資源簡介

熱點必刷題02 應用題綜合專訓
題型一 一元一次方程應用題 2
題型二 二元一次方程應用題 3
題型三 一元二次方程應用題 5
題型四 分式方程應用題 7
題型五 不等式類應用題 8
題型六 一次函數的實際應用 10
題型七 二次函數的實際應用 13
題型八 反比例函數的實際應用 18
題型一 一元一次方程應用題
1．（2024·江蘇徐州·模擬預測）某經銷商長期銷售A、兩種商品，5月份此經銷商花費30000元一次性購買了A、兩種商品共1700件，此時A、兩種商品的進價分別為15元和20元．求5月份此經銷商購進A、兩種商品的數量；
2．（2024·江蘇徐州·三模）用手機搶紅包是大家春節期間進行交流聯系、增強感情的一部分．下面是寧寧和她的妹妹在春節期間的對話
請問：
(1)2022年到2024年寧寧和她妹妹除夕時用手機搶到紅包的平均年增長率是多少？
(2)2024年除夕，寧寧和她妹妹用手機各搶到了多少元的紅包？
3．（2024·江蘇連云港·三模）母親節前夕，某店主從廠家購進，兩種禮盒，已知，兩種禮盒的單價比為，單價和為元．
(1)求，兩種禮盒的單價分別是多少元？
(2)該店主購進這兩種禮盒恰好用去元，且購進種禮盒最多個，種禮盒的數量不超過種禮盒數量的倍，共有幾種進貨方案？
4．（2024·江蘇蘇州·三模）某公司安裝物流箱，現有型和型兩種物流箱可供選擇，若安裝2個型物流和3個型物流箱共11.8萬元，且型物流箱單價比型物流箱單價高0.6萬元．
(1)求型物流箱和型物流箱的單價；
(2)某社區需安裝物流箱共30個，其中型物流箱不少于18個，為了更多地推廣型物流箱，公司決定將每個型物流箱降價元，型物流箱價格不變，若總費用不低于67.2萬元，求的取值范圍．
5．（2024·江蘇無錫·二模）某企業生產A、B兩種型號的產品共500件，銷往甲、乙兩個地區．在兩地銷售可獲得的利潤情況如下表：
A型產品（元/件） B型產品（元/件）
甲地區銷售可獲得的利潤 180 130
乙地區銷售可獲得的利潤 160 120
若該企業計劃將生產的A型產品全在乙地區銷售，B型產品全在甲地區銷售，這樣可獲得利潤7.1萬元．
(1)求A、B兩種型號產品各生產了多少件？
(2)若銷往甲地區x件A型產品，余下的所有產品銷往乙地區，寫出銷售這500件產品可獲得的利潤y（元）與x之間的函數表達式，并求利潤的最大值．
題型二 二元一次方程應用題
6．（2025·江蘇無錫·模擬預測）某物流公司承接甲、乙兩種貨物運輸業務．已知該物流公司5月份共收取運輸費9500元，6月份共收取運輸費13000元，且這兩個月分別承接的甲種貨物數量相同，乙種貨物數量也相同．該物流公司5月份和6月份甲、乙兩種貨物的運費單價如下表所示：
月份運費單價（元/噸） 5月份 6月份
甲貨物 50 70
乙貨物 30 40
(1)在5月份和6月份，該物流公司每月運輸甲、乙兩種貨物各多少噸？
(2)該物流公司預計7月份運輸這兩種貨物330噸，且甲貨物的數量不大于乙貨物的2倍，在運費單價與6月份相同的情況下，該物流公司7月份最多將收到多少運輸費？
7．（2024·江蘇淮安·模擬預測）某校運動會欲購買，兩種獎品，若購買種獎品件和種獎品件，共需元；若購買種獎品件和種獎品件，共需元．
(1)求、兩種獎品的單價各是多少元？
(2)學校計劃購買，兩種獎品共件，購買費用不超過元，且種獎品的數量不大于種獎品數量的倍，設購買種獎品件，購買費用為元，寫出元與件之間的函數關系式求出自變量的取值范圍．
8．（2024·江蘇蘇州·二模）某水果種植基地為響應政府號召，大力種植優質水果．某超市看好甲、乙兩種優質水果的市場價值，經調查，這兩種水果的進價和售價如表所示：
水果種類 進價（元/千克） 售價（元/千克）
甲 20
乙 24
該超市購進甲種水果15千克和乙種水果5千克需要355元；購進甲種水果20千克和乙種水果10千克需要540元．
(1)求的值；
(2)該超市決定回饋顧客，開展促銷活動，購進甲、乙兩種水果共200千克，且投入的資金不超過3820元．將其中的千克甲種水果和千克乙種水果按進價銷售，剩余的甲、乙水果以原售價出售，若購進的200千克水果全部售出后，獲得的最大利潤不低于600元，求正整數的最大值．
9．（2024·江蘇鹽城·三模）某蔬菜超市經銷的A，B兩種蔬菜，進價和售價如下表所示：
品名 A蔬菜 B蔬菜
批發價/（元/千克） 4 3
零售價/（元/千克） 5
(1)第一次進貨時，超市用1000元購進A，B兩種蔬菜共300千克，求全部售完獲利多少元；
(2)受市場因素影響，第二次進貨時，A種蔬菜進價每千克上漲了元，B種蔬菜進價每件上漲了元，但兩種蔬菜的售價不變．超市計劃購進A，B兩種蔬菜共240千克，且B種蔬菜的購進量不超過A種蔬菜購進量的2倍．設此次購進A種蔬菜m千克，兩種蔬菜全部售完可獲利w元（不考慮損耗）．
①請求出w與m的函數關系式；
②超市第二次獲利能否超過第一次獲利？請說明理由．
10．（2024·江蘇蘇州·二模）“今天立夏，過來吃碗三蝦面．”在百年老字號裕面堂內，一位老蘇州說，蘇州人立夏傳統“嘗三鮮”是蠶豆、莧菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三蝦面嘗嘗鮮．為了抓住這一商機，兩商戶決定生產預制面．據統計，甲商戶每小時生產600包，乙商戶每小時生產800包，甲乙兩商戶每天共生產16小時，且每天生產的三蝦面總包數為11400包．
(1)甲、乙兩商戶每天分別生產多少小時？
(2)由于三蝦面在網上直播熱銷，客戶紛紛追加訂單，兩商戶每天均增加了生產時間，其中甲商戶比乙商戶多增加2小時，在整個生產過程中，甲商戶每小時產量不變，而乙商戶由于機器損耗及人員不足，每增加一個小時，每小時產量將減少140包，這樣兩商戶一天生產的面條總量將比原來多1200包．求：甲商戶增加的生產時間為多少小時？
題型三 一元二次方程應用題
11．（2024·江蘇常州·模擬預測）某品牌新能源汽車2021年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2023年的銷售量比2021年增加了31.2萬輛．
(1)求從2021年到2023年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率；
(2)按照（1）中所求平均年增長率計算2024年該品牌新能源汽車的銷售量．
12．（2024·江蘇無錫·二模）為了加強勞動教育，我校在校園開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學校的墻（墻的最大可用長度為28米），用長為39米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端及中間籬笆上設計了三個寬1米的小門，便于同學們進入．
(1)若圍成的菜地面積為120平方米，求此時邊的長；
(2)若每平方米可收獲2千克的菜，問該片菜地最多可收獲多少千克的菜？
13．（2024·江蘇鹽城·一模）社區利用一塊矩形空地建了一個小型停車場，其布局如圖所示．已知米，米，陰影部分設計為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為米的道路．已知鋪花磚的面積為880平方米．
(1)求道路的寬是多少米？
(2)該停車場共有車位60個，據調查分析，當每個車位的月租金為200元時，可全部租出；若每個車位的月租金每上漲5元，就會少租出1個車位，問當每個車位的月租金上漲多少元時，停車場的月租金收入最大？
14．（2024·江蘇泰州·二模）某地建立了一個勞動實踐基地，小亮從中了解到如下信息：
信息1：2025年計劃將100畝的土地全部種植甲乙兩種蔬菜；其中，甲種蔬菜種植面積不少于20畝，乙種蔬菜種植面積不少于50畝；
信息2：甲種蔬菜每畝種植成本y（單位：元）與其種植面積x（單位：畝）之間滿足函數關系為：乙種蔬菜每畝種植成本為50元．
根據以上信息完成下列問題：
(1)若甲種蔬菜每畝種植成本30元，求乙種蔬菜總種植成本；
(2)如何分配兩種蔬菜的種植面積，使甲乙兩種蔬菜總種植成本為4272元？
15．（2023·江蘇無錫·模擬預測）有兩條相鄰的平行滑道（不光滑）．甲木塊在一條滑道內自動滑行，直到停止．甲木塊與起點線m的距離（厘米）與滑行時間t（秒）之間滿足．甲木塊滑行2秒后，乙木塊在另一滑道從起點線m以某一初速，持續受力運動，乙木塊與起點線m的距離（厘米）與受力時間t（秒）是二次函數關系，變化規律如下表：
t（秒） 0 1 2
S乙（厘米） 0 16 36
(1)求與t之間的函數關系式；
(2)求乙木塊追上甲木塊用時多長；
(3)求甲木塊停止時，乙木塊與甲木塊的水平距離．
題型四 分式方程應用題
16．（2024·江蘇徐州·模擬預測）2024年“五一”假期，徐州接待游客創歷史新高．某商鋪向游客銷售某款“徐州文創”產品，該商鋪第一次購進該產品的總價為3000元，很快售完；該商鋪第二次購進該產品的總價為9000元．已知第二次購進該產品的數量是第一次的2倍還多300個，第二次進貨的單價比第一次的進貨的單價提高20％．求第一次購進該產品的單價是多少元？
17．（2024·江蘇鹽城·二模）學校器材室購買了一批籃球和足球、已知 ，購買足球共花費750元，購買籃球共花費900元，購買足球的數量比購買籃球的數量多15個．
請從①籃球的單價是足球單價的3倍；②足球的單價是籃球單價的2倍；③籃球的單價比足球的單價貴60元；這3個選項中選擇一個作為條件（填序號），并求出足球的單價．
18．（23-24八年級下·新疆克拉瑪依·期末）為了迎接“五一”黃金周的到來，某商店計劃購進甲、乙兩種文創飾品進行銷售，兩種飾品的進價和售價如下：
飾品品種 進價（元/件） 售價（元/件）
甲 a 200
乙 300
已知用6000元購進甲種飾品的數量與用9000元購進乙種飾品的數量相同．
(1)求a的值；
(2)商店計劃購進甲、乙兩種飾品共300件，其中甲種飾品不少于80件且不超過120件，求銷售完這兩種飾品的最大利潤；
19．（2024·江蘇連云港·二模）為推進節能環保工作的開展，某市相關管理部門要為市區的一個主干道更換一批智能LED太陽能充電路燈．經調研，市場上有甲型、乙型兩種符合要求的路燈組件在售，已知甲型路燈組件比乙型路燈組件的單價少0.2萬元，用12萬元購買甲型路燈組件與用16萬元購買乙型路燈組件的個數相等．
(1)求甲型、乙型路燈組件的單價各是多少？
(2)該市決定購買甲型、乙型路燈組件共300個，且花費不超過200萬元，則至少購買甲型路燈組件多少個？
20．（2024·江蘇宿遷·二模）某商場準備購進甲、乙兩種服裝出售，甲種服裝每件售價130元，乙種服裝每件售價100元．每件甲種服裝的進價比乙種服裝的進價貴20元，用240元單獨購進甲種服裝的數量比單獨購進乙種服裝的數量少1件，現計劃購進兩種服裝共10件，其中甲種服裝不少于68件．
(1)甲、乙兩種服裝每件的進價分別是多少元？
(2)若購進這100件服裝的費用不得超過7600元．
①求甲種服裝最多購進多少件；
②該商場對甲種服裝每件降價元，乙種服裝價格不變，如果這100件服裝都可售完，那么如何進貨才能獲得最大利潤？
題型五 不等式類應用題
21．（2023·江蘇蘇州·二模）某公司有型產品件，型產品件，分配給下屬甲、乙兩個商店銷售，其中件給甲店，件給乙店，且都能賣完兩商店銷售這兩種產品每件的利潤元如下表：
型利潤 型利潤
甲店
乙店
(1)設分配給甲店型產品件，這家公司賣出這件產品的總利潤為元，求關于的函數關系式，并求由的取值范圍；
(2)為了促銷，公司決定僅對甲店型產品讓利銷售，每件讓利元，但讓利后型產品的每件利潤仍高于甲店型產品的每件利潤甲店的型產品以及乙店的，型產品的每件利潤不變，問該公司又如何設計分配方案，使總利潤達到最大？
22．（2023·江蘇蘇州·二模）新修訂的《中華人民共和國森林法》明確每年3月12日為植樹節．2023年植樹節，某班開展植樹活動，欲購買甲、乙兩種樹苗．已知購買25棵甲種樹苗和10棵乙種樹苗共需1250元，購買15棵甲種樹苗和5棵乙種樹苗共需700元．
(1)求購買的甲、乙兩種樹苗的單價；
(2)經商量，決定用不超過1300元的費用購買甲、乙兩種樹苗共30棵，其中乙種樹苗的數量不少于甲種樹苗數量的，求購買的甲種樹苗數量的取值范圍．
23．（2023·江蘇揚州·二模）我市某企業安排20名工人生產甲、乙兩種產品，根據生產經驗，每人每天生產2件甲產品或1件乙產品（每人每天只能生產一種產品）．甲產品生產成本為每件10元；若安排1人生產一件乙產品，則成本為38元，以后每增加1人，平均每件乙產品成本降低2元．規定甲產品每天至少生產20件．設每天安排人生產乙產品．
(1)根據信息填表：
產品種類 每天工人數（人） 每天產量（件） 每件產品生產成本（元）
甲 10
乙 x
(2)為了增加利潤，企業須降低成本，該企業如何安排工人生產才能使得每天的生產總成本最低？最低成本是多少？
(3)該企業準備通過對外招工，增加工人數量的方式降低每天的生產總成本，那么至少招多少名工人才能實現每天的生產總成本不高于350元？
24．（2023·江蘇蘇州·一模）某商場計劃銷售甲、乙兩種品牌的電腦，甲電腦進價比乙電腦高0.15萬元/臺．現計劃用16萬元購進甲電腦，15萬元購進乙電腦，甲電腦數量與乙電腦數量之比恰好為2：3．
(1)該商場計劃購進甲、乙兩種電腦各多少臺？
(2)通過市場調研，甲電腦的利潤率是10%，乙電腦的利潤率是20%，該商場決定在原計劃的基礎上更改購進策略：減少甲電腦的購進數量，增加乙電腦的購進數量，已知乙電腦增加的數量是甲電腦減少的數量的3倍，且用于購進這兩種電腦的總資金不超過35萬元．更改購進策略后，該商場怎樣進貨，使全部銷售后獲得的總利潤最大？并求出最大總利潤．（利潤=利潤率×進價）
25．（2023·江蘇常州·一模）2022年FIFA世界杯期間，某商店購進A、B兩種品牌的足球進行銷售．銷售5個A品牌和個B品牌足球的利潤和為元，銷售個A品牌和5個B品牌足球的利潤和為元．
(1)求每個A品牌和B品牌足球的銷售利潤；
(2)商店計劃購進兩種品牌足球共100個，設購進A品牌足球x個，兩種足球全部銷售完共獲利y元．
①求y與x之間的函數關系式；（不必寫x的取值范圍）
②若購進A品牌足球的個數不少于60個，且不超過B品牌足球個數的4倍，求最大利潤．
題型六 一次函數的實際應用
26．（2024·江蘇南京·模擬預測）慢車從甲地出發勻速駛往乙地，出發后快車也從甲地出發，勻速行駛，到達乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快車速度是慢車速度的倍．在整個行程中，慢車離甲地的距離（單位：）與時間（單位：）之間的函數關系如圖所示．
(1)在圖中畫出快車離甲地的距離（單位：）與時間之間的函數圖像；
(2)若慢車出發時與快車第次相遇．
①求快車從出發到返回甲地所用的時間；
②當兩車第次相遇的地點距離乙地時，的值為___________．
27．（2023·江蘇揚州·一模）農經公司以30元/千克的價格收購一批農產品進行銷售，為了得到日銷售量（千克）與銷售價格（元/千克）之間的關系，經過市場調查獲得部分數據如表：
銷售價格（元/千克） 30 35 40 45 50
日銷售量（千克） 600 450 300 150 0
(1)請你根據表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定與之間的函數表達式，并直接寫出與的函數表達式為______；
(2)農經公司應該如何確定這批農產品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？
(3)農經公司每銷售1千克這種農產品需支出元的相關費用，當時，農經公司的日獲利的最大值為2430元，求的值．（日獲利日銷售利潤日支出費用）
28．（2024·江蘇淮安·模擬預測）甲、乙兩車從A地駛向B地，并以各自的速度勻速行駛，甲車比乙車早行駛，并且甲車途中休息了，如圖是甲、乙兩車路程與甲行駛的時間的函數圖象．
(1) ______， ______；
(2)求乙車行駛路程與時間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
(3)當______時，兩車恰好相距．
29．（2024·江蘇鹽城·三模）“城市發展，交通先行”，我市啟動了緩堵保暢的快速路建設工程，建成后將大大提升道路的通行能力．研究表明，在確保安全行車情況下，快速路的車流速度v（千米/時）是車流密度x（輛/千米）的函數，其圖象近似的如圖所示．
(1)求v關于x的函數表達式；
(2)求車流量p和車流密度x之間的函數表達式并求出車流量p（輛/時）的最大值．（注：車流量是單位時間內通過觀測點的車輛數，計算公式為：車流量=車流速度×車流密度）
(3)經過測算，每日上下班高峰時段快速路車流量將不低于4400輛/時，為保證快速路安全暢通，城市道路交通指揮中心將實時發布道路預警信息，提醒駕駛員按預警速度要求行駛，請你幫助城市交通指揮中心測算一下上下班高峰時段車速應控制在什么范圍才能確保快速路安全暢通？
30．（2024·江蘇南京·二模）快、慢兩車從甲地出發，沿同一條直路勻速行駛，前往乙地．設快車出發第時，快、慢兩車離甲地的距離分別為，當時，慢車到達乙地．與x之間的函數關系如圖所示．
(1)甲、乙兩地相距 ，快車比慢車晚出發 h．
(2)快車與慢車相遇時，兩車距離甲地多遠？
(3)若第三輛車的速度是快車的速度的1.5倍，沿同一條直路從乙地勻速前往甲地，當慢車到達乙地時，該車恰好到達甲地．請在圖中畫出該車離甲地的距離與x 之間的函數圖像．
題型七 二次函數的實際應用
31．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）在綠化公園時，需要安裝一定數量的自動噴灑裝置，定時噴水養護草坪．某公司準備在一塊邊長為的正方形草坪（圖1）中安裝自動噴灑裝置，為了既節約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設計合適的安裝方案．
說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為的圓面，噴灑覆蓋率，為待噴灑區域面積，為待噴灑區域中的實際噴灑面積．
這個問題可以轉化為用圓面覆蓋正方形面積的數學問題．
(1)如圖2，在該草坪中心位置設計安裝1個噴灑半徑為的自動噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率__________．
(2)如圖3，在該草坪內設計安裝4個噴灑半徑均為的自動噴灑裝置；如圖4，設計安裝9個噴灑半徑均為的自動噴灑裝置……以此類推，如圖5，設計安裝個噴灑半徑均為的自動噴灑裝置，與（1）中的方案相比，采用這種增加裝置個數且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判斷并給出理由．
(3)如圖6，該公司設計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率．
已知正方形各邊上依次取點F，G，H，E，使得，設，的面積為，求y關于x的函數表達式，并求當y取得最小值時r的值．
要使噴灑覆蓋率，即要求，其中為草坪面積，為噴灑面積．
∴都經過正方形的中心點，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴當時，取得最小值，此時
解得：．
32．（2024·江蘇揚州·一模）如圖平面直角坐標系中，運動員通過助滑道后在點A處起跳經空中飛行后落在著陸坡上的點處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分．從起跳到著陸的過程中，運動員到地面的豎直距離y（單位：m）與他在水平方向上移動的距離（單位：m）近似滿足二次函數關系，已知，，落點到的水平距離是，到地面的豎直高度是．
(1)求y與的函數表達式；
(2)進一步研究發現，運動員在空中飛行過程中，其水平方向移動的距離（m）與飛行時間t（秒）具備一次函數關系，當他在起跳點騰空時，，；當他在點著陸時，飛行時間為5秒．
①求與t的函數表達式；
②當運動員與著陸坡在豎直方向上的距離達到最大時，求出此時他飛行時間t的值．
設，則，
∴，
∵，
∴當時，最大，
∴，
解得．
33．（2024·江蘇無錫·模擬預測）某公司銷售某種電子產品，該產品的進價為30元/件，根據市場調查發現，該產品每周的銷售量（單位：件）與售價（單位：元/件）（為正整數）之間滿足一次函數的關系，下表記錄的是某三周的有關數據．
（元/件） 40 55 70
（件） 1100 950 800
(1)求與的函數表達式（不求自變量的取值范圍）；
(2)若某周該產品的銷售量不少于750件，求這周該商場銷售這種產品獲得的最大利潤；
(3)規定這種產品的售價不超過進價的2倍，若產品的進價每件提高元時，該商場每周銷售這種產品的利潤仍隨售價的增大而增大，請直接寫出的取值范圍為_____________．
34．（2024·江蘇泰州·二模）如圖（1），一小球從斜面頂端由靜止開始沿斜面下滾，呈勻加速運動狀態，經過8秒到達水平面后繼續滾動，呈勻減速運動狀態，設小球從斜面頂端開始到在水平面上停止的過程中運動t秒時的速度為v（單位：），滾動的路程為s（單位：）．結合物理學知識可知，小球在斜面滾動時v與t的函數表達式為，s與t的函數表達式為；在水平面滾動時v與t的函數表達式為．s與t的函數表達式為．v與t部分數據如下表所示，s與t的部分函數圖像如圖2所示．
時間 0 2 8 10 …
平均速度 0 4 14 …
(1)表格中時，v的值為 ．
小球在水平面滾動過程中v與t的函數表達式為 ；
(2)求小球在水平面滾動時s與t的函數表達式；
(3)求小球從斜面頂端開始到在水平面上停止滾動的總路程．
35．（2024·江蘇鹽城·一模）鹽城東臺以其獨特的地理位置、優越的土壤條件、豐富的種植經驗形成了汁多爽口，細嫩鮮甜的東臺西瓜．某經銷商調研發現該品種西瓜成本價為每千克6元，售價不低于成本，且不超過13元/千克，經市場調研發現，該品種西瓜售價為每千克8元時，每天可售出400千克，售價每提高1元，則每天少售出50千克．
(1)求該品種西瓜一天的銷售量（千克）與該天的售價（元/千克）之間的函數關系式；
(2)若該品種西瓜售價定為多少元/千克時，日銷售利潤最大？并求出最大利潤．
(3)為了回饋社會，該銷售商決定，每賣出1千克，捐出元進行助農活動，若當日利潤最大為800元．求此時的值．
題型八 反比例函數的實際應用
36．（2024·江蘇無錫·三模）某商店為了推銷一種新產品，在某地先后舉行40場產品發布會，已知該產品每臺成本為10萬元，設第x場產品的銷售量為y（臺），y與x之間滿足的函數關系式；產品的每場銷售單價P（萬元）由基本價和浮動價兩部分相加組成，其中基本價保持不變，經過統計，發現第1場～第20場浮動價與發布場次x成正比，第21場～第40場浮動價與發布場次x成反比，得到如下數據：
x（場） 3 10 25
P（萬元） 10.6 12 14.2
(1)求P與x之間滿足的函數關系式；
(2)在這40場產品發布會中，求哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
37．（2024·江蘇鹽城·一模）【問題背景】在一次物理實驗中，小聰同學用一固定電壓為的蓄電池，通過調節滑動變阻器來改變電流大小，完成控制燈泡（燈絲的阻值）亮度的實驗（如圖1），已知串聯電路中，電流與電阻、之間的關系為，通過實驗得出如下數據：
… …
… 4 …
（1）由題意可得________；
【探索研究】
（2）根據以上實驗，構建出函數，結合表格信息，探究函數的圖像與性質．
①平面直角坐標系中畫出對應函數的圖像（畫圖時，不寫畫法，保留畫圖痕跡，然后請用黑色水筆描黑）；
②隨著自變量的不斷增大，函數值的變化趨勢是________；
【拓展提升】
（3）結合（2）中函數的圖像，直接寫出不等式的解集為________．
38．（2024·江蘇南通·一模）某公司今年推出一款產品．根據市場調研，發現如下信息．
信息1：每月的銷售總量y（件）和銷售單價x（元/件）存在函數關系，其圖象由部分雙曲線和線段組成． 信息2：該產品2月份的單價為66元/件，3月份的單價降低至45元/件，在生產成本不變的情況下，這兩月的銷售利潤相同．
根據以上信息，解答下列問題：
(1)求該產品的生產成本；
(2)該公司計劃在4月份通過技術改造，使生產成本降低，同時繼續降低銷售價格，使得4月份的銷售利潤不低于3月份．求4月份該產品銷售單價的范圍．
39．（2024·江蘇南京·一模）某公司成功研制出一種產品，經市場調研，年銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的關系如圖所示，其中曲線為反比例函數圖像的一部分，為一次函數圖像的一部分．
(1)求y與x之間的函數表達式；
(2)已知每年該產品的研發費用為40萬元，該產品成本價為4元/件，設銷售產品年利潤為w(萬元)，當銷售單價為多少元時，年利潤最大 最大年利潤是多少 (說明：年利潤年銷售利潤研發費用)
40．（2024·江蘇南京·一模）在光學中，由實際光線會聚成的像，稱為實像，能用光屏承接．凸透鏡能成實像的前提是物體在一倍焦距以外，而光線能會聚的是因為折射．
上圖中，凸透鏡的焦距為，主光軸，點，，，，都在上，其中是光心，，，蠟燭，垂足為（蠟燭可移動，且），光線，其折射光線與另一條經過光心的光線相交于點，（）即為蠟燭在光屏上所成的實像．圖中所有點都在同一平面內．記物高為，像高為，物距為，像距為．
(1)若，，，則______，______．
(2)求證．
(3)當一定時，畫出與之間的函數圖像，并結合圖像，描述是怎樣隨著的變化而變化的．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)熱點必刷題02 應用題綜合專訓
題型一 一元一次方程應用題 2
題型二 二元一次方程應用題 7
題型三 一元二次方程應用題 15
題型四 分式方程應用題 21
題型五 不等式類應用題 26
題型六 一次函數的實際應用 35
題型七 二次函數的實際應用 46
題型八 反比例函數的實際應用 57
題型一 一元一次方程應用題
1．（2024·江蘇徐州·模擬預測）某經銷商長期銷售A、兩種商品，5月份此經銷商花費30000元一次性購買了A、兩種商品共1700件，此時A、兩種商品的進價分別為15元和20元．求5月份此經銷商購進A、兩種商品的數量；
【答案】5月份此經銷商購進種商品800件，購進種商品900件．
【分析】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列出方程．設5月份此經銷商購進商品件，可得：，即可解答．
【詳解】解：設5月份此經銷商購進商品件，則購進商品件，
根據題意得：，
解得，
，
5月份此經銷商購進種商品800件，購進種商品900件．
2．（2024·江蘇徐州·三模）用手機搶紅包是大家春節期間進行交流聯系、增強感情的一部分．下面是寧寧和她的妹妹在春節期間的對話
請問：
(1)2022年到2024年寧寧和她妹妹除夕時用手機搶到紅包的平均年增長率是多少？
(2)2024年除夕，寧寧和她妹妹用手機各搶到了多少元的紅包？
【答案】(1)2022年到2024年寧寧和她妹妹除夕時用手機搶到紅包的平均年增長率是
(2)寧寧和她妹妹2024年除夕用手機搶到紅包分別為180元和396元
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，一元二次方程的應用．對于增長率問題，增長前的量×（1+年平均增長率）年數=增長后的量．
（1）設2022年到2024年寧寧和她妹妹除夕時用手機搶到紅包的平均年增長率是x，由此可列出方程，求解即可．
（2）設寧寧在2024年除夕用手機搶到的紅包為y元，則她妹妹收到微信紅包為元，根據她們共收到微信紅包576元列出方程并解答．
【詳解】（1）解：設2022年到2024年寧寧和她妹妹除夕時用手機搶到紅包的平均年增長率是x，
依題意得：，
解得：，（舍去）．
答：2022年到2024年寧寧和她妹妹除夕時用手機搶到紅包的平均年增長率是．
（2）解：設寧寧在2024年除夕用手機搶到的紅包為y元，
依題意得：，
解得：，
所以，
答：寧寧和她妹妹2024年除夕用手機搶到紅包分別為180元和396元．
3．（2024·江蘇連云港·三模）母親節前夕，某店主從廠家購進，兩種禮盒，已知，兩種禮盒的單價比為，單價和為元．
(1)求，兩種禮盒的單價分別是多少元？
(2)該店主購進這兩種禮盒恰好用去元，且購進種禮盒最多個，種禮盒的數量不超過種禮盒數量的倍，共有幾種進貨方案？
【答案】(1)種禮盒單價為元，B種禮盒單價為元
(2)共有三種送貨方案
【分析】本題考查一元一次方程的應用，二元一次不等式組的應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
（1）根據題意，找準等量關系，正確列出一元一次方程．
（2）根據各數量之間的關系，列出，從而根據題意正確列出二元一次不等式組，分析即可．
【詳解】（1）解：設種禮盒單價為元，B種禮盒單價為元，
依據題意：得，
解得．
則，．
答：種禮盒單價為元，B種禮盒單價為元．
（2）設購進種禮盒個，種禮盒個，
依據題意，得，
整理，得，
即．
∵，
∴，
解得：，
∵，是整數，
∴的值為，，，的值為，，，
綜上可知，共有三種送貨方案．
4．（2024·江蘇蘇州·三模）某公司安裝物流箱，現有型和型兩種物流箱可供選擇，若安裝2個型物流和3個型物流箱共11.8萬元，且型物流箱單價比型物流箱單價高0.6萬元．
(1)求型物流箱和型物流箱的單價；
(2)某社區需安裝物流箱共30個，其中型物流箱不少于18個，為了更多地推廣型物流箱，公司決定將每個型物流箱降價元，型物流箱價格不變，若總費用不低于67.2萬元，求的取值范圍．
【答案】(1)型物流箱的單價為萬元，則型物流箱的單價為萬元
(2)的取值范圍是
【分析】此題考查了一元一次方程、一次函數的實際應用，讀懂題意，正確列出方程和解析式是解題的關鍵．
（1）設型物流箱的單價為x元，則型物流箱的單價為元，根據共11.8萬元列出方程，解方程即可得到答案；
（2）設安裝B型物流箱x個，則安裝A型物流箱個，總費用為w，根據題意求出函數關系式，再分兩種情況討論解答即可．
【詳解】（1）解：設型物流箱的單價為x元，則型物流箱的單價為元，
則，
解得，，
則，
答：型物流箱的單價為元，則型物流箱的單價為元；
（2）解：設安裝B型物流箱x個，則安裝A型物流箱個，總費用為w，由題意可得：
當時，則，一次函數隨著x增大而增大，
∵，
∴當時，，
解得，
∴此時，
當時，則，一次函數隨著x增大而減小，
∵，
∴當時，，
解得，
∴此時m不存在，，
綜上可知，的取值范圍是．
5．（2024·江蘇無錫·二模）某企業生產A、B兩種型號的產品共500件，銷往甲、乙兩個地區．在兩地銷售可獲得的利潤情況如下表：
A型產品（元/件） B型產品（元/件）
甲地區銷售可獲得的利潤 180 130
乙地區銷售可獲得的利潤 160 120
若該企業計劃將生產的A型產品全在乙地區銷售，B型產品全在甲地區銷售，這樣可獲得利潤7.1萬元．
(1)求A、B兩種型號產品各生產了多少件？
(2)若銷往甲地區x件A型產品，余下的所有產品銷往乙地區，寫出銷售這500件產品可獲得的利潤y（元）與x之間的函數表達式，并求利潤的最大值．
【答案】(1)A型產品生產了200件，B型產品生產了300件
(2)利潤的最大值是72000元
【分析】本題主要考查了一次函數的應用、一元一次方程的應用等知識點，
（1）根據該企業計劃將生產的A型產品全在乙地區銷售，B型產品全在甲地區銷售，這樣可獲得利潤7.1萬元，可以列出相應的一元一次方程，然后求解即可；
（2）根據（1）中的結果和題意，可以寫出y與x的函數關系式，然后根據一次函數的性質，可以求得最大利潤；
解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程，寫出相應的函數解析式，利用一次函數的性質求最值．
【詳解】（1）設A型產品生產了m件，則B型產品生產了件，
由題意得：，
解之得：，
，
∴A型產品生產了200件，B型產品生產了300件；
（2）由題意得：
，
隨若x的增大而增大，
當時，y有最大值72000，
答：利潤的最大值是72000元．
題型二 二元一次方程應用題
6．（2025·江蘇無錫·模擬預測）某物流公司承接甲、乙兩種貨物運輸業務．已知該物流公司5月份共收取運輸費9500元，6月份共收取運輸費13000元，且這兩個月分別承接的甲種貨物數量相同，乙種貨物數量也相同．該物流公司5月份和6月份甲、乙兩種貨物的運費單價如下表所示：
月份運費單價（元/噸） 5月份 6月份
甲貨物 50 70
乙貨物 30 40
(1)在5月份和6月份，該物流公司每月運輸甲、乙兩種貨物各多少噸？
(2)該物流公司預計7月份運輸這兩種貨物330噸，且甲貨物的數量不大于乙貨物的2倍，在運費單價與6月份相同的情況下，該物流公司7月份最多將收到多少運輸費？
【答案】(1)在5月份和6月份，該物流公司每月運輸甲種貨物100噸，乙種貨物150噸
(2)該物流公司7月份最多將收到19800元運輸費
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用以及一次函數的性質，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式和一次函數關系式．
（1）設在5月份和6月份，該物流公司每月運輸甲種貨物噸，乙種貨物噸，根據該物流公司5月份共收取運輸費9500元，6月份共收取運輸費13000元，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設該物流公司在7月份運輸甲種貨物噸，則運輸乙種貨物為噸，根據甲貨物的數量不大于乙貨物的2倍，列出一元一次不等式，解得，再設該物流公司7月份將收到元運輸費，由題意列出關于的一次函數關系式，然后由一次函數的性質即可得出結論．
【詳解】（1）解：設在5月份和6月份，該物流公司每月運輸甲種貨物噸，乙種貨物噸，
依題意得：，
解得：，
答：在5月份和6月份，該物流公司每月運輸甲種貨物100噸，乙種貨物150噸；
（2）解：設該物流公司在7月份運輸甲種貨物噸，則運輸乙種貨物為噸，
依題意得：，
解得：，
設該物流公司7月份將收到元運輸費，
依題意得：，
，
隨著的增大而增大，
當，有最大值，
答：該物流公司7月份最多將收到19800元運輸費．
7．（2024·江蘇淮安·模擬預測）某校運動會欲購買，兩種獎品，若購買種獎品件和種獎品件，共需元；若購買種獎品件和種獎品件，共需元．
(1)求、兩種獎品的單價各是多少元？
(2)學校計劃購買，兩種獎品共件，購買費用不超過元，且種獎品的數量不大于種獎品數量的倍，設購買種獎品件，購買費用為元，寫出元與件之間的函數關系式求出自變量的取值范圍．
【答案】(1)中獎品的單價為12元，種獎品的單價為16元
(2)
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的應用，，不等式的應用，解題的關鍵是掌握相關的知識．
（1）設種獎品的單價為元，種獎品的單價為元，根據題意列出二元一次方程組，即可求解；
（2）根據購買費用種獎品的費用種獎品可求出元與件之間的函數關系式，再根據題意列出不等式組可求出的取值范圍．
【詳解】（1）解：設種獎品的單價為元，種獎品的單價為元，
由題意得：，
解得：，
答：種獎品的單價為元，種獎品的單價為元；
（2）由題意可得：，
購買費用不超過元，
，
解得：，
又種獎品的數量不大于種獎品數量的倍，
，
解得：，
自變量的取值范圍．
8．（2024·江蘇蘇州·二模）某水果種植基地為響應政府號召，大力種植優質水果．某超市看好甲、乙兩種優質水果的市場價值，經調查，這兩種水果的進價和售價如表所示：
水果種類 進價（元/千克） 售價（元/千克）
甲 20
乙 24
該超市購進甲種水果15千克和乙種水果5千克需要355元；購進甲種水果20千克和乙種水果10千克需要540元．
(1)求的值；
(2)該超市決定回饋顧客，開展促銷活動，購進甲、乙兩種水果共200千克，且投入的資金不超過3820元．將其中的千克甲種水果和千克乙種水果按進價銷售，剩余的甲、乙水果以原售價出售，若購進的200千克水果全部售出后，獲得的最大利潤不低于600元，求正整數的最大值．
【答案】(1)的值為17，的值為20
(2)正整數的最大值為8
【分析】（1）根據“購進甲種水果15千克和乙種水果5千克需要355元；購進甲種水果20千克和乙種水果10千克需要540元”，可列出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設購進千克甲種水果，則購進千克乙種水果，利用進貨總價進貨單價進貨數量，結合進貨總價不超過3820元，可列出關于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，設購進的200千克水果全部售出后獲得的總利潤為元，利用總利潤每千克甲種水果的銷售利潤銷售數量每千克乙種水果的銷售利潤銷售數量，可找出關于的函數關系式，利用一次函數的性質及獲得的最大利潤不低于600元，可列出關于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，再取其中的最大整數值即可得出結論．
【詳解】（1）解：根據題意得，解得，
答：的值為17，的值為20；
（2）解：設購進千克甲種水果，則購進千克乙種水果，根據題意得，解得，
設購進的200千克水果全部售出后獲得的總利潤為元，則，即，
，
隨的增大而減小，
又，且的最大值不低于600元，
，解得，
又為正整數，
的最大值為8，
答：正整數的最大值為8．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一次函數的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
9．（2024·江蘇鹽城·三模）某蔬菜超市經銷的A，B兩種蔬菜，進價和售價如下表所示：
品名 A蔬菜 B蔬菜
批發價/（元/千克） 4 3
零售價/（元/千克） 5
(1)第一次進貨時，超市用1000元購進A，B兩種蔬菜共300千克，求全部售完獲利多少元；
(2)受市場因素影響，第二次進貨時，A種蔬菜進價每千克上漲了元，B種蔬菜進價每件上漲了元，但兩種蔬菜的售價不變．超市計劃購進A，B兩種蔬菜共240千克，且B種蔬菜的購進量不超過A種蔬菜購進量的2倍．設此次購進A種蔬菜m千克，兩種蔬菜全部售完可獲利w元（不考慮損耗）．
①請求出w與m的函數關系式；
②超市第二次獲利能否超過第一次獲利？請說明理由．
【答案】(1)全部售完獲利為580元
(2)①，②超市第二次獲利不能超過第一次獲利，理由見解析
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用；
（1）等量關系式：購進A種蔬菜的重量購進B種蔬菜的重量千克，購進A種蔬菜的費用購進B種蔬菜的費用千克，列出方程組，即可求解；
（2）①等量關系式：總獲利銷售A種蔬菜的獲利銷售B種蔬菜的獲利，據此列出函數關系式，即可求解；
②由①得函數關系式，再由一次函數的性質，即可求解；
找出等量關系式，用一次函數的性質求解是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：設購進A種蔬菜x千克，購進B種蔬菜y千克，
根據題意列出方程組為：
解得：，
全部售完獲利：
（元）．
（2）解：①設第二次購進A種蔬菜m千克，則購進B種蔬菜（）件，
根據題意
，
②超市第二次獲利不能超過第一次獲利，
理由如下：
，
解得：，
由①可知，，
，
一次函數w隨m的增大而減小，
∴當時，w取最大值，
（元），
，
超市第二次獲利不能超過第一次獲利．
10．（2024·江蘇蘇州·二模）“今天立夏，過來吃碗三蝦面．”在百年老字號裕面堂內，一位老蘇州說，蘇州人立夏傳統“嘗三鮮”是蠶豆、莧菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三蝦面嘗嘗鮮．為了抓住這一商機，兩商戶決定生產預制面．據統計，甲商戶每小時生產600包，乙商戶每小時生產800包，甲乙兩商戶每天共生產16小時，且每天生產的三蝦面總包數為11400包．
(1)甲、乙兩商戶每天分別生產多少小時？
(2)由于三蝦面在網上直播熱銷，客戶紛紛追加訂單，兩商戶每天均增加了生產時間，其中甲商戶比乙商戶多增加2小時，在整個生產過程中，甲商戶每小時產量不變，而乙商戶由于機器損耗及人員不足，每增加一個小時，每小時產量將減少140包，這樣兩商戶一天生產的面條總量將比原來多1200包．求：甲商戶增加的生產時間為多少小時？
【答案】(1)甲、乙兩商戶每天分別生產小時和小時
(2)甲商戶增加的生產時間為3小時
【分析】本題考查二元一次方程組的實際應用，一元二次方程的應用，正確的列出方程組和一元二次方程，是解題的關鍵：
（1）設甲、乙兩商戶每天分別生產小時和小時，根據甲乙兩商戶每天共生產16小時，且每天生產的三蝦面總包數為11400包，列出方程組進行求解即可；
（2）設甲商戶增加的生產時間為小時，根據兩商戶一天生產的面條總量將比原來多1200包，列出方程進行求解即可．
【詳解】（1）解：設甲、乙兩商戶每天分別生產小時和小時，
則：，解得：；
答：甲、乙兩商戶每天分別生產小時和小時；
（2）設甲商戶增加的生產時間為小時，則：乙商戶增加的生產時間為小時，由題意，得：，
解得：或（不合題意，舍去）；
答：甲商戶增加的生產時間為3小時．
題型三 一元二次方程應用題
11．（2024·江蘇常州·模擬預測）某品牌新能源汽車2021年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2023年的銷售量比2021年增加了31.2萬輛．
(1)求從2021年到2023年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率；
(2)按照（1）中所求平均年增長率計算2024年該品牌新能源汽車的銷售量．
【答案】(1)從2021年到2023年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為
(2)2024年該品牌新能源汽車的銷售量為81.92萬輛
【分析】本題考查一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
（1）設這兩年新能源汽車銷售量年平均增長率為，根據題意，銷售量從2021年20萬輛增加到2023年51.2萬輛，增加了31.2萬輛，列出方程求解即可．
（2）根據（1）中計算得出的增長率，列出算式求解即可．
【詳解】（1）設這兩年新能源汽車銷售量年平均增長率為．
得：，
解得：，（舍去）．
∴從2021年到2023年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長率為．
（2）由題意得：（萬輛）．
∴2024年該品牌新能源汽車的銷售量為81.92萬輛．
12．（2024·江蘇無錫·二模）為了加強勞動教育，我校在校園開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學校的墻（墻的最大可用長度為28米），用長為39米的籬笆，圍成中間隔有一道籬笆的矩形菜地，在菜地的前端及中間籬笆上設計了三個寬1米的小門，便于同學們進入．
(1)若圍成的菜地面積為120平方米，求此時邊的長；
(2)若每平方米可收獲2千克的菜，問該片菜地最多可收獲多少千克的菜？
【答案】(1)菜地的面積能達到時的長為．
(2)該片菜地最多可收獲千克的菜．
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數的應用，熟練掌握方程的應用和二次函數最值的應用是解題的關鍵．
(1) 設，則，依題意列方程計算即可．
(2) 設菜地的面積為，依題意構造二次函數計算即可．
【詳解】（1）設，則，依題意，得：
，
即，
解得：，，
當時，（不合題意，舍去），
當時，．
答：菜地的面積能達到時的長為．
（2）設菜地的面積為，依題意，得：
，
∴當時，y有最大值為147．
即菜地的最大面積是．
∴（千克），
答：該片菜地最多可收獲千克的菜．
13．（2024·江蘇鹽城·一模）社區利用一塊矩形空地建了一個小型停車場，其布局如圖所示．已知米，米，陰影部分設計為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為米的道路．已知鋪花磚的面積為880平方米．
(1)求道路的寬是多少米？
(2)該停車場共有車位60個，據調查分析，當每個車位的月租金為200元時，可全部租出；若每個車位的月租金每上漲5元，就會少租出1個車位，問當每個車位的月租金上漲多少元時，停車場的月租金收入最大？
【答案】(1)道路的寬為6米
(2)每個車位的月租金上漲50元時，停車場的月租金收入最大
【分析】考查了一元二次方程的應用，二次函數的應用．
（1）由題意知，道路的寬為x米，根據鋪花磚的面積列出方程并解答；
（2）設月租金上漲元，停車場月租金收入為元，，根據“月租金=每個車位的月租金×車位數”列出函數表達式，進而求解．
【詳解】（1）根據道路的寬為米，根據題意得，
，
解得：（舍去），，
答：道路的寬為6米；
（2）設月租金上漲元，停車場月租金收入為元，
根據題意得：，
當時，月租金收入最大為12500元，
答：每個車位的月租金上漲50元時，停車場的月租金收入最大．
14．（2024·江蘇泰州·二模）某地建立了一個勞動實踐基地，小亮從中了解到如下信息：
信息1：2025年計劃將100畝的土地全部種植甲乙兩種蔬菜；其中，甲種蔬菜種植面積不少于20畝，乙種蔬菜種植面積不少于50畝；
信息2：甲種蔬菜每畝種植成本y（單位：元）與其種植面積x（單位：畝）之間滿足函數關系為：乙種蔬菜每畝種植成本為50元．
根據以上信息完成下列問題：
(1)若甲種蔬菜每畝種植成本30元，求乙種蔬菜總種植成本；
(2)如何分配兩種蔬菜的種植面積，使甲乙兩種蔬菜總種植成本為4272元？
【答案】(1)3000元
(2)甲種蔬菜種植28畝，乙種蔬菜種植72畝
【分析】本題主要考查了一次函數的應用，一元二次方程的應用，不等式組的應用，解題的關鍵是理解題意，根據題意列出相應的方程和不等式．
（1）先將代入，得出，求出乙種蔬菜的種植面積，然后求出乙種蔬菜的種植成本即可；
（2）根據甲乙兩種蔬菜總種植成本為4272元，得出，求出x的值，根據甲種蔬菜種植面積不少于20畝，乙種蔬菜種植面積不少于50畝，求出，得出結果即可．
【詳解】（1）解：令，
∴，
解得：，
∴乙種蔬菜種植面積為（畝），
（元）
答：乙種蔬菜總種植成本為3000元．
（2）解：由題意可得：，
整理得：，
解得：，，
∵且，
∴，
∴，此時乙種蔬菜種植（畝）
答：甲種蔬菜種植28畝，乙種蔬菜種植72畝．
15．（2023·江蘇無錫·模擬預測）有兩條相鄰的平行滑道（不光滑）．甲木塊在一條滑道內自動滑行，直到停止．甲木塊與起點線m的距離（厘米）與滑行時間t（秒）之間滿足．甲木塊滑行2秒后，乙木塊在另一滑道從起點線m以某一初速，持續受力運動，乙木塊與起點線m的距離（厘米）與受力時間t（秒）是二次函數關系，變化規律如下表：
t（秒） 0 1 2
S乙（厘米） 0 16 36
(1)求與t之間的函數關系式；
(2)求乙木塊追上甲木塊用時多長；
(3)求甲木塊停止時，乙木塊與甲木塊的水平距離．
【答案】(1)
(2)3秒
(3)27厘米
【分析】此題考查了二次函數的應用，根據題意正確求出與t之間的函數解析式是解題的關鍵．
（1）利用待定系數法求出函數解析式即可；
（2）根據題意列出方程，解方程即可得到答案；
（3）求出甲停止時滑行的最大距離，以及此時乙滑行的距離，即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意可設與t之間的函數關系式為：，
把代入解析式可得：
，
解得：，
∴S乙與t之間的函數關系式為：；
（2）∵甲木塊滑行2秒后，乙才開始運動，
∴，
方程整理可得：，
解得：（舍去），
答：乙木塊追上甲木塊用時3秒；
（3）根據題意可得：，
∵，且甲木塊在一條滑道內自動滑行，直到停止，
∴當時，甲滑行的最大距離為厘米，此時甲停止滑行，
∵甲木塊滑行2秒后，乙才開始運動，
∴乙的受力時間（秒），
此時，
∴（厘米），
答：甲木塊停止時，乙木塊與甲木塊的水平距離為厘米．
題型四 分式方程應用題
16．（2024·江蘇徐州·模擬預測）2024年“五一”假期，徐州接待游客創歷史新高．某商鋪向游客銷售某款“徐州文創”產品，該商鋪第一次購進該產品的總價為3000元，很快售完；該商鋪第二次購進該產品的總價為9000元．已知第二次購進該產品的數量是第一次的2倍還多300個，第二次進貨的單價比第一次的進貨的單價提高20％．求第一次購進該產品的單價是多少元？
【答案】5元
【分析】本題主要考查的是分式方程的實際應用，理解題意是解題的關鍵．設第一次購進該紀念品的進價是x元，列出分式方程即可．
【詳解】解：設第一次購進該產品的單價是x元，則第二次購進該產品的單價是元．
由題意得：，
解得，
經檢驗，是原方程的解且符合題意．
答：第一次購進該產品的單價5元．
17．（2024·江蘇鹽城·二模）學校器材室購買了一批籃球和足球、已知 ，購買足球共花費750元，購買籃球共花費900元，購買足球的數量比購買籃球的數量多15個．
請從①籃球的單價是足球單價的3倍；②足球的單價是籃球單價的2倍；③籃球的單價比足球的單價貴60元；這3個選項中選擇一個作為條件（填序號），并求出足球的單價．
【答案】①；足球的單價為30元
【分析】設足球的單價為元，則籃球的單價為元，根據購買足球的數量比購買籃球的數量多15個．列出分式方程，解方程即可．本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
【詳解】解：選擇①籃球的單價是足球單價的3倍，理由如下：
設足球的單價為元，則籃球的單價為元，
由題意得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
即足球的單價為30元，
故答案為：①（答案不唯一）．
18．（23-24八年級下·新疆克拉瑪依·期末）為了迎接“五一”黃金周的到來，某商店計劃購進甲、乙兩種文創飾品進行銷售，兩種飾品的進價和售價如下：
飾品品種 進價（元/件） 售價（元/件）
甲 a 200
乙 300
已知用6000元購進甲種飾品的數量與用9000元購進乙種飾品的數量相同．
(1)求a的值；
(2)商店計劃購進甲、乙兩種飾品共300件，其中甲種飾品不少于80件且不超過120件，求銷售完這兩種飾品的最大利潤；
【答案】(1)的值為100
(2)銷售完這兩種飾品的最大利潤為41000元
【分析】本題考查了分式方程的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確得出一次函數關系式．
（1）由題意：用6000元購進甲種飾品的數量與用9000元購進乙種飾品的數量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）設購進甲種飾品件，銷售完這兩種飾品的總利潤為元，由題意得出與的一次函數關系式，再由一次函數的性質即可得出結論；
【詳解】（1）解：由題意得：，
解得：．
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴的值為100；
（2）解：設購進甲種飾品件，銷售完這兩種飾品的總利潤為元，
由題意得：．
其中，
，
∴隨的增大而減小，
∴當時，有最大值，最大值，
答：銷售完這兩種飾品的最大利潤為41000元．
19．（2024·江蘇連云港·二模）為推進節能環保工作的開展，某市相關管理部門要為市區的一個主干道更換一批智能LED太陽能充電路燈．經調研，市場上有甲型、乙型兩種符合要求的路燈組件在售，已知甲型路燈組件比乙型路燈組件的單價少0.2萬元，用12萬元購買甲型路燈組件與用16萬元購買乙型路燈組件的個數相等．
(1)求甲型、乙型路燈組件的單價各是多少？
(2)該市決定購買甲型、乙型路燈組件共300個，且花費不超過200萬元，則至少購買甲型路燈組件多少個？
【答案】(1)甲0.6萬元/個，乙0.8萬元/個；
(2)200個
【分析】（1）設甲型路燈組件的單價是x萬元，則乙型路燈組件的單價是萬元，
根據用12萬元購買甲型路燈組件與用16萬元購買乙型路燈組件的個數相等，列出關于x的分式方程，解之經檢驗后可得出x的值，進而即可得出答案；
（2）設購買y個甲型路燈組件，則購買個乙型路燈組件，根據花費不超過200萬元，列出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論．
【詳解】（1）解：設甲型路燈組件的單價是x萬元，則乙型路燈組件的單價是萬元，
根據題意得：，
解得：，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
（萬元），
答：甲型路燈組件的單價是0.6萬元，則乙型路燈組件的單價是0.8萬元；
（2）設購買y個甲型路燈組件，則購買個乙型路燈組件，
根據題意得：，
解得：，
y的最小值為200，
答：至少購買甲型路燈組件200個．
【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
20．（2024·江蘇宿遷·二模）某商場準備購進甲、乙兩種服裝出售，甲種服裝每件售價130元，乙種服裝每件售價100元．每件甲種服裝的進價比乙種服裝的進價貴20元，用240元單獨購進甲種服裝的數量比單獨購進乙種服裝的數量少1件，現計劃購進兩種服裝共10件，其中甲種服裝不少于68件．
(1)甲、乙兩種服裝每件的進價分別是多少元？
(2)若購進這100件服裝的費用不得超過7600元．
①求甲種服裝最多購進多少件；
②該商場對甲種服裝每件降價元，乙種服裝價格不變，如果這100件服裝都可售完，那么如何進貨才能獲得最大利潤？
【答案】(1)80元；60元
(2)①80件；②見解析
【分析】此題考查了分式方程的應用，一元一次不等式組的應用、一次函數的應用，讀懂題意，正確列式是解題的關鍵．
（1）設甲種服裝每件的進價m元，則乙種服裝每件的進價元，根據用240元單獨購進甲種服裝的數量比單獨購進乙種服裝的數量少1件列出方程，解方程并檢驗即可；
（2）①設甲種服裝購進x件，根據甲種服裝不少于68件，購進這100件服裝的費用不得超過7600元，列出不等式組，解不等式組即可；
②設獲得利潤為y元，根據題意列出一次函數，根據一次函數的性質分類討論即可．
【詳解】（1）解：設甲種服裝每件的進價m元，則乙種服裝每件的進價元，
根據題意得：，
解得，，
經檢驗是原方程的解且符合題意，
∴，
∴甲種服裝每件的進價80元，乙種服裝每件的進價60元；
（2）①設甲種服裝購進x件，
∵甲種服裝不少于68件，購進這100件服裝的費用不得超過7600元，
∴，
解得；
∴甲種服裝最多購進80件；
②設獲得利潤為y元，
根據題意得：，
當時，y隨x的增大而增大，
∴當時，y取最大值，此時購進甲種服裝80件，乙種服裝20件利潤最大；
當時，所有進貨方案利潤都是4000元；
當時，y隨x增大而減小，
∴當時，y取最大值，此時購進甲種服裝68件，乙種服裝32件利潤最大.
綜上所述，當時，購進甲種服裝80件，乙種服裝20件利潤最大；當時，所有進貨方案利潤都是4000元；時，購進甲種服裝68件，乙種服裝32件利潤最大
題型五 不等式類應用題
21．（2023·江蘇蘇州·二模）某公司有型產品件，型產品件，分配給下屬甲、乙兩個商店銷售，其中件給甲店，件給乙店，且都能賣完兩商店銷售這兩種產品每件的利潤元如下表：
型利潤 型利潤
甲店
乙店
(1)設分配給甲店型產品件，這家公司賣出這件產品的總利潤為元，求關于的函數關系式，并求由的取值范圍；
(2)為了促銷，公司決定僅對甲店型產品讓利銷售，每件讓利元，但讓利后型產品的每件利潤仍高于甲店型產品的每件利潤甲店的型產品以及乙店的，型產品的每件利潤不變，問該公司又如何設計分配方案，使總利潤達到最大？
【答案】(1)
(2)當時，總利潤最大，此時分配給甲店產品件，產品件，分配給乙店產品件，產品件．
【分析】此題主要考查了一次函數的應用；得到分配給甲乙兩店的不同型號的產品的數量是解決本題的突破點；得到總利潤的關系式是解決本題的關鍵；
（1）根據所有產品數量及所給產品數量分別得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的數量，那么總利潤等于每件相應商品的利潤×相應件數之和，再根據根據各個店面的商品的數量為非負數可得自變量的取值范圍；
（2）根據讓利后A型產品的每件利潤仍高于甲店B型產品的每件利潤可得a的取值，結合（1）得到相應的總利潤，根據a的取值結合函數的性質可得最大值的方案即可．
【詳解】（1）解：分配給甲店型產品件，則分配給甲店型產品件，分配給乙店型產品件，分配給乙店型產品件，
，
，
，
；
（2）由題意得：，
即，
，
．
∴，函數隨的增大而增大，
當時，總利潤最大，此時分配給甲店產品件，產品件，分配給乙店產品件，產品件
22．（2023·江蘇蘇州·二模）新修訂的《中華人民共和國森林法》明確每年3月12日為植樹節．2023年植樹節，某班開展植樹活動，欲購買甲、乙兩種樹苗．已知購買25棵甲種樹苗和10棵乙種樹苗共需1250元，購買15棵甲種樹苗和5棵乙種樹苗共需700元．
(1)求購買的甲、乙兩種樹苗的單價；
(2)經商量，決定用不超過1300元的費用購買甲、乙兩種樹苗共30棵，其中乙種樹苗的數量不少于甲種樹苗數量的，求購買的甲種樹苗數量的取值范圍．
【答案】(1)甲種樹苗單價為30元，乙種樹苗單價為50元
(2)
【分析】（1）設購買甲，乙兩種樹苗的單價分別為元，元，根據題意列方程，求解即可；
（2）設購買甲種樹苗棵，根據題意列一元一次不等式組，求解不等式組即可．
【詳解】（1）解：設購買甲，乙兩種樹苗的單價分別為元，元，
根據題意，得，
解方程組，得，
購買甲種樹苗單價為30元，乙種樹苗單價為50元．
（2）設購買甲種樹苗棵，則乙種樹苗棵，
根據題意，得，
解不等式組，得，
購買甲種樹苗數量的取值范圍是．
【點睛】本題考查了二元一次方程組應用和一元一次不等式組應用，根據題意建立二元一次方程組和一元一次不等式組是解決本題的關鍵．
23．（2023·江蘇揚州·二模）我市某企業安排20名工人生產甲、乙兩種產品，根據生產經驗，每人每天生產2件甲產品或1件乙產品（每人每天只能生產一種產品）．甲產品生產成本為每件10元；若安排1人生產一件乙產品，則成本為38元，以后每增加1人，平均每件乙產品成本降低2元．規定甲產品每天至少生產20件．設每天安排人生產乙產品．
(1)根據信息填表：
產品種類 每天工人數（人） 每天產量（件） 每件產品生產成本（元）
甲 10
乙 x
(2)為了增加利潤，企業須降低成本，該企業如何安排工人生產才能使得每天的生產總成本最低？最低成本是多少？
(3)該企業準備通過對外招工，增加工人數量的方式降低每天的生產總成本，那么至少招多少名工人才能實現每天的生產總成本不高于350元？
【答案】(1)見解析
(2)當安排10名工人生產甲產品，10名工人生產乙產品時才能使得每天的生產總成本最低，最低成本是400元
(3)至少招5名工人才能實現每天的生產總成本不高于350元
【分析】（1）先求出每天安排人生產甲產品，再根據每人每天生產2件甲產品求出每天生產甲產品的數量，據此填表即可；
（2）設每天的生產總成本為W元，根據成本生產數量每件的生產成本列出W關于x的二次函數關系式，利用二次函數的性質求解即可；
（3）設對外招工a人，列出W關于x的二次函數關系式，利用二次函數的性質求出W的最小值，再根據每天的生產總成本不高于350元列出不等式組求解即可．
【詳解】（1）解；設每天安排人生產乙產品，
∴每天安排人生產甲產品，
∵每人每天生產2件甲產品，
∴每天生產甲產品件，
填表如下：
產品種類 每天工人數（人） 每天產量（件） 每件產品生產成本（元）
甲 10
乙 x
（2）解：設每天的生產總成本為W元，
由題意得
，
∵，
∴當時，W隨x增大而增大，當時，W隨x增大而減小，
∵甲產品每天至少生產20件，
∴，
∴，
當時，，
當時，，
∵，
∴當時，W最小，最小為400，
∴，
∴當安排10名工人生產甲產品，10名工人生產乙產品時才能使得每天的生產總成本最低，最低成本是400元；
（3）解：設對外招工a人，
由題意得，
，
∵，
∵甲產品每天至少生產20件，
∴，
∴，
同理可得當時，W最小，
，
∵每天的生產總成本不高于350元，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴至少招5名工人才能實現每天的生產總成本不高于350元．
【點睛】本題主要考查了二次函數的實際應用，一元一次不等式組的實際應用，列代數式，正確理解題意列出W關于x的二次函數關系式是解題的關鍵．
24．（2023·江蘇蘇州·一模）某商場計劃銷售甲、乙兩種品牌的電腦，甲電腦進價比乙電腦高0.15萬元/臺．現計劃用16萬元購進甲電腦，15萬元購進乙電腦，甲電腦數量與乙電腦數量之比恰好為2：3．
(1)該商場計劃購進甲、乙兩種電腦各多少臺？
(2)通過市場調研，甲電腦的利潤率是10%，乙電腦的利潤率是20%，該商場決定在原計劃的基礎上更改購進策略：減少甲電腦的購進數量，增加乙電腦的購進數量，已知乙電腦增加的數量是甲電腦減少的數量的3倍，且用于購進這兩種電腦的總資金不超過35萬元．更改購進策略后，該商場怎樣進貨，使全部銷售后獲得的總利潤最大？并求出最大總利潤．（利潤=利潤率×進價）
【答案】(1)甲電腦購進40臺，乙電腦購進60臺
(2)甲電腦購進29臺，乙電腦購進93臺使全部銷售后獲得的總利潤最大，最大總利潤為5.81萬
【分析】（1）設甲電腦進價萬元/臺，則乙電腦進價萬元/臺，根據題意可得，求出的值即可得到答案；
（2）甲電腦減少臺，則乙電腦增加臺，根據題意可得，解得，再求出利潤的表達式即可得到答案．
【詳解】（1）解：設甲電腦進價萬元/臺，則乙電腦進價萬元/臺，
根據題意可得：
解得，
所以乙電腦進價0.25萬元/臺，
甲電腦購進臺，乙電腦購進臺；
（2）解：甲電腦減少臺，則乙電腦增加臺，
根據題意可得：，
解得：，
全部銷售后獲得的總利潤為，
當時，最大總利潤為5.81萬元．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應用一元一次不等式的應用，讀懂題意，找準等量關系，列出分式方程和一元一次不等式是解題的關鍵．
25．（2023·江蘇常州·一模）2022年FIFA世界杯期間，某商店購進A、B兩種品牌的足球進行銷售．銷售5個A品牌和個B品牌足球的利潤和為元，銷售個A品牌和5個B品牌足球的利潤和為元．
(1)求每個A品牌和B品牌足球的銷售利潤；
(2)商店計劃購進兩種品牌足球共100個，設購進A品牌足球x個，兩種足球全部銷售完共獲利y元．
①求y與x之間的函數關系式；（不必寫x的取值范圍）
②若購進A品牌足球的個數不少于60個，且不超過B品牌足球個數的4倍，求最大利潤．
【答案】(1)每個A品牌足球的銷售利潤分別為元、每個B品牌足球的銷售利潤為元；
(2)①y與x之間的函數關系式為；②最大利潤為元
【分析】（1）設每個A品牌和B品牌足球的銷售利潤分別為m元、n元，根據題“銷售5個A品牌和個B品牌足球的利潤和為元，銷售個A品牌和5個B品牌足球的利潤和為元”得方程組，解方程組即得；
（2）①由題意、根據“總利潤等于銷售A品牌和B品牌所得利潤之和”可得函數關系式；②由已知條件可得關于x的不等式組，從而得出x的取值范圍，再根據一次函數的增減性，即可求出最大利潤．
【詳解】（1）解：設每個A品牌足球的銷售利潤為m元、每個B品牌足球的銷售利潤為n元，根據題意，得：
，
解得：，
答：每個A品牌足球的銷售利潤分別為60元、每個B品牌足球的銷售利潤為40元；
（2）解：①由題意知，，
∴y與x之間的函數關系式為；
②∵購進A品牌足球的個數不少于個，且不超過B品牌足球個數的4倍，
∴，
解得：，
在中，
∵，
∴y隨x的增大而增大，
∴當時，y取得最大值，最大值為，
即最大利潤為元．
【點睛】本題考查一次函數的應用和二元一次方程組的應用，關鍵是找到等量關系列出函數解析式或方程組．
題型六 一次函數的實際應用
26．（2024·江蘇南京·模擬預測）慢車從甲地出發勻速駛往乙地，出發后快車也從甲地出發，勻速行駛，到達乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快車速度是慢車速度的倍．在整個行程中，慢車離甲地的距離（單位：）與時間（單位：）之間的函數關系如圖所示．
(1)在圖中畫出快車離甲地的距離（單位：）與時間之間的函數圖像；
(2)若慢車出發時與快車第次相遇．
①求快車從出發到返回甲地所用的時間；
②當兩車第次相遇的地點距離乙地時，的值為___________．
【答案】(1)見解析
(2)①；②
【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用，正確理解題意讀懂函數圖像是解題的關鍵．
（1）根據題意可知快車和慢車的函數圖像在時第一次相遇交于，因此借助慢車的函數圖像確定點的位置，把連接點與并延長交直線于，然后對稱作出快車返回甲地的函數圖像即可；
（2）①慢車的速度為，快車的速度為，根據快車出發兩車相遇列出方程求出，根據路程速度時間得到，根據題意可得．設的函數表達式為，進而求出，然后求出當時，的值即可得到答案；②由①知，快車從出發到返回甲地所用的時間為小時，則快車到達乙地的時間為，則，結合當兩車第次相遇的地點距離乙地可求出，根據路程速度時間，即可求解．
【詳解】（1）解：慢車從甲地出發勻速駛往乙地，出發后快車也從甲地出發，
快車離甲地的距離（單位：）與時間之間的函數圖像過
設慢車的速度為，則快車的速度為，
根據題意，兩車第一次相遇時：，
解得：，
即兩車第一次相遇的時間為，設兩車的離甲地的距離（單位：）與時間的函數圖像交于點，連接，并延長交所在直線于點，過點作軸于點，由于快車到達乙地后保持原速沿原路返回甲地，則快車返回甲地的圖像應為關于對稱的線段，設線段與慢車的圖像交于點，
如圖，即為所求所作；
（2）①慢車的速度為，快車的速度為，
根據題意得：，
，
，
，
設的函數解析式為，
將代入得：，
，
的函數解析式為，
令，則，
解得：，
快車從出發到返回甲地所用的時間為小時；
②由①知，快車從出發到返回甲地所用的時間為小時，
則快車到達乙地的時間為，則，
當兩車第次相遇的地點距離乙地，
，
，
故答案為：．
27．（2023·江蘇揚州·一模）農經公司以30元/千克的價格收購一批農產品進行銷售，為了得到日銷售量（千克）與銷售價格（元/千克）之間的關系，經過市場調查獲得部分數據如表：
銷售價格（元/千克） 30 35 40 45 50
日銷售量（千克） 600 450 300 150 0
(1)請你根據表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定與之間的函數表達式，并直接寫出與的函數表達式為______；
(2)農經公司應該如何確定這批農產品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？
(3)農經公司每銷售1千克這種農產品需支出元的相關費用，當時，農經公司的日獲利的最大值為2430元，求的值．（日獲利日銷售利潤日支出費用）
【答案】(1)
(2)這批農產品的銷售價格定為元/千克，才能使日銷售利潤最大
(3)2
【分析】本題主要考查一次函數，二次函數圖象的性質，掌握待定系數法求解析式，銷售問題中數量關系是解題的關鍵．
（1）先判斷與x成一次函數關系，設與x之間的函數表達式為，運用待定系數法即可求解；
（2）設日銷售利潤為w元，由題意得：，根據一次函數圖象的性質即可求解；
（3）設日獲利為w元，由題意得：，結合二次函數圖象的性質，分類討論，即可求解．
【詳解】（1）解：根據表格中的數據可知：銷售價格每增加5元，日銷售量減少，
∴與成一次函數關系，設與之間的函數表達式為，
將代入，得：
，
解得：，
∴；
（2）解：設日銷售利潤為元，由題意得：
，
∵，拋物線開口向下，
∴當時，有最大值．
∴這批農產品的銷售價格定為元/千克，才能使日銷售利潤最大；
（3）解：設日獲利為元，由題意得：
，
對稱軸為，
當時，，則當時，有最大值，將代入，得：
，
當時，
，
解得（舍去）；
當，，則當時，有最大值，將代入，得：
當時，
，
解得：（舍去）；
綜上所述，的值為．
28．（2024·江蘇淮安·模擬預測）甲、乙兩車從A地駛向B地，并以各自的速度勻速行駛，甲車比乙車早行駛，并且甲車途中休息了，如圖是甲、乙兩車路程與甲行駛的時間的函數圖象．
(1) ______， ______；
(2)求乙車行駛路程與時間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
(3)當______時，兩車恰好相距．
【答案】(1)1；40
(2)
(3)
【分析】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是：
（1）根據“路程÷時間=速度”由函數圖象就可以求出甲的速度求出a的值和m的值；
（2）由待定系數法求解即可；
（3）當時， 先求出甲車行駛的路程y與時間x之間的解析式，由解析式之間的關系建立方程求出其解即可
【詳解】（1）解∶ 由圖知，
∴．
∵ ，
∴，
故答案為∶1；40；
（2）解：設乙車行駛路程與時間的函數關系式為，
把，代入，
得，
解得，
∴，
當時，，解得，
∴；
（3）解：當時，設甲車行駛路程與時間的函數關系式為，
把，代入，
得，
解得，
∴，
根據題意，得，
解得或，
當時，兩車間的距離為，
所以不符合題意 ，
所以當時，兩車恰好相距，
故答案為：．
29．（2024·江蘇鹽城·三模）“城市發展，交通先行”，我市啟動了緩堵保暢的快速路建設工程，建成后將大大提升道路的通行能力．研究表明，在確保安全行車情況下，快速路的車流速度v（千米/時）是車流密度x（輛/千米）的函數，其圖象近似的如圖所示．
(1)求v關于x的函數表達式；
(2)求車流量p和車流密度x之間的函數表達式并求出車流量p（輛/時）的最大值．（注：車流量是單位時間內通過觀測點的車輛數，計算公式為：車流量=車流速度×車流密度）
(3)經過測算，每日上下班高峰時段快速路車流量將不低于4400輛/時，為保證快速路安全暢通，城市道路交通指揮中心將實時發布道路預警信息，提醒駕駛員按預警速度要求行駛，請你幫助城市交通指揮中心測算一下上下班高峰時段車速應控制在什么范圍才能確保快速路安全暢通？
【答案】(1)
(2)， P的最大值為4418輛/時
(3)上下班高峰時段車速應控制在44千米時千米時．
【分析】此題考查了一次函數及二次函數的應用，解答本題需要我們會判斷二次函數的增減性及二次函數最值的求解方法，也要熟練待定系數法求一次函數解析式．
（1）用待定系數法即可求解；
（2）由題知：當時，；當時，，進而求解；
（3）由題意得：，解得，而，當時，，當時，，即可求解．
【詳解】（1）解：由圖象知，當時，，
當時，設該段一次函數表達式是，
把兩點坐標，，分別代入，
得，
解得，
關于的一次函數表達式是，
即；
（2）解：由題知：當時，．
當時，，
當時，車流量有最大值4418輛時．
，
當時，車流量有最大值4418輛時；
（3）解：由題意得：，解得，
而，
當時，，當時，，
即，
即上下班高峰時段車速應控制在44千米時千米時．
30．（2024·江蘇南京·二模）快、慢兩車從甲地出發，沿同一條直路勻速行駛，前往乙地．設快車出發第時，快、慢兩車離甲地的距離分別為，當時，慢車到達乙地．與x之間的函數關系如圖所示．
(1)甲、乙兩地相距 ，快車比慢車晚出發 h．
(2)快車與慢車相遇時，兩車距離甲地多遠？
(3)若第三輛車的速度是快車的速度的1.5倍，沿同一條直路從乙地勻速前往甲地，當慢車到達乙地時，該車恰好到達甲地．請在圖中畫出該車離甲地的距離與x 之間的函數圖像．
【答案】(1)160，1
(2)
(3)見解析
【分析】本題考查一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能從函數圖象中獲取有用的信息．
（1）由圖可知甲、乙兩地相距；根據路程時間速度，求出慢車的速度為，可知快車出發時，慢車行駛的時間為，故快車比慢車晚出發；
（2）由圖可知，快車出發1小時追上慢車，此時慢車已行駛，即可得快車與慢車相遇時，兩車距離甲地；
（3）求出第三輛車的速度是；可得第三輛車從乙地到甲地所需時間為，故當時，第 三輛車從乙地出發，即與x之間的函數圖象過和，即可畫出函數圖象．
【詳解】（1）解：由圖可知，甲、乙兩地相距；
慢車的速度為，
由可知，快車出發時，
慢車行駛的時間為，
∴快車比慢車晚出發；
故答案為：160，1；
（2）解：由圖可知，快車出發1小時追上慢車，此時慢車已行駛，
∵，
∴快車與慢車相遇時，兩車距離甲地；
（3）解：由（2）知，快車速度為，
∴第三輛車的速度是；
∴第三輛車從乙地到甲地所需時間為，
∵，
∴當時，第三輛車從乙地出發，
即與x之間的函數圖象過和，
畫出圖象如下：
題型七 二次函數的實際應用
31．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）在綠化公園時，需要安裝一定數量的自動噴灑裝置，定時噴水養護草坪．某公司準備在一塊邊長為的正方形草坪（圖1）中安裝自動噴灑裝置，為了既節約安裝成本，又盡可能提高噴灑覆蓋率，需要設計合適的安裝方案．
說明：一個自動噴灑裝置的噴灑范圍是半徑為的圓面，噴灑覆蓋率，為待噴灑區域面積，為待噴灑區域中的實際噴灑面積．
這個問題可以轉化為用圓面覆蓋正方形面積的數學問題．
(1)如圖2，在該草坪中心位置設計安裝1個噴灑半徑為的自動噴灑裝置，該方案的噴灑覆蓋率__________．
(2)如圖3，在該草坪內設計安裝4個噴灑半徑均為的自動噴灑裝置；如圖4，設計安裝9個噴灑半徑均為的自動噴灑裝置……以此類推，如圖5，設計安裝個噴灑半徑均為的自動噴灑裝置，與（1）中的方案相比，采用這種增加裝置個數且減小噴灑半徑的方案，能否提高噴灑覆蓋率？請判斷并給出理由．
(3)如圖6，該公司設計了用4個相同的自動噴灑裝置噴灑的方案，且使得該草坪的噴灑覆蓋率．
已知正方形各邊上依次取點F，G，H，E，使得，設，的面積為，求y關于x的函數表達式，并求當y取得最小值時r的值．
【答案】(1)
(2)不能，理由見解析
(3)．取得最小值
【分析】（1）根據定義，分別計算圓的面積與正方形的面積，即可求解；
（2）根據（1）的方法求得噴灑覆蓋率即可求解；
（3）根據勾股定理求得的關系，進而根據圓的面積公式得出函數關系式，根據二次函數的性質，即可求解．
【詳解】（1）解：（1）當噴灑半徑為時，噴灑的圓面積．
正方形草坪的面積．
故噴灑覆蓋率．
（2）解：對于任意的，噴灑面積，而草坪面積始終為．
因此，無論取何值，噴灑覆蓋率始終為．
這說明增加裝置個數同時減小噴灑半徑，對提高噴灑覆蓋率不起作用．
（3）如圖所示，連接，
要使噴灑覆蓋率，即要求，其中為草坪面積，為噴灑面積．
∴都經過正方形的中心點，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴當時，取得最小值，此時
解得：．
【點睛】本題考查了正方形與圓，二次函數的應用，解決此類問題的關鍵在于將實際問題轉化為數學問題，即如何將噴灑覆蓋率的計算問題轉化為面積計算和函數求解問題．同時，在解決具體問題時，需要靈活運用已知的數學知識，如圓的面積公式，正方形面積公式，以及函數解析式求解等．最后，還需要注意將數學計算結果還原為實際問題的解決方案．
32．（2024·江蘇揚州·一模）如圖平面直角坐標系中，運動員通過助滑道后在點A處起跳經空中飛行后落在著陸坡上的點處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分．從起跳到著陸的過程中，運動員到地面的豎直距離y（單位：m）與他在水平方向上移動的距離（單位：m）近似滿足二次函數關系，已知，，落點到的水平距離是，到地面的豎直高度是．
(1)求y與的函數表達式；
(2)進一步研究發現，運動員在空中飛行過程中，其水平方向移動的距離（m）與飛行時間t（秒）具備一次函數關系，當他在起跳點騰空時，，；當他在點著陸時，飛行時間為5秒．
①求與t的函數表達式；
②當運動員與著陸坡在豎直方向上的距離達到最大時，求出此時他飛行時間t的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）將，代入，得，計算求解即可；
（2）①設，將，代入，得，計算求解，然后作答即可；
②設直線的解析式為，將代入得，，計算求解可確定直線的解析式為，設運動員飛行過程中的某一位置為，如圖，過作軸交于點，設，則，則，由，可得當時，最大，根據，計算求解即可．
【詳解】（1）解：由題意可得過點，，
將，代入，得，
解得，
∴與的函數關系式為；
（2）①解：設，
將，代入，得，
解得，
∴；
②解：由題意得
設直線的解析式為，
將代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為，
設運動員飛行過程中的某一位置為，如圖，過作軸交于點，
設，則，
∴，
∵，
∴當時，最大，
∴，
解得．
【點睛】本題考查了二次函數的應用，一次函數的應用，二次函數的最值，一次函數解析式等知識．熟練掌握二次函數的應用，一次函數的應用，二次函數的最值，一次函數解析式是解題的關鍵．
33．（2024·江蘇無錫·模擬預測）某公司銷售某種電子產品，該產品的進價為30元/件，根據市場調查發現，該產品每周的銷售量（單位：件）與售價（單位：元/件）（為正整數）之間滿足一次函數的關系，下表記錄的是某三周的有關數據．
（元/件） 40 55 70
（件） 1100 950 800
(1)求與的函數表達式（不求自變量的取值范圍）；
(2)若某周該產品的銷售量不少于750件，求這周該商場銷售這種產品獲得的最大利潤；
(3)規定這種產品的售價不超過進價的2倍，若產品的進價每件提高元時，該商場每周銷售這種產品的利潤仍隨售價的增大而增大，請直接寫出的取值范圍為_____________．
【答案】(1)
(2)這周該商場銷售這種產品獲得的最大利潤為元
(3)
【分析】本題考查了求一次函數解析式、二次函數的應用、二次函數的圖象與性質，理解題意、熟練掌握二次函數的應用是解題的關鍵．
（1）設，由表格得：當時，；當時，，代入得：，求解得出與的函數表達式即可；
（2）根據某周該產品的銷售量不少于750件，得出，求解得出，設這周該商場銷售這種產品獲得的利潤為元，得出，根據二次函數的圖象與性質，得出當時，隨的增大而增大，則當時，取得最大值，求出最大利潤即可；
（3）根據“規定這種產品的售價不超過進價的2倍，產品的進價每件提高元”，得出，設該商場每周銷售這種產品的利潤為元，得出，根據二次函數的圖象與性質、該商家每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大，得出，求解得出，結合，綜合得出的取值范圍即可．
【詳解】（1）解：∵該產品每周的銷售量（單位：件）與售價（單位：元/件）（為正整數）之間滿足一次函數的關系，
∴設，
∵由表格得：當時，；當時，，
∴代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：∵某周該產品的銷售量不少于750件，由（1）得，
∴，
解得：，
設這周該商場銷售這種產品獲得的利潤為元，
∴，
∴，對稱軸為，
∴當時，隨的增大而增大，
∴當時，取得最大值，
答：這周該商場銷售這種產品獲得的最大利潤為元；
（3）解：∵規定這種產品的售價不超過進價的2倍，產品的進價每件提高元，
∴，
設該商場每周銷售這種產品的利潤為元，
∴，
∴，對稱軸為，
∵該商家每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
故答案為：．
34．（2024·江蘇泰州·二模）如圖（1），一小球從斜面頂端由靜止開始沿斜面下滾，呈勻加速運動狀態，經過8秒到達水平面后繼續滾動，呈勻減速運動狀態，設小球從斜面頂端開始到在水平面上停止的過程中運動t秒時的速度為v（單位：），滾動的路程為s（單位：）．結合物理學知識可知，小球在斜面滾動時v與t的函數表達式為，s與t的函數表達式為；在水平面滾動時v與t的函數表達式為．s與t的函數表達式為．v與t部分數據如下表所示，s與t的部分函數圖像如圖2所示．
時間 0 2 8 10 …
平均速度 0 4 14 …
(1)表格中時，v的值為 ．
小球在水平面滾動過程中v與t的函數表達式為 ；
(2)求小球在水平面滾動時s與t的函數表達式；
(3)求小球從斜面頂端開始到在水平面上停止滾動的總路程．
【答案】(1)16，
(2)
(3)
【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是：
（1）把，代入，求出，把代入求出；把，；，代入求解即可；
（2）把代入，求出，把，；，代入求解即可；
（3）把（2）中化成頂點式，然后利用二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）解∶把，代入，得，
解得，
∴，
當時，，
把，；，代入，
得，解得，
∴，
故答案為∶16， ；
（2）解：當時，，
把，；，代入，
得，
解得，
；
（3）解：
∴當時，s有最大值為192，
即求小球從斜面頂端開始到在水平面上停止滾動的總路程．
35．（2024·江蘇鹽城·一模）鹽城東臺以其獨特的地理位置、優越的土壤條件、豐富的種植經驗形成了汁多爽口，細嫩鮮甜的東臺西瓜．某經銷商調研發現該品種西瓜成本價為每千克6元，售價不低于成本，且不超過13元/千克，經市場調研發現，該品種西瓜售價為每千克8元時，每天可售出400千克，售價每提高1元，則每天少售出50千克．
(1)求該品種西瓜一天的銷售量（千克）與該天的售價（元/千克）之間的函數關系式；
(2)若該品種西瓜售價定為多少元/千克時，日銷售利潤最大？并求出最大利潤．
(3)為了回饋社會，該銷售商決定，每賣出1千克，捐出元進行助農活動，若當日利潤最大為800元．求此時的值．
【答案】(1)；
(2)時，最大值，最大值為1250．
(3)當每日最大利潤為 800 元時，此時 m 的值為 2．
【分析】本題考查二次函數的應用以及一次函數的應用，關鍵是求出一次函數、二次函數的解析式．
（1）根據該品種西瓜售價為每千克8元時，每天可售出400千克，售價每提高1元，則每天少售出50千克．列出函數解析式即可；
（2）設這種水果每天獲得的利潤為 w 元，根據題意得：，再化成頂點式，由函數性質求最值即可；
（3）設此時的利潤為（元），根據題意得：，
【詳解】（1）解：根據題意得：，
即 y 與 x 之間的函數關系式為：．
（2）解：設這種水果每天獲得的利潤為 w 元，
根據題意得：
當時，最大值，最大值為1250．
（3）解：設此時的利潤為（元），
根據題意得：
∴拋物線的對稱軸為直線，
，
時，最大值，最大值為800
即
解得：，（舍去），
答：當每日最大利潤為 800 元時，此時 m 的值為 2．
題型八 反比例函數的實際應用
36．（2024·江蘇無錫·三模）某商店為了推銷一種新產品，在某地先后舉行40場產品發布會，已知該產品每臺成本為10萬元，設第x場產品的銷售量為y（臺），y與x之間滿足的函數關系式；產品的每場銷售單價P（萬元）由基本價和浮動價兩部分相加組成，其中基本價保持不變，經過統計，發現第1場～第20場浮動價與發布場次x成正比，第21場～第40場浮動價與發布場次x成反比，得到如下數據：
x（場） 3 10 25
P（萬元） 10.6 12 14.2
(1)求P與x之間滿足的函數關系式；
(2)在這40場產品發布會中，求哪一場獲得的利潤最大，最大利潤是多少？
【答案】(1)當且x為正整數時，P與x之間滿足的函數關系式為；當且x為正整數時，
(2)在這40場產品促銷會中，第21場獲得的利潤最大，最大利潤為145萬元．
【分析】（1）設基本價為b，第1場—第20場，且x為正整數，設P與x的函數關系式為，依題意得：，計算求解進而可得一次函數解析式；第21場—第40場，即且x為正整數時，設P與x的函數關系式為，即，依題意得：，計算求解進而可得反比例函數解析式；
（2）設每場獲得的利潤為w萬元．當，且x為正整數時，，由二次函數的圖象與性質求最值即可；當，且x為正整數時，由反比例函數的圖象與性質求最值即可，然后進行比較，作答即可．
【詳解】（1）解：設基本價為b，第1場一第20場，且x為正整數，
設P與x的函數關系式為，
依題意得：，
解得：，
∴．
第21～第40場，即且x為正整數時，
設P與x的函數關系式為，
即．
依題意得：，
解得，
∴，
∴當且x為正整數時，P與x之間滿足的函數關系式為；
當且x為正整數時，．
（2）解：設每場獲得的利潤為w萬元．
當，且x為正整數時， ，
∵，對稱軸為直線，
∴當時，w最大，最大利潤為（萬元）．
當，且x為正整數時，，
∵w隨x的增大而減小，
∴當時，w最大，最大利潤為（萬元），
∵，
∴在這40場產品促銷會中，第21場獲得的利潤最大，最大利潤為145萬元．
【點睛】本題考查了一次函數解析式，反比例函數解析式，反比例函數的應用，反比例函數的圖象與性質，二次函數的應用，二次函數的最值等知識．熟練掌握函數的圖象與性質是解題的關鍵．
37．（2024·江蘇鹽城·一模）【問題背景】在一次物理實驗中，小聰同學用一固定電壓為的蓄電池，通過調節滑動變阻器來改變電流大小，完成控制燈泡（燈絲的阻值）亮度的實驗（如圖1），已知串聯電路中，電流與電阻、之間的關系為，通過實驗得出如下數據：
… …
… 4 …
（1）由題意可得________；
【探索研究】
（2）根據以上實驗，構建出函數，結合表格信息，探究函數的圖像與性質．
①平面直角坐標系中畫出對應函數的圖像（畫圖時，不寫畫法，保留畫圖痕跡，然后請用黑色水筆描黑）；
②隨著自變量的不斷增大，函數值的變化趨勢是________；
【拓展提升】
（3）結合（2）中函數的圖像，直接寫出不等式的解集為________．
【答案】（1）；（2）①見解析；②不斷減小；（3）．
【分析】本題考查了反比例函數的應用，二次函數的圖像，解題的關鍵是數形結合．
（1）根據已知列方程求解；
（2）①用描點法畫出圖像即可；②根據函數圖像即可求解；
（3）作函數的圖像，根據圖像即可求解．
【詳解】（1）根據題意可得，
由表可得，當時，，
，
解得：，
故答案為：；
（2）①函數的圖像如下：
②由圖像可知，隨著自變量的不斷增大，函數值的變化趨勢是不斷減小，
故答案為：不斷減小；
（3）如圖，
由圖像可知，不等式的解集為，
故答案為：．
38．（2024·江蘇南通·一模）某公司今年推出一款產品．根據市場調研，發現如下信息．
信息1：每月的銷售總量y（件）和銷售單價x（元/件）存在函數關系，其圖象由部分雙曲線和線段組成． 信息2：該產品2月份的單價為66元/件，3月份的單價降低至45元/件，在生產成本不變的情況下，這兩月的銷售利潤相同．
根據以上信息，解答下列問題：
(1)求該產品的生產成本；
(2)該公司計劃在4月份通過技術改造，使生產成本降低，同時繼續降低銷售價格，使得4月份的銷售利潤不低于3月份．求4月份該產品銷售單價的范圍．
【答案】(1)該產品的生產成本為38元/件
(2)4月份該產品銷售單價的范圍是
【分析】本題考查了反比例函數的應用，解不等式，正確地求出反比例函數的解析式是解題的關鍵．
（1）根據題意得到．把代入解析式得到，設該產品的生產成本為元件，列方程即可得到結論；
（2）根據題意得到3月份利潤為元．由題意得4月份成本為元件，列不等式即可得到結論．
【詳解】（1）解：由圖象得曲線解析式為．
令，則，
即3月份銷售量為400件，
設該產品的生產成本為元件，則，
解得，
答：該產品的生產成本為38元件；
（2）解：3月份利潤為：元．
由題意得4月份成本為元件，
則，
解得，
月份該產品銷售單價的范圍是．
39．（2024·江蘇南京·一模）某公司成功研制出一種產品，經市場調研，年銷售量y(萬件)與銷售單價x(元)之間的關系如圖所示，其中曲線為反比例函數圖像的一部分，為一次函數圖像的一部分．
(1)求y與x之間的函數表達式；
(2)已知每年該產品的研發費用為40萬元，該產品成本價為4元/件，設銷售產品年利潤為w(萬元)，當銷售單價為多少元時，年利潤最大 最大年利潤是多少 (說明：年利潤年銷售利潤研發費用)
【答案】(1)
(2)當銷售單價為16元時，該產品利潤最大，最大利潤是104萬元
【分析】本題主要考查了一次函數的實際應用，反比例函數的實際應用，二次函數的實際應用，理解題意是解決問題的關鍵．
（1）分兩段：當時，當時，利用待定系數法解答，即可求解；
（2）設利潤為w元，分兩段：當時，當時，求出w關于x的函數解析式，再根據反比例函數以及二次函數的性質，即可求解．
【詳解】（1）解：當時，設y與x的函數關系式為，
∵點在該函數圖象上，
∴，
解得：，
∴當時，y與x的函數關系式為，
當時，設y與x的函數關系式為，
，
解得，
即當時，y與x的函數關系式為，
綜上所述，y與x的函數關系式為；
（2）當時，，
∵，
∴y隨x的增大而增大，
∴w隨x的增大而增大，
∴當時，w取得最大值，此時，
當時，，
∴當時，w取得最大值，此時，
∵，
∴當銷售單價為16時，該產品利潤最大，最大利潤是104萬元，
答：當銷售單價為16元時，該產品利潤最大，最大利潤是104萬元．
40．（2024·江蘇南京·一模）在光學中，由實際光線會聚成的像，稱為實像，能用光屏承接．凸透鏡能成實像的前提是物體在一倍焦距以外，而光線能會聚的是因為折射．
上圖中，凸透鏡的焦距為，主光軸，點，，，，都在上，其中是光心，，，蠟燭，垂足為（蠟燭可移動，且），光線，其折射光線與另一條經過光心的光線相交于點，（）即為蠟燭在光屏上所成的實像．圖中所有點都在同一平面內．記物高為，像高為，物距為，像距為．
(1)若，，，則______，______．
(2)求證．
(3)當一定時，畫出與之間的函數圖像，并結合圖像，描述是怎樣隨著的變化而變化的．
【答案】(1)20；30
(2)見解析
(3)畫圖見解析，隨著的增大而減小．
【分析】（1）證明△△，得出，得出，證明，得出，求出即可；由，解得：；
（2）證明，得出，求出，證明，得出，得出，求出，得出；
（3）先列表，再描點，然后連線即可畫出函數圖象，根據函數圖象得出隨著的增大而減小．
【詳解】（1）根據題意可知，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
解得：，即；
，即，
解得：，即；
故答案為：20；30；
（2）證明：根據題意可知，，，，
，
，
，即，
整理得：，
，，
，
，
，
，即 ，
，，
，
，
；
（3）列表：
描點、連線：
根據函數圖象可知，隨著的增大而減小．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，平行線的性質，畫函數圖象，從函數圖象中獲取信息，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，數形結合．
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