資源簡介

專題01 實數、整式、分式與二次根式
目錄
熱點題型歸納 1
題型01 實數的運算 1
題型02 整式的運算 11
題型03 因式分解的計算 13
題型04 分式的計算 13
題型05 二次根式的計算 13
題型06 數與式的新定義計算 13
中考練場 20
題型01 實數的運算
實數的運算是初中數學計算的基礎內容，涉及到實數的混合運算、特殊角的三角函數值計算等等，分值占比約3%~5%；
1.考查重點：實數的運算、特殊角的三角函數值計算等等。
2.高頻題型：選擇題、填空題中的直接計算題，解答題中的基礎計算題。
3.高頻考點：實數的四則運算、含特殊角的三角函數值計算。
4.能力要求：準確快速的計算能力。
5.易錯點：運算時出現符號錯誤（忘記變號）、特殊角的三角函數值遺忘。
【提分秘籍】
實數的運算法則： 先乘方，再乘除，最后加減。有括號的先算括號，先算小括號，再算中括號，最后算大括號。 絕對值的運算： ，常考形式：。 3、根式化簡：； 4、0次冪、負整數指數冪以及﹣1的奇偶次冪的運算： ①；②；③；④。 5、特殊角的銳角三角函數值（附加）： 三角函數30°45°60°1
【典例分析】
例1．（2025·江蘇宿遷·一模）計算：．
【答案】
【分析】本題考查實數的混合運算，掌握運算順序和計算法則正確計算是解題關鍵．根據絕對值的意義，負整數指數冪，零指數冪及銳角三角函數分別化簡，然后進行計算．
【詳解】解：原式
．
例2．（2025·江蘇鹽城·模擬預測）計算．
【答案】
【分析】本題考查了實數的混合運算，根據二次根式、立方根的意義，有理數的乘方進行計算即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．
【詳解】解：
．
例3．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）計算：．
【答案】
【分析】本題主要考查了實數的混合運算，先化簡再計算是解題關鍵．
先根據絕對值的定義、立方根、立方逐項化簡，再加減即可．
【詳解】解：原式．
例4．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）計算：．
【答案】2
【分析】本題考查了實數的運算，特殊角的三角函數值，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
分別化簡計算零指數指數冪，負整數指數冪，特殊角的三角函數值，再進行加減運算．
【詳解】解：原式
．
例5．（2023·江蘇宿遷·一模）計算：．
【答案】
【分析】本題考查的是實數的運算，涉及到特殊角的三角函數值、絕對值的性質、數的乘方及開方法則．分別根據特殊角的三角函數值、絕對值的性質、數的乘方及開方法則計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可．
【詳解】解：
．
例6．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）計算：．
【答案】
【分析】本題考查特殊角的三角函數值的計算，實數的混合運算，先去絕對值，去括號，計算特殊角的三角函數值，化簡二次根式，再進行加減運算即可．
【詳解】解：原式
．
【變式演練】
1．（2024·江蘇鹽城·三模）計算：．
【答案】
【分析】本題考查實數的混合運算，特殊角的三角函數值，熟練掌握實數的運算法則是解題的關鍵．計算乘法運算和三角函數，再按照實數的運算順序進行運算即可．
【詳解】解：原式
故答案為：
2．（2024·江蘇蘇州·二模）計算
【答案】
【分析】本題考查了實數的混合運算問題，掌握實數混合運算法則、特殊三角函數值、零次冪的性質是解題的關鍵．
先代入特殊角的三角函數值，計算零指數冪，然后再算加減．
【詳解】解：
．
3．（2024·江蘇鹽城·三模）計算：．
【答案】．
【分析】本題考查了實數的運算，分別根據特殊角的三角函數值，零指數次冪及算術平方根計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可，熟知零指數次冪及算術平方根的運算法則、特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
【詳解】原式
．
4．（2024·江蘇鹽城·三模）計算：．
【答案】
【分析】本題考查實數的混合運算，根據絕對值，負整數指數冪，零指數冪，特殊角的三角函數值即可得出答案
【詳解】原式
5．（2024·江蘇常州·一模）計算：；
【答案】
【分析】本題考查了實數的混合運算，先算負整數指數冪、去絕對值、特殊角三角函數值，然后再算乘除法，最后計算加減法即可．
【詳解】解：
6．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）計算：
【答案】
【分析】本題考查了實數的混合運算，根據二次根式的性質、負整數指數冪、特殊角的三角函數值、立方根的定義、絕對值的性質分別運算，再合并即可求解，掌握實數的運算法則是解題的關鍵．
【詳解】解：原式
，
．
題型02 整式的運算
整式的運算是初中數學基礎的計算內容之一，涉及到整式的加減、整式的乘除和乘法公式，分值大概在10分左右；
1.考查重點：整式的四則運算、乘法公式的靈活應用。
2.高頻題型：選擇題、填空題中的直接計算題，解答題中的化簡求值。
3.高頻考點：完全平方公式與平方差公式的應用、代數式化簡中的符號處理。
4.能力要求：準確快速的計算能力、代數式結構觀察能力、公式逆用與變形的邏輯思維能力。
5.易錯點：運算中符號錯誤（如負號遺漏）、公式混淆(如誤寫為。
【提分秘籍】
合并同類型： 法則：“一相加，兩不變”，即系數相加，字母與字母的指數不變照寫。 整式的加減的實質： 合并同類項。 整式的乘除運算： ①單項式×單項式：系數相乘，同底數冪相乘，其中一個因式單獨存在的字母連同它的指數作為積的一個因式。 ②單項式×多項式：單項式乘以多項式的每一項，變成單項式乘以單項式。 ③多項式×多項式：用其中一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，變成單項式乘以單項式。 ④單項式÷單項式：系數相除，同底數冪相除，被除數中單獨存在的字母連同它的指數作為商的一個因式。 ⑤多項式÷單項式：多項式的每一項除以單項式，變成單項式除以單項式。 乘法公式： ①平方差公式：。 ②完全平方公式：。
【典例分析】
例1．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查整式的混合運算及求值，先計算完全平方、單項式乘多項式，再合并同類項，最后將代入求值即可．
【詳解】解：原式
，
當時，
原式．
例2．38．（2024·江蘇宿遷·二模）先化簡，再求值：，其中
【答案】；15
【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，解題關鍵是熟練掌握去括號法則和合并同類項法則．先根據去括號法則和合并同類項法則進行化簡，再把，的值代入化簡后的式子進行計算即可．
【詳解】解：
，
當，時，
原式
．
例3．（2024·江蘇揚州·三模）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】本題主要考查了整式的混合運算．先根據完全平方公式和多項式乘以多項式的計算法則去掉中括號內的小括號，然后合并同類項，再根據多項式除以單項式的計算法則化簡，最后代值計算即可．
【詳解】解：
，
當時，原式．
例4．（2024·江蘇鹽城·二模）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，7
【分析】本題考查整式的混合運算與求值法則的應用，主要考查計算與化簡能力．根據乘法公式與單項式乘多項式法則先去括號，后合并同類項化簡，再代入求值即可求解．
【詳解】解：
，
當時，原式．
例5．（2024·江蘇鹽城·三模）【閱讀發現】
小明在閱讀數學課外讀物時，讀到了海倫――秦九韶公式．他了解到海倫公式和秦九韶公式分別是由古希臘的幾何家海倫和我國南宋時期數學家秦九韶提出的．這兩個公式有什么關系呢？于是小明進行了下列思考：
兩個公式：
海倫公式：已知一個三角形的三邊長分別為，，，設，那么這個三角形的面積；
秦九韶公式：已知一個三角形的三邊長分別為，，，那么這個三角形的面積；
【嘗試應用】
（1）已知一個三角形的三邊長分別4，5，6．請任選一個公式算出這個三角形的面積為______；請用學過的知識來解這個三角形的面積．
（2）已知一個三角形的三邊長分別為，，，試求出這個三角形面積的一般表達形式．（用，，表示）
【發現關聯】
思考關聯：請你由秦九韶公式推導到海倫公式：，．
【答案】【嘗試應用】（1）；見解析；（2）；【發現關聯】見解析
【分析】嘗試應用：（1）代入；過點作，設，則，在和中，應用勾股定理，可求出，，代入面積公式即可求解，
（2）過點作，設，，則，根據勾股定理得到，，聯立得：，解得：，由面積公式得到：，代入即可求解，
發現關聯：將應用平方差公式進行展開，即可求解，
本題考查了，勾股定理，平方差公式的運用，二次根式的應用，解題的關鍵是：熟練掌握勾股定理，平方差公式進行運算．
【詳解】解：嘗試應用（1）
，
過點作，
設，則，
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴，
∴這個三角形的面積為：，
（2）過點作，
設，，則，
則：，，
∴，解得：，
∴
；
發現關聯：
；其中．
例6．（2024·江蘇鹽城·三模）觀察下面的等式：，，，
(1)根據題目中規律的格式，寫出的結果為 ；
(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）；
(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．
【答案】(1)
(2)
(3)推理說明見解析
【分析】本題考查的是數字的變化規律，有理數的混合運算和列代數式，熟練掌握上述知識點是解題的關鍵．
（1）根據前4個等式，寫出結果即可；
（2）根據上述等式，可得一般規律：第個等式為；
（3）證明等式左邊等式右邊即可．
【詳解】（1）解：，
故答案為：．
（2）解：根據上述等式，可得一般規律：第個等式為；
（3）解：推理如下：
等式左邊
等式右邊，
故等式成立．
【變式演練】
1．（2024·江蘇南京·三模）先化簡，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本題考查整式的化簡求值，熟練掌握完全平方公式，平方差公式是解題的關鍵．先計算完全平方公式，平方差公式，再合并同類項，化簡后代入求值．
【詳解】解：原式
，
當時，
原式
2．（2024·江蘇鹽城·一模）先化簡，再求值：，其中x滿足．
【答案】，
【分析】去括號，合并同類項，后變形，整體代入求值即可．
本題考查了整式的化簡求值，熟練掌握合并同類項是解題的關鍵．
【詳解】解：原式，
，
，
故原式．
3．（2024·江蘇南京·二模）與幾何證明一樣，代數推理也需要有理有據．請先完成第（1）題的填空，再完成第（2）題的證明．
(1)已知實數x，y滿足，求證．
證明：∵，
∴（實數的加法法則），
（不等式的基本性質1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知實數x，y滿足，求證．（注：無需寫出每步的依據．）
【答案】(1)①實數的乘法法則（或者不等式的基本性質2）；②平方差公式；③不等式的基本性質1
(2)見解析
【分析】本題考查不等式的性質，實數的加減乘法運算法則，平方差公式，二次根式有意義，關鍵是掌握不等式的性質．
（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，平方差公式，由此即可證明問題；
（2）根據二次根式有意義，平方差公式，不等式的性質，由此即可證明問題．
【詳解】（1）解：①實數的乘法法則（或者不等式的基本性質2）．
②平方差公式．
③不等式的基本性質1．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
，
，
．
4．（2023·江蘇常州·一模）先化簡，再求值∶，其中．
【答案】，
【分析】本題主要考查運用乘法公式進行整式運算，代入求值，掌握整式運算法則是解題的關鍵．
根據乘法公式展開，再根據整式混合運算法則進行計算，最后代入求值即可．
【詳解】解：
，
當，時，原式．
5．（2023·江蘇常州·二模）閱讀理解早在我國南宋時期，著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中，提出了“三斜求積術”，后人稱之為“秦九韶公式”，其求法是：若將三角形的三條邊分別稱為小斜（記為a）、中斜（記為b）和大斜（記為c），以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實：一為從隔，開平方得積．若把以上這段文字寫成公式即為，
（1）如圖，已知圖中3個正方形的面積分別為2，1，4，求的面積．
深入探究
古希臘數學家海倫寫了一本《測量儀論》，上面記載一個計算三角形面積的公式，即海倫公式：三角形面積， ，
（2）請你用秦九韶公式證明海倫公式．
靈活應用
結合上面學習的知識解決以下問題：
（3）已知三角形三邊長分別為5，6，7，求這個三角形的內切圓半徑．
【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）
【分析】本題考查了使用平方差公式變形整式，三角形的面積與其內切圓的關系等知識，解決問題的關鍵是變形等式．
（1）把，，代入公式求得結果；
（2）將秦九韶公式利用平方差公式分解因式，進而得出海倫公式結論；
（3）先求出三角形的面積，進而根據三角形面積等于其周長與內切圓的半徑之積的一半，列出方程，求得結果．
【詳解】解：（1）由題意得，，，，
∴；
（2）證明：
設，則．
（3）解：∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
設三角形的內切圓半徑為r，
∴，
∴，
則這個三角形的內切圓半徑為：．
6．（2023·江蘇鹽城·三模）小明提出這樣一個猜想：對于任意兩個連續的正整數m、n，它們的乘積與較大數的和一定為某個正數的平方．
舉例驗證：（1）當，，則
推理證明：小剛同學做了如下的證明：
設，∵m，n是連續的正整數，∴
∵，∴；∴一定是正數的平方數．
（2）請你補上小剛同學的證明過程的空格所缺內容；
(注：推理論證中的兩個是同一個代數式，答題卡上只需填寫一個即可)
類比探究：（3）小紅同學類比小剛同學的證明方法，提出“任意兩個連續正整數的乘積與較小數的差也為某個正數的平方”，請證明該結論；
深入思考：（4）老師在三位同學的基礎上，鼓勵同學們繼續探究：若(m，n為兩個連續正整數，，)，則p一定是 ．(填：奇數、偶數)
【答案】（1）4；（2）n(也可)；（3）證明見解析；（4）奇數．
【分析】（1）代入計算，求算術平方根即可；
（2）將整體代入消元即可得解；
（3）將整體代換消元即可得解；
（4）利用前兩問的結果代入去根號即可得解．
【詳解】解：（1）當，時，
故答案為：4；
（2） 設，
∵m，n是連續的正整數，
∴
∵，
∴；
∴一定是正數的平方數．
故答案為：n(也可)；
（3）證明：設m，n是連續的正整數，且，
∴，
∵，
∴；
∴一定是平方數，即任意兩個連續正整數的乘積與較小數的差為平方數．
（4）由（2）（3）可知：當m，n為兩個連續正整數，，時，，
∴，
∴
∴一定是奇數
故答案為：奇數．
【點睛】本題考查利用二次根式的性質化簡，整式的乘法等知識，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．注意：根據題中小明的猜想，括號內的數應填正數，因此括號內不要填負數．
題型03 因式分解的運算
因式分解是初中必考知識點，主要考查學生對因式分解的理解和掌握，同時學會區分因式分解和整式乘法之間的聯系與區別，在中考分值大概5分左右；
1.考查重點：因式分解的基本方法（提公因式法、公式法、分組分解法等）。
2.高頻題型：解答題中綜合因式分解題。
3.高頻考點：多項式因式分解的徹底性、十字相乘法的運用。
4.能力要求：準確快速的計算能力、代數式結構觀察能力、公式逆用與變形的邏輯思維能力。
5.易錯點：無法確定使用哪個方法來進行因式分解。
【提分秘籍】
1、因式分解的方法： ①提公因式法：； ②公式法：平方差公式： 完全平方公式：。 ③十字相乘法：在中，若，則： 。
【典例分析】
例1．（2025·江蘇鎮江·模擬預測）下列因式分解結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據提公因式法、公式法分解因式進行判斷即可．
本題考查了因式分解-提公因式法、運用公式法，熟練掌握這兩種因式分解的方法是解題的關鍵．
【詳解】解：A、，原結果錯誤，故此選項不符合題意；
B、在有理數范圍內不能因式分解，故此選項不符合題意；
C、，原結果錯誤，故此選項不符合題意；
D、，結果正確，故此選項符合題意：
故選：D．
例2．（2024·江蘇蘇州·一模）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
直接根據因式分解方法分解左邊或由等式右邊整式乘法計算驗證是否成立即可判斷．
【詳解】解：A： ，故A成立，符合題意；
B：，故B不成立，不符合題意；
C： ，故C不成立，不符合題意；
D： ，故D不成立，不符合題意；
故選B．
例3．（2024·江蘇宿遷·二模）對于任意整數a，多項式都能( )
A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除
【答案】C
【分析】本題考查的是因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．將原式展開進行因式分解，進而即可得到答案．
【詳解】解：，
，
，
∴多項式都能被整除，
故選：C．
例4．（2025·江蘇宿遷·模擬預測）若實數a、b滿足，，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查因式分解的應用、代數式求值等知識點，熟練掌握提公因式法成為解題的關鍵．
將左邊因式分解可得，再結合即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
又∵，
∴．
答案為：．
例5．（2023·江蘇揚州·一模）分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查了公式法分解因式，利用平方差公式進行分解即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
例6．（2023·江蘇揚州·二模）因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）根據平方差公式和完全平方公式分解因式即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關鍵．
【變式演練】
1．（2024·江蘇徐州·中考真題）若，，則代數式的值是 ．
【答案】2
【分析】本題考查代數式求值．先將代數式進行因式分解，然后將條件代入即可求值．
【詳解】解：∵，，
，
故答案為：2．
2．（2023·江蘇無錫·模擬預測）因式分解： ．
【答案】
【分析】本題考查了因式分解，完全平方公式，先提取公因式，再根據完全平方公式進行二次分解，熟練掌握提公因式法及公式法因式分解是解題的關鍵．
【詳解】解：
，
故答案為：．
3．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）分解因式： ．
【答案】
【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，注意多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．先提公因式，再利用完全平方公式繼續分解即可解答．
【詳解】解：，
故答案為：．
4．（2023·江蘇南通·二模）分解因式：3a3﹣12a2b+12ab2．
【答案】3a(a-2b)2
【分析】先提公因式3a，再用完全正確平方公式分解即可．
【詳解】解：原式=3a(a2-4ab+4b2)
=3a(a-2b)2．
【點睛】本題詞考查綜合運用提公因式與公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．
5．（2024·江蘇南通·模擬預測）分解因式:．
【答案】2ab(a-2b)( a+2b).
【分析】先提取公因式2ab，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解．
【詳解】解：=2ab(a2-4b2)= 2ab(a-2b)( a+2b).
【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．
6．（2024·江蘇無錫·模擬預測）因式分解：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先提取公因式，然后按照完全平方公式分解因式即可；
（2）先按照完全平方公式分解因式，再按照平方差公式分解因式即可；
（3）按照平方差公式分解因式，然后再合并同類項即可．
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
【點睛】本題主要考查因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵．
題型04 分式的運算
分式的運算是中考數學的必考計算題，一般涉及到分式的有無意義條件，分式的四則運算等，一般考試分數在5~10分左右；
1.考查重點：分式的四則運算。
2.高頻題型：選擇題、填空題中的直接計算題，解答題中的分式化簡求值。
3.高頻考點：分式的化簡求值。
4.能力要求：準確快速的計算能力。
5.易錯點：運算中符號錯誤（如負號遺漏）、去分母時要注意符號。
【提分秘籍】
分式的概念及性質： 形如，都是整式的式子叫做分式。簡單來說，分母中含有字母的式子叫做分式。 分式的分子與分母同時乘上（或除以）同一個不為0的式子，分式的值不變。即： ，。 分式的通分： 把幾個異分母的分式利用分式的性質化成分式值不變的幾個同分母的分式的過程叫做通分。這個相同的分母叫做分母的最簡公分母。 公分母＝系數的最小公倍數乘上所有字母（式子）的最高次冪。 分式的約分： 利用分式的性質約掉分式中分子分母都存在的公因式的過程叫做約分。 公因式＝系數的最大公因數乘上相同字母（式子）的最低次冪。 分子分母不存在公因式的分式叫做最簡分式。約分時一般把分式化成最簡分式。 分式的加減運算： ①同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減。即：。 ②異分母的分式相加減，先通分成同分母的分式，再按照同分母的分式進行加減。即：。 分式的乘除運算： ①分式的乘法：分子乘分子得到積的分子，分母乘分母得到積的分母。即：。 ②分式的除法：除以一個分式，等于乘上這個分式的倒數式。即：。
【典例分析】
例1．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）下列分式，一定有意義的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，根據分式有意義的條件是分母不等于零進行分析即可，關鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．
【詳解】解：A、無論取何值，，分式都有意義，故選項符合題意；
B、當時，分式無意義，故選項不符合題意；
C、當時，分式無意義，故選項不符合題意；
D、當時，分式無意義，故選項不符合題意；
故選：A．
例2．（2024·江蘇無錫·二模）函數的自變量x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】C
【分析】本題考查了自變量的取值范圍，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
故選：C．
例3．（2024·江蘇徐州·三模）如果把分式的x和y都擴大3倍，那么分式的值（ ）
A．擴大為原來的9倍 B．擴大為原來的3倍
C．不變 D．縮小為原來的倍
【答案】B
【分析】本題考查了分式的基本性質，熟記性質是解題的關鍵．
把分式中的換成換成，然后根據分式的基本性質進行化簡即可．
【詳解】解：中的都擴大3倍，得出，
那么分式的值擴大3倍，
故選：B．
例4．（2024·江蘇揚州·一模）人們把這個數叫做黃金分割數，著名數學家華羅庚的優選法中的0.618法就應用了黃金分割數．設，，得，記（n取正整數），則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了分式的化簡求值，正確的化簡計算是解本題的關鍵，化簡為，代入算式，利用裂項相消計算，即可解題．
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
，
，，，，，
，
，
，
，
．
故選：D．
例5．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知，則的值為 ．
【答案】1
【分析】本題考查代數式求值．熟練掌握整體代入思想，是解題關鍵．
根據，可得，又因為，再整體代入即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故答案為：1．
例6．（2025·江蘇鹽城·模擬預測）先化簡，再求值：，其中．
【答案】；1
【分析】本題考查分式的化簡求值，先將括號內式子通分，變分式除法為乘法，將分子、分母利用乘法公式進行因式分解，約分化簡，最后將代入求值即可．
【詳解】解：
，
當時，原式．
【變式演練】
1．（2024·江蘇常州·二模）若代數式 有意義，則實數x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了分式有意義的條件，解題的關鍵是熟練掌握分式中分母不能為0，
依據分母不能為0即可解答．
【詳解】解：代數式有意義，
，
解得：，
故選：B．
2．（2024·江蘇南京·模擬預測）若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題考查的是分式有意義的條件．分式有意義的條件是分母不等于零，據此進行解答即可．
【詳解】∵式子在實數范圍內有意義，
∴，
解得：且．
故答案是：且．
3．（2024·江蘇南京·模擬預測）計算．
【答案】
【分析】本題考查了分式的混合運算，解題的關鍵是掌握分式的混合運算法則．根據分式的混合運算法則求解即可．
【詳解】解：
4．（2023·江蘇南京·一模）計算：．
【答案】
【分析】本題考查分式的運算．熟練掌握分式的運算法則，是解題的關鍵．注意，在計算時，能進行因式分解的要進行因式分解，最終結果要化為最簡分式．
先將括號內的式子進行通分計算，再對后面分式的分子分母進行因式分解，然后將除法轉化為乘法進行約分計算．
【詳解】解：
=．
5．（2023·江蘇淮安·模擬預測）先化簡，再求值：其中．
【答案】；
【分析】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．根據運算法則化簡再代數求值即可．
【詳解】解：原式
，
將代入，
原式
．
6．（2024·江蘇淮安·模擬預測）先化簡，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】此題考查了分式的化簡求值，正確掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．
同時計算括號中的異分母分式加法，將除法化為乘法，同時將除數的分子分母分解因式，再計算乘法并化簡，最后代入數值計算即可．
【詳解】解：原式
當時，
題型05 二次根式的運算
二次根式的運算是初中數學必考的計算題之一，涉及到二次根式的加減乘除法、二次根式的性質等，中考分值大概在5分左右；
1.考查重點：二次根式的四則運算、二次根式的性質。
2.高頻題型：選擇題、填空題、解答題中的直接計算題。
3.高頻考點：二次根式的四則混合運算、分母有理化。
4.能力要求：準確快速的計算能力。
5.易錯點：運算中符號錯誤（如負號遺漏）、分母有理化。
【提分秘籍】
1、二次根式的性質 （1），（雙重非負性）． （2）（任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式）． 應用：在實數范圍內分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 2、二次根式的乘除法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 3、二次根式的混合運算 二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）
【典例分析】
例1．（2024·江蘇徐州·中考真題）若有意義，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，即二次根式中的被開方數是非負數．根據二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．
【詳解】解：二次根式有意義，
，解得．
故選：A．
例2．（2024·江蘇鹽城·三模）a，b在數軸上的位置如圖所示，那么化簡的結果是（ ）

A． B．b C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了化簡絕對值，求一個數的算術平方根，實數與數軸，先根據數軸得到，則，據此化簡絕對值，求算術平方根即可得到答案．
【詳解】解：由題意得，，
∴，
∴，
故選：C．
例3．（2025·江蘇宿遷·一模）已知m是的小數部分，則的值為 ．
【答案】4
【分析】先估算得到，則，即，利用完全平方公式得到原式，再根據二次根式的性質得到原式，去絕對值得原式，然后把m和的值代入計算即可．
本題考查了二次根式的性質與化簡，估算無理數的大小，完全平方公式，熟知以上知識是解題的關鍵．
【詳解】解：是的小數部分，
，
原式，
，
，即，
原式
．
故答案為：．
例4．（22-23八年級下·四川廣安·期末）若，則 ．
【答案】2024
【分析】本題考查二次根式有意義，先根據得到，再化簡絕對值計算即可．
【詳解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
例5．（2023·江蘇宿遷·中考真題）先化簡，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先化簡括號內分式，再進行乘法運算，最后再代入求值即可．
【詳解】解：原式
，
當時，原式．
例6．（2024·江蘇南京·二模）（n為正整數）的近似值可以這樣估算：，其中m是最接近n的完全平方數．例如：，這與科學計算器計算的結果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估計的近似值（精確到0.1）；
(2)結合圖中思路，解釋該方法的合理性．
【答案】(1)6.6
(2)見解析
【分析】本題考查的是無理數的估算，新定義的含義，完全平方公式的應用，理解新定義的含義是解本題的關鍵；
（1）根據新定義的法則進行估算即可．
（2）設，其中，再變形，結合完全平方公式可得結論．
【詳解】（1）解：由新定義可得：
；
（2）解：設，其中．
則．
將兩邊平方，得．
∵ ，
∴ 的值會更接近于0，不妨近似為0．
∴ ．
∴ ，
即．
【變式演練】
1．（2024·江蘇無錫·三模）函數中自變量x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了求函數自變量的求值范圍，二次根式有意義的條件，根據二次根式有意義的條件得到，求出結果即可．
【詳解】解：，
，
，
故選：B．
2．（2024·江蘇淮安·三模）估計的值應在（ ）
A．與之間 B．與之間 C．與之間 D．與之間
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式加減運算，無理數的估算，不等式的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先將化簡為，再由即可得出答案．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∴，
故選：D．
3．（2023·江蘇泰州·二模）已知滿足，則 ．
【答案】2023
【分析】本題主要考查二次根式的性質，絕對值的化簡，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．
根據二次根式的性質可得，由此可化簡絕對值，得，所以有，由此即可求解．
【詳解】解：由題意，得，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：2023
4．（2024·江蘇常州·二模）計算：．
【答案】
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡和加減運算，零指數冪，負整數指數冪，絕對值的化簡，熟練掌握其運算規則是解題的關鍵．先計算二次根式的化簡和加減運算，零指數冪，負整數指數冪，絕對值的化簡，再計算加減法即可．
【詳解】解：原式
．
5．（2024·陜西西安·模擬預測）計算：．
【答案】
【分析】本題主要考查實數的混合運算，原式根據特殊角三角函數值，零指數冪以及二次根式的乘法運算法則分別計算后，再進行加減運算即可
【詳解】解：
．
6．（2024·江蘇宿遷·三模）計算題：．
【答案】
【分析】本題考查了二次根式的性質、負整數指數冪、零指數冪、特殊角的三角函數值，先計算二次根式、負整數指數冪、零指數冪、特殊角的三角函數值，再化簡絕對值，最后計算加減即可．
【詳解】解：
．
題型06 數與式的新定義運算
數與式的新定義運算，是本模塊較難的一個考點，常和本模塊的其他知識點綜合考查，故理解題干尤為重要；這一類題型中考要么不考，一旦考查分值在5~10分；
1.能力要求：準確快速的計算能力、代數式結構觀察能力、公式逆用與變形的邏輯思維能力。
2.易錯點：題干理解不徹底、銜接的知識點混亂。
【提分秘籍】
數與式的新定義運算，關鍵在于要讀懂題干的意思，學會將題目中的定義轉化為學過的知識點，這樣做題會輕松很多。
【典例分析】
例1．（2024·江蘇南通·二模）定義：如果兩個實數m，n滿足，則稱m，n為一對“互助數”．已知a，b為實數，且，是一對“互助數”．若，則p的值可以為（ ）
A． B．6 C． D．3
【答案】A
【分析】此題考查了新定義實數問題，解不等式組，分式的化簡等知識，
首先根據題意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式組求解即可．
【詳解】∵，是一對“互助數”
∴
去分母得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
整理得，
∴
∴或
∴或
∴解得或
但當時，，，不符合題意，
所以或，
∴p的值可以為．
故選：A．
例2．我們知道，任意一個正整數都可以進行這樣的分解：（，是正整數，且），在的所有這種分解中，如果，兩因數之差的絕對值的小，我們就稱是的最佳分解，并規定：．例如：12可以分解成，或，因為，所以是12的最佳分解，所以．如果一個兩位正整數，（，，為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為36，那么我們稱這個數t為“吉祥數”．根據以上新定義，下列說法正確的有：（ ）
（1）（2）15和26是“吉祥數”；（3）“吉祥數”中，的最大值為．
（4）如果一個正整數是另外一個正整數的平方，我們稱正整數是完全平方數，則對任意一個完全平方數，總有；
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】根據最佳分解的定義判斷（1）和（4），根據吉祥數的定義判斷（2）和（3），即可得出答案．
【詳解】（1）48可以分解為1×48，2×24，3×16，4×12，6×8
∵
∴6×8是48的最佳分解，
∴，故（1）正確；
（2），故15為吉祥數；，故36為吉祥數，故（2）正確；
（3）設交換t的個位上的數與十位上的數得到的新數為
∵t為吉祥數
∴
∴
∵，x，y為自然數
∴吉祥數有：15，26，37，48，59
∴，，，，
∴最大值為，故（3）正確；
（4）對任意一個完全平方數m設（n為正整數）
∵
∴是m的最佳分解
∴對任意一個完全平方數m，總有，故（4）正確；
故選：D．
【點睛】本題考查的是新定義，難度適中，解題關鍵是掌握最佳分解和吉祥數的概念．
例3．（2024·江蘇連云港·二模）定義新運算“”：對于任意實數，，都有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算．例如：．若關于的方程有兩個實數根，則實數的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】根據新定義運算法則列方程，然后根據一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不等式組求解．本題屬于新定義題目，考查一元二次方程的根的判別式，一元二次方程的根的判別式：當判別式，方程有兩個不相等的實數根；當判別式，方程有兩個相等的實數根；當判別式，方程沒有實數根．
【詳解】解：∵，
∴，
整理可得，
又關于的方程有兩個實數根，
，
解得：且，
故答案為：且．
例4．（2024·江蘇蘇州·二模）對于定義運算，滿足以下性質：①；②；③．例：，若，則 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了新定義下的實數運算，根據運算規則以及已知條件即可求解.
【詳解】解：
，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：2.
例5．（2022·江蘇揚州·中考真題）掌握地震知識，提升防震意識．根據里氏震級的定義，地震所釋放出的能量與震級的關系為（其中為大于0的常數），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的 倍．
【答案】1000
【分析】分別求出震級為８級和震級為6級所釋放的能量，然后根據同底數冪的除法即可得到答案．
【詳解】解：根據能量與震級的關系為（其中為大于0的常數）可得到，
當震級為8級的地震所釋放的能量為：，
當震級為6級的地震所釋放的能量為：，
，
震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的1000倍．
故答案為：1000．
【點睛】本題考查了利用同底數冪的除法底數不變指數相減的知識，充分理解題意并轉化為所學數學知識是解題的關鍵．
例6．（2024·江蘇揚州·二模）對于有序實數對，定義關于“”的一種運算如下：．例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求+的值．
【答案】(1)1；
(2) ．
【分析】本題主要考查了新定義，解二元一次方程組：
（1）根據新定義列式計算即可；
（2）根據新定義可得方程組，解方程組即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意得，；
（2）解：由題意得，，
， 則有方程組，
解得，
∴．
【變式演練】
1．（2023·江蘇鹽城·一模）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數），則稱這兩個分式互為“N 分式”．
例如.分式 與 互為“三 分式”．
(1)分式 與_____互為“六 分式”；
(2)若分式 與互為“一 分式”（其中a，b為正數），求ab的值；
(3)若正數x，y互為倒數，求證：分式 與 互為“五 分式”．
【答案】(1)
(2)
(3)見解析
【分析】（1）根據新定義，用即可求解；
（2）根據定義可得，根據分式的加減進行計算，即可求解；
（3）根據題意首先利用倒數關系，將、 進行消元，然后兩分式相加計算得到結果，利用新定義即可判斷．
【詳解】（1）解：依題意，，
∴分式 與互為“六 分式”，
故答案為：；
（2）解：∵分式 與互為“一 分式”
∴
即
∴，
即，
∵a，b為正數
∴
（3）∵正數x，y互為倒數，
∴
∴
∴分式 與 互為“五 分式
【點睛】本題主要考查了分式的加法，正確理解題意并掌握分式通分、約分運算方法是解決本題的關鍵．
2．（2022·江蘇蘇州·二模）定義：若，則稱a與b是關于1的平衡數．
(1)7與______是關于1的平衡數，與_______是關于1的平衡數（用含x的代數式表示）．
(2)若，判斷a與b是否是關于1的平衡數，并說明理由．
【答案】(1)，
(2)不是，理由見解析
【分析】（1）根據題目定義進行整式運算即可；
（2）通過計算的值與1進行比較即可．
【小題1】解：設7的關于1的平衡數為，
則，
解得，
與是關于1的平衡數，
設的關于1的平衡數為，則，解得，
與是關于1的平衡數，
故答案為：，；
【小題2】與不是關于1的平衡數，理由如下：
，
，
，
與不是關于1的平衡數．
【點睛】此題考查了利用整式加減解決新定義問題的能力，關鍵是能根據題目定義準確列式、計算．
3．（2024·江蘇南通·一模）對有理數，，定義新運算“”如下：，例如：，求的值
【答案】-4
【分析】根據，可以求出所求式子的值．
【詳解】解：∵，
∴．
【點睛】本題考查了有理數的混合運算，解答本題的關鍵是理解題中給出的．
4．（2023·江蘇揚州·二模）定義：如果代數式是常數）與是常數），滿足則稱a1+a2=0,b1+b2=0,c1+c2=0,兩個代數式互為”牛郎織女式”
（1）寫出的“牛郎織女式”
（2）若與互為“牛郎織女式”，求（mn）2015的值
（3）無論x去何值時，代數式的值總大于其“牛郎織女式”的值，求a的取值范圍
【答案】（1）；（2）-1；（3）a＞1.
【詳解】試題分析：（1）根據a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，求出a2=1，b2=-2，c2=3，從而求出的“牛郎織女式”
（2）根據“牛郎織女式”的定義得到：，從而解得m=-，n=3，進而求出（mn）2015的值；
（3）作差比較即可求取a的取值范圍.
試題解析：（1）根據a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，得，a2=1，b2=-2，c2=3，
故的“牛郎織女式”為：；
（2）∵與互為“牛郎織女式”
∴
解得，m=-，n=3，
故（mn）2015=（-）×3=-1；
（3）的“牛郎織女式”為
∴-（）
=2（x2-2x+1）+2a-2
=2（x-1）2+2a+2
若代數式的值總大于其“牛郎織女式”的值
則2a-2＞0
故a＞1.
考點：求代數式的值.
5．（2024·江蘇揚州·一模）已知且，我們定義，記為；，記為；……；，記為．若將數組中的各數分別作的變換，得到的數組記為；將作的變換，得到的數組記為；……；則的值為 ．
【答案】4160
【分析】本題考查了數字類規律探索，要先根據題意找到規律，多算幾組，發現每三次變換為一個循環，進而可得到結果，準確計算、發現規律是解題的關鍵．
【詳解】由題意得：
∴；
∴；
∴；
∴；
∴；
∴
∴，，
，
，
由規律可得每三次變換為一個循環，
∴
∴
故答案為：4160．
6．（2023·江蘇南京·二模）在數的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數充滿好奇，如學習自然數時，我們發現一種特殊的自然數---“好數”．定義：對于三位自然數n，各位數字都不為0，且百位數字與十位數字之和恰好能被個位數字整除，則稱這個自然數為“好數”，如426是“好數”，因為4，2，6都不為0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好數”，因為6+4=10，10不能被3整除，問百位數字比十位數字大5的所有“好數”有 個．
【答案】7
【分析】設十位數數字為a，則百位數字為a+5（0＜a≤4的整數），得出百位數字和十位數字的和為2a+5，再分別取a=1，2，3，4，計算判斷即可得出結論．
【詳解】611，617，721，723，729，831，941共7個，
理由：設十位數數字為a，則百位數字為a+5（0＜a≤4的整數），
∴百位數字和十位數字的和為a+a+5=2a+5，
當a=1時，2a+5=7，
∵7能被1，7整除，
∴滿足條件的三位數有611，617；
當a=2時，2a+5=9，
∵9能被1，3，9整除，
∴滿足條件的三位數有721，723，729；
當a=3時，2a+5=11，
∵11能被1整除，
∴滿足條件的三位數有831；
當a=4時，2a+5=13，
∵13能被1整除，
∴滿足條件的三位數有941；
∴滿足條件的三位自然數為611，617，721，723，729，831，941共7個．
故答案為7．
【點睛】此題主要考查了數的整除問題，新定義，理解并靈活運用新定義是解本題的關鍵．
1．（2025·江蘇南京·中考真題）任意兩個奇數的平方差總能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
【答案】D
【分析】設一個奇數為，另一個奇數為，且是較大一個，都是正整數，根據題意，得，分類解答即可．
本題考查了平方差公式的應用，整數的整除性質，熟練掌握公式是解題的關鍵．
【詳解】解：設一個奇數為，另一個奇數為，且是較大一個，都是正整數，
根據題意，得
，
當時，，都能成立；
當時，則，則，
故，
故，
故一定能被8整除，
故選：D．
2．（2025·江蘇南京·中考真題）下列四個數中，是負數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了正數和負數，掌握在正數前面加負號叫做負數是解題的關鍵．先利用絕對值，相反數的定義及有理數乘方的運算法則，計算各數，再根據正負數的定義判斷即可．
【詳解】解：A.是負數，故選項A符合題意；
B. 是正數，故選項B不符合題意；
C. 是正數，故選項C不符合題意；
D.是正數，故選項D不符合題意；
故選：A．
3．（2025·江蘇南京·中考真題）水由氫、氧兩種元素組成．一個水分子包含兩個氫原子和一個氧原子．一個氫原子的質量約為，一個氧原子的質量約為，一個水分子的質量大約是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了有理數的混合運算，科學記數法表示較小的數，關鍵是理解運用科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．根據題意列出算式求解，然后運用科學記數法表示即可．
【詳解】解：
∴一個水分子的質量大約是．
故選：C．
4．（2024·江蘇徐州·中考真題）觀察下列各數：3、8、18、38、…，按此規律，第5～7個數可能為（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
【答案】D
【分析】本題主要考查了數字的變化規律，題目難度不大，通過觀察、分析、歸納并發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題是解答該題的關鍵．根據題意得出已知數組的規律得出結果即可
【詳解】解：∵，
，
，
∴第5個數為，
第6個數為，
第7個數為，
故選：D．
5．（2024·江蘇南通·中考真題）計算的結果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，直接利用二次根式的乘法運算法則計算即可．
【詳解】解：，
故選B．
6．（2024·江蘇徐州·中考真題）若，，則代數式的值是 ．
【答案】2
【分析】本題考查代數式求值．先將代數式進行因式分解，然后將條件代入即可求值．
【詳解】解：∵，，
，
故答案為：2．
7．（2024·江蘇徐州·中考真題）2024年“五一”假期，我市實現旅游總收入51.46億元．將5146000000用科學記數法表示為 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數．用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，n為整數，且n比原來的整數位數少1，據此判斷即可．
【詳解】解：將5146000000用科學記數法表示為．
故答案為：．
8．（2024·江蘇鎮江·中考真題）分解因式： ．
【答案】
【分析】主要考查提公因式法分解因式，此題屬于基礎題．觀察原式，發現公因式為；提出后，即可得出答案．
【詳解】解：
．
故答案為：
9．（2024·江蘇鎮江·中考真題）使分式有意義的的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關鍵．
分式有意義，則分母，由此易求的取值范圍．
【詳解】解：當分母，即時，分式有意義．
故答案為：．
10．（2024·江蘇常州·中考真題）計算： ．
【答案】
【分析】本題主要考查了同分母分式加法計算，直接根據同分母分式加法計算法則求解即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
11．（2024·江蘇蘇州·中考真題）若，則 ．
【答案】4
【分析】本題考查了求代數式的值，把整體代入化簡計算即可．
【詳解】解：∵，
∴
，
故答案為：4．
12．（2024·江蘇徐州·中考真題）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本題考查了實數的運算，分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
（1）先根據絕對值、零指數冪、負整數指數冪、立方根的運算法則計算，再根據有理數的加減運算法則計算即可；
（2）先計算括號里的，再把除法運算化為乘法運算，最后約分即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．（2024·江蘇鎮江·中考真題）（1）計算：；
（2）化簡：．
【答案】（1）1；（2）
【分析】本題考查了分式的混合運算、零指數冪、特殊角的三角函數值、算術平方根，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
（1）根據零指數冪、特殊角的三角函數值、算術平方根的運算法則分別計算即可；
（2）根據分式的混合運算法則計算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
14．（2024·江蘇宿遷·中考真題）先化簡再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先對括號里面的通分，再利用平方差公式展開，最后約分，然后再代入x的值代入計算，并利用二次根式的性質化簡．
【詳解】解：
，
當時，原式．
15．（2024·江蘇蘇州·中考真題）先化簡，再求值：．其中．
【答案】，
【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用因式分解和除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．
【詳解】解：原式
．
當時，原式．
16．（2024·江蘇連云港·中考真題）下面是某同學計算的解題過程：
解：①
②
③
上述解題過程從第幾步開始出現錯誤？請寫出完整的正確解題過程．
【答案】從第②步開始出現錯誤，正確過程見解析
【分析】本題考查異分母分式的加減運算，先通分，然后分母不變，分子相減，最后將結果化為最簡分式即可．掌握相應的計算法則，是解題的關鍵．
【詳解】解：從第②步開始出現錯誤．
正確的解題過程為：
原式．
17．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發現問題
小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．
提出問題
銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？
分析問題
某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數，，），如圖1所示．
小明設計了如下三種鏟籽方案．
方案1：圖1是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案2：圖2是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案3：圖3是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．
解決問題
在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．
【答案】分析問題：方案1：；；；方案2：；方案3：；解決問題：方案3路徑最短，理由見解析
【分析】分析問題：方案1：根據題意列出代數式即可求解；方案2：根據題意列出代數式即可求解；方案3：根據圖得出斜著鏟每兩個點之間的距離為，根據題意得一共有列，行，斜著鏟相當于有n條線段長，同時有個，即可得出總路徑長；
解決問題：利用作差法比較三種方案即可．
題目主要考查列代數式，整式的加減運算，二次根式的應用，理解題意是解題關鍵．
【詳解】解：方案1：根據題意每行有n個籽，行上相鄰兩籽的間距為d，
∴每行鏟的路徑長為，
∵每列有k個籽，呈交錯規律排列，
∴相當于有行，
∴鏟除全部籽的路徑總長為，
故答案為：；；；
方案2：根據題意每列有k個籽，列上相鄰兩籽的間距為d，
∴每列鏟的路徑長為，
∵每行有n個籽，呈交錯規律排列，，
∴相當于有列，
∴鏟除全部籽的路徑總長為，
故答案為：；
方案3：由圖得斜著鏟每兩個點之間的距離為，
根據題意得一共有列，行，
斜著鏟相當于有n條線段長，同時有個，
∴鏟除全部籽的路徑總長為：；
解決問題
由上得：，
∴方案1的路徑總長大于方案2的路徑總長；
，
∵，
當時，
，
，
∴方案3鏟籽路徑總長最短，銷售員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對菠蘿的損耗．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題01 實數、整式、分式與二次根式
目錄
熱點題型歸納 1
題型01 實數的運算 1
題型02 整式的運算 11
題型03 因式分解的計算 13
題型04 分式的計算 13
題型05 二次根式的計算 13
題型06 數與式的新定義計算 13
中考練場 20
題型01 實數的運算
實數的運算是初中數學計算的基礎內容，涉及到實數的混合運算、特殊角的三角函數值計算等等，分值占比約3%~5%；
1.考查重點：實數的運算、特殊角的三角函數值計算等等。
2.高頻題型：選擇題、填空題中的直接計算題，解答題中的基礎計算題。
3.高頻考點：實數的四則運算、含特殊角的三角函數值計算。
4.能力要求：準確快速的計算能力。
5.易錯點：運算時出現符號錯誤（忘記變號）、特殊角的三角函數值遺忘。
【提分秘籍】
實數的運算法則： 先乘方，再乘除，最后加減。有括號的先算括號，先算小括號，再算中括號，最后算大括號。 絕對值的運算： ，常考形式：。 3、根式化簡：； 4、0次冪、負整數指數冪以及﹣1的奇偶次冪的運算： ①；②；③；④。 5、特殊角的銳角三角函數值（附加）： 三角函數30°45°60°1
【典例分析】
例1．（2025·江蘇宿遷·一模）計算：．
例2．（2025·江蘇鹽城·模擬預測）計算．
例3．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）計算：．
例4．（2023·江蘇鎮江·模擬預測）計算：．
例5．（2023·江蘇宿遷·一模）計算：．
例6．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）計算：．
【變式演練】
1．（2024·江蘇鹽城·三模）計算：．
2．（2024·江蘇蘇州·二模）計算
3．（2024·江蘇鹽城·三模）計算：．
4．（2024·江蘇鹽城·三模）計算：．
5．（2024·江蘇常州·一模）計算：；
6．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）計算：
題型02 整式的運算
整式的運算是初中數學基礎的計算內容之一，涉及到整式的加減、整式的乘除和乘法公式，分值大概在10分左右；
1.考查重點：整式的四則運算、乘法公式的靈活應用。
2.高頻題型：選擇題、填空題中的直接計算題，解答題中的化簡求值。
3.高頻考點：完全平方公式與平方差公式的應用、代數式化簡中的符號處理。
4.能力要求：準確快速的計算能力、代數式結構觀察能力、公式逆用與變形的邏輯思維能力。
5.易錯點：運算中符號錯誤（如負號遺漏）、公式混淆(如誤寫為。
【提分秘籍】
合并同類型： 法則：“一相加，兩不變”，即系數相加，字母與字母的指數不變照寫。 整式的加減的實質： 合并同類項。 整式的乘除運算： ①單項式×單項式：系數相乘，同底數冪相乘，其中一個因式單獨存在的字母連同它的指數作為積的一個因式。 ②單項式×多項式：單項式乘以多項式的每一項，變成單項式乘以單項式。 ③多項式×多項式：用其中一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，變成單項式乘以單項式。 ④單項式÷單項式：系數相除，同底數冪相除，被除數中單獨存在的字母連同它的指數作為商的一個因式。 ⑤多項式÷單項式：多項式的每一項除以單項式，變成單項式除以單項式。 乘法公式： ①平方差公式：。 ②完全平方公式：。
【典例分析】
例1．（2025·江蘇蘇州·模擬預測）先化簡，再求值：，其中．
例2．38．（2024·江蘇宿遷·二模）先化簡，再求值：，其中
例3．（2024·江蘇揚州·三模）先化簡，再求值：，其中．
例4．（2024·江蘇鹽城·二模）先化簡，再求值：，其中．
例5．（2024·江蘇鹽城·三模）【閱讀發現】
小明在閱讀數學課外讀物時，讀到了海倫――秦九韶公式．他了解到海倫公式和秦九韶公式分別是由古希臘的幾何家海倫和我國南宋時期數學家秦九韶提出的．這兩個公式有什么關系呢？于是小明進行了下列思考：
兩個公式：
海倫公式：已知一個三角形的三邊長分別為，，，設，那么這個三角形的面積；
秦九韶公式：已知一個三角形的三邊長分別為，，，那么這個三角形的面積；
【嘗試應用】
（1）已知一個三角形的三邊長分別4，5，6．請任選一個公式算出這個三角形的面積為______；請用學過的知識來解這個三角形的面積．
（2）已知一個三角形的三邊長分別為，，，試求出這個三角形面積的一般表達形式．（用，，表示）
【發現關聯】
思考關聯：請你由秦九韶公式推導到海倫公式：，．
例6．（2024·江蘇鹽城·三模）觀察下面的等式：，，，
(1)根據題目中規律的格式，寫出的結果為 ；
(2)按上面的規律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數）；
(3)請運用有關知識，推理說明這個結論是正確的．
【變式演練】
1．（2024·江蘇南京·三模）先化簡，再求值：，其中．
2．（2024·江蘇鹽城·一模）先化簡，再求值：，其中x滿足．
3．（2024·江蘇南京·二模）與幾何證明一樣，代數推理也需要有理有據．請先完成第（1）題的填空，再完成第（2）題的證明．
(1)已知實數x，y滿足，求證．
證明：∵，
∴（實數的加法法則），
（不等式的基本性質1）．
∴（①）．
∵（②），
∴．
∴（③）．
(2)已知實數x，y滿足，求證．（注：無需寫出每步的依據．）
4．（2023·江蘇常州·一模）先化簡，再求值∶，其中．
5．（2023·江蘇常州·二模）閱讀理解早在我國南宋時期，著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中，提出了“三斜求積術”，后人稱之為“秦九韶公式”，其求法是：若將三角形的三條邊分別稱為小斜（記為a）、中斜（記為b）和大斜（記為c），以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實：一為從隔，開平方得積．若把以上這段文字寫成公式即為，
（1）如圖，已知圖中3個正方形的面積分別為2，1，4，求的面積．
深入探究
古希臘數學家海倫寫了一本《測量儀論》，上面記載一個計算三角形面積的公式，即海倫公式：三角形面積， ，
（2）請你用秦九韶公式證明海倫公式．
靈活應用
結合上面學習的知識解決以下問題：
（3）已知三角形三邊長分別為5，6，7，求這個三角形的內切圓半徑．
6．（2023·江蘇鹽城·三模）小明提出這樣一個猜想：對于任意兩個連續的正整數m、n，它們的乘積與較大數的和一定為某個正數的平方．
舉例驗證：（1）當，，則
推理證明：小剛同學做了如下的證明：
設，∵m，n是連續的正整數，∴
∵，∴；∴一定是正數的平方數．
（2）請你補上小剛同學的證明過程的空格所缺內容；
(注：推理論證中的兩個是同一個代數式，答題卡上只需填寫一個即可)
類比探究：（3）小紅同學類比小剛同學的證明方法，提出“任意兩個連續正整數的乘積與較小數的差也為某個正數的平方”，請證明該結論；
深入思考：（4）老師在三位同學的基礎上，鼓勵同學們繼續探究：若(m，n為兩個連續正整數，，)，則p一定是 ．(填：奇數、偶數)
題型03 因式分解的運算
因式分解是初中必考知識點，主要考查學生對因式分解的理解和掌握，同時學會區分因式分解和整式乘法之間的聯系與區別，在中考分值大概5分左右；
1.考查重點：因式分解的基本方法（提公因式法、公式法、分組分解法等）。
2.高頻題型：解答題中綜合因式分解題。
3.高頻考點：多項式因式分解的徹底性、十字相乘法的運用。
4.能力要求：準確快速的計算能力、代數式結構觀察能力、公式逆用與變形的邏輯思維能力。
5.易錯點：無法確定使用哪個方法來進行因式分解。
【提分秘籍】
1、因式分解的方法： ①提公因式法：； ②公式法：平方差公式： 完全平方公式：。 ③十字相乘法：在中，若，則： 。
【典例分析】
例1．（2025·江蘇鎮江·模擬預測）下列因式分解結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2024·江蘇蘇州·一模）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·江蘇宿遷·二模）對于任意整數a，多項式都能( )
A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除
例4．（2025·江蘇宿遷·模擬預測）若實數a、b滿足，，則的值是 ．
例5．（2023·江蘇揚州·一模）分解因式： ．
例6．（2023·江蘇揚州·二模）因式分解：
(1)；
(2)．
【變式演練】
1．（2024·江蘇徐州·中考真題）若，，則代數式的值是 ．
2．（2023·江蘇無錫·模擬預測）因式分解： ．
3．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）分解因式： ．
4．（2023·江蘇南通·二模）分解因式：3a3﹣12a2b+12ab2．
5．（2024·江蘇南通·模擬預測）分解因式:．
6．（2024·江蘇無錫·模擬預測）因式分解：
（1）
（2）
（3）
題型04 分式的運算
分式的運算是中考數學的必考計算題，一般涉及到分式的有無意義條件，分式的四則運算等，一般考試分數在5~10分左右；
1.考查重點：分式的四則運算。
2.高頻題型：選擇題、填空題中的直接計算題，解答題中的分式化簡求值。
3.高頻考點：分式的化簡求值。
4.能力要求：準確快速的計算能力。
5.易錯點：運算中符號錯誤（如負號遺漏）、去分母時要注意符號。
【提分秘籍】
分式的概念及性質： 形如，都是整式的式子叫做分式。簡單來說，分母中含有字母的式子叫做分式。 分式的分子與分母同時乘上（或除以）同一個不為0的式子，分式的值不變。即： ，。 分式的通分： 把幾個異分母的分式利用分式的性質化成分式值不變的幾個同分母的分式的過程叫做通分。這個相同的分母叫做分母的最簡公分母。 公分母＝系數的最小公倍數乘上所有字母（式子）的最高次冪。 分式的約分： 利用分式的性質約掉分式中分子分母都存在的公因式的過程叫做約分。 公因式＝系數的最大公因數乘上相同字母（式子）的最低次冪。 分子分母不存在公因式的分式叫做最簡分式。約分時一般把分式化成最簡分式。 分式的加減運算： ①同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減。即：。 ②異分母的分式相加減，先通分成同分母的分式，再按照同分母的分式進行加減。即：。 分式的乘除運算： ①分式的乘法：分子乘分子得到積的分子，分母乘分母得到積的分母。即：。 ②分式的除法：除以一個分式，等于乘上這個分式的倒數式。即：。
【典例分析】
例1．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）下列分式，一定有意義的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·江蘇無錫·二模）函數的自變量x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
例3．（2024·江蘇徐州·三模）如果把分式的x和y都擴大3倍，那么分式的值（ ）
A．擴大為原來的9倍 B．擴大為原來的3倍
C．不變 D．縮小為原來的倍
例4．（2024·江蘇揚州·一模）人們把這個數叫做黃金分割數，著名數學家華羅庚的優選法中的0.618法就應用了黃金分割數．設，，得，記（n取正整數），則的值為（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知，則的值為 ．
例6．（2025·江蘇鹽城·模擬預測）先化簡，再求值：，其中．
【變式演練】
1．（2024·江蘇常州·二模）若代數式 有意義，則實數x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇南京·模擬預測）若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是 ．
3．（2024·江蘇南京·模擬預測）計算．
4．（2023·江蘇南京·一模）計算：．
5．（2023·江蘇淮安·模擬預測）先化簡，再求值：其中．
6．（2024·江蘇淮安·模擬預測）先化簡，再求值：，其中．
題型05 二次根式的運算
二次根式的運算是初中數學必考的計算題之一，涉及到二次根式的加減乘除法、二次根式的性質等，中考分值大概在5分左右；
1.考查重點：二次根式的四則運算、二次根式的性質。
2.高頻題型：選擇題、填空題、解答題中的直接計算題。
3.高頻考點：二次根式的四則混合運算、分母有理化。
4.能力要求：準確快速的計算能力。
5.易錯點：運算中符號錯誤（如負號遺漏）、分母有理化。
【提分秘籍】
1、二次根式的性質 （1），（雙重非負性）． （2）（任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式）． 應用：在實數范圍內分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 2、二次根式的乘除法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 3、二次根式的混合運算 二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）
【典例分析】
例1．（2024·江蘇徐州·中考真題）若有意義，則x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·江蘇鹽城·三模）a，b在數軸上的位置如圖所示，那么化簡的結果是（ ）

A． B．b C． D．
例3．（2025·江蘇宿遷·一模）已知m是的小數部分，則的值為 ．
例4．（22-23八年級下·四川廣安·期末）若，則 ．
例5．（2023·江蘇宿遷·中考真題）先化簡，再求值：，其中
例6．（2024·江蘇南京·二模）（n為正整數）的近似值可以這樣估算：，其中m是最接近n的完全平方數．例如：，這與科學計算器計算的結果4.8989…很接近．
(1)按照以上方法，估計的近似值（精確到0.1）；
(2)結合圖中思路，解釋該方法的合理性．
【變式演練】
1．（2024·江蘇無錫·三模）函數中自變量x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江蘇淮安·三模）估計的值應在（ ）
A．與之間 B．與之間 C．與之間 D．與之間
3．（2023·江蘇泰州·二模）已知滿足，則 ．
4．（2024·江蘇常州·二模）計算：．
5．（2024·陜西西安·模擬預測）計算：．
6．（2024·江蘇宿遷·三模）計算題：．
題型06 數與式的新定義運算
數與式的新定義運算，是本模塊較難的一個考點，常和本模塊的其他知識點綜合考查，故理解題干尤為重要；這一類題型中考要么不考，一旦考查分值在5~10分；
1.能力要求：準確快速的計算能力、代數式結構觀察能力、公式逆用與變形的邏輯思維能力。
2.易錯點：題干理解不徹底、銜接的知識點混亂。
【提分秘籍】
數與式的新定義運算，關鍵在于要讀懂題干的意思，學會將題目中的定義轉化為學過的知識點，這樣做題會輕松很多。
【典例分析】
例1．（2024·江蘇南通·二模）定義：如果兩個實數m，n滿足，則稱m，n為一對“互助數”．已知a，b為實數，且，是一對“互助數”．若，則p的值可以為（ ）
A． B．6 C． D．3
例2．我們知道，任意一個正整數都可以進行這樣的分解：（，是正整數，且），在的所有這種分解中，如果，兩因數之差的絕對值的小，我們就稱是的最佳分解，并規定：．例如：12可以分解成，或，因為，所以是12的最佳分解，所以．如果一個兩位正整數，（，，為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為36，那么我們稱這個數t為“吉祥數”．根據以上新定義，下列說法正確的有：（ ）
（1）（2）15和26是“吉祥數”；（3）“吉祥數”中，的最大值為．
（4）如果一個正整數是另外一個正整數的平方，我們稱正整數是完全平方數，則對任意一個完全平方數，總有；
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
例3．（2024·江蘇連云港·二模）定義新運算“”：對于任意實數，，都有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算．例如：．若關于的方程有兩個實數根，則實數的取值范圍是 ．
例4．（2024·江蘇蘇州·二模）對于定義運算，滿足以下性質：①；②；③．例：，若，則 ．
例5．（2022·江蘇揚州·中考真題）掌握地震知識，提升防震意識．根據里氏震級的定義，地震所釋放出的能量與震級的關系為（其中為大于0的常數），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的 倍．
例6．（2024·江蘇揚州·二模）對于有序實數對，定義關于“”的一種運算如下：．例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求+的值．
【變式演練】
1．（2023·江蘇鹽城·一模）定義：若兩個分式的和為n（n為正整數），則稱這兩個分式互為“N 分式”．
例如.分式 與 互為“三 分式”．
(1)分式 與_____互為“六 分式”；
(2)若分式 與互為“一 分式”（其中a，b為正數），求ab的值；
(3)若正數x，y互為倒數，求證：分式 與 互為“五 分式”．
2．（2022·江蘇蘇州·二模）定義：若，則稱a與b是關于1的平衡數．
(1)7與______是關于1的平衡數，與_______是關于1的平衡數（用含x的代數式表示）．
(2)若，判斷a與b是否是關于1的平衡數，并說明理由．
3．（2024·江蘇南通·一模）對有理數，，定義新運算“”如下：，例如：，求的值
4．（2023·江蘇揚州·二模）定義：如果代數式是常數）與是常數），滿足則稱a1+a2=0,b1+b2=0,c1+c2=0,兩個代數式互為”牛郎織女式”
（1）寫出的“牛郎織女式”
（2）若與互為“牛郎織女式”，求（mn）2015的值
（3）無論x去何值時，代數式的值總大于其“牛郎織女式”的值，求a的取值范圍
5．（2024·江蘇揚州·一模）已知且，我們定義，記為；，記為；……；，記為．若將數組中的各數分別作的變換，得到的數組記為；將作的變換，得到的數組記為；……；則的值為 ．
6．（2023·江蘇南京·二模）在數的學習過程中，我們總會對其中一些具有某種特性的數充滿好奇，如學習自然數時，我們發現一種特殊的自然數---“好數”．定義：對于三位自然數n，各位數字都不為0，且百位數字與十位數字之和恰好能被個位數字整除，則稱這個自然數為“好數”，如426是“好數”，因為4，2，6都不為0，且4+2=6，6能被6整除；643不是“好數”，因為6+4=10，10不能被3整除，問百位數字比十位數字大5的所有“好數”有 個．
1．（2025·江蘇南京·中考真題）任意兩個奇數的平方差總能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
2．（2025·江蘇南京·中考真題）下列四個數中，是負數的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江蘇南京·中考真題）水由氫、氧兩種元素組成．一個水分子包含兩個氫原子和一個氧原子．一個氫原子的質量約為，一個氧原子的質量約為，一個水分子的質量大約是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·江蘇徐州·中考真題）觀察下列各數：3、8、18、38、…，按此規律，第5～7個數可能為（ ）
A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318
5．（2024·江蘇南通·中考真題）計算的結果是（ ）
A．9 B．3 C． D．
6．（2024·江蘇徐州·中考真題）若，，則代數式的值是 ．
7．（2024·江蘇徐州·中考真題）2024年“五一”假期，我市實現旅游總收入51.46億元．將5146000000用科學記數法表示為 ．
8．（2024·江蘇鎮江·中考真題）分解因式： ．
9．（2024·江蘇鎮江·中考真題）使分式有意義的的取值范圍是 ．
10．（2024·江蘇常州·中考真題）計算： ．
11．（2024·江蘇蘇州·中考真題）若，則 ．
12．（2024·江蘇徐州·中考真題）計算：
(1)；
(2)．
13．（2024·江蘇鎮江·中考真題）（1）計算：；
（2）化簡：．
14．（2024·江蘇宿遷·中考真題）先化簡再求值：，其中．
15．（2024·江蘇蘇州·中考真題）先化簡，再求值：．其中．
16．（2024·江蘇連云港·中考真題）下面是某同學計算的解題過程：
解：①
②
③
上述解題過程從第幾步開始出現錯誤？請寫出完整的正確解題過程．
17．（2024·江蘇鹽城·中考真題）發現問題
小明買菠蘿時發現，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．
提出問題
銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數學道理呢？
分析問題
某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側面展開圖上呈交錯規律排列，每行有n個籽，每列有k個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（n，k均為正整數，，），如圖1所示．
小明設計了如下三種鏟籽方案．
方案1：圖1是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為________，共鏟________行，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案2：圖2是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為________；
方案3：圖3是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．
解決問題
在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．
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