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第九章 因式分解
9.3公式法
第1課時(shí)
因式分解是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是代數(shù)式恒等變形的重要手段之一.它貫穿、滲透在各種代數(shù)式問題之中，為以后學(xué)習(xí)分式運(yùn)算、解方程和方程組及代數(shù)式和三角函數(shù)式的恒等變形提供必要的基礎(chǔ).本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，讓學(xué)生利用逆向思維而得到平方差公式因式分解的方法，而運(yùn)用平方差公式分解因式又是因式分解中的一個(gè)重要內(nèi)容.它對(duì)學(xué)習(xí)完全平方公式因式分解和后面即將要學(xué)習(xí)的分式化簡(jiǎn)和計(jì)算，對(duì)九年級(jí)學(xué)習(xí)一元二次方程的解法和二次函數(shù)等都有著重要的影響，所以學(xué)好本節(jié)課對(duì)后面的學(xué)習(xí)至關(guān)重.要.
學(xué)生已掌握整式運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)，在前一節(jié)課中已經(jīng)學(xué)習(xí)了提公因式法分解因式，初步體會(huì)到了因式分解與乘法運(yùn)算的互逆關(guān)系，通過對(duì)乘法公式的逆向變形，容易得出，但準(zhǔn)確理解和掌握公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行因式分解對(duì)學(xué)生來說還有很大的難度，學(xué)生的觀察、歸納、類比、概括等能力，有條理的思考及語言表達(dá)能力還有待加強(qiáng).
1.理解平方差公式的特點(diǎn)，掌握使用平方差公式進(jìn)行因式分解的方法，并能熟練使用平方差公式進(jìn)行因式分解
2.學(xué)會(huì)利用平方差公式分解因式的一般思路
3.通過知識(shí)的遷移經(jīng)歷運(yùn)用平方差公式分解因式的過程，培養(yǎng)探究知識(shí)、合作學(xué)習(xí)的能力，深化逆向思維的能力和數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，滲透整體思想和轉(zhuǎn)化思想
4.在自主合作學(xué)習(xí)的過程中體驗(yàn)成功的喜悅，感悟數(shù)學(xué)美，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的合理性和嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成積極思考，獨(dú)立思考的好習(xí)慣
重點(diǎn)：理解平方差公式的特點(diǎn)，掌握使用平方差公式進(jìn)行因式分解的方法，并能熟練使用平方差公式進(jìn)行因式分解
難點(diǎn)：利用平方差公式分解因式的一般思路和分解的徹底性
情境導(dǎo)入
活動(dòng)一：復(fù)習(xí)回顧，引入新課．
你對(duì)平方差公式認(rèn)識(shí)有多深？
(首+尾)(首-尾)=首2-尾2
設(shè)計(jì)意圖：承前啟后，為本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容做出鋪墊.
一起探究
活動(dòng)二：動(dòng)手操作，探索概念．
填空：
（1）(x+5)(x 5)= ；
（2）(3x+y)(3x y)= ；
（3）(3m+2n)(3m 2n)= ．
嘗試將它們的結(jié)果分別寫成兩個(gè)因式的乘積：
（1）= ；
（2）= ；
（3）= ．
思考：它們的結(jié)果有什么共同特征？
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在活動(dòng)過程中感受因式分解與整式乘法的關(guān)系-相反方向的變形.
歸納總結(jié)：
像上面那樣，把乘法公式逆用，就可以把某些形式的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，這種因式分解的方法叫做公式法
做一做：下列多項(xiàng)式能否用平方差公式來分解因式，為什么？
（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） √
（5） √
（6） √
★符合平方差的形式的多項(xiàng)式才能用平方差公式進(jìn)行因式分解，即能寫成：( )2-( )2的形式.
口訣：兩數(shù)是平方，減號(hào)在中央．
師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立完成，并書寫答案，對(duì)不符合條件的問題相互交流、進(jìn)行討論，并初步總結(jié)公式的結(jié)構(gòu)特征.
設(shè)計(jì)意圖:通過做一做，讓學(xué)生進(jìn)一步理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而準(zhǔn)確地運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解.
應(yīng)用舉例
例1 把下列各式分解因式:
(1); (2).
解：(1)= .
(2)=.
方法總結(jié)：
平方差公式中的可以表示數(shù)、單項(xiàng)式、還可以是多項(xiàng)式.
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后獨(dú)立完成例題，2名學(xué)生板演，由學(xué)生判斷板演是否正確．教師統(tǒng)計(jì)做題正確的人數(shù)，同時(shí)給予肯定或鼓勵(lì)，小組加分．
設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)公式本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，體會(huì)整體的數(shù)學(xué)思想并用換元的方法將問題轉(zhuǎn)化為公式的基本形式加以解決.
例2. 把下列各式分解因式:
(1); (2)
解：(1)
師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考再合作交流之后作答.
方法總結(jié)：
當(dāng)多項(xiàng)式有公因式時(shí),應(yīng)先提出公因式,再看能否利用平方差公式進(jìn)行因式分解.
設(shè)計(jì)意圖：借助此題讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)因式分解的方法，并會(huì)將提公因式法與公式法結(jié)合運(yùn)用.
例3.某公園準(zhǔn)備在一塊邊長為a m的正方形草地的四周修建一條寬為1 m的人行路，求人行路的面積.(用含a的代數(shù)式表示)
解:
=
=2(2a+2)
=4(a+1).
答：人行路的面積為4(a+1).
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考,教師引導(dǎo)學(xué)生利用公式法進(jìn)行因式分解.
方法總結(jié)：
用平方差公式因式分解的步驟：
①提：有公因式先提公因式；
②套：正確套用公式；
③查：查分解是否徹底，左右兩邊是否相等.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究、猜想和驗(yàn)證，直至解決問題的過程．歸納出因式分解的步驟 “一提二套三查”的方法，再一次加深對(duì)多種方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的綜合運(yùn)用，以及分解要徹底地思想．
課堂練習(xí)
1.下面分解因式的結(jié)果是否正確 如果不正確,請(qǐng)指出錯(cuò)在哪里并改正.
(1); (2).
解：(1)不正確.應(yīng)為：;
(2)不正確.應(yīng)為：.
2.運(yùn)用公式法分解因式:
(1)25; (2); (3); (4).
解：(1);
(2);
(3);
(4).
3.把下列各式分解因式:
(1); (2); (3); (4).
解：(1);
(2);
(3);
(4).
4.分解因式:
解：
注意：因式分解必須進(jìn)行到每個(gè)因式都不能分解為止.
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，學(xué)以致用，及時(shí)獲知學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握程度，調(diào)動(dòng)全體學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使每個(gè)學(xué)生都能有所收益、有所提高.
課堂總結(jié)
這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？說說你的體會(huì).
設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的歸納、總結(jié)，把零碎的知識(shí)點(diǎn)和認(rèn)知過程形成了一個(gè)完整的知識(shí)體系.
課堂檢測(cè)
1.下列各式可以用平方差公式分解因式嗎 如果可以,請(qǐng)分解;如果不可以,請(qǐng)說明理由.
(1); (2); (3); (4).
解：(1)不可以分解.不能寫成的形式;
(2)可以分解.= =.
(3)不可以分解.不能寫成的形式.
(4)可以分解. 81= .
2.把下列各式分解因式:
(1); (2); (3); (4)
解:(1).
(2).
(3).
(4).
3.把下列各式分解因式:
(1); (2);
(3); (4)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
4.計(jì)算: .
解：
5.如圖,在半徑為R的圓形鋼板上沖出半徑為r的四個(gè)小圓孔.若R=8.6cm,r=0.7cm,請(qǐng)利用因式分解的方法計(jì)算出剩余鋼板的面積.(取3.14)
解：
當(dāng)R=8.6cm,r=0.7cm時(shí)
原式=3.14×(8.6+2×0.7)×(8.6 2×0.7)
=3.14×10×7.2
=226.08（）
答：剩余鋼板的面積為226.08c.
平方差公式這一內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)再創(chuàng)造活動(dòng)的結(jié)果，它在整式乘法，因式分解，分式運(yùn)算及其它代數(shù)式的變形中起著十分重要的作用，因此，它是構(gòu)建學(xué)生有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)體系并形成相應(yīng)數(shù)學(xué)技能的重要內(nèi)容，它讓學(xué)生感悟換元思想，感受數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造性的好教材.
本節(jié)課我的設(shè)計(jì)理念是：恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)情境、激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，通過獨(dú)立思考，不斷發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析并創(chuàng)造性地解決問題，教師為學(xué)生構(gòu)建開放的學(xué)習(xí)環(huán)境引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)探索、研究的過程，通過學(xué)生的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造活動(dòng)，體驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”的過程，使學(xué)生在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的同時(shí)，真正經(jīng)歷知識(shí)的“生成過程”.
本節(jié)課上下來我整體感覺完成了我課前設(shè)定的目標(biāo)，學(xué)生能夠很快地掌握利用平方差公式來進(jìn)行因式分解，而且對(duì)一般形式的能使用平方差公式的多項(xiàng)式能夠進(jìn)行因式分解.學(xué)生在課堂上和老師的互動(dòng)也比較好，自我感覺這節(jié)課上得比較成功.總的來說，我完成了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).成功之處主要體現(xiàn)在引入輕松、恰當(dāng)，思路清晰，教學(xué)層次分明，及時(shí)總結(jié)到位，學(xué)生活動(dòng)恰到好處，問題設(shè)置能引起學(xué)生思考，切實(shí)起到了教師引導(dǎo)作用的發(fā)揮.不足之處主要有以下幾個(gè)方面：引入時(shí)例子的數(shù)量稍多，占用了時(shí)間，講解過程中過于匆忙，沒有大量化歸到公式形式變形，導(dǎo)致部分學(xué)生感到學(xué)習(xí)的困難，另外，對(duì)于學(xué)生的活動(dòng)放手不夠，如果能讓學(xué)生自己出題、自己講題可能效果會(huì)更好.

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