資源簡介

人教A版高二(下)數學選擇性必修第三冊6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理(2)
本節課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修第三冊》，第六章《計數原理》，本節課主要學習分類加法計數原理與分步乘法計數原理。
兩個計數原理，其核心是準確理解兩個原理，弄清它們的區別。理解它關鍵就是要根據實例概括兩個計數原理。學生對計數問題已經有一些經驗和技巧，本節課的內容分類計數原理和分步計數原理就是在此基礎上的發展。由于排列、組合及二項式定理的研究都是以兩個計數原理為基礎,所以在本學科計數問題中有重要的地位，是本學科的核心內容。教學的重點是兩個原理的理解與應用，解決重點的關鍵是從單一到綜合，恰當安排實例。
課程目標 學科素養
A. 進一步理解和掌握分類加法計數原理和分步乘法計數原理； B．能應用兩個計數原理解決實際問題. 1.數學抽象：兩個計數原理 2.邏輯推理：運用分類思想解決復雜問題 3.數學運算：運用計數原理解決計數問題 4.數學建模：將計數問題轉化為分類和分步計數問題
重點： 分類加法計數原理、分步乘法計數原理及其簡單應用
難點： 準確應用兩個計數原理解決問題
多媒體
教學過程 教學設計意圖 核心素養目標
溫故知新 兩個原理的聯系與區別 1.聯系:分類加法計數原理和分步乘法計數原理都是解決計數問題最基本、最重要的方法. 2.區別 分類加法計數原理分步乘法計數原理區別一完成一件事共有n類辦法,關鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關鍵詞是“分步”區別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關聯的、獨立的,“關聯”確保不遺漏,“獨立”確保不重復
二、典例解析 例4. 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置， 問共有多少種不同的掛法？ 分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成. 解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上， 可以分兩個步驟完成: 第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法， 第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法， 根據分步乘法計數原理，不同掛法的種數是 N=3×2=6. 例5．給程序模塊命名，需要用個字符，其中首字符要求用字母或，后兩個要求用數字.問最多可以給多少個程序命名？ 分析：要完成一件事是“給一個程序模塊命名” ，可以分三個步驟完成：第1步，首選字符，第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符，還有首字符又可以分為兩類。 解：由分類加法計數原理，首字符不同選法的種數為，后兩個字符從中選，因為數字可以重復， 所以不同選法的種數都為9. 由分步乘法計數原理，不同名稱的個數是， 即最多可以給1053個程序命名. 例6. 電子元件很容易實現電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態，而這也是最容易控制的兩種狀態.因此計算機內部就采用了每一位只有0或1兩種數字的記數法，即二進制.為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節來表示，其中字節是計算機中數據存儲的最小計量單位，每個字節由8個二進制位構成.問： （1）一個字節(8位)最多可以表示多少個不同的字符？ （2）計算機漢字國標碼(GB碼)包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節表示？ 分析： （1）要完成的一件事是“確定1個字節各二進制位上的數字” .由于每個字節有8個二進制位，每一位上的值都是0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數原理來求解；（2）只要計算出多少個字節所能表示的不同字符不少于6763個即可. 解：（1）一個字節共有8位，每位上有2種選擇，根據分步乘法計數原理，一個字節最多可以表示 2×2×2×2×2×2×2×2==256個不同的字符； （2）由（1）知，用一個字節能表示256個字符， ∵256<6763，一個字節不夠；根據分步乘法計數原理， 2個字節可以表示256×256=65536個不同的字符， ∵65536>6763，所以每個漢字至少要用2個字節表示. 例7.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行調試，程序員需要知道到底有多少條執行路徑（即程序從開始到結束的路線），以便知道需要提供多少個測試數據.一般地，一個程序模塊由許多字模塊組成，如圖，這是一個具有許多執行路徑的程序模塊，它有多少條執行路徑？ 另外，為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數.你能幫助程序員設計一個測試方法，以減少測試次數嗎？ 分析：整個模塊的任意一條執行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執行到A點；第2步是從A點執行到結束.而第1步可有子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個來完成；第2步可以由子模塊4、子模塊5中任何一個來完成，因此，分析一條指令在整個模塊的執行路徑需要用到兩個技術原理. 解：由分類加法計數原理，子模塊1、子模塊2,、子模塊3中的子路徑條數共為18+45+28=91； 子模塊4、子模塊5中的子路徑條數共為38+43=81. 又由分步乘法計數原理，整個模塊的執行路徑條數共為91×81=7371. 在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊，這樣，它可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常，總共需要的測試次數為 18+45+18+38+43=172. 再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數為3×2=6.
如果每個子模塊都正常功能，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作，正常這樣測試整個模塊的次數就變為172+6=178，顯然178與7371的差距是非常大的. 1.使用兩個原理的原則 使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對于較復雜應用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計數原理;“分步”就是把問題分化為幾個互相關聯的步驟,然后逐步解決,這時可用分步乘法計數原理. 2.應用兩個計數原理計數的四個步驟 (1)明確完成的這件事是什么. (2)思考如何完成這件事. (3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類. (4)選擇計數原理進行計算.
例8.通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區、直轄市簡稱和用英文字母表示發牌機關代號，第二部分有阿拉伯數字和英文字母組成的序號如圖， 其中，序號的編碼規則為：
（1）由10個阿拉伯數字和除 O,I之外的24個英文字母組成;
（2）最多只能有2個英文字母.
如果某地級市發牌機關采用5位序號編碼，那么這個發牌機關最多能發放多少張汽車號牌？ 典例解析 分析：由號牌編號的組成可知，序號的個數決定了這個發牌機關所能發放的最多號牌數，按程序編碼規則可知，每個序號中的數字、字母都是可重復的，并且可將序號分為三類；沒有字母，有1個字母，有2個字母，以字母所在位置為分類標準，可將有1個字母的序號，分為五個子類，將有2個字母的序號，分為十個子類. 解：有號牌編號的組成可知，這個發牌機關所能發放的最多號牌數就是序號的個數，根據序號編碼規則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母. （1）當沒有字母時，序號的每一位都是數字，確定一個序號可分5個步驟，每一步都可以從10個數字中選1個，各有10種選法，根據分布乘法計數原理，這類號牌張數為10×10×10×10×10=100000. （2）當有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類.
當第1位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數字：第1步，從24個字母中選1個放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個數字中選一個放在相應的位置，各有10種選法，根據分步乘法計數原理，號牌張數為：24×10×10×10×10=240000.
同樣，其余四個子類號牌也各有240000張。 根據分類加法計數原理，這類號牌張數，共為 240000+240000+240000+240000+240000=1200000. （3）當有2個字母時，根據這2個字母在序號中的位置，可將這類序號分為十個子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.
當第1位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數字：第1~2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位，第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個數字中選1個放在相應的位置，各有10種選法.根據分步乘法計數原理，號牌張數為24×24×10×10×10=576000
同樣其余九個子類號牌也各有576000張
于是這類號牌張數一共為576000×10=5760000 綜合（1）（2）（3）根據分類加法計數原理，這個發牌機關最多能發放的汽車號牌張數為 10000十1200000+5760000=7060000. 解決抽取(分配)問題的方法 (1)當涉及對象的數目不大時,一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法. (2)當涉及對象的數目很大時,一般有兩種方法:①直接使用分類加法計數原理或分步乘法計數原理.一般地,若抽取是有順序的,則按分步進行;若是按對象特征抽取的,則按分類進行.②間接法.去掉限制條件,計算所有的抽取方法數,然后減去所有不符合條件的抽取方法數即可. 歸納總結 跟蹤訓練. 7名學生中有3名學生會下象棋但不會下圍棋,有2名學生會下圍棋但不會下象棋,另2名學生既會下象棋又會下圍棋.現從中選出會下象棋和會下圍棋的學生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法 跟蹤訓練 解:第1類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數原理得N1=3×2=6(種). 第2類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數原理得N2=3×2=6(種). 第3類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數原理得N3=2×2=4(種). 第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,有N4=2種. 綜上,由分類加法計數原理可知,不同選法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(種). 通過引導學生回顧計數原理，進一步比較分析加深對兩個計數原理得理解。 通過具體問題，分析、比較、歸納、加深對兩個計數原理的認識。發展學生數學運算，數學抽象和數學建模的核心素養。 在典例分析和練習中讓學生熟悉兩個計數原理的基本步驟，并能區分它們的聯系和區別，進而靈活運用兩個計數原理。發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。
三、達標檢測 1.現有4件不同款式的上衣和7條不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,那么不同的配法種數為(　　) A.11 B.28 C.16 384 D.2 401 解析:要完成配套,分兩步:第1步,選上衣,從4件上衣中任選一件,有4種不同的選法;第2步,選長褲,從7條長褲中任選一條,有7種不同的選法.故共有4×7=28(種)不同的配法. 答案:B 2.從0,1,2,3,4,5這六個數字中,任取兩個不同的數字相加,其和為偶數的不同取法的種數為(　　) A.30 B.20 C.10 D.6 解析:從0,1,2,3,4,5六個數字中,任取兩個不同的數字相加,和為偶數可分為兩類,①取出的兩數都是偶數,共有3種取法;②取出的兩數都是奇數,共有3種取法.故由分類加法計數原理得,共有N=3+3=6(種)取法. 答案:D 3.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現有十二生肖的吉祥物各一個,已知甲同學喜歡牛、馬和猴,乙同學喜歡牛、狗和羊,丙同學所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的選法有(　　) A.50種 B.60種 C.80種 D.90種 解析:根據題意,按甲的選擇不同分成2種情況討論: 若甲選擇牛,此時乙的選擇有2種,丙的選擇有10種,此時有2×10=20(種)不同的選法. 若甲選擇馬或猴,此時甲的選擇有2種,乙的選擇有3種,丙的選擇有10種, 此時有2×3×10=60(種)不同的選法. 一共有20+60=80(種)不同的選法.故選C. 答案:C 4.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色,并使同一條棱的兩個端點異色,若只有4種顏色可供使用,則不同的染色方法共有(　　) A.48種 B.72種 C.96種 D.108種 解析:設四棱錐為P-ABCD. 當A,C顏色相同時,先染P有4種方法,再染A,C有3種方法,然后染B有2種方法,最后染D也有2種方法.根據分步乘法計數原理知,共有4×3×2×2=48(種)方法;當A,C顏色不相同時,先染P有4種方法,再染A有3種方法,然后染C有2種方法,最后染B,D都有1種方法.根據分步乘法計數原理知,共有4×3×2×1×1=24(種)方法.綜上,共有48+24=72(種)方法.故選B. 答案:B 5.某藝術小組有9人,每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器,其中7人會鋼琴,3人會小號,從中選出會鋼琴與會小號的各1人,有多少種不同的選法 解:由題意可知,在藝術小組9人中,有且僅有1人既會鋼琴又會小號(把該人記為甲),只會鋼琴的有6人,只會小號的有2人.把從中選出會鋼琴與會小號各1人的方法分為兩類.第1類,甲入選,另1人只需從其他8人中任選1人,故這類選法共8種;第2類,甲不入選,則會鋼琴的只能從6個只會鋼琴的人中選出,有6種不同的選法,會小號的也只能從只會小號的2人中選出,有2種不同的選法,所以這類選法共有6×2=12(種).因此共有8+12=20(種)不同的選法. 通過練習鞏固本節所學知識，通過學生解決問題，發展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養。
四、小結 五、課時練 通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力。
在本節課的教學中，學生可能遇到的問題（或困難、障礙）是綜合應用兩個計數原理，產生這一問題的原因是不能根據問題的特征選擇對應的原理。要解決這一問題，就要要通過典型的、學生比較熟悉的實例，經過概括得出兩個計數原理，然后從單一到綜合的方式，安排例題，其中關鍵是從單一到綜合，引導學生體會兩個計數原理的基本思想。
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