；
∵，
∴，
∴點在軸上時，的周長最小，此時點的坐標(biāo)是．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是分類討論，避免遺漏．
30．（2024·江蘇鹽城·一模）在中，，，D為邊BC上一點，當(dāng)最大時，連接AD并延長至點E，使，則的最大值為 ．
【答案】32
【分析】以為圓心，為半徑畫圓，得到當(dāng)時，最大；設(shè)，則，過點作于點，利用等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)得到與的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)，，兩條邊為定值，以為圓心，為半徑畫圓，如圖，
由圖形可知，當(dāng)與相切時，最大，此時．
設(shè)，則．
過點作于點，
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時，即時，有最大值為32．
故答案為：32．
【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用圓的有關(guān)性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．
題型六 選填壓軸題之相似問題
31．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖所示，在矩形中，F(xiàn)是上一點，平分交于點E，且，垂足為點M，，，則的長是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定以及相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵在于利用三角形相似構(gòu)造方程求得對應(yīng)邊的長度．
根據(jù)已知證，利用勾股定理求出的長，再證明，得出，然后證明，得出對應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于a、x的方程，求解即可．
【詳解】解：∵平分交于點E，且，
，
∴，
又∵，
∴，
設(shè)，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故選：D．
32．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）正方形對角線交于O，點E和F分別在和延長線上，且，連結(jié)，其中與和交于點G和M，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】證明，則，，，如圖，作于，于，證明，則，，證明，則，設(shè)，，則，，，，，證明，則，即，根據(jù)，求解作答即可．
【詳解】解：∵正方形，
∴，，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，即，
如圖，作于，于，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
設(shè)，，
∴，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)， 正切等知識．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)， 正切是解題的關(guān)鍵．
33．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，B為x軸正半軸上的動點，以為邊在第一象限內(nèi)作使得，，連接，則長的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】過點作，交過點平行于軸的直線于點，證明，得到，進而求出的長，取的中點，連接，斜邊上的中線求出的長，勾股定理求出，根據(jù)，進行求解即可．
【詳解】解：過點作，交過點平行于軸的直線于點，
則：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
取的中點，連接，則：，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得：；
∵，
∴長的最大值為8；
故選C．
【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，勾股定理，斜邊上的中線，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵．
34．（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，，．若，且，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；添加輔助線，證明是解題的關(guān)鍵；首先將條件轉(zhuǎn)化成線段和角度關(guān)系，由，很容易找到，再根據(jù)這個相似結(jié)論證出，多組相似轉(zhuǎn)化，再利用勾股定理建立方程，求出未知數(shù)．
【詳解】解：延長，交于點，
，
，
，，
，即，
，
，，
為中點，
，
，
，
，
為中點，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，
，
解得，
．
35．（2025·江蘇無錫·一模）如圖，在矩形中，，，點在上，，若、分別為邊與上兩個動點，線段始終滿足與垂直且垂足為，則的最小值 ．
【答案】
【分析】過點作于點．利用相似三角形的性質(zhì)求出，設(shè)，則，，，求的最小值，相當(dāng)于在軸上找一點，使得點到，的距離和最小，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，則，由，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，過點作于點．
四邊形是矩形，
，，，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，
，
欲求的最小值，相當(dāng)于在軸上找一點，使得點到，的距離和最小，如圖1中，
作點關(guān)于軸的對稱點，連接，
，，
，
，當(dāng)、M、J共線時取等號，
的最小值為，
的最小值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，軸對稱最短問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點坐標(biāo)距離公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
36．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，分別以點C、A為圓心，以2和3為半徑作弧，兩弧交于點D（點D在的左側(cè)），連接，則的最大值為 ．

【答案】
【分析】此題是一個綜合性很強的題目，主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造．
作，且，連接，證明，求出，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，當(dāng)、、在同一直線上時取最大值，進而可以解決問題．
【詳解】解：，則，
設(shè)，
由，可得，
∴，
作，且，
連接，

由可知，，
∵，即，
∴，
∴，即，則：，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
，
，
，
由題意可知，，
當(dāng)、、在同一直線上時取等號，即：的最大值為：，
故答案為：．
題型七 選填壓軸題之三角函數(shù)問題
37．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長，點為平面內(nèi)一動點，且，點為上一點，，連接、，當(dāng)線段的長最小時，三角形的面積是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)及應(yīng)用，涉及三角形面積，動點問題，圓的定義，正弦函數(shù)．由，知的軌跡是以為圓心，4為半徑的，故當(dāng)在線段上時，最小，過作于，可得，，根據(jù)，即得，從而可得答案．
【詳解】，
的軌跡是以為圓心，4為半徑的，
當(dāng)在線段上時，最小，過作于，如圖：
，，
，
，
，
，
，
故選：A．
38．（2024·浙江紹興·二模）如圖，在中，，，點是的中點，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，交于點，交于點，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的計算方法，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計算方法，合理構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．
過點作于點，過點作于點，可證，可得，再證，可得，設(shè)，則，，，，
，在中，運用勾股定理可得，根據(jù)等面積法，可求出的值，在中，可求出的值，再根據(jù)正切值的計算方法即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，過點作于點，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵點是中點，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴設(shè)，則，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故選：D ．
39．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，連接，過點作，交的延長線于點．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖，過作于，證明，由，即，可得，證明，可得，設(shè)，則，可得，，再利用正切的定義可得答案．
【詳解】解：如圖，過作于，

∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選A
【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
40．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在四邊形中，，，，若線段在邊上運動，且，則的最小值是（ ）

A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】過點C作，過點B作，需使最小，顯然要使得和越小越好，則點F在線段的之間，設(shè)，則，求得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】解：過點C作，

∵，，
∴，
過點B作，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
需使最小，顯然要使得和越小越好，
∴顯然點F在線段的之間，
設(shè)，則，
∴，
∴當(dāng)時取得最小值為．
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，利用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
41．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）如圖，菱形中，，點M，點N分別是邊上的點，且交于點E，如果點F是的中點，那么 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了菱形與三角形綜合．熟練掌握菱形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，是解題的關(guān)鍵．
連接，并延長交于一點Q，根據(jù)菱形性質(zhì)證明為等邊三角形，結(jié)合，得到，得到，得到，根據(jù)問題是一個定值，可化一般情況為特殊情況，點M，點N分別是邊上的中點，得到點E為等邊的重心，得到，Q為中點，得到，，，得到，得到，得到，得到，得到是等邊三角形，推出，即得．
【詳解】解：連接，并延長交于點Q，
∵四邊形為菱形，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)問題是一個定值，因此化一般情況為特殊情況，
則點M，點N分別是邊上的中點，
∴點E為等邊的重心，
∴，Q為中點，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵點F是的中點，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
42．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在四邊形中，，．記，．若，，則的長為 ．

【答案】/
【分析】本題考查了三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，過點作于，作的角平分線交于，過點作于，由題意可得，，，由得到，再證明，得到，，進而得到，由可得，求得，，再勾股定理可得，，，得到，由求出，再利用勾股定理即可求出的長，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過點作于，作的角平分線交于，過點作于，則，

∵，，，
∴，，，
∵平分，
∴，
設(shè)，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
若，則，
∴不符合題意，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
題型八 選填壓軸題綜合
43．（2024·江蘇宿遷·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A、B的坐標(biāo)分別、．以為斜邊在右上方作．設(shè)點坐標(biāo)為，則的最大值為 ．
【答案】9
【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解直角三角形，直線與圓的位置關(guān)系，求的最大值，就是求的最大值是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意先求出長，為直徑的圓的變徑長，分析發(fā)現(xiàn)點的軌跡是以為直徑，上方的圓弧上運動，設(shè)直線，，整理得：，直線與軸的交點坐標(biāo)為，當(dāng)直線與圓相切時，取到最大值，畫出相切時的示意圖，利用得到，解出值即可．
【詳解】解：設(shè)直線的解析式為，
把、代入，得
，解得：，
∴直線的解析式為，
、，
，
線段的中點坐標(biāo)為，
以為斜邊在右上方作，點，
點的軌跡是以為直徑，上方的圓弧上運動，
∵以為斜邊在右上方作．
∴點C在第一象限，
，，
設(shè)直線，，
整理得：，
求的最大值，就是求的最大值，
直線與軸的交點坐標(biāo)為，
當(dāng)直線與圓相切時，取到最大值，此時t取得最大值，如圖所示，過點B作，
∵直線的解析式為，
∴
∵直線與圓相切
∴
∵
∴，
∴四邊形為矩形，
∴
∴
∵，
∴，
，
∵，
∴，，
∴
，，
，
解得，
的最大值是9．
故答案為：9．
44．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，直線與相切于點A，點C為上一動點，過點C作，垂足為B，已知的半徑為，則的最大值為 ．
【答案】/
【分析】過點A作直線，交的延長線于點D，交于點N，且，則即，從而把轉(zhuǎn)化為，過點C作于點H，結(jié)合，設(shè)，則，得到，繼而得到，即，把的最大值轉(zhuǎn)化為的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)解答即可．
【詳解】過點A作直線，交的延長線于點D，交于點N，且，
則即，
∴，
過點C作于點H，
∵，設(shè)，則，
∴，
∴，
即，
∵直徑是圓中最大的弦，
∴經(jīng)過圓心O時，的值是最大的，
∵直線與相切于點A，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半徑為，
∴，
∴，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，直徑是圓中最大的弦，解直角三角形的應(yīng)用計算，切線性質(zhì)，熟練掌握直徑是圓中最大的弦，解直角三角形的應(yīng)用計算，切線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
45．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為 ．
【答案】2
【分析】證明，則，，如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，連接，由勾股定理得，，如圖，在上取點使，則，連接，，證明，則，即，由，可得當(dāng)三點共線時，的值最小，為，如圖，作于，則，，，則，即，可得，即，由勾股定理得，，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：∵正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如圖，記的中點為，則在以為圓心，為直徑的圓上，
如圖，連接，
由勾股定理得，，
如圖，在上取點使，則，連接，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴當(dāng)三點共線時，的值最小，為，
如圖，作于，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
由勾股定理得，，
由勾股定理得，，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦等知識．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角所對的弦為直徑，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦是解題的關(guān)鍵．
46．（2024·江蘇連云港·三模）如圖，在以為直徑半圓上，，，點是弧上的一動點，，連接，則的長的最小值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了解直角三角形，求到圓上一點的最小距離，斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角函數(shù)，勾股定理，求得點的軌跡是解題的關(guān)鍵．
取中點，連接，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，進而解求得，即可求解．
【詳解】解：取中點，連接，如圖，
∵，，
∴，
即點在以為圓心，為半徑的圓上運動，
∵，
∴，
在中，，
∴的長最小是，
故答案為：．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)熱點必刷題03 圖形的變化類選填壓軸題（翻折、旋轉(zhuǎn)、平移、最值等）
題型一 選填壓軸題之翻折問題 2
題型二 選填壓軸題之旋轉(zhuǎn)問題 3
題型三 選填壓軸題之平移問題 5
題型四 選填壓軸題之軸對稱問題 8
題型五 選填壓軸題之最值問題（含隱圓） 10
題型六 選填壓軸題之相似問題 11
題型七 選填壓軸題之三角函數(shù)問題 13
題型八 選填壓軸題綜合 15
題型一 選填壓軸題之翻折問題
1．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為2，M是的中點，將四邊形沿翻折得到四邊形，連接，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23九年級下·江蘇無錫·期中）已知在平行四邊形中， ，，點E在上，，將沿翻折到，連接，則的長為（ ）
A． B． C． D．4
3．（2024·江蘇宿遷·一模）如圖，在矩形中，，，先將沿翻折到處，再將沿翻折到處，延長交于點，則的長為 ．
4．（2024·江蘇南京·三模）如圖，在正方形中，是邊上的一點，將沿翻折，得到，若是等腰三角形，則等于 ．
5．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，已知，等邊中，，將沿翻折，得到，連接，交于O點，E點在上，且，F(xiàn)是的中點，P是上的一個動點，則的最大值為 ．
6．（2024·四川成都·二模）如圖，矩形中，，點E是的中點，點F是邊上一動點．將沿著翻折，使得點B落在點處，若點P是矩形內(nèi)一動點，連接，則的最小值為 ．

題型二 選填壓軸題之旋轉(zhuǎn)問題
7．（2024·安徽淮南·二模）如圖，在中，，，，點D是斜邊上的動點，將線段繞點B旋轉(zhuǎn)至，連接，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·江蘇常州·二模）如圖，在中，，，．將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，邊上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為Q，連接，，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·江蘇徐州·二模）如圖，和是以點為直角頂點的等腰直角三角形，且，分別作射線、，它們交于點．以點為旋轉(zhuǎn)中心，將按順時針方向旋轉(zhuǎn)，若的長為2，則面積的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
10．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，，，點E是三角形內(nèi)部一點，且滿足，則點E在運動過程中所形成的圖形的長為 ．
11．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，正方形的邊長為2，點是邊上的動點，連接、，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的取值范圍為 ．
12．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，已知與中，，，，將繞著點旋轉(zhuǎn)，連接、、，分別取，，的中點，，，連接，在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，面積的最大值是 ．
題型三 選填壓軸題之平移問題
13．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，在平面內(nèi)，線段，為線段上的動點，三角板的邊所在的直線與線段垂直相交于點，且滿足．若點沿方向從點運動到點，則點運動的路徑長為（ ）
A．9 B．6 C． D．
14．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，四邊形是邊長為4的菱形，，將沿著對角線平移到，在移動過程中，與交于點，連接、、．則下列結(jié)論：
①；
②當(dāng)時，；
③當(dāng)時，的長為；
④的面積最大值為．
其中正確的為（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
15．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，在矩形中，，，將矩形沿對角線剪開，得到與，將沿方向平移得到，連接、，則的最小值為 ．
16．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，已知矩形，，，、分別是邊、上的動點，且，將沿著方向向右平移到，連接、，當(dāng)時，長是 ；運動過程中，的面積的最小值是 ．

17．（2024·江蘇徐州·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)是，點B的坐標(biāo)是，長為2的線段在y軸上移動，則的最小值是 ．

18．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是，將向右平移到的位置，點依次與點對應(yīng)點，是的中點，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，則的值是（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
題型四 選填壓軸題之軸對稱問題
19．（2024·江蘇揚州·三模）如圖，在正方形中，，點E是邊的中點，點P是直線上的動點（點P不與點C重合），將沿所在的直線翻折，得到，作點F關(guān)于對角線的對稱點，連接，，若為等腰三角形時，則線段的長為（ ）
A．1 B．1或4 C．1或2 D．1或2或4
20．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）正方形的邊長為2，點P在射線上，連結(jié)、，點M、N分別為、的中點，連結(jié)交于點Q，點與點P關(guān)于直線對稱，且在線段上，連接，若點Q恰好在直線上，則的長是（ ）．
A． B． C． D．
21．（2024·江蘇無錫·二模）在中，，將平行四邊形沿對角線翻折，點落在同一平面內(nèi)的點處，且點與點不重合，設(shè)點到邊的距離分別為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，垂足為，點P、Q分別在上，則最小值為 ．
23．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，點E、F分別是線段、上的動點，且，則的最小值為 ．
24．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，在四邊形中，，，，點在邊上，將紙片沿折疊，點落在處，，垂足為，若，，則

題型五 選填壓軸題之最值問題（含隱圓）
25．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形中，，與邊、對角線均相切，過點作的切線，切點為，則切線長的最小值為（ ）
A．6 B．7 C． D．
26．（2024·江蘇揚州·一模）如圖，一塊四邊形材料，，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（ ）

A． B． C． D．
27．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）在中，，，點P在射線上，過P分別作所在的直線于點F，作所在的直線于點H，連接，則的最小值為 ．
28．（2021·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形中，與相交于點E，，將沿折疊，點A的對應(yīng)點為F，連接交于點G，且，在邊上有一點H，使得的值最小，此時 ．
29．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，已知拋物線的對稱軸為，過其頂點的一條直線與該拋物線的另一個交點為，要在坐標(biāo)軸上找一點，使得的周長最小，則點的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C．或 D．或
30．（2024·江蘇鹽城·一模）在中，，，D為邊BC上一點，當(dāng)最大時，連接AD并延長至點E，使，則的最大值為 ．
題型六 選填壓軸題之相似問題
31．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖所示，在矩形中，F(xiàn)是上一點，平分交于點E，且，垂足為點M，，，則的長是（ ）
A． B． C．1 D．
32．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）正方形對角線交于O，點E和F分別在和延長線上，且，連結(jié)，其中與和交于點G和M，，則（ ）
A． B． C． D．
33．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，B為x軸正半軸上的動點，以為邊在第一象限內(nèi)作使得，，連接，則長的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
34．（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，，．若，且，則的長為 ．
35．（2025·江蘇無錫·一模）如圖，在矩形中，，，點在上，，若、分別為邊與上兩個動點，線段始終滿足與垂直且垂足為，則的最小值 ．
36．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，分別以點C、A為圓心，以2和3為半徑作弧，兩弧交于點D（點D在的左側(cè)），連接，則的最大值為 ．

題型七 選填壓軸題之三角函數(shù)問題
37．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長，點為平面內(nèi)一動點，且，點為上一點，，連接、，當(dāng)線段的長最小時，三角形的面積是（　　）

A． B． C． D．
38．（2024·浙江紹興·二模）如圖，在中，，，點是的中點，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，交于點，交于點，則的值是（ ）
A． B． C． D．
39．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，連接，過點作，交的延長線于點．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（ ）

A． B． C． D．
40．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在四邊形中，，，，若線段在邊上運動，且，則的最小值是（ ）

A． B． C． D．10
41．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）如圖，菱形中，，點M，點N分別是邊上的點，且交于點E，如果點F是的中點，那么 ．
42．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在四邊形中，，．記，．若，，則的長為 ．

題型八 選填壓軸題綜合
43．（2024·江蘇宿遷·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A、B的坐標(biāo)分別、．以為斜邊在右上方作．設(shè)點坐標(biāo)為，則的最大值為 ．
44．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，直線與相切于點A，點C為上一動點，過點C作，垂足為B，已知的半徑為，則的最大值為 ．
45．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，邊長為2的正方形中，E、F分別為上的動點，，連接交于點P，則的最小值為 ．
46．（2024·江蘇連云港·三模）如圖，在以為直徑半圓上，，，點是弧上的一動點，，連接，則的長的最小值是 ．
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