資源簡介

第七章 相交線與平行線
7.5平行線的性質
第1課時
平行線是“空間與圖形”的重要組成部分，是后續學習空間與圖形領域的基礎，也是以后研究平移以及幾何推理等內容的基礎.本節課所探究的是平行線的性質，這是證明角相等或角計算的重要方法，不但可以為證明三角形內角和定理提供了轉化的方法，還為今后三角形相似、全等的知識奠定了理論基礎.在其他學科里面也有廣泛應用，尤其是物理學科里的光學部分，牽涉到折射反射的問題，經常遇到平行光束，借助平行線的理論知識可以幫助學生更好地學習光學，所以學好這部分內容至關重要
在七年級上學期，學生對幾何知識的學習過程中，已經歷了一些探索、發現的數學活動，并積累了一些直觀活動經驗，具備了一定的圖形的識別能力和借助圖形分析、解決問題的能力，初步感受了推理說明的必要性；同時七年級學生經過一個學期的合作交流，初步形成了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力.而且初中生本身好勝、好強的特點，也為他們獨立思考，合作探究奠定了基礎
1.經歷探究平行線性質定理的過程，掌握平行線的性質定理.
2.理解并靈活運用平行線的性質定理解決有關問題.
3.提高學生的合情推理能力，發展學生的說理能力.
4.通過學生的學習活動，培養學生的合作意識和互幫互助的良好品質，感受數學來源于生活，服務于生活.
重點：熟練掌握平行線的性質定理
難點：理解并靈活運用平行線的性質定理解決有關問題
情境導入
活動一：展示圖片，引入新課．
圖中為世界著名的意大利比薩斜塔，為8層圓柱形建筑，目前，它與地面所成的較小的角為∠1=85°，它與地面所成的較大的角∠3是多少度呢？
設計意圖：展示圖片讓學生感受到生活中數學無處不在，設置懸念，吸引學生興趣.
一起探究
活動二：回顧舊知．
平行線的判定方法是什么？
答：同位角相等，兩直線平行.
內錯角相等，兩直線平行.
同旁內角互補，兩直線平行.
思考：反過來，如果兩條直線平行，同位角、內錯角、同旁內角各有什么關系呢
設計意圖：利用平行線的性質與判定直線平行的條件的互逆關系自然引入新課，學生不覺得突兀，極易猜想出結論.
活動三：平行線的性質
如圖，已知直線a∥b，且被直線c所截.
(1)猜想同位角∠1與∠5的大小有什么關系，用量角器量一量，驗證你的猜想.
(2)圖中其他的同位角是否也相等呢 和同學互相交流.
師生活動：學生動手操作，用量角器進行測量發現∠1 =∠5.
設計意圖：根據學生自己動手測量、猜想、證明等過程，讓學生充分感受到“兩條平行線被第三條直線所截” 形成的角的關系.在合作交流的過程中，注重培養學生的邏輯思維能力及語言表達能力.
猜想：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.
追問：(3)請畫一條直線d，使它和a，b都相交.量一量其中任意一對同位角，看其大小有什么關系.
師生活動：學生在自己的練習本上用三角板作出兩條平行線被第三條直線所截，并用用量角器進行測量.
設計意圖：通過學生自己動手畫，讓學生明確平行線的性質探究中，以兩條直線平行為前提.每位同學所畫的平行線及截線的位置不同，為總結平行線的性質做好鋪墊.
結論：平行線性質定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.
簡稱為：兩直線平行，同位角相等.
思考：你能用幾何語言來描述這個定理嗎？
∵ a∥b（已知）
∴ ∠1=∠5（兩直線平行，同位角相等）
師生活動：學生用幾何符號語句描述兩直線平行，同位角相等的推導過程，不妥之處，其他同學補充，教師在學生得到兩直線平行，同位角相等后，梳理過程，它是由兩直線平行，進而得到同位角相等，充分滲透轉化的數學思想.
設計意圖：為了得到問題的結論，老師向學生設置了幾個小問題作為梯子，把問題簡單化，把問題已有知識化，同時這也是轉化思想的滲透，學生有了這些問題，得到結論就容易多了.
如圖，直線AB∥CD，AB，CD被直線EF所截，∠1=∠2嗎？
師生活動：學生交流后，小組進行展示，教師做補充.
∠1=∠2，理由如下：
∵ AB∥CD（已知）
∴∠2=∠3(兩直線平行，同位角相等)
又∵ ∠1=∠3(對頂角相等)
∴ ∠1=∠2(等量代換).
結論：平行線性質定理2：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.
簡稱為：兩直線平行，內錯角相等.
思考：你能用幾何語言來描述這個定理嗎？
∵ AB∥CD（已知）
∴ ∠1=∠2（兩直線平行，內錯角相等）
設計意圖：讓學生先做出合乎情理的猜想，然后討論，最后理論驗證進而得到問題的結論，這樣知識的形成合乎學生的認知，同時尊重學生已有的知識經驗，水到渠成的獲得知識.
思考：如圖，直線AB∥CD，AB，CD被直線EF所截，∠1與∠2互補嗎？
師生活動：學生交流后，小組進行展示，教師做補充.
∠1與∠2互補，理由如下：
∵ AB∥CD（已知）
∴∠1=∠3(兩直線平行，同位角相等)
又∵ ∠3+∠2=180°(平角的定義)
∴ ∠1+∠2=180°(等量代換)
所以，∠1與∠2互補.
結論：平行線性質定理3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.
簡稱為：兩直線平行，同旁內角互補.
思考：你能用幾何語言來描述這個定理嗎？
∵ AB∥CD（已知）
∴ ∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內角互補）
思考：還有其他的說理方法嗎？
∵ AB∥CD（已知）
∴∠1=∠4(兩直線平行，內錯角相等)
又∵ ∠4+∠2=180°(平角的定義)
∴ ∠1+∠2=180°(等量代換)
所以，∠1與∠2互補.
設計意圖：在前面的探究中，學生基本可以敘述出平行線的性質，在學生總結的基礎上糾正，并加以強調，加深學生對平行線的理解和記憶.
應用舉例
例1如圖，a∥b，c∥d，∠1=73°.求∠2和∠3的度數.
解：∵ a∥b (已知)，
∴ ∠1=∠2 (兩直線平行，內錯角相等).
∵ ∠1=73° (已知)，
∴ ∠2=73° (等量代換).
∵ c∥d (已知)，
∴ ∠2+∠3=180° (兩直線平行，同旁內角互補).
∴ ∠3=180°-∠2 (等式的性質).
∴ ∠3=180°-73°=107° (等量代換).
師生活動：先由學生獨立完成，后由教師和學生一起補充完善，．
設計意圖：設置例題的目的，一是鞏固對平行線性質定理的認識，二是引導學生體會基本的演繹說理的形式.
例2.小芳想知道作業紙上兩相交直線AB，CD 所夾銳角的大小，但發現其交點不在作業紙內，無法直接測量.小亮提供了如下間接的測量方案:
①如圖，畫一直線 GH，分別交 AB，CD 于點E，F;
②利用尺規作∠HEN=∠CFG;
③測量∠NEB 的度數即可.
小亮的方案可行嗎 為什么
解：小亮的方案可行.理由如下:
∵∠HEN=∠CFG（已知），
∴EN∥CD，（內錯角相等，兩直線平行）
∴∠NEB等于直線AB，CD所夾的銳角
測量∠NEB的大小即可，
所以，小亮的方案可行.
師生活動：學生獨立思考后嘗試解答.
設計意圖：熟練掌握平行線的三個性質定理，強化訓練，從具體的圖形中進行辨析，訓練學生圖形分割的能力，同時培養學生合作交流意識.
課堂練習
1.如圖，已知AB∥CD，∠1=110°，求∠2，∠3，∠4的度數.
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠2=∠1=110°，（兩直線平行，同位角相等）
又∵∠2+∠3=180°（平角的定義）
∴∠3=180°-∠2=70°
∴∠4=∠3=70°（對頂角相等）.
2.下面給出了命題 “如圖，如果∠B=∠C，那么∠A+∠1=180°”
的說理過程，請補充完整.
∵ ∠B=∠C ( )，
∴ ∥ ( ).
∴ ∠A+∠1=180° ( ).
解：∵ ∠B=∠C (已知)，
∴ AB ∥ CD ( 內錯角相等，兩直線平行 ).
∴ ∠A+∠1=180° (兩直線平行，同旁內角互補).
3.如圖，AB∥DC，AC∥BD，且∠1=60°，求∠2，∠3，∠4的度數.
解：
4.如圖，已知一工件ABCD，它的下半部已經殘缺，只知道AD∥BC，并且量得∠A=115°，∠D=99°.你能算出殘缺的下半部中∠B 和∠C 兩個角的度數嗎 請說明理由.
解：能算出.∠B=65°，∠C=81°
∵AD//BC，∠A=115°，∠D=99°，(已知)
∴∠B=180°-∠A=65°，∠C=180°-∠D=81°.(兩直線平行，同旁內角互補)
設計意圖：通過練習，學以致用，及時獲知學生對所學知識的掌握程度，調動全體學生學習數學的積極性，使每個學生都能有所收益、有所提高.
課堂總結
這節課你學到了哪些知識？說說你的體會.
設計意圖：通過學生對本節課所學內容的歸納、總結，把零碎的知識點和認知過程形成了一個完整的知識體系.
課堂檢測
1如圖，在四邊形ABCD中，∠C＋∠D＝180°，∠A－∠B＝40°，則∠B＝______.
解∵∠C+∠D=180°，（已知）
∴AD∥BC，（同旁內角互補，兩直線平行）
∴∠A+∠B=180°，（兩直線平行，同旁內角互補）
又∵∠A-∠B=40°，（已知）
∴40°+∠B+∠B=180°，（等量代換）
∴∠B=70°（等式的性質）
故答案為70°．
2.將一副三角板按如圖所示的方式疊放在一起.若AC∥DE，則∠BCE 為多少度
解：∵AC∥DE，
∴∠ACD =∠CDE =30°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DCB=∠ACB-∠ACD=15°
∵∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠DCE-∠DCB=75°，
所以∠BCE 為75度.
3.如圖，直線AD∥BC，AB∥DC，∠1=120°，求∠2的度數.
解：∵ AD //BC，∠1=120°，(已知)
∴∠ABC=∠1=120°(兩直線平行，同位角相等)
∵AB//DC(已知)，
∴∠ABC十∠2=180(兩直線平行，同旁內角互補).
∴∠2=180°-∠ABC=60°(等式性質).
4.如圖，點B，C，D 在同一條直線上，∠A=∠B.如果CE∥AB，那么∠1=∠2.請將下列說理過程補充完整.
∵ CE∥AB (已知)，
∴ ∠1=∠ ( )，
∠2=∠ ( ).
∵ ∠A=∠B (已知)，
∴ ∠1=∠2 ( ).
解：∵ CE∥AB (已知)，
∴ ∠1=∠ B (兩直線平行，同位角相等)，
∠2=∠ A (兩直線平行，內錯角相等).
∵ ∠A=∠B (已知)，
∴ ∠1=∠2 (等量代換).
實踐作業：你能求出“情境”中的比薩斜塔與地面所成的較大的角∠3是多少度嗎？動手試一試.
初中數學的關鍵是促進學生全面持續和諧的發展，它不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型，并進行解釋與應用的過程，進而學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度和價值觀等方面也得到進步和發展，遵循這些原理的基礎上，再明確本節課的重點與難點.在課程設計的時候，我依據以上原則，根據知識的重難點，留給學生充分的時間對平行線的性質進行探索，并讓學生自己動手畫三線八角，通過測量，驗證兩直線平行，同位角相等.再在此基礎上，通過合情推理來得到兩直線平行內錯角相等，兩直線平行同旁內角互補的結論.而例題的訓練，一是鞏固對平行線性質定理的認識，二是引導學生體會基本的演繹說理的形式.整體來說，我認為教學環節基本合理，重難點突出，體現了以學生為主體，以學生的發展為本的現代教學觀念.

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