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熱點必刷題05 二次函數的綜合壓軸題
題型一 二次函數的圖象與各系數關系綜合 1
題型二 二次函數的圖象與性質綜合 15
題型三 二次函數圖象的平移綜合 28
題型四 二次函數與方程、不等式綜合 40
題型五 二次函數的含參應用題 54
題型六 二次函數的面積問題綜合（含定值） 72
題型七 二次函數的角度問題綜合 88
題型八 二次函數與相似三角形綜合 88
題型九 二次函數與三角函數綜合 88
題型十 二次函數的最值問題 88
題型十一 二次函數的存在性問題 88
題型十二 二次函數材料理解型問題 104
題型一 二次函數的圖象與各系數關系綜合
1．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）二次函數圖象如圖，下列結論：①；②；③當時，；④；⑤若，且，．其中正確的序號是（ ）
A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤
2．（2024·江蘇無錫·三模）在平面直角坐標系中有兩點、，若二次函數的圖象與線段只有一個交點，則（　　）
A．a的值可以是 B．a的值可以是
C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1
3．（24-25江蘇蘇州·階段練習）將二次函數的圖象在軸上方的部分沿軸翻折后，所得新函數的圖象如圖所示，當直線與新函數的圖象恰有3個公共點時，的值為 ．

4．（2024·江蘇揚州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線（其中、為常數）與軸分別交于點、兩點，點在點的左側，與軸交于點，且拋物線經過點、．
(1)若點的坐標為，
①_______，點的坐標為______；
②點是線段上方拋物線上的一動點，連接交于點，若，直接寫出點的橫坐標為_______；
(2)若，求證：．
題型二 二次函數的圖象與性質綜合
5．（2022·江蘇揚州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝與x軸的正半軸交于點A，B點為拋物線的頂點，C點為該p拋物線對稱軸上一點，則的最小值為（ ）
A． B．25 C．30 D．
6．（2024·江蘇揚州·一模）若關于x的方程的兩根，滿足，則二次函數的頂點縱坐標的最大值是 ．
7．（2023·江蘇無錫·三模）設O為坐標原點，點A、B為拋物線上的兩個動點，且．連接點A、B，過O作于點C，則點C到y軸距離的最大值為 ．
8．（2023·江蘇鹽城·二模）在平面直角坐標系 中，二次函數的圖像經過，兩點.
(1)當時，求線段的長及 h 的值；
(2)若點也在二次函數圖像上，且，
①求二次函數圖像與x 軸的另外一個交點的橫坐標 （用 h 表示） 以及 h 的取值范圍；
②若，求的面積；
③過點作 y 軸的垂線,與拋物線相交于 、兩點 （P 、Q 不重合） ，與直線交于點 ,是否存在一個 a 的值，使得恒為定值？若存在，請求出 a 的值；若不存在，請說明理由
題型三 二次函數圖象的平移綜合
9．（2025·江蘇鎮江·模擬預測）已知二次函數（a，b是常數，）的圖象經過三個點中的兩個點．平移該函數的圖象，使其頂點始終在直線上，則平移后與y軸交點縱坐標值最大的拋物線的函數表達式為 ．
10．（2023·江蘇淮安·三模）如圖，二次函數 的圖象與軸交于兩點，與軸交于點．點的坐標為，點的坐標為直線經過兩點．
(1) ， ；
(2)點為軸上的動點，過點且平行于軸的直線，分別交該二次函數的圖象于點（點在點的左邊），交直線于點（如圖）．
當點為線段的中點時，求點的坐標；
設的橫坐標分別為，點的縱坐標為；
若，則的取值范圍是 ．
(3)若將該二次函數的圖象進行適當平移，當平移后的圖象與直線最多只有一個公共點時，請直接寫出圖象平移的最短距離，并求出平移后的二次函數圖象的頂點坐標．
11．（2024·江蘇鹽城·一模）已知，點在平面直角坐標系中，小明給了一些m的取值，列出了如表：
m … 0 1 …
… 0 …
… 2 3 2 …
他在直角坐標系中描出這些點后，猜想點M在以點A為頂點的拋物線上．
(1)求該拋物線相應的函數表達式，并說明：無論m取何實數值，點M都在此拋物線上；
(2)將拋物線向右平移n（）個單位得到新的拋物線，設是新函數的圖象與x軸的一個公共點．當時，結合函數的圖象，直接寫出n的取值范圍；
(3)設（1）中的拋物線與x軸的交點分別為點B、C（點B在點C的左側），點D在該拋物線的對稱軸上，是以點D為位似中心的位似圖形（點A、B、C的對應點分別是點P、Q、M）．若與的相似比是，求m的值．
12．（2024·江蘇宿遷·二模）對于函數與函數作如下定義：若函數與函數只有一個公共點，則稱函數與函數互為“融創函數”，唯一的公共點記為．
(1)下列函數與一次函數互為“融創函數”的是______；
①；②；③．
(2)已知函數與函數互為“融創函數”．
①求公共點的坐標；
②若將函數向左平移個單位得到函數．則函數與函數所圍成封閉圖形內（包括邊界）整點的個數為______（若一個點的橫坐標與縱坐標均為整數，則該點為整點）
(3)若函數與函數互為“融創函數”，定義函數，若函數上自變量（橫坐標）為的點的函數值記為，函數上自變量（橫坐標）為的點的函數值記為，且當，恒有，求的取值范圍．
題型四 二次函數與方程、不等式綜合
13．（2023·江蘇揚州·二模）關于的一元二次方程（為實數）有且只有一個根在的范圍內，則的取值范圍是（ ）
A． B．或
C．或 D．
14．（2025·江蘇無錫·一模）在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，頂點為，對稱軸與軸交于點．
（1）若該拋物線與直線有且只有一個交點，則的值為 ；
（2）當拋物線頂點在第二象限時，如果，的值為 ．
15．（2025·江蘇南京·模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線存在兩點．
(1) ；
(2)求證：不論為何值，該函數的圖象與軸沒有公共點；
(3)若點也是拋物線上的點，記拋物線在之間的部分為圖象（包括兩點），記圖形上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為，若，則的取值范圍為 ．
16．（2023·江蘇南京·中考真題）已知二次函數（a為常數，．
(1)若，求證：該函數的圖象與x軸有兩個公共點．
(2)若，求證：當時，．
(3)若該函數的圖象與軸有兩個公共點，，且，則的取值范圍是．
題型五 二次函數的含參應用題
17．（2023·江蘇揚州·一模）教師節前夕，某花店采購了一批鮮花禮盒，成本價為50元/件，物價局要求，銷售該鮮花禮盒獲得的利潤率不得高于52%．分析教師節同期的鮮花禮盒銷售情況，發現每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）（x為整數）近似的滿足一次函數關系，數據如表：（注：利潤率=利潤/成本）
銷售單價x（元、件） … 60 70 75 …
每天銷售量y（件） … 240 180 150 …
(1)求y與x的函數關系式；
(2)試確定銷售單價取何值時，花店銷售該鮮花禮盒每天獲得的利潤最大？并求出最大利潤；
(3)花店承諾：每銷售一件鮮花禮盒就捐贈n元（）給“希望工程”．若扣除捐贈后的日利潤隨著銷售單價x的增大而增大，請直接寫出n的取值范圍是 ．
18．（2022·浙江溫州·模擬預測）某商店決定購A，B兩種“冰墩墩”紀念品進行銷售．已知每件A種紀念品比每件B種紀念品的進價高30元．用1000元購進A種紀念品的數量和用400元購進B種紀念品的數量相同．
(1)求A，B兩種紀念品每件的進價分別是多少元？
(2)該商場通過市場調查，整理出A型紀念品的售價與數量的關系如下表，
售價x（元/件）
銷售量（件） 100
①當x為何值時，售出A紀念品所獲利潤最大，最大利潤為多少？
②該商場購進A，B型紀念品共200件，其中A型紀念品的件數小于B型紀念品的件數，但不小于50件．若B型紀念品的售價為每件元時，商場將A，B型紀念品均全部售出后獲得的最大利潤為2800元，直接寫出m的值．
19．（2022·江蘇南京·二模）某農場有100畝土地對外出租，現有兩種出租方式：
方式一 若每畝土地的年租金是400元，則100畝土地可以全部租出．每畝土地的年租金每增加5元土地少租出1畝．
方式二 每畝土地的年租金是600元．
(1)若選擇方式一，當出租80畝土地時，每畝年租金是_____元；
(2)當土地出租多少畝時，方式一與方式二的年總租金差最大？最大值是多少？
(3)農場熱心公益事業，若選擇方式一，農場每租出1畝土地捐出a元給慈善機構；若選擇方式二，農場一次性捐款1800元給慈善機構，當租出的土地小于60畝時，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接寫出a的取值范圍．
（注：年收入＝年總租金－捐款數）
20．（2022·江蘇徐州·一模）某商場購進一種每件成本為100元的新商品，在商場試銷發現：銷售單價x（元/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關系：
(1)求出y與x之間的函數關系式；
(2)寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數關系式；
(3)疫情期間，有關部門規定每件商品的利潤率不得超過30%，那么將售價定為多少，來保證每天獲得的總利潤最大，最大總利潤是多少？（利潤率=利潤÷成本×100%）
(4)疫情過后，有關部門規定每件商品的利潤率不得超過50%，每銷售一件商品便向某慈善機構捐贈a元（10≤a≤25），捐贈后發現，該商品每天銷售的總利潤仍隨著售價的增大而增大．請直接寫出a的取值范圍．
題型六 二次函數的面積問題綜合（含定值）
21．（2025·江蘇宿遷·一模）已知拋物線過點和點，且，直線過定點，交線段于點，記的面積為，的面積為，且，
(1)求拋物線的對稱軸；
(2)求的值；
(3)若拋物線與軸交于點、，當為何值時的面積有最小值，求出的面積最小值及此時拋物線的解析式．
22．（2024·江蘇無錫·模擬預測）如圖1，二次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，且．點為拋物線第二象限上一動點．
(1)直接寫出該二次函數的表達式為 ___________；
(2)連接，求四邊形面積的最大值；
(3)如圖2，連結交于點，過點作軸的平行線交于點．當為等腰三角形時，求出點的坐標．
23．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，二次函數（a是常數，且）的圖象與x軸相交于點、（點A在點的左側），與y軸相交于點C，且，連接．
(1)填空：______ ，的坐標為______ ；
(2)如圖1，點為拋物線上一點，且在，C兩點之間運動，連接與相交于點E，連接，，當的值最大時，求直線的表達式；
(3)如圖2，動點在拋物線的對稱軸上，連接、、，若，請求出點的坐標．
24．（23-24江蘇連云港·期中）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，，與y軸交于點C．
(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)點P是該拋物線上的一個動點，
①若中有一個內角是的3倍，求點P坐標．
②若拋物線上的點P在第二象限且直線與y軸和直線分別交于點D和點E，若，，的面積分別為，，，且滿足，求點P的橫坐標．
題型七 二次函數的角度問題綜合
25．（2025·江蘇無錫·一模）如圖，二次函數的圖象與x軸的負半軸和正半軸分別交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為P，對稱軸交x軸于點D，點Q是拋物線對稱軸上一動點，直線交y軸于點E，且．
(1)請直接寫出A，B兩點的坐標：A______，B______．
(2)當頂點P與點Q關于x軸對稱時，．
①求此時拋物線的函數表達式；
②在拋物線的對稱軸上存在點F，使，請直接寫出點F的坐標．
26．（2025·江蘇鎮江·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于、兩點，與y軸相交于點C，拋物線的頂點為D，直線交y軸于點E，點P為點D右側的拋物線上的一點，連接．
(1)求二次函數的函數表達式；
(2)若，則點P的坐標為 ；
(3)如圖2，延長交x軸于點G，若．
①求點G的坐標；
②Q為線段上一點(不與A、D重合)，N為x軸上一點，其橫坐標為n，若，則n的最大值為 ．
27．（2023·江蘇連云港·一模）如圖，已知拋物線經過點，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點P為該拋物線上一動點．
①當點P在直線下方時，過點P作軸，交直線于點E，作軸．交直線于點F，求的最大值；
②若，求點P的橫坐標．
28．（2024·江蘇淮安·一模）如圖①，二次函數的圖象與直線交于、兩點．點是軸上的一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，交該二次函數的圖象于點，設點的橫坐標為．
(1) ， ；
(2)若點在點的上方，且，求的值；
(3)將直線向上平移4個單位長度，分別與軸、軸交于點、（如圖②）．
①記的面積為，的面積為，是否存在，使得點在直線的上方，且滿足=？若存在，求出及相應的、的值；若不存在，請說明理由．
②當時，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接、、，若，直接寫出點F的坐標．
題型八 二次函數與相似三角形綜合
29．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖1，拋物線（m為常數）與x軸交于 A、B兩點，與y軸交于點C．

(1)下列說法正確的是 （填序號）．
①該拋物線開口向上；
②該拋物線與y軸的交點始終在x軸的上方；
③該拋物線的頂點在直線上．
(2)如圖2，若直線與該拋物線交于M、N兩點，試說明：線段的長是一個定值，并求出這個值．
(3)在（2）的條件下，點E是直線上的一個動點（圖3），當時，與相似，求此時拋物線的函數表達式．
30．（2023·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，四邊形是矩形，點A的坐標為，點C的坐標為，點P從點C出發，沿CO以每秒1個單位長度的速度向點O出發，同時點Q從點O出發，沿OA以每秒2個單位長度的速度向點A運動，當點P與點O重合時運動停止．設運動時間為t秒．
(1)當時， ；
(2)當與相似時，求t的值；
(3)當時，拋物線經過P，Q兩點，與x軸交于另一點M．拋物線的頂點為N，問該拋物線上是否存在點D，使？若存在，求出所有滿足條件的D的坐標；若不存在，說明理由．
31．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，拋物線交軸交于A，兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，連接，其中．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P為線段上方拋物線上一動點，過點P作于點E，若，求點P 的坐標；
(3)過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當與相似時，點E的坐標為______．
32．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）如圖．拋物線與y軸交于點，與x軸交于A，B兩點，A點在對稱軸的左側，B點的坐標為．

(1)求拋物線的解析式；
(2)設拋物線的對稱軸與直線交于點D，連接，，求的面積；
(3)點E為直線上一動點，過點E作y軸的平行線與拋物線交于點F，是否存在點E，使得以點D，E，F為頂點的三角形與相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
題型九 二次函數與三角函數綜合
33．（2023·江蘇宿遷·二模）閱讀下列材料：
在九年級下冊“5.2二次函數的圖像和性質”課時學習中，我們發現，函數：中的符號決定圖像的開口方向，決定圖像的開口大小，為了進一步研究函數的圖像和性質，我們作如下規定：如圖，拋物線上任意一點（）（異于頂點）到對稱軸的垂線段的長度（的長度）叫做這個點的“勾距”，記作；垂足（）到拋物線的頂點（）的距離（）叫這個點的“股高”，記作；點（）到頂點（）的距離（的長度）叫這個點的“弦長”，記作；過這個點（）和頂點（）的直線（）與對稱軸（）相交所成的銳角叫做這個點的“偏角”，記作．

由圖1可得，對于函數：
（1）當勾距為定值時
①；股高和弦長均隨增大而增大；
②；偏角隨增大而減小；
（如：函數中，當時，；）
（2）當偏角為定值時
，勾距、股高和弦長均隨增大而減小；
（如：函數中，當時，、）
利用以上結論，完成下列任務：
如圖2：已知以為頂點的拋物線與軸相交于點，若拋物線的頂點也是，并與直線相交于點，與軸相交于點．
(1)函數中，①當時，________，②當時，________；
(2)如圖2：以為頂點作拋物線：和與軸相交于點與直線相交于點，與軸相交于點：
①當時，設，隨的取值不同，的值是否發生改變，如果不變，請求出的值，如果發生改變，請直接寫出的取值范圍；
②若點M在拋物線上，直線與的另一個交點為，記的面積為，的面積為，若，請求出的值
34．（2023·江蘇常州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與x軸交于點A和點，與y軸交于點C．
(1)求二次函數的表達式；
(2)若點P是拋物線上一點，滿足，求點P的坐標；
(3)若點Q在第四象限內，且，點M在y軸正半軸，，線段是否存在最大值，如果存在，直接寫出最大值；如果不存在，請說明理由．
35．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，拋物線與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C．
(1)若由點A、B、C組成的角滿足，求m的值及點A的坐標；
(2)在（1）的條件下，點D是直線上方拋物線上的動點，過點D作直線的垂線，垂足為E，是否存在某個位置D使得線段的長度等于．若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)現將點C向右平移4個單位得到點M，若拋物線與線段有且只有一個公共點，直接寫出m的取值范圍________．
36．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，二次函數 的圖象與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點．點是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，連接．
(1)點的坐標分別為 ( ， )， ( ， )
(2)如圖，連接與交于點，設和的面積分別為和，求的最大值；
(3)連接，當 時，
①求點的坐標；
②點是上的一個動點（點不與重合），連接，線段的垂直平分線交于點，交直線于點，則的取值范圍是_________．
題型十 二次函數的最值問題
37．（2024·江蘇無錫·三模）如圖，二次函數與x軸交于兩點，頂點為C，連接、，若點B是線段上一動點，連接，將沿折疊后，點A落在點的位置，線段與x軸交于點D，且點D與O、A點不重合．

(1)求二次函數的表達式；
(2)在線段上是否存在這樣的點B，使得的值最小，若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由；
(3)當時，直線與二次函數的交點的橫坐標為____________．
38．（2024·江蘇鹽城·二模）如圖1，已知直線與坐標軸相交于B、C兩點，經過點B、C的拋物線與x軸交于點A．
(1)求拋物線解析式；
(2)若點D是y軸上的一點，且以B，C，D為頂點的三角形與相似，求點D的坐標；
(3)如圖2，軸與拋物線相交于點E，點H是直線下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與交于點F，試探究當點H運動到何處時，四邊形的面積最大，求點H的坐標及最大面積；
(4)若點K為拋物線的頂點，點是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形的周長最小，求出點P，Q的坐標．
39．（2024·江蘇揚州·二模）某公園要在小廣場建造一個噴泉景觀．在小廣場中央處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過的任一平面上拋物線路徑如圖1所示，為使水流形狀較為美觀，設計成水流在距的水平距離為1米時達到最大高度，此時離地面2.25米．
(1)以點為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，水流到水平距離為米，水流噴出的高度為米，求出在第一象限內的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(2)張師傅正在噴泉景觀內維修設備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子的距離為米，求的取值范圍；
(3)為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成角，如圖3所示，光線交匯點在花形柱子的正上方，且米，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．
40．（23-24山東東營·階段練習）如圖，已知拋物線與一直線相交于、兩點，與軸交于點，其頂點為．
(1)求拋物線及直線的函數關系式；
(2)在對稱軸上是否存在一點，使的周長最小．若存在，請求出點的坐標和周長的最小值；若不存在，請說明理由．
(3)若是拋物線上位于直線上方的一個動點，求的面積的最大值及此時點的坐標．
題型十一 二次函數的存在性問題
41．（23-24廣東肇慶·階段練習）如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于點和，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，在拋物線的對稱軸上求作一點M，使的周長最小，并求出點M的坐標和周長的最小值；
(3)如圖2，點P是x軸上動點，過點P作x軸的垂線分別交拋物線和直線于點F、G．設點P的橫坐標為m，是否存在點P，使是以為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
42．（2024·江蘇連云港·一模）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與x軸交于點A，B兩點，它的對稱軸直線交拋物線于點M，過點M作軸于點C，連接，已知點A的坐標為．
(1)求此拋物線的函數表達式；
(2)動點P，Q在此拋物線上，其橫坐標分別為，其中．
①若，請求此時點Q的坐標；
②在線段上是否存在一點D，使得以C，P，D，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出此時m的值；若不存在，說明理由．
43．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，二次函數（其中）的圖像與軸交于、兩點（點在點左側），與軸交于點，連接、，點為的外心．
(1)填空：點的坐標為 ， ；
(2)記的面積為，的面積為，試探究是否為定值？如果是，求出這個定值；
(3)若在第一象限內的拋物線上存在一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，則 ．
44．（2025·江蘇南通·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于兩點，交軸于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點F是直線上方拋物線上的一動點，過點F作，交于點D，過點F作y軸的平行線交直線于點E，過點D作，交于點G，求的最大值及此時點E的坐標；
(3)在（2）問中取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移5個單位長度，點M為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平面內確定一點N，使得以點B、E、M、N為頂點的四邊形是矩形，直接寫出所有符合條件的點N的坐標．
題型十二 二次函數材料理解型問題
45．（2024·江蘇揚州·二模）我們定義：在平面直角坐標系中，若一個點的縱坐標是橫坐標的2倍，則稱這個點為“2倍點”．

(1)若反比例函數的圖象上存在一個“2倍點”的坐標為，則反比例函數的圖象上另一個“2倍點”的坐標為 ；
(2)如圖1，是否存在一個“2倍點”與拋物線的頂點A的距離最短？若存在，求出這個最短距離；若不存在，說明理由；
(3)如圖2，已知點P是第一象限內的一個“2倍點”，將點P向下平移3個單位得到點Q．
①若一次函數的圖象恰好經過點Q，則k= ；
②在①的條件下，若點Q的橫坐標與縱坐標相等，將直線繞點Q順時針旋轉，求所得直線與y軸的交點坐標．
46．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）定義：在平面直角坐標系中，拋物線與y軸的交點坐標為，那么我們把經過點且平行于x軸的直線稱為這條拋物線的極限分割線．
【特例感知】
（1）拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點坐標為 ．
【深入探究】
（2）經過點和的拋物線與y軸交于點C，它的極限分割線與該拋物線另一個交點為D，請用含m的代數式表示點D的坐標．
【拓展運用】
（3）在（2）的條件下，設拋物線的頂點為P，直線垂直平分，垂足為E，交該拋物線的對稱軸于點F．
①當時，求點P的坐標．
②若直線與直線關于極限分割線對稱，是否存在使點P到直線的距離與點B到直線的距離相等的m的值？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
47．（2024·江蘇宿遷·二模）中國象棋棋盤上雙方的分界處稱為“楚河漢界”，以“楚河漢界”比喻雙方對壘的分界線．在平面直角坐標系中，為了對兩個圖形進行分界，對“楚河漢界線”給出如下定義：點是圖形上的任意一點，點是圖形上的任意一點，若存在直線滿足且，則直線就是圖形與的“楚河漢界線”．例如：如圖，直線是函數的圖像與正方形的一條“楚河漢界線”．
(1)在直線，，，中，是圖函數的圖像與正方形的“楚河漢界線”的有______；（填序號）
(2)如圖，第一象限的等腰直角的兩腰分別與坐標軸平行，直角頂點的坐標是，與的“楚河漢界線”有且只有一條，求出此“楚河漢界線”的表達式；
(3)正方形的一邊在y軸上，其他三邊都在y軸的右側，點是此正方形的中心，若存在直線是函數的圖像與正方形的“楚河漢界線”，求的取值范圍．
48．（2024·江蘇鹽城·二模）定義：當（，為常數，）時，函數最大值與最小值之差恰好為，我們稱函數是在上的“雅正函數”，“”的值叫做該“雅正函數”的“雅正值”．
【初步理解】
（1）試判斷下列函數是在上的“雅正函數”為______．（填序號）
①；②；③．
【嘗試應用】
（2）若一次函數（，為常數，）和反比例函數（為常數，）都是在上的“雅正函數”，求的值．
【拓展延伸】
（3）若二次函數是在（，為常數，）上的“雅正函數”，雅正值是3．
①求、的值；
②若該二次函數圖象與軸交于點，（點在點的左側），與軸交于點．點為二次函數圖象上一點，且點的橫坐標為，點、點是線段上的兩個動點（點在點的左側），分別過點、點作軸的平行線交拋物線于點、點，如果，其中為常數．試探究：是否存在常數，使得為定值．如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由．參考公式：
21世紀教育網(www.21cnjy.com)熱點必刷題05 二次函數的綜合壓軸題
題型一 二次函數的圖象與各系數關系綜合 1
題型二 二次函數的圖象與性質綜合 15
題型三 二次函數圖象的平移綜合 28
題型四 二次函數與方程、不等式綜合 40
題型五 二次函數的含參應用題 54
題型六 二次函數的面積問題綜合（含定值） 72
題型七 二次函數的角度問題綜合 88
題型八 二次函數與相似三角形綜合 88
題型九 二次函數與三角函數綜合 88
題型十 二次函數的最值問題 88
題型十一 二次函數的存在性問題 88
題型十二 二次函數材料理解型問題 104
題型一 二次函數的圖象與各系數關系綜合
1．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）二次函數圖象如圖，下列結論：①；②；③當時，；④；⑤若，且，．其中正確的序號是（ ）
A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次函數，二次項系數決定拋物線的開口方向和大小：當時，拋物線開口向上；當時，拋物線開口向下；一次項系數和二次項系數共同決定對稱軸的位置，當與同號時（即，對稱軸在軸左側；當與異號時（即，對稱軸在軸右側；常數項決定拋物線與軸交點．拋物線與軸交于；根據拋物線開口方向得，由拋物線對稱軸為直線，得到，即，由拋物線與軸的交點位置得到，所以；根據二次函數的性質得當時，函數有最大值，則當時，，即；根據拋物線的對稱性得到拋物線與軸的另一個交點在的右側，則當時，，所以；把先移項，再分解因式得到，而，則，即，然后把代入計算得到．
【詳解】解：拋物線開口向下，
，
拋物線對稱軸為直線，
，即，所以②正確；
拋物線與軸的交點在軸上方，
，
，所以①錯誤；
拋物線對稱軸為直線，
函數的最大值為，
當時，，即，所以③正確；
拋物線與軸的一個交點在的左側，而對稱軸為直線，
拋物線與軸的另一個交點在的右側
當時，，
，所以④錯誤；
，
，
，
，
而，
，即，
，
，所以⑤正確．
故選：D
2．（2024·江蘇無錫·三模）在平面直角坐標系中有兩點、，若二次函數的圖象與線段只有一個交點，則（　　）
A．a的值可以是 B．a的值可以是
C．a的值不可能是 D．a的值不可能是1
【答案】C
【分析】本題考查二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征．本題中能分情況討論，并能畫出函數大致圖，根據大致圖去分析是解決此題的關鍵．
先計算二次函數的對稱軸，首先計算函數與直線相交時a的取值范圍．然后分別計算函數與A，B相交時的值，并由此分別畫出函數的大致圖，根據大致圖判斷的取值范圍．對上述 a的取值范圍綜合分析即可得出a的最終取值范圍，最后依次對各選項進行判斷即可．
【詳解】由二次函數的對稱軸可知，是該函數的對稱軸，
當函數與直線相交時，有解，
整理得，
根據根的判別式，
解得或，
因為，
所以或，且時，二次函數與有唯一的交點．
若函數與B點相交時，將代入得，
解得，則此時如下圖：
函數恰好與線段有兩個交點，所以根據圖象，當時拋物線與線段只有一個交點，解得；
若函數與A點相交時，把代入得，
解得，
則此時如下圖：
函數恰好與線段有一個交點，根據圖象當時，拋物線與線段也只有一個交點，
解得．
綜上所述或或，
A． 因為，所以a的值不可以是，故該選項不符合題意；
B． 因為，所以a的值不可以是，故該選項不符合題意；
C． 因為，所以a的值不可能是，正確，故該選項不符合題意；
D． 因為，所以 a的值可能是1，故該選項不符合題意；
故選：C．
3．（24-25江蘇蘇州·階段練習）將二次函數的圖象在軸上方的部分沿軸翻折后，所得新函數的圖象如圖所示，當直線與新函數的圖象恰有3個公共點時，的值為 ．

【答案】或
【分析】此題主要考查了翻折的性質，一元二次方程根的判別式，二次函數的圖像和性質，確定翻折后拋物線的關系式；利用數形結合的方法是解本題的關鍵，畫出函數圖象是解本題的難點．
分兩種情形：如圖，當直線過點B時和當直線與拋物線只有1個交點時，直線與該新圖象恰好有三個公共點，分別求解即可．
【詳解】解：二次函數解析式為，
∴拋物線的頂點坐標為，
當時，，
解得，
則拋物線與x軸的交點為，，
把拋物線圖象x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，
∴開口方向相反，開口大小一樣
∴二次項系數互為相反數，頂點坐標關于x軸對稱
∴翻折部分的拋物線解析式為，頂點坐標，
如圖，當直線過點B時，直線與該新圖象恰好有三個公共點，
∴，解得；
當直線與拋物線只有1個交點時，直線與該新圖象恰好有三個公共點，
即有相等的實數解，整理得，，解得，
所以b的值為或．
故答案為：或．
4．（2024·江蘇揚州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線（其中、為常數）與軸分別交于點、兩點，點在點的左側，與軸交于點，且拋物線經過點、．
(1)若點的坐標為，
①_______，點的坐標為______；
②點是線段上方拋物線上的一動點，連接交于點，若，直接寫出點的橫坐標為_______；
(2)若，求證：．
【答案】(1)①，；②；
(2)見解析．
【分析】（1）①由∵拋物線經過點、，，得，把點代入得，，，從而拋物線的解析式為，令，則，得或，即可求解；②過點作軸于，交于點，設中，，則，得，再求得直線為，證，得，即，，設，則，由，構建方程求解即可；
（2）由拋物線經過點、，，得，，進而得，再代入即可證明結論成立．
【詳解】（1）解：①∵拋物線經過點、，，
∴即，
∴，
把點代入得，
∴，即
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為，
令，則，
解得或，
∵點在點的左側，
∴，
故答案為：，；
②過點作軸于，交于點，
設中，，則，
∴，
設直線為，
把，代入得，
，
解得，
∴直線為，
∵，
∴，
∵軸，軸
∴，
∴，
∴，即，
∴，
設，則，
∴，
解得，
故答案為：；
（2）解：∵拋物線經過點、，，
∴，即，，
∴，，
∴，即
∴
．
【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求二次函數解析式與一次函數的解析式，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
題型二 二次函數的圖象與性質綜合
5．（2022·江蘇揚州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝與x軸的正半軸交于點A，B點為拋物線的頂點，C點為該p拋物線對稱軸上一點，則的最小值為（ ）
A． B．25 C．30 D．
【答案】A
【分析】連接OB，過C點作CM⊥OB于M點，過A點作AN⊥OB于N點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D，先求出拋物線與坐標軸的交點坐標，繼而得出BD、OA、OD，在證明△OBD∽△CBM，△OBD∽△OAN，進而可得3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，當A、C、M三點共線，且三點連線垂直OB時，AC+CM最小，根據求出AN，AC+CM最小值即為AN，則問題得解．
【詳解】連接OB，過C點作CM⊥OB于M點，過A點作AN⊥OB于N點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D，如圖，
令y=0，得方程，解得x=0或者x=6，
∴A點坐標為(6,0)，即OA=6，
將配成頂點式得：，
∴B點坐標為(3,4)，
∴BD=4，OD=3，
∵CM⊥OB，AN⊥OB，
∴∠BMC=∠ANO=90°，
根據拋物線對稱軸的性質可知BD⊥OA，
∴∠BDO=90°，
在Rt△BDO中，利用勾股定理得，
∵∠OBD=∠CBM，∠BDO=90°=∠BMC
∴△OBD∽△CBM，
同理可證得△OBD∽△OAN，
∴，，
∴，即3BC=5MC，
∴3BC+5AC=5MC+5AC=5(AC+CM)，
∵當A、C、M三點共線，且三點連線垂直OB時，AC+CM最小，
∴AC+CM最小值為AN，如圖所示，
∵，
∴，
∴AC+CM最小值，
∴即3BC+5AC=5(AC+CM)=24，
故選：A．
【點睛】本題考查了求拋物線與坐標軸的交點和拋物線頂點的坐標、相似三角形的判定與性質、垂線段最短等知識，利用三角形相似得出3BC=5MC，進而得出3BC+5AC=5(AC+CM)是解答本題的關鍵．
6．（2024·江蘇揚州·一模）若關于x的方程的兩根，滿足，則二次函數的頂點縱坐標的最大值是 ．
【答案】
【分析】根據一元二次方程有兩個不相等的實數根，運用根的判別式和根與系數的關系得到，根據二次函數，得到 時，y隨x的增大而減小，根據在對稱軸的左側，，得到當時，頂點縱坐標的最大值是．
【詳解】∵關于x的方程的兩根，滿足，
∴，
∴，或，
∵，
∴，
∴，
∵二次函數，
∴對稱軸為直線，頂點為，圖象開口向上，
∴當時，y隨x的增大而減小，
∵在對稱軸的左側，，
∴當時，點距對稱軸最近，頂點最高，此時頂點縱坐標取得最大值，
∴,
∴，
∴頂點縱坐標的最大值是．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了二次函數與一元二次方程．熟練掌握二次函數的對稱性，增減性，一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，函數與方程的關系，是解決問題的關鍵．
7．（2023·江蘇無錫·三模）設O為坐標原點，點A、B為拋物線上的兩個動點，且．連接點A、B，過O作于點C，則點C到y軸距離的最大值為 ．
【答案】/
【分析】方法1：分別作垂直于x軸于點E、F，設，由拋物線解析式可得，作于H，交y軸于點G，連接交y軸于點D，設點，易證，所以，即．可得．再證明，所以，即，可得．即得點D為定點，坐標為，得．進而可推出點C是在以為直徑的圓上運動，則當點C到y軸距離為此圓的直徑的一半時最大．
方法2：設點、，求得直線的解析式為，同方法1，求得，推出，說明直線過定點D，D點坐標為．得．進而可推出點C是在以為直徑的圓上運動，則當點C到y軸距離為此圓的直徑的一半時最大．
【詳解】解：方法1：如圖，分別作垂直于x軸于點，

設，由拋物線解析式為，
則，
作于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，
設點，
∵，
∴，
∴，即．
化簡得：．
∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
∴，即，
化簡得．
則，說明直線過定點D，D點坐標為．
∵，
∴點C是在以為直徑的圓上運動，
∴當點C到y軸距離為時，點C到y軸的距離最大．
故答案為：．
方法2：∵點A、B為拋物線上的兩個動點，
設點、，直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為，
∴直線與y軸的交點D的坐標為，
如圖，分別作垂直于x軸于點，則，，

∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴．
∴，即，
化簡得．
說明直線過定點D，D點坐標為．
∵，
∴點C是在以為直徑的圓上運動，
∴當點C到y軸距離為時，點C到y軸的距離最大．
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數結合動點問題背景下的最值求法，涉及相似三角形，圓周角定理，此題難度較大，關鍵是要找出點D為定點，確定出點C的軌跡為一段優弧，再求最值．
8．（2023·江蘇鹽城·二模）在平面直角坐標系 中，二次函數的圖像經過，兩點.
(1)當時，求線段的長及 h 的值；
(2)若點也在二次函數圖像上，且，
①求二次函數圖像與x 軸的另外一個交點的橫坐標 （用 h 表示） 以及 h 的取值范圍；
②若，求的面積；
③過點作 y 軸的垂線,與拋物線相交于 、兩點 （P 、Q 不重合） ，與直線交于點 ,是否存在一個 a 的值，使得恒為定值？若存在，請求出 a 的值；若不存在，請說明理由
【答案】(1)，
(2)①二次函數的圖像與x軸的另一個交點的橫坐標為，；②；③存在一個a的值，使得恒為定值，，理由見解析
【分析】
（1）由題意可得，軸，則，再由拋物線的對稱性可得；
（2）①當時，，整理得，根據根與系數的關系可得二次函數的圖像與x軸的另一個交點的橫坐標為，又由，，可求；
②將代入，可得，將、代入，確定點、，用待定系數法求直線的解析式為，則，所以，則；
③由對稱性可得，又由、，求出直線的解析式為，當時，，所以，當時，即時，為定值．
【詳解】（1）解：當時，軸，
∴，
∴拋物線的對稱軸為直線；
（2）解：①當時，，
整理得，，
設拋物線與x軸的交點的橫坐標為，
∴，
∴，
∴二次函數的圖像與x軸的另一個交點的橫坐標為，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
將代入，
∴，
∴，
將、代入，
∴，
解得，
∴、，
設直線的解析式為，
∴，
解得，
∴直線的解析式為，
∴，
∴，
∴；
③存在一個a的值，使得恒為定值，理由如下：
由對稱性可得，，
∵、，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴，
當時，即時，為定值．
【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質，用待定系數法求函數解析式是解題的關鍵．
題型三 二次函數圖象的平移綜合
9．（2025·江蘇鎮江·模擬預測）已知二次函數（a，b是常數，）的圖象經過三個點中的兩個點．平移該函數的圖象，使其頂點始終在直線上，則平移后與y軸交點縱坐標值最大的拋物線的函數表達式為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次函數圖象與幾何變換、二次函數圖象上點的坐標特征，求二次函數的解析式等知識點，正確求得拋物線平移前后的解析式是解題的關鍵．
先判斷拋物線經過點A、C，然后利用待定系數法求得解析式，根據題意設出設平移后的拋物線為，令，得到解得是縱坐標與平移距離之間的函數關系，根據此函數關系即可求得m，即可求得平移后與y軸交點縱坐標值最大的拋物線的函數表達式．
【詳解】解：在直線上，
或B是拋物線的頂點，
的橫坐標相同，
拋物線不會同時經過B、C點，
拋物線過點A和C兩點，
把代入：
得，解得，
二次函數為
頂點始終在直線上，
拋物線向左、向下平移的距離相同，
設平移后的拋物線為，
令，則，
時，拋物線與y軸交點縱坐標有最大值為，
平移后與y軸交點縱坐標值最大的拋物線的函數表達式為．
故答案為：．
10．（2023·江蘇淮安·三模）如圖，二次函數 的圖象與軸交于兩點，與軸交于點．點的坐標為，點的坐標為直線經過兩點．
(1) ， ；
(2)點為軸上的動點，過點且平行于軸的直線，分別交該二次函數的圖象于點（點在點的左邊），交直線于點（如圖）．
當點為線段的中點時，求點的坐標；
設的橫坐標分別為，點的縱坐標為；
若，則的取值范圍是 ．
(3)若將該二次函數的圖象進行適當平移，當平移后的圖象與直線最多只有一個公共點時，請直接寫出圖象平移的最短距離，并求出平移后的二次函數圖象的頂點坐標．
【答案】(1)，；
(2)①；②；
(3)最短距離為； 頂點坐標．
【分析】（）把，兩點坐標代入解析式，從而求得，；
（）可推出R在拋物線的對稱軸上，進一步得出結果；
可推出或，從而得出直線在直線，之間或在軸下方，進一步得出結果；
（）可以根據相對運動，假設二次函數不動，平移直線，根據得 ，當時，平移后的直線與拋物線由一個公共點，此時，進而求得圖象平移的最短距離，進一步求得移動后拋物線的頂點；
本題考查了待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，一元二次方程的解法等知識以及數形結合的思想，解題的關鍵是熟練掌握知識點的應用．
【詳解】（1）由題意得，
，
∴ ，
故答案為：，；
（2）設直線的解析式為
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
∵，關于對稱軸對稱，是的中點，
∴點的橫坐標是，
當時，，
由得，，，
∵在的左邊，
∴；
如圖，
∵，
∴或 ，
∴或 ，
∵，
∴或，
∴直線在直線，之間或在軸下方，
由得函數的最大值是，
∴或；
（3）如圖，
根據相對運動，假設二次函數不動，平移直線，
∴，，
∴
設平移后的直線的解析式為，與軸交于點，
由得，，
當時，平移后的直線與拋物線由一個公共點，公共點記作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴圖象平移的最短距離為，
作軸，作于，
∴，
∴頂點向先平移個單位，向左平移個單位后為．
11．（2024·江蘇鹽城·一模）已知，點在平面直角坐標系中，小明給了一些m的取值，列出了如表：
m … 0 1 …
… 0 …
… 2 3 2 …
他在直角坐標系中描出這些點后，猜想點M在以點A為頂點的拋物線上．
(1)求該拋物線相應的函數表達式，并說明：無論m取何實數值，點M都在此拋物線上；
(2)將拋物線向右平移n（）個單位得到新的拋物線，設是新函數的圖象與x軸的一個公共點．當時，結合函數的圖象，直接寫出n的取值范圍；
(3)設（1）中的拋物線與x軸的交點分別為點B、C（點B在點C的左側），點D在該拋物線的對稱軸上，是以點D為位似中心的位似圖形（點A、B、C的對應點分別是點P、Q、M）．若與的相似比是，求m的值．
【答案】(1)，證明見解析；
(2)；
(3)或．
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，等定系數法求函數解析式，位似變換等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．
（1）直接用等定系數法求解即可；
（2）先求出點，再利用平移的性質即可求解；
（3）利用位似比得到，得到，或，得到，即可求解．
【詳解】（1）解：設，將代入得
，
∴，
，
當時，
∴無論m取何值點M都在該拋物線上．
（2）解：由（1）得拋物線的解析式為：，
設拋物線與軸的交點為，
令，則，
解得：，，
∴，
設，，
依題意， 或向右移動到之間時，移動距離為的范圍，如圖：
移至：
移至，，
移至，，
移至：
移至，，
移至，，
∴．
（3）解：如圖，與位似，位似比，則，
，
∴，
，，
令，得；
如圖，
，
，
，
，
，，
令，
12．（2024·江蘇宿遷·二模）對于函數與函數作如下定義：若函數與函數只有一個公共點，則稱函數與函數互為“融創函數”，唯一的公共點記為．
(1)下列函數與一次函數互為“融創函數”的是______；
①；②；③．
(2)已知函數與函數互為“融創函數”．
①求公共點的坐標；
②若將函數向左平移個單位得到函數．則函數與函數所圍成封閉圖形內（包括邊界）整點的個數為______（若一個點的橫坐標與縱坐標均為整數，則該點為整點）
(3)若函數與函數互為“融創函數”，定義函數，若函數上自變量（橫坐標）為的點的函數值記為，函數上自變量（橫坐標）為的點的函數值記為，且當，恒有，求的取值范圍．
【答案】(1)①③
(2)① ②
(3)
【分析】（1）根據“融創函數”定義判斷即可；
（2）①聯立，令，求解即可；②先求出平移后函數，聯立，設交點A，B，再根據函數圖象，取整數點即可；
（3）根據“融創函數”定義，則方程由兩個相等的實數根，利用根的判別式得到即，由當，恒有，則點在函數頂點的右側，得到，解得，即可由求出結果．
【詳解】（1）解：一次函數的圖象在一、三、四象限，
直線與直線不平行，故有唯一點；
反比例函數的圖象在一、三象限，
關于直線與反比例函數的圖象有兩個交點；
二次函數圖象開口向上，頂點是原點，與直線有一個交點，
與一次函數互為“融創函數”的是①③．
故答案為：①③；
（2）解：①∵函數P：與函數互為“融創函數”，
則聯立，
消去y得；，
則，解得，
故函數，令
解得
∴R的坐標為；
②將函數向左平移個單位得到函數．
聯立函數與函數，
則，即，
解得：或，
當，則；當，則；
如圖：
設，點D為函數的頂點，點C為函數的頂點，
函數與函數，
，
當時，，當時，，
則函數與函數所圍成封閉圖形內（包括邊界）整點有：共4個；
（3）解：函數與函數互為“融創函數”，
令，整理得：
則，即，
當，恒有，
點在函數頂點的右側，即，
解得，
由，
．
【點睛】本題考查了一次函數的性質，一次函數圖象上點的坐標特征，反比例函數的性質，二次函數圖象與系數的關系，二次函數的圖象與幾何變換，函數與一元二次方程，二次好速度性質，熟練掌握函數與方程組的關系、二次函數的性質是解題的關鍵．
題型四 二次函數與方程、不等式綜合
13．（2023·江蘇揚州·二模）關于的一元二次方程（為實數）有且只有一個根在的范圍內，則的取值范圍是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【分析】由題意得出原方程有兩個實數根，進而分兩種情況討論：①當時，得出，進而求出方程的解，判斷即可得出結論，②當時，結合二次函數的圖象和性質，即可得出結論．
【詳解】解：根據題意得，，
解得：．
分類討論：①當時，即，
∴原方程為，
解得：，滿足題意；
②當時，即時．
∴原方程有兩個不相等的實數根．
∵該二次函數的對稱軸為直線，且有且只有一個根在的范圍內，
∴在平面直角坐標系中畫出大致函數圖象，如圖所示，
觀察圖象可知，當時，方程的兩個根分別為，，不滿足題意；
當時，方程的兩個根分別為，，滿足題意；
當時，方程的兩個根都在范圍內，不滿足題意．
綜上可知，滿足條件的t的范圍為或，
故選C．
【點睛】本題考查一元二次方程和二次函數的關系，解題關鍵是樹立數形結合思想，利用二次函數圖象解決一元二次方程根的問題．
14．（2025·江蘇無錫·一模）在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，頂點為，對稱軸與軸交于點．
（1）若該拋物線與直線有且只有一個交點，則的值為 ；
（2）當拋物線頂點在第二象限時，如果，的值為 ．
【答案】 /0.125 或
【分析】（1）依據題意，令，整理得，又因拋物線與直線有且只有一個交點，從而可得，解方程即可求出的值；
（2）由“頂點在第二象限”可得，然后分兩種情況討論：①當點在軸的正半軸上時；②當點在軸的負半軸上時；分別畫出圖形，然后過點作于點，由可得，進而可得，然后依據該比例式列出關于的方程，解方程即可求出的值．
【詳解】解：（1）依題意，令，
整理，得：，
又拋物線與直線有且只有一個交點，
，
解得：，
故答案為：；
（2）頂點在第二象限，
，
然后分兩種情況討論：
①當點在軸的正半軸上時，
如圖，過點作于點，
令，則，
，
令，則，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：或（不符合題意，故舍去）；
②當點在軸的負半軸上時，
如圖，過點作于點，
令，則，
，
令，則，
，
，，
，
，
，
，
，
解得：或（不符合題意，故舍去）；
綜上所述，的值為或，
故答案為：或．
【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，求拋物線與軸的交點坐標，銳角三角函數的定義，根據判別式判斷一元二次方程根的情況（逆用），因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知識點，根據銳角三角函數的定義列出關于的方程是解題的關鍵．
15．（2025·江蘇南京·模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線存在兩點．
(1) ；
(2)求證：不論為何值，該函數的圖象與軸沒有公共點；
(3)若點也是拋物線上的點，記拋物線在之間的部分為圖象（包括兩點），記圖形上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為，若，則的取值范圍為 ．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)或
【分析】（1）先根據拋物線的解析式求出的值，從而可得點的坐標，再利用兩點之間的距離公式計算即可得；
（2）根據一元二次方程根的判別式可得關于的一元二次方程沒有實數根，由此即可得證；
（3）先求出，，再設點關于對稱軸的對稱點為點，則，分兩種情況：①和②，得出點的縱坐標的最大值與最小值，建立不等式，利用二次函數的性質求解即可得．
【詳解】（1）解：將代入得：，
將代入得：，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）證明：∵關于的一元二次方程的根的判別式為
，
∴這個一元二次方程沒有實數根，
∴不論為何值，函數的圖象與軸沒有公共點．
（3）解：由（1）已得：，
∴，
將點代入得：，
∴，
二次函數化成頂點式為，
∴其對稱軸為直線，頂點坐標為，
設點關于對稱軸的對稱點為點，則，
∴拋物線在之間的部分上任意一點的縱坐標的最大值與最小值的差為．
則分以下兩種情況：
①如圖，當點在點左側時，，即，
此時在圖形內，隨的增大而減小，
∴點的縱坐標最大，點的縱坐標最小，
∴，即，
令，則當時，，解得或，
∴二次函數與軸的交點坐標為和，拋物線的開口向上，其對稱軸為直線，
∴不等式的解集為或（不符合題設，舍去），
∴此時的取值范圍是；
②如圖，當點在點右側時，，即，
此時在圖形內，點的縱坐標最大，頂點的縱坐標最小，
∴，即，
令，則當時，，解得或，
∴二次函數與軸的交點坐標為和，拋物線的開口向上，其對稱軸為直線，
∴不等式的解集為或（不符合題設，舍去），
∴此時的取值范圍是；
綜上，的取值范圍是或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質、兩點之間的距離公式、利用二次函數解不等式，二次函數與一元二次方程等知識，難度較大，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．
16．（2023·江蘇南京·中考真題）已知二次函數（a為常數，．
(1)若，求證：該函數的圖象與x軸有兩個公共點．
(2)若，求證：當時，．
(3)若該函數的圖象與軸有兩個公共點，，且，則的取值范圍是．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)或
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，二次函數與坐標軸的交點問題，熟知二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
（1）證明即可解決問題．
（2）將代入函數解析式，進行證明即可．
（3）先求得對稱軸為直線，頂點坐標為，再對和進行分類討論即可．
【詳解】（1）證明：因為，
又因為，
所以，，
所以，
所以該函數的圖象與軸有兩個公共點．
（2）證明：將代入函數解析式得，
，
所以拋物線的對稱軸為直線，開口向下．
則當時，
隨的增大而增大，
又因為當時，，
所以．
（3）對稱軸為直線，頂點坐標為，
①當時，拋物線開口向上，要保證二次函數與x軸兩個交點在與之間（不包含這兩點），則只需保證頂點在x軸下方，時，，時，，
即，解得：
②當時，拋物線開口向下，要保證二次函數與x軸兩個交點在與之間（不包含這兩點），則只需保證頂點在x軸上方，時，，時
即，解得，
綜上，當或時，二次函數與x軸兩個交點在與之間（不包含這兩點），
故答案為：或．
題型五 二次函數的含參應用題
17．（2023·江蘇揚州·一模）教師節前夕，某花店采購了一批鮮花禮盒，成本價為50元/件，物價局要求，銷售該鮮花禮盒獲得的利潤率不得高于52%．分析教師節同期的鮮花禮盒銷售情況，發現每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）（x為整數）近似的滿足一次函數關系，數據如表：（注：利潤率=利潤/成本）
銷售單價x（元、件） … 60 70 75 …
每天銷售量y（件） … 240 180 150 …
(1)求y與x的函數關系式；
(2)試確定銷售單價取何值時，花店銷售該鮮花禮盒每天獲得的利潤最大？并求出最大利潤；
(3)花店承諾：每銷售一件鮮花禮盒就捐贈n元（）給“希望工程”．若扣除捐贈后的日利潤隨著銷售單價x的增大而增大，請直接寫出n的取值范圍是 ．
【答案】(1)
(2)當銷售單價為75元/件時，利潤最大為3750元
(3)
【分析】本題主要考查了求一次函數的解析式、二次函數的應用及二次函數的最值問題，正確列出解析式，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
（1）設y與x的函數關系式為，用待定系數法求函數解析式即可；
（2）設每天獲得的利潤為w元，根據總利潤=單價利潤×銷售量列出函數解析式，再利用二次函數的性質求解即可；
（3）設表示扣除捐款后的日利潤，根據題意，列出函數解析式，利用在范圍內，隨x的增大而增大，進而求解即可．
【詳解】（1）解：設，
由題意得：當時，，當時，，
∴，
解之得，
∴；
（2）解：設每天利潤為w元，由題意得
，
又∵，
∴，
∴
∵，
∴當時，，
答：當銷售單價為75元/件時，利潤最大為3750元；
（3）解：設表示扣除捐款后的日利潤，
，
∵在（x為整數）范圍內，隨x的增大而增大，開口向下，對稱軸是直線，
∴，
解得，
∵，
∴．
18．（2022·浙江溫州·模擬預測）某商店決定購A，B兩種“冰墩墩”紀念品進行銷售．已知每件A種紀念品比每件B種紀念品的進價高30元．用1000元購進A種紀念品的數量和用400元購進B種紀念品的數量相同．
(1)求A，B兩種紀念品每件的進價分別是多少元？
(2)該商場通過市場調查，整理出A型紀念品的售價與數量的關系如下表，
售價x（元/件）
銷售量（件） 100
①當x為何值時，售出A紀念品所獲利潤最大，最大利潤為多少？
②該商場購進A，B型紀念品共200件，其中A型紀念品的件數小于B型紀念品的件數，但不小于50件．若B型紀念品的售價為每件元時，商場將A，B型紀念品均全部售出后獲得的最大利潤為2800元，直接寫出m的值．
【答案】(1)，兩種紀念品每件的進價分別是元和元
(2)①當時，售出紀念品所獲利潤最大，最大利潤為元；②32
【分析】（1）設紀念品每件的進價是元，則紀念品每件的進價是元，根據用1000元購進種紀念品的數量和用400元購進種紀念品的數量相同，列出分式方程，進行求解即可；
（2）①設利潤為，根據圖表，利用總利潤等于單件利潤乘以銷售數量，列出函數關系式，根據函數的性質，求出最值即可；②根據題意可得，此時該商場購進型紀念品為件，再由A型紀念品的件數不小于50件，可得，設總利潤為，求出函數關系式，根據二次函數函數的性質，即可求出的值．
【詳解】（1）解：設紀念品每件的進價是元，則紀念品每件的進價是元，
由題意，得：，
解得：，
經檢驗：是原方程的解；
當時：；
∴，兩種紀念品每件的進價分別是元和元；
（2）解：①設利潤為，由表格，得：
當時，，
∵，
∴隨著的增大而增大，
∴當售價為元時，利潤最大為：元；
當，，
∵，
∴當時，利潤最大為元；
綜上：當時，售出紀念品所獲利潤最大，最大利潤為元．
②∵商場購進A，B型紀念品共200件，其中A型紀念品的件數小于B型紀念品的件數，
∴A型紀念品的件數小于100件，
∴，此時該商場購進型紀念品為件，
∴購進型紀念品為件，
∵A型紀念品的件數不小于50件，
∴，
∴，
設總利潤為y元，根據題意得：
，
∴
，
∴當時， y隨x的增大而增大，
∵，
∴，
∴當時，y有最大值，
∵將A，B型紀念品均全部售出后獲得的最大利潤為2800元，
∴，
解得：．
【點睛】本題考查分式方程的應用，一次函數的應用，二次函數的應用．根據題意，正確的列出分式方程和函數表示式，利用函數的性質，求最值是解題的關鍵．
19．（2022·江蘇南京·二模）某農場有100畝土地對外出租，現有兩種出租方式：
方式一 若每畝土地的年租金是400元，則100畝土地可以全部租出．每畝土地的年租金每增加5元土地少租出1畝．
方式二 每畝土地的年租金是600元．
(1)若選擇方式一，當出租80畝土地時，每畝年租金是_____元；
(2)當土地出租多少畝時，方式一與方式二的年總租金差最大？最大值是多少？
(3)農場熱心公益事業，若選擇方式一，農場每租出1畝土地捐出a元給慈善機構；若選擇方式二，農場一次性捐款1800元給慈善機構，當租出的土地小于60畝時，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接寫出a的取值范圍．
（注：年收入＝年總租金－捐款數）
【答案】(1)500
(2)30畝；4500元
(3)
【分析】（1）依據出租方式進行列式計算即可；
（2）分別計算出方式一與方式二的總租金，再計算差，得二次函數，依據二次函數的性質求解即可；
（3）根據題意得到關系式，根據方式 一的年收入高于方式二的年收入可得關于a的不等式，即可求出a的即會范圍．
【詳解】（1）若選擇方式一，當出租80畝土地時，每畝年租金是：
（元）
故答案為：500；
（2）設出租畝土地，則方式一的每畝年租金為：，
∴方式一的年總租金為：
方式二的年租金為
設方式一與方式二的年總租金差為y元，由題意得，
∵
∴當時，y有最大值為4500
∴當土地出租30畝時，方式一與方式二的年總租金差最大，為4500元；
（3）設出租畝土地，方式一的年收入為：方式二的年收入為：；
設方式一與方式二的年總租金差為w元，由題意可得，
所以，對稱軸為直線
∵
∴對稱軸直線
∵
∴當時，w取得最小值
租出的土地小于60畝時，方式 一的年收入高于方式二的年收入，則
即：
解得，，
∵
∴a的取值范圍為：
【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，二次函數的圖象與性質，解題時要讀懂題意，列出二次函數關系式．
20．（2022·江蘇徐州·一模）某商場購進一種每件成本為100元的新商品，在商場試銷發現：銷售單價x（元/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關系：
(1)求出y與x之間的函數關系式；
(2)寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數關系式；
(3)疫情期間，有關部門規定每件商品的利潤率不得超過30%，那么將售價定為多少，來保證每天獲得的總利潤最大，最大總利潤是多少？（利潤率=利潤÷成本×100%）
(4)疫情過后，有關部門規定每件商品的利潤率不得超過50%，每銷售一件商品便向某慈善機構捐贈a元（10≤a≤25），捐贈后發現，該商品每天銷售的總利潤仍隨著售價的增大而增大．請直接寫出a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)將售價定為130元，每天獲得的總利潤最大，最大總利潤是1500元
(4)
【分析】（1）設y與x之間的函數關系式為，利用待定系數法可求出其解析式，再求出x的取值范圍即可；
（2）根據利潤=（售價-單價）×銷售量，即可得出答案；
（3）根據題意可求出x的取值范圍，再根據二次函數的性質，即可得出答案；
（4）根據題意可求出x的取值范圍和W與x、a的關系式，再將其配方，根據該商品每天銷售的總利潤仍隨著售價的增大而增，即可得出關于a的不等式，解出a的解集即可得出答案．
【詳解】（1）解：設y與x之間的函數關系式為，
根據圖象可知點(130，50)和點(150，30)在的圖象上，
∴，
解得：．
∴．
令，則，
解得：，
∴y與x之間的函數關系式為；
（2）根據題意可得，
即每天的利潤W與銷售單價x之間的函數關系式為；
（3）根據題意可得：，
解得：．
∴．
∵，
∴當時，有最大值，
且（元）．
故將售價定為130元，每天獲得的總利潤最大，最大總利潤是1500元；
（4）根據題意可知
解得：．
．
∵該商品每天銷售的總利潤仍隨著售價的增大而增大，
∴，
解得：．
∵，
∴．
【點睛】本題考查一次函數與二次函數的實際應用．根據題意找到等量關系，列出等式是解題關鍵．
題型六 二次函數的面積問題綜合（含定值）
21．（2025·江蘇宿遷·一模）已知拋物線過點和點，且，直線過定點，交線段于點，記的面積為，的面積為，且，
(1)求拋物線的對稱軸；
(2)求的值；
(3)若拋物線與軸交于點、，當為何值時的面積有最小值，求出的面積最小值及此時拋物線的解析式．
【答案】(1)直線
(2)1
(3)的面積最小值為，此時拋物線的解析式為
【分析】本題考查了二次函數與面積問題、二次函數與一元二次方程、待定系數法求函數解析式，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
（1）利用拋物線的對稱軸公式即可求解；
（2）根據拋物線過點，，得到，設點的坐標為，其中，再利用三角形的面積公式得出，，由整理得到，得出，最后代入和到，利用待定系數法即可求解；
（3）令，用含的代數式表示出，再利用三角形的面積公式得出，再結合二次函數的性質求出的面積最小值和此時的值，即可得出拋物線的解析式．
【詳解】（1）解：拋物線，
拋物線的對稱軸為，
拋物線的對稱軸為直線．
（2）解：拋物線過點，，
點和點關于拋物線的對稱軸對稱，且直線為，
，即，
點在線段上，
設點的坐標為，其中，
，
點到直線的距離為，
，，
，
，
整理得：，
點的坐標為，
代入和到，得，
解得：，
的值為1．
（3）解：令，則，
解得：，，
，
，
點到軸的距離為2，即點到的距離為2，
，
當時，有最小值3，此時有最小值，
此時拋物線的解析式為，
綜上所述，的面積最小值為，此時拋物線的解析式為．
22．（2024·江蘇無錫·模擬預測）如圖1，二次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，且．點為拋物線第二象限上一動點．
(1)直接寫出該二次函數的表達式為 ___________；
(2)連接，求四邊形面積的最大值；
(3)如圖2，連結交于點，過點作軸的平行線交于點．當為等腰三角形時，求出點的坐標．
【答案】(1)
(2)
(3)點的坐標為：或
【分析】（1）根據二次函數與y軸的交點可得，，則，將點的坐標代入拋物線表達式，運用待定系數法即可求解；
（2）根據點的坐標可得直線的解析式，由二次函數與坐標軸的交點的計算可得點的坐標，如圖所示，過點作軸的垂線，交于點，可得，由此可得四邊形面積，代入計算，再根據二次函數求最值的計算方法即可求解；
（3）設點，則點，可得直線的表達式為：，根據兩直線的交點的計算可得點的坐標為：，根據等腰三角形的定義，分類討論：當時，則點在的中垂線上；當時，即；由此即可求解．
【詳解】（1）解：二次函數中，令時，，
∴，
∴，
∴點，
將點的坐標代入拋物線表達式得：，
解得：，
則拋物線的表達式為：，
故答案為：；
（2）解：，，
設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的表達式為：，
在二次函數中，當時，，
解得，，
∴，則，
如圖所示，過點作軸的垂線，交于點，
∵點為拋物線第二象限上一動點，
∴設點，則點，
∴，
∴四邊形面積
，
∵，
故四邊形面積存在最大值，
當時，四邊形ABCP面積的最大值為；
（3）解：設點，則點，
設直線的解析式為：，，
∴，
解得，，
∴直線的表達式為：，
聯立上式和直線的表達式得：，
解得：，則點的坐標為：，
由直線的表達式知，其和軸正半軸的夾角為，
如果，則，則，故不存在，
則，
而，
當時，
則點在的中垂線上，則，
∴，
解得：（舍去）或，
即點；
當時，即，
解得：（舍去）或，
即點，
綜上，點P的坐標為：或．
【點睛】本題主要考查二次函數，一次函數圖象的性質，二次函數與幾何圖形的綜合，等腰三角形的定義及性質，掌握二次函數圖象的性質，一次函數圖象的性質，等腰三角形的判定和性質是解題的關鍵．
23．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，二次函數（a是常數，且）的圖象與x軸相交于點、（點A在點的左側），與y軸相交于點C，且，連接．
(1)填空：______ ，的坐標為______ ；
(2)如圖1，點為拋物線上一點，且在，C兩點之間運動，連接與相交于點E，連接，，當的值最大時，求直線的表達式；
(3)如圖2，動點在拋物線的對稱軸上，連接、、，若，請求出點的坐標．
【答案】(1)，
(2)
(3)點坐標為或
【分析】（1）求出，由可得，則，代入可得的值，令可得出的坐標；
（2）設，根據三角形的面積公式可得，則當最大時的值最大，可得為拋物線的頂點，然后得出點坐標，利用待定系數法即可得直線的表達式；
（3）拋物線的對稱軸為直線，勾股定理逆定理判斷是直角三角形，且，記為對稱軸與軸的交點，連接，判定，即與重合，求此時的點坐標；過，，三點作，由同弧所對的圓周角相等可知與直線交點即為，設，由題意知，圓心在直線上，設圓心坐標為，則，根據，可求值，根據，可求值，進而可得此時的點坐標．
【詳解】（1）解：二次函數，
，
，
，
，
，
代入得：，
，
二次函數，
令得，
解得：或，
的坐標為，
故答案為：，；
（2）解：設，
，，
，
，
當最大時的值最大，
二次函數，
為拋物線的頂點時最大，
，
設直線的解析式為，
，
解得：，
直線的解析式為：；
（3）解：，，
拋物線的對稱軸為直線，
，，，
，
是直角三角形，且，
記為對稱軸與軸的交點，如圖，連接，
，
，
，
，
，
則①當與重合，即；
②過，，三點作，如圖，由同弧所對的圓周角相等可知與直線交點即為，設，
，，
圓心在直線上，設圓心坐標為，則，
，即，
解得：，
，即，
解得：，，
，
綜上，點坐標為或．
【點睛】
本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象與性質，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，同弧所對的圓周角相等，等邊對等角，三角形外角的性質等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
24．（23-24江蘇連云港·期中）在平面直角坐標系中，拋物線經過點，，與y軸交于點C．
(1)求該拋物線的函數表達式；
(2)點P是該拋物線上的一個動點，
①若中有一個內角是的3倍，求點P坐標．
②若拋物線上的點P在第二象限且直線與y軸和直線分別交于點D和點E，若，，的面積分別為，，，且滿足，求點P的橫坐標．
【答案】(1)
(2)①或 ②
【分析】本題考查拋物線及拋物線上動點問題．
（1）根據題意由待定系數法即可求解．
（2）①由點的坐標得，，則中有一個內角是的3倍，即為，再分類求解即可．
②由三個三角形得高相同，則面積比等于底的比，當時，則，即可求出答案．
【詳解】（1）解：由題意得，拋物線表達式為：．
（2）解：①由拋物線的表達式可知，點，由點的坐標得，在中，所以，故，
則中得一個內角是的3倍，即為，
則存在為直角的情況，
由于，則的外接圓除了和拋物線交于點外，不可能再出現點，故該情況不存在，
當為直角時，設點，過點作平行于軸的直線，過點作平行于軸的直線，相較于點，
∵
∴，
中，，解得，
又∵過拋物線，
∴，解得或舍去
即點；
當為直角時，
同理可得，點；
綜上，點的坐標為：或；
②：由點的坐標得，
設直線的表達式為，
分別代入點、，
得：解得：
得：，
設點，
直線的表達式為由點的坐標得，
解得：
解得直線的表達式為：
，
聯立拋物線和直線的表達式得：
，
解得，
∵三個三角形的高相同，
則面積比等于底的比，
而三個底共線，
則，
當時，
則，
整理得：，
即，
解得：（舍去）或
則點P的橫坐標為．
題型七 二次函數的角度問題綜合
25．（2025·江蘇無錫·一模）如圖，二次函數的圖象與x軸的負半軸和正半軸分別交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為P，對稱軸交x軸于點D，點Q是拋物線對稱軸上一動點，直線交y軸于點E，且．
(1)請直接寫出A，B兩點的坐標：A______，B______．
(2)當頂點P與點Q關于x軸對稱時，．
①求此時拋物線的函數表達式；
②在拋物線的對稱軸上存在點F，使，請直接寫出點F的坐標．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）根據拋物線的解析式配方后可得對稱軸，根據平行線分線段成比例定理可得點坐標，由對稱性可得點坐標；
（2）①根據的面積可得的長，表示點和點的坐標，根據兩點的距離公式可列方程，解方程可得結論；②如圖2，當點在的下方時，連接，根據頂點與點關于軸對稱，結合已知可證得，在此基礎上求出直線的解析式和直線的解析式，進而求出點的坐標；當點在上方時，連接，設，，，，每個點的坐標易求出，可得，的長，所以有，易知是的平分線，因此有，然后過作軸，垂足為，由勾股定理可求出，根據等量代換進而求出點的坐標．
【詳解】（1）解： ∵，
∴這個拋物線的對稱軸是：直線，
∴，
如圖1所示，
∵軸，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
根據拋物線的對稱性得，
故答案為：；
（2）解： ①如圖1，
將代入二次函數中得：，
∴，
，
∴，
∵頂點與點關于軸對稱，
∴，即，
，
，
，
設直線的解析式為：，
，
，
∴直線的解析式為：，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∴此時拋物線的函數解析式為：；
②如圖2，
當點在的下方時，連接，
∵頂點與點關于軸對稱，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①得：，
∴；
設直線的解析式為，
∵，
∴，
∴，
∴直線的解析式，
設直線的解析式為：，
∵，
∴，
當時，，
，
如圖3，
當點在的上方時，連接，
設，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，，
，
∵，
，
，，，
，
過作軸，垂足為，
在中， ，
，
或 (舍去)．
，
綜上所述，在拋物線的對稱軸上，存在點或，使．
【點睛】本題是二次函數的綜合題，主要考查了一次函數解析式和二次函數解析式的確定，函數圖象的平移，軸對稱的性質，勾股定理等知識，熟練掌握待定系數法和一次函數與二次函數的圖象與性質是解本題的關鍵．
26．（2025·江蘇鎮江·一模）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于、兩點，與y軸相交于點C，拋物線的頂點為D，直線交y軸于點E，點P為點D右側的拋物線上的一點，連接．
(1)求二次函數的函數表達式；
(2)若，則點P的坐標為 ；
(3)如圖2，延長交x軸于點G，若．
①求點G的坐標；
②Q為線段上一點(不與A、D重合)，N為x軸上一點，其橫坐標為n，若，則n的最大值為 ．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】本題為二次函數綜合運用，涉及到三角形相似、一次函數的圖象和性質，證明三角形相似是本題的難點．
（1）由題意得：，即可求解；
（2）證明和關于對稱，得到直線的表達式為：，聯立和拋物線解析式即可求解；
（3）①由，則，即可求解；
②證明，則AN：：PD，即：：，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得：，
∴，
則，
則拋物線的表達式為：；
（2）解：由拋物線的表達式知，
∴點，
設拋物線的對稱軸交x軸于點H，
則軸，則，
而，
則，
即和關于對稱，
設直線的表達式為：，
則，
解得：，
∴，
則直線的表達式為：，
聯立上式和拋物線的表達式得：，
解得：舍去或3，
則點，
故答案為：；
（3）解：①設點，
，
則，
則，
即點；
②由點A、D的坐標得，
直線的表達式為：，
同理可得直線的表達式為：，
聯立和拋物線的表達式得：
，
則舍去或，
則點，
設點，點，
由點A、N、D、P、Q的坐標得，
，，，，
由①知，，
而，
即，
則，
即，
，
，
則，
即：,
則，
即n的最大值為：，
故答案為：
27．（2023·江蘇連云港·一模）如圖，已知拋物線經過點，與y軸交于點C．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點P為該拋物線上一動點．
①當點P在直線下方時，過點P作軸，交直線于點E，作軸．交直線于點F，求的最大值；
②若，求點P的橫坐標．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）待定系數法求解析式即可；
（2）①當時，，即，，，待定系數法求直線的解析式為；如圖1，設，則，，由，可知當時，有最大值，由軸，軸，可得，，由勾股定理得，，進而可求的最大值；②如圖2，作關于軸的對稱點，連接，作，使，交軸于， 由軸對稱的性質可知，，，則，，，由勾股定理得，，如圖2，作于，由，即，可求，由勾股定理得，，則，由，即，可求，即，待定系數法求直線的解析式為，聯立，，計算求出滿足要求的解即可．
【詳解】（1）解：將代入得，，
解得，，
∴；
（2）①解：當時，，即，
∴，，
設直線的解析式為，
將，代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為；
如圖1，
設，則，，
∵，
∴當時，有最大值，
∵軸，軸，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴的最大值為；
②解：如圖2，作關于軸的對稱點，連接，作，使，交軸于，

由軸對稱的性質可知，，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
如圖2，作于，
∴，即，
解得，，
由勾股定理得，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
設直線的解析式為，
將，代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為，
聯立，，
解得，或（舍去），
∴點P的橫坐標為．
【點睛】本題考查了二次函數解析式，二次函數的最值，二次函數與線段綜合，二次函數與角度綜合，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，軸對稱的性質，正切等知識．熟練掌握二次函數解析式，二次函數的最值，二次函數與線段綜合，二次函數與角度綜合，勾股定理，等腰三角形的判定與性質，軸對稱的性質，正切是解題的關鍵．
28．（2024·江蘇淮安·一模）如圖①，二次函數的圖象與直線交于、兩點．點是軸上的一個動點，過點作軸的垂線交直線于點，交該二次函數的圖象于點，設點的橫坐標為．
(1) ， ；
(2)若點在點的上方，且，求的值；
(3)將直線向上平移4個單位長度，分別與軸、軸交于點、（如圖②）．
①記的面積為，的面積為，是否存在，使得點在直線的上方，且滿足=？若存在，求出及相應的、的值；若不存在，請說明理由．
②當時，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接、、，若，直接寫出點F的坐標．
【答案】(1)1，
(2)m的值為1
(3)①當時，， ；當時，，；；②
【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，三角函數的定義；
（1）把、代入即可得到答案；
（2）先求出直線的解析式，設點，可得 ，進而即可求解；
（3）①先求出的解析式，的解析式，再表示，
，結合=，列出方程，即可求解；②當旋轉后點F在點C左側時，過點B作軸于點Q，過點M作軸，作于點G，作于點H，交x軸于點K，推出，即可求解；當旋轉后點F在點C右側時滿足的點F不存在
【詳解】（1）解：∵二次函數的圖象與直線交于、兩點，
∴，解得：，
∴，
把代入，得，
故答案為：1，；
（2）∵直線過、兩點．
∴直線的解析式是，
設點，
∴點M（m，）、N（m，），當點在點的上方時，則 ，
當時，，解得：；
∴m的值為1；
（3）①由題意得：的解析式為，
的解析式，
當時，，
∴點E（3，），
∴，，
∴，
，
∵=，
∴，解得：
∵點在直線的上方
∴令=，解得：
∴
∴存在，，滿足=
當時，， ；
當時，，；
②當旋轉后點F在點C左側時
過點B作軸于點Q，過點M作軸，作于點G，作于點H，交x軸于點K，如圖3，
∵直線的解析式為，
∴，
∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，
∴，
∴和是全等的兩個等腰直角三角形，
∴，
∵M（m，），
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴點F的坐標是，
當旋轉后點F在點C右側時
滿足的點F不存在；
綜上所述，點F的坐標是．
題型八 二次函數與相似三角形綜合
29．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖1，拋物線（m為常數）與x軸交于 A、B兩點，與y軸交于點C．

(1)下列說法正確的是 （填序號）．
①該拋物線開口向上；
②該拋物線與y軸的交點始終在x軸的上方；
③該拋物線的頂點在直線上．
(2)如圖2，若直線與該拋物線交于M、N兩點，試說明：線段的長是一個定值，并求出這個值．
(3)在（2）的條件下，點E是直線上的一個動點（圖3），當時，與相似，求此時拋物線的函數表達式．
【答案】(1)①③
(2)線段的長度是定值
(3)
【分析】（1）由二次項系數判定①，令計算y的值判定②，由解析式得到頂點的坐標，然后代入直線判定③；
（2）聯立直線解析式和拋物線解析式得到關于x的一元二次方程，進而由根與系數的關系得到點M和點N兩點橫坐標之間的關系，再結合兩點之間的距離公式求得線段的長度，判定是否為定值；
（3）先根據算出的長度，然后利用兩點間的距離公式計算得到點N的坐標，再將點N的坐標代入拋物線解析式求出m得到相關拋物線的解析式，進而聯立直線和拋物線的解析式求出點M和點N的坐標進行判定三角形是否相似，進而求解．
【詳解】（1）由得頂點坐標為，二次項系數為1，
∴開口向上，故①正確，符合題意；
當時，，
∴點不一定在軸正半軸上，故②錯誤，不符合題意；
將頂點坐標代入直線，得，故③正確，符合題意；
故答案為：①③；
（2）由，得：，
設，則，
，
，
∴線段的長度是定值．
（3）∵，
∴，
，
對直線，當時，，
，
設，則，
解得：或，
或
將代入，得，
解得：或，
當時，，
令時，或，
∴，
由，得：或，
∴，符合條件；
∴，
∴，
∴與不相似，舍去：
當時，，
令時，，無解；
將代入，得，
解得：或，
當時，不符合條件，舍去；
當時，，
由，得：或，
∴，
當時，，
解得：或，
，
，
，
，
，
，
，
綜上所述，時，與相似，
則拋物線的表達式為：．
【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數和二次函數的解析式、二次函數的性質、兩點之間的距離公式、相似三角形的判定、一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是學會將題目中的語句和相關的知識點連接解題．
30．（2023·江蘇鹽城·模擬預測）如圖，四邊形是矩形，點A的坐標為，點C的坐標為，點P從點C出發，沿CO以每秒1個單位長度的速度向點O出發，同時點Q從點O出發，沿OA以每秒2個單位長度的速度向點A運動，當點P與點O重合時運動停止．設運動時間為t秒．
(1)當時， ；
(2)當與相似時，求t的值；
(3)當時，拋物線經過P，Q兩點，與x軸交于另一點M．拋物線的頂點為N，問該拋物線上是否存在點D，使？若存在，求出所有滿足條件的D的坐標；若不存在，說明理由．
【答案】(1)2
(2)t的值為或
(3)拋物線上存在點D，其坐標為或
【分析】本題考查了待定系數法求解析式，相似三角形的判定與性質等，解題關鍵是注意分類討論思想在解題過程中的運用．
（1）可用含的代數式分別表示出，，的長，再將代入，即可直接求出的面積；
（2）分兩種情況討論，當∽時，當∽時，分別用相似三角形的性質可求出的值；
（3）先求出拋物線的解析式，頂點坐標，點的坐標，如圖，連接，，過點作軸于點，則，推出，當點在軸上方時，設與交于點，求出直線的解析式，求出其與拋物線交點即可；當點在軸下方時，作點關于軸的對稱點，與拋物線交于點，求出直線的解析式，求出其與拋物線的解析式即可．
【詳解】（1）解：由題意知，，，
，
當時，，，
，
故答案為：；
（2）由題意知，，
①當時，
，即，
解得，（舍去），；
②當時，
，即，
解得，（舍去），，
綜上所述，當與相似時，的值為或；
（3）當時，，，
將代入，得，，
拋物線的解析式為，
頂點的坐標為，
，
由對稱性知，，
如圖，連接，，過點作軸于點，則，，
，
①當點在軸上方時，
則時，設與交于點，
又，
，
，
即，
解得，，
，
設直線的解析式為，
將，代入，
得，，
解得，，，
直線的解析式為，
聯立，得，
解得，，（舍去），
；
②當點在軸下方時，
作點關于軸的對稱點，與拋物線交于點，
此時，
設直線的解析式為，
將，代入，
得，，
解得，，，
直線的解析式為，
聯立，得，
解得，，（舍去），
，
綜上所述，拋物線上存在點，其坐標為或．
31．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，拋物線交軸交于A，兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C，連接，其中．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點P為線段上方拋物線上一動點，過點P作于點E，若，求點P 的坐標；
(3)過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當與相似時，點E的坐標為______．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）求出C點坐標，把B，C點坐標代入二次函數解析式求解即可；
（2）過點E作軸，過點P作，先證，由相似的性質可得，求出直線的解析式，設，由等腰三角形的性質可得，進而可得，把P點代入二次函數即可求出t，進而求出P點坐標；
（3）分為和兩種情況討論求解即可；
【詳解】（1）解：，
，
，
把代入得，
，解得，
拋物線的解析式為；
（2）過點E作軸于M，過點P作于N，
，
，
，
，
，
，
，
，
軸， ，
，
，
，
，
，
設直線的解析式為，
把，代入得，
解得：，
直線的解析式為，
設點 ，
，
，
，
，
點P為線段BC上方拋物線上一動點，
，，
整理得，
解得或 （舍去），
；
（3）如圖，過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，延長交x軸于H，連接，則軸,
令得，，解得，
，
，
，
，
，
設，則，
，
軸，
，
，，
，
和相似，分為和兩種情況，
當時，，，解得或（舍去），
此時E點坐標為；
當時，，解得或（舍去），
此時E點坐標為；
綜上所述，當與相似時，點E的坐標為或，
故答案為：或．
【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數與一次函數的解析式，相似三角形的性質和判定，勾股定理，正確的作出輔助線，數形結合思想，分類討論思想的應用是解題的關鍵；
32．（2023·江蘇宿遷·模擬預測）如圖．拋物線與y軸交于點，與x軸交于A，B兩點，A點在對稱軸的左側，B點的坐標為．

(1)求拋物線的解析式；
(2)設拋物線的對稱軸與直線交于點D，連接，，求的面積；
(3)點E為直線上一動點，過點E作y軸的平行線與拋物線交于點F，是否存在點E，使得以點D，E，F為頂點的三角形與相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)或或或
【分析】（1）把點，代入解析式中，即可求解；
（2）連接，由點A與點B關于對稱軸對稱即可得到點A的坐標，從而得到的長，待定系數法求出直線的解析式，從而求得點D的坐標，進而得到的高，根據，結合三角形的面積公式即可解答；
（3）分兩種情況討論：①當時，②當時，與相似，分別求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點，，
∴，解得，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：如圖1所示，連接．

∵拋物線的對稱軸為，，
∴，
∴，
設過點，的直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為．
∵將代入得：，
∴
設對稱軸與x軸的交點為G，
∴．
∵，
∴，
∴
；
（3）解：如圖2所示：當時．

∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴點F的縱坐標為1．
將代入拋物線的解析式得；，解得：，，
∵將代入得：，
∴．
∵將代入得：，
∴的坐標為．
如圖3所示：當時，

∵，，
∴．
∵，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵，即，
∴點F在直線上，
∴點F是直線與拋物線的交點．
∵，，
∴直線的解析式為，
解方程組得或，
∴點或，
∵軸，
∴點E的橫坐標為1或4，
∴將代入得，
∴．
將代入得，
∴．
綜上所述，點E的坐標為或或或．
【點睛】本題考查待定系數法，二次函數的圖象及性質，三角形的面積，相似三角形的判定，函數圖象的交點，綜合運用相關知識是解題的關鍵．
題型九 二次函數與三角函數綜合
33．（2023·江蘇宿遷·二模）閱讀下列材料：
在九年級下冊“5.2二次函數的圖像和性質”課時學習中，我們發現，函數：中的符號決定圖像的開口方向，決定圖像的開口大小，為了進一步研究函數的圖像和性質，我們作如下規定：如圖，拋物線上任意一點（）（異于頂點）到對稱軸的垂線段的長度（的長度）叫做這個點的“勾距”，記作；垂足（）到拋物線的頂點（）的距離（）叫這個點的“股高”，記作；點（）到頂點（）的距離（的長度）叫這個點的“弦長”，記作；過這個點（）和頂點（）的直線（）與對稱軸（）相交所成的銳角叫做這個點的“偏角”，記作．

由圖1可得，對于函數：
（1）當勾距為定值時
①；股高和弦長均隨增大而增大；
②；偏角隨增大而減小；
（如：函數中，當時，；）
（2）當偏角為定值時
，勾距、股高和弦長均隨增大而減小；
（如：函數中，當時，、）
利用以上結論，完成下列任務：
如圖2：已知以為頂點的拋物線與軸相交于點，若拋物線的頂點也是，并與直線相交于點，與軸相交于點．
(1)函數中，①當時，________，②當時，________；
(2)如圖2：以為頂點作拋物線：和與軸相交于點與直線相交于點，與軸相交于點：
①當時，設，隨的取值不同，的值是否發生改變，如果不變，請求出的值，如果發生改變，請直接寫出的取值范圍；
②若點M在拋物線上，直線與的另一個交點為，記的面積為，的面積為，若，請求出的值
【答案】(1)①；②
(2)①；②
【分析】（1）①根據材料（1）勾距為定值時，；
②當偏角為定值時，，代入數據即可求解．
（2）①根據題意，分別求得，進而即可求解；
②根據題意，分求得，，進而證明，根據相似三角形的性質即可求解．
【詳解】（1）解：①函數中，①當時，，②當時，，
故答案為：，．
（2）①如圖所示，過點作于點，過點作于點

以為頂點作拋物線：和
∴
以為頂點的拋物線與軸相交于點，
由，令，解得：，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，，
則，
∴
∵
∴與軸交于點，，
∴，
∴
②當時，如圖所示

由①可得，，
∴
∵設，
∴，
∴
∴
又，
∴
∴
又，
∴
∴
解得：或（不合題意，舍去）
【點睛】本題考查了二次函數的性質，解直角三角形，相似三角形的性質與判定，熟練掌握題目所給的材料是解題的關鍵．
34．（2023·江蘇常州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像與x軸交于點A和點，與y軸交于點C．
(1)求二次函數的表達式；
(2)若點P是拋物線上一點，滿足，求點P的坐標；
(3)若點Q在第四象限內，且，點M在y軸正半軸，，線段是否存在最大值，如果存在，直接寫出最大值；如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)存在，18．
【分析】(1)將點代入解析式計算即可．
(2)分點P在x軸的上方和下方兩種情況計算即可．
(3) 作線段的垂直平分線交x軸于點R，過點C作軸，交于點G，從而得到點Q在以垂直平分線上G點為圓心，且半徑為5的圓上的第四象限部分的弧上運動，當M，G，Q三點一線時，取得最大值．
【詳解】（1）解：將點代入，
∴，
∴，
∴．
（2）令，則，
∴，
令，則，
∴或，
∴，
∵，
∴，
如圖1，當P點在x軸上方時，設與x軸的交點為點G，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
，
∴，
∴，
聯立方程組，
∴（舍）或，
∴；
如圖2，當P點在x軸下方時，
∵，，
∴，，
∴，
解得（舍去），
∴；
綜上所述：P點坐標為或．
（3）線段存在最大值，且為18．理由如下：
作線段的垂直平分線交x軸于點R，過點C作軸，交于點G，
則四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
連接，
則，
以G點為圓心，半徑為5的作，點，
當點Q位于上時，作直徑，連接，，，
則，
∵，，
∴，
∴，
∴點G位于的第四象限部分的弧上運動，
故當M，G，Q三點一線時，取得最大值．
∵，∴，
∴，，
∴，，
∴．
【點睛】本題考查了二次函數的解析式確定，正切函數，余弦函數，勾股定理，圓的性質，熟練掌握待定系數法，三角函數，圓的性質是解題的關鍵．
35．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，拋物線與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C．
(1)若由點A、B、C組成的角滿足，求m的值及點A的坐標；
(2)在（1）的條件下，點D是直線上方拋物線上的動點，過點D作直線的垂線，垂足為E，是否存在某個位置D使得線段的長度等于．若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)現將點C向右平移4個單位得到點M，若拋物線與線段有且只有一個公共點，直接寫出m的取值范圍________．
【答案】(1)，點A的坐標為
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）求出點C的坐標為，則，根據正切的定義求出，得到點B的坐標為，把代入得到解得，得到拋物線解析式為，進一步求出點A的坐標即可；
（2）過點D作軸于點F，交于點H，求出直線的解析式為，設點D的坐標為，則點的坐標為，則，證明，得到解得，即可得到答案；
（3）點M的坐標為，求出拋物線的對稱軸為直線，得到點C關于對稱軸的對稱點坐標為，根據二次函數的圖象和性質進一步進行分析即可得到答案．
【詳解】（1）解：當時，，
∴點C的坐標為，
∴，
在中，∵
∴
∴點B的坐標為，
把代入得到
，
解得，，
∴拋物線解析式為，
令，則，
解得，
∴點A的坐標為
（2）存在，如圖，過點D作軸于點F，交于點H，
設直線的解析式為，則
，
解得，
∴直線的解析式為，
設點D的坐標為，則點的坐標為，
∴，
∵
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
解得，
∴點D的坐標為或；
（3）∵點C向右平移4個單位得到點M，
∴點M的坐標為，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴點C關于對稱軸的對稱點坐標為
∵拋物線與線段有且只有一個公共點，
∴或
∴m的取值范圍為或．
故答案為：或．
【點睛】此題考查了二次函數的圖象和性質、待定系數法求函數解析式、銳角三角函數、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，數形結合和熟練掌握相似三角形的性質是關鍵．
36．（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，二次函數 的圖象與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點．點是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，連接．
(1)點的坐標分別為 ( ， )， ( ， )
(2)如圖，連接與交于點，設和的面積分別為和，求的最大值；
(3)連接，當 時，
①求點的坐標；
②點是上的一個動點（點不與重合），連接，線段的垂直平分線交于點，交直線于點，則的取值范圍是_________．
【答案】(1)
(2)當時，有最大值，最大值為
(3)①；②
【分析】（1）分別令即可求解；
（2）根據題意計算出直線的解析式，如圖所示，過點作軸交于點，則點的橫坐標為，過點作軸于點，交于點，過點作與點，設，且，可證，可得，即，再根據三角形的面積計算方法得，，由此結合二次函數最值的計算方法即可求解；
（3）①接，，作點關于的對稱點，則，連接，作軸于點，證明兩個三角形全等可得，可得點三點共線，求出直線的解析式，聯立二次函數解二元一次方程組即可；
②作圖如下，過點作軸于點，于點，連接，過點作軸于點，連接，作于點，可證，可得，則有，分類討論：當時，的值最小，即的值最小；當點與點重合時，當點與點重合時，，可得的值最大值，由此即可求解．
【詳解】（1）解：已知二次函數 的圖象與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點，
∴令時，，整理得，，
∴，，
∴，，
令時，，
∴，
故答案為：；
（2）解：已知，，
∴設直線所在直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線所在直線的解析式為，
如圖所示，過點作軸交于點，則點的橫坐標為，過點作軸于點，交于點，過點作與點，
∴當時，，
∴，則，
∵點是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，
∴設，且，
∴，，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴當時，有最大值，最大值為；
（3）解：①連接，，作點關于的對稱點，則，連接，作軸于點，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，即，
∵點關于的對稱點為，且，
∴，
∴點三點共線，
∴；
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，，則，，，
∴，
∴，
∴點三點共線，
∵點，點，
∴設直線的解析式為，
∴，
解得，，
∴直線的解析式為，
∴，
解得，或（不符合題意，舍去）
∴；
②根據題意，作圖如下，過點作軸于點，于點，連接，過點作軸于點，連接，作于點，

已知，，是的垂直平分線，
∴，，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在四邊形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
當時，的值最小，即的值最小，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，即的最小值為，
當點與點重合時，，
當點與點重合時，，
∵，
∴，
綜上所示，的取值范圍是：．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查二次函數圖象與幾何圖形的綜合，掌握待定系數法求一次函數、二次函數解析式，軸對稱的性質，全等三角形的判定和性質，相似的判定和性質，勾股定理，垂直平分線的性質，點到直線垂線段最短等知識的綜合運用，圖形結合分析，分類討論思想是解題的關鍵．
題型十 二次函數的最值問題
37．（2024·江蘇無錫·三模）如圖，二次函數與x軸交于兩點，頂點為C，連接、，若點B是線段上一動點，連接，將沿折疊后，點A落在點的位置，線段與x軸交于點D，且點D與O、A點不重合．

(1)求二次函數的表達式；
(2)在線段上是否存在這樣的點B，使得的值最小，若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由；
(3)當時，直線與二次函數的交點的橫坐標為____________．
【答案】(1)；
(2)存在，；
(3)或．
【分析】（1）用待定系數法求解即可；
（2）證明，得，由，得到，則的最小值就是的最小值，當時，求得最小，則最小，即的值最小，再求出，代入即可求解；
（3）根據相似三角形的性質求得，則，如圖2，作拋物線對稱軸交x軸于P，連接，過點作于G，延長交于H，證明，得到，則，設，則，，由勾股定理，得：，解得：，（舍去），則，，從而求得，然后用待定系數法求出直線的解析式為，最后聯立直線與拋物線的解析式，求解即可．
【詳解】（1）解：把，分別代入，得
，解得：，
∴；
（2）解：∵二次函數與x軸交于兩點，頂點為C，
根據拋物線的對稱性，∴，，
由翻折可得：，
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴的最小值就是的最小值，
∵
∴
∴
∴當時，最小，則最小，即的值最小，
∴的最小值
∴的最小值為．
（3）解：∵
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
如圖2，作拋物線對稱軸交x軸于P，連接，過點作于G，延長交于H，

∵，
∴，，
∴，
由翻折可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設，則，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，（舍去），
∴
∴
∴
設直線的解析式為，
把 ，代入，得，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯立得，則
解得：，
∴直線與二次函數的交點的橫坐標為或．
【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數圖象性質，求二次函數與一次函數交點坐標，相似三角形的判定與性質，勾股定理，翻折的性質等知識，本題屬二次函數綜合題目，難度較大． 用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．
38．（2024·江蘇鹽城·二模）如圖1，已知直線與坐標軸相交于B、C兩點，經過點B、C的拋物線與x軸交于點A．
(1)求拋物線解析式；
(2)若點D是y軸上的一點，且以B，C，D為頂點的三角形與相似，求點D的坐標；
(3)如圖2，軸與拋物線相交于點E，點H是直線下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與交于點F，試探究當點H運動到何處時，四邊形的面積最大，求點H的坐標及最大面積；
(4)若點K為拋物線的頂點，點是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形的周長最小，求出點P，Q的坐標．
【答案】(1)
(2)的坐標為或
(3)，
(4)
【分析】（1）由待定系數法即可求解；
（2）要使以為頂點的三角形與相似，則有或，進而求解；
（3）由即可求解；
（4）作點關于軸的對稱點，作點關于于點，則點為所求點，進而求解．
【詳解】（1）解：對于，令，解得，
令，則，
故點的坐標分別為，
將點的坐標代入拋物線表達式得，
解得，
故；
（2）由點的坐標知，，，
要使以為頂點的三角形與相似，
則有或，
①當時，即，
∵點的坐標為，
∴，
②當時，即，
解得，
∴，
即的坐標為或；
（3）∵軸，
∴，
∴，
設，
∴，
∴，
∵，
∴，
當時，四邊形的面積最大為，
此時，
故點；
（4）作點關于軸的對稱點，作點關于軸的對稱點，連接分別交軸于點交軸于點，則點為所求點，
理由：四邊形的周長為最小，
∵，
∴關于軸的對稱點，
∵在拋物線上，
∴，
∴點關于軸的對稱點，
由點的坐標得：直線的解析式為，
令，則，
令，則，
∴．
【點睛】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．
39．（2024·江蘇揚州·二模）某公園要在小廣場建造一個噴泉景觀．在小廣場中央處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過的任一平面上拋物線路徑如圖1所示，為使水流形狀較為美觀，設計成水流在距的水平距離為1米時達到最大高度，此時離地面2.25米．
(1)以點為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，水流到水平距離為米，水流噴出的高度為米，求出在第一象限內的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(2)張師傅正在噴泉景觀內維修設備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子的距離為米，求的取值范圍；
(3)為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成角，如圖3所示，光線交匯點在花形柱子的正上方，且米，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．
【答案】(1)
(2)
(3)米
【分析】本題考查二次函數的應用，直線的平移，直線和拋物線相切等知識，關鍵是求拋物線解析式．
（1）根據題意得到第一象限內的拋物線的頂點坐標，將拋物線設成頂點式，再將點坐標代入即可求出第一象限內的拋物線解析式；
（2）直接令，解方程求出的值，再根據函數的圖象和性質，求出時的取值范圍即可；
（3）先作輔助線，作出直線的平行線，使它與拋物線相切于點，然后設出直線的解析式，聯立直線與拋物線解析式，利用相切，方程只有一個解，解出直線的解析式，從而得到直線與軸交點，最后利用銳角三角函數求出直線與直線之間的距離．
【詳解】（1）解：根據題意第一象限內的拋物線的頂點坐標為，，
設第一象限內的拋物線解析式為，
將點代入物線解析式，
，
解得，
第一象限內的拋物線解析式為；
（2）解：根據題意，令，
即，
解得，，
，拋物線開口向下，
當時，，
的取值范圍為；
（3）解：作直線的平行線，使它與拋物線相切于點，分別交軸，軸于點，，過點，作，垂足為，如圖所示，
∵，
設直線的解析式為，
聯立直線與拋物線解析式，
，
整理得，
直線與拋物線相切，
方程只有一個根，
，
解得，
直線的解析式為，
令，則，
，
，
即，
射燈射出的光線與地面成角，
，
，
，
，
光線與拋物線水流之間的最小垂直距離為米．
40．（23-24山東東營·階段練習）如圖，已知拋物線與一直線相交于、兩點，與軸交于點，其頂點為．
(1)求拋物線及直線的函數關系式；
(2)在對稱軸上是否存在一點，使的周長最小．若存在，請求出點的坐標和周長的最小值；若不存在，請說明理由．
(3)若是拋物線上位于直線上方的一個動點，求的面積的最大值及此時點的坐標．
【答案】(1)，
(2)在對稱軸上存在一點，周長的最小值為
(3)最大值為，此時點P的坐標為
【分析】（1）利用待定系數法求出二次函數和一次函數關系式即可；
（2）首先確定點的坐標為，再結合題意可知點，關于拋物線的對稱軸對稱；令直線與拋物線的對稱軸的交點為點，由“最短路徑”的性質即可求出的坐標，并確定周長取最小值；
（3）過點作軸交軸于點，交直線于點，過點作軸交軸于點．設點的坐標為，則點，點，易得，，根據，并結合二次函數的性質即可求得的面積取最大值以及此時點的坐標．
【詳解】（1）解：將、代入，
可得，解得，
∴拋物線的函數關系式為；
設直線的函數關系式為，
將、代入，
可得，解得，
∴直線的函數關系式為；
（2）當時，，
∴點的坐標為，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∵點的坐標為，
∴點，關于拋物線的對稱軸對稱，
令直線與拋物線的對稱軸的交點為點，如圖所示，
∵點，關于拋物線的對稱軸對稱，
∴，
∴，
∴此時周長取最小值，
當時，，
∴此時點的坐標為，
∵，，，
∴，，
∴，
∴在對稱軸上存在一點，使的周長最小，周長的最小值為；
（3）過點作軸交軸于點，交直線于點，過點作軸交軸于點，如圖所示，
設點的坐標為，則點，點，
∴，，
∴，
∵點，
∴點，
∴，
∴，
∵，
∴當時，的面積取最大值，最大值為，此時點的坐標為．
【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求二次函數和一次函數解析式、二次函數的圖像與性質、最短路徑、勾股定理等知識，解題關鍵是熟練掌握相關知識，并運用含字母的代數式表示相關點的坐標及相關線段的長度．
題型十一 二次函數的存在性問題
41．（23-24廣東肇慶·階段練習）如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于點和，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，在拋物線的對稱軸上求作一點M，使的周長最小，并求出點M的坐標和周長的最小值；
(3)如圖2，點P是x軸上動點，過點P作x軸的垂線分別交拋物線和直線于點F、G．設點P的橫坐標為m，是否存在點P，使是以為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)的周長的最小值，點M的坐標為
(3)存在，或或
【分析】（1）用待定系數法即可求解；
（2）連接交于點M，此時最小，進而求解；
（3）分、兩種情況，然后分別求解即可．
【詳解】（1）解：將點A、B的坐標代入拋物線表達式得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：如圖，連接交于點M，此時最小，
又因為是定值，所以此時的周長最小．
令時，則有，即，
∴，
，同理，
∴此時的周長；
是拋物線的對稱軸，拋物線與x軸交點和，
，對稱軸為，
由，得，
，
又∵點M在第四象限，且在拋物線的對稱軸上，
；
（3）解：存在這樣的點P，使是以為腰的等腰三角形．
設直線的解析式為，把點B、C坐標代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵點P的橫坐標為m，
∴點，點，
則，，，
當時，則，解得（舍去）或4；
當時，則，解得（舍去）或；
綜上，或或．
【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、點的對稱性、等腰三角形的性質等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
42．（2024·江蘇連云港·一模）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與x軸交于點A，B兩點，它的對稱軸直線交拋物線于點M，過點M作軸于點C，連接，已知點A的坐標為．
(1)求此拋物線的函數表達式；
(2)動點P，Q在此拋物線上，其橫坐標分別為，其中．
①若，請求此時點Q的坐標；
②在線段上是否存在一點D，使得以C，P，D，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出此時m的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到平行四邊形的性質、線段長度的表示方法、一次函數的圖象和性質，其中（2），確定是本題解題的關鍵．
（1）由待定系數法即可求解；
（2）①證明，得到直線的表達式為：，聯立上式和拋物線的表達式得：，解得：，即可求解；
②當為對角線時，由中點坐標公式列出方程組，即可求解；當或角線時，同理可解．
【詳解】（1）解：由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達式為：；
（2）由拋物線的表達式知，點、的坐標分別為：，則點，
設點，
則點，
①由點的坐標得，直線的表達式為：，
∵，則，
則直線的表達式為：，
聯立上式和拋物線的表達式得：，
解得：，
解得：，
則點的坐標為：；
②存在，理由：
由點、的坐標得，直線的表達式為：，
當為對角線時，
由中點坐標公式得：
，
解得：(不合題意的值已舍去)；
當或角線時，
同理可得：，
或，
解得：(舍去)；
綜上，．
43．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，二次函數（其中）的圖像與軸交于、兩點（點在點左側），與軸交于點，連接、，點為的外心．
(1)填空：點的坐標為 ， ；
(2)記的面積為，的面積為，試探究是否為定值？如果是，求出這個定值；
(3)若在第一象限內的拋物線上存在一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，則 ．
【答案】(1)，
(2)為定值，定值為
(3)
【分析】（1）當時，即，解得，，可求得點，點；當時，求得點，得到，故；
（2）根據點D為的外心，，由圓周角定理和外接圓的性質，得，，過點D作y軸的平行線交過點C和x軸的平行線于點M，交x軸于點N，設點，則，，，，證明，得到，，求得，即可求得為定值；
（3）由于在第一象限內的拋物線上存在一點，以、、、為頂點的四邊形只能是四邊形，若四邊形是平行四邊形，則四邊形即是菱形，設點，若為四邊形對角線互相平分，則四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為菱形，再由中點坐標公式列方程即可求解．
【詳解】（1）當時，即，
，
解得，，
點，點，
當時，，
點，
，
，
（2）為定值，理由如下：
點D為的外心，，
則，，
過點D作y軸的平行線交過點C和x軸的平行線于點M，交x軸于點N，
設點，
則，，，，
，，
，
，，
，
，
，，
解得：
則的面積，
為等腰直角三角形，
，
則的面積，
為定值；
（3） 在第一象限內的拋物線上存在一點，
以、、、為頂點的四邊形只能是四邊形，
又，
若四邊形是平行四邊形，則四邊形即是菱形，如圖所示，
由前面可知，點，點，點，設點，
若為四邊形對角線互相平分，則四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為菱形，由中點坐標公式得：
，
解得：或（不合題意舍去）；
綜上，．
【點睛】本題綜合考查了二次函數的圖象和性質、三角形的外接圓與外心、圓周角定理、平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、全等三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握相關性質和判定，利用數形結合思想是解題的關鍵．
44．（2025·江蘇南通·一模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于兩點，交軸于點．
(1)求拋物線的表達式；
(2)點F是直線上方拋物線上的一動點，過點F作，交于點D，過點F作y軸的平行線交直線于點E，過點D作，交于點G，求的最大值及此時點E的坐標；
(3)在（2）問中取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移5個單位長度，點M為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平面內確定一點N，使得以點B、E、M、N為頂點的四邊形是矩形，直接寫出所有符合條件的點N的坐標．
【答案】(1)
(2)的最大值為，此時點
(3)或或或
【分析】本題考查了二次函數綜合，解直角三角形，熟練利用分類討論思想是解題的關鍵．
（1）由待定系數法即可求解；
（2）設，利用表示出的長，即可求解；
（3）當是對角線時，由勾股定理和中點坐標公式，列出方程組即可求解；當是邊時，同理可解．
【詳解】（1）解：拋物線交軸于兩點，
設拋物線解析式為，
把代入拋物線可得，
，
解得，
拋物線解析式為；
（2）解：設直線的解析式為，
把，代入可得，
解得，
直線的解析式為，
在中，，
，
如圖，
軸，
，
設點，則點，
則，
則，
，
，故當時，有最大值，為，此時點；
（3）解：將該拋物線沿射線方向平移5個單位長度，則相當于向右平移了4個單位，向下平移了3個單位，
則新拋物線的對稱軸為直線，設點，
如圖，當為對角線時，存在兩種情況，可得，
，
解得，
則，
的中點為，即，
設，則可得，解得，
當時，，解得，此時；
當時，，解得，此時；
如圖，當為邊時，存在兩種情況，當在下方時，
當時，，
，
，
，
，
根據勾股定理可得，
，
，
根據中點公式可得；
如圖，當為邊時，當在上方時，
可得，
根據勾股定理可得，
，
，
根據中點公式可得；
綜上，或或或．
題型十二 二次函數材料理解型問題
45．（2024·江蘇揚州·二模）我們定義：在平面直角坐標系中，若一個點的縱坐標是橫坐標的2倍，則稱這個點為“2倍點”．

(1)若反比例函數的圖象上存在一個“2倍點”的坐標為，則反比例函數的圖象上另一個“2倍點”的坐標為 ；
(2)如圖1，是否存在一個“2倍點”與拋物線的頂點A的距離最短？若存在，求出這個最短距離；若不存在，說明理由；
(3)如圖2，已知點P是第一象限內的一個“2倍點”，將點P向下平移3個單位得到點Q．
①若一次函數的圖象恰好經過點Q，則k= ；
②在①的條件下，若點Q的橫坐標與縱坐標相等，將直線繞點Q順時針旋轉，求所得直線與y軸的交點坐標．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)①2，②
【分析】（1）由反比例函數的對稱性即可求解；
（2）P是第一象限內的一個“2倍點”，則點，即點P在直線上，證，得即可求解；
（3）①設點，則點則點Q在直線上，即可求解；
②過點N作于點G，在中， ，，設，則，則，則，即，求出點M坐標和直線直線的表達式，即y軸上點N的坐標．
【詳解】（1）由反比例函數的對稱性得，反比例函數的圖象上另一個“2倍點”的坐標為
故答案為∶ ；
（2）存在，理由∶
設P是第一象限內的一個“2倍點”，
則點，即點P在直線上，
由拋物線的表達式知，點，
過點A作軸交直線l于點H，作于點N，

當時，，即點
則，，，
在和中
，
即最短距離為：，
（3）①設點，則點則點Q在直線上，
即，
故答案為∶2；
②若點Q的橫坐標與縱坐標相等，將直線繞點Q順時針旋轉，
∴，即將直線繞點Q順時針旋轉得到如下圖，

令，則，即點，
，
點，當時，即，即，
由直線知，，
過點M作于點G，
在中， ，，，
設，則，則，
則，即
解得∶ ，
則，
則點，
由點M、Q的坐標得，直線的表達式為∶ ，
點N為直線與y軸的交點坐標，
點，
即直線與y軸的交點坐標為．
【點睛】本題主要考查了函數與幾何圖形結合，涉及反比例函數，一次函數與反比例函數交點問題，二次函數的性質，點的坐標與線段長度的關系，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系是解題的關鍵．
46．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）定義：在平面直角坐標系中，拋物線與y軸的交點坐標為，那么我們把經過點且平行于x軸的直線稱為這條拋物線的極限分割線．
【特例感知】
（1）拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點坐標為 ．
【深入探究】
（2）經過點和的拋物線與y軸交于點C，它的極限分割線與該拋物線另一個交點為D，請用含m的代數式表示點D的坐標．
【拓展運用】
（3）在（2）的條件下，設拋物線的頂點為P，直線垂直平分，垂足為E，交該拋物線的對稱軸于點F．
①當時，求點P的坐標．
②若直線與直線關于極限分割線對稱，是否存在使點P到直線的距離與點B到直線的距離相等的m的值？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）和；（2）；（3）①或；②存在，0或或
【分析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點坐標和直線與拋物線的交點坐標等知識點，
（1）由拋物線與y軸的交點可知其極限分割線，求得拋物線的對稱軸，根據拋物

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