資源簡介

第九章 因式分解
9.2提公因式法
這節課是冀教版數學七年級下冊第九章第二節《提公因式法》.學習分解因式，一是為解高次方程作準備，二是學習對于代數式變形的能力，從中體會分解的思想、逆向思考的作用，它不僅是現階段學生學習的重點內容，也是學生后續學習的重要基礎.本章教材是在學生學習了整式運算的基礎上提出來的，事實上，它是整式乘法的逆向運用，與整式乘法運算有密切的聯系．分解因式的變形不僅體現了一種“化歸”的思想，也是解決后續——分式化簡、解方程、恒等變形等學習的基礎，為數學交流提供了有效的途徑．分解因式這一章在整個教材中起到了承上啟下的作用．
學生的技能基礎：在上一節課的基礎上，學生基本上了解了分解因式與整式乘法運算之間的互逆關系，能通過觀察、類比等手段，尋求因式分解與因數分解之間的關系，這為今天的深入學習提供了必要的基石.
學生活動經驗基礎：學生有了上一節課的活動基礎，由于本節課采用的活動方法與上節課很相似，依然是觀察、對比等，學生對于這些活動方法較熟悉，有較好的活動經驗.
1.經歷探索多項式各項公因式的過程，并在具體問題中能確定多項式的公因式；
2.會用提公因式法把多項式分解因式；
3.能夠正確找出多項式中各項的公因式，并注意各項變形的符號問題；
4.在探索過程中培養學生解決問題的主動性，加強學生的直覺思維并滲透化歸的思想；在數學活動中培養學生的合作意識和創新精神，體會數學知識間的整體聯系．
重點：會用提公因式法分解因式；
難點：正確找出多項式中各項的公因式，并注意各項變形的符號問題．
情境導入
活動一：展示圖片，引入新課．
小明求得圓環公路的面積為，所以記下面積為，你知道他為什么這樣記錄嗎？
一起來探究吧！
設計意圖：通過實際問題引入，增強趣味性，方便學生理解也更容易接受新的知識，培養學生觀察和概括的能力.
一起探究
活動二：探索公因式及提公因式的概念．
思考1：
多項式有哪幾項？
答：ma，mb，mc
每一項的因式都分別有哪些？
答：依次為m， a和m， b和m， c
這些項中有沒有相同的因式？若有，是哪個？
答：有，是m.
思考2：
在多項式的兩項中，有沒有相同的因式 若有，是哪些
答：有，是a，b，ab.
實際上：
多項式 項 相同的因式
ma，mb，mc m
a，b，ab
歸納總結：
一般地，多項式的各項都含有的因式，叫作這個多項式各項的公因式，簡稱多項式的公因式.
例如，ma+mb+mc的公因式就是m.
師生活動：教師提出問題后主要由學生總結，由于有了“思考”環節的鋪墊，學生能很快用類比的方法找到這些式子中相同的因式，知道公因式的概念.
逆用乘法對加法的分配律，可以把公因式提到括號外邊作為積的一個因式，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，例如：
，
.
這種將多項式分解因式的方法，叫做提公因式法.
做一做：找出的公因式.
師生活動：學生認真思考，教師適當點撥.學生知道每一個多項式都由兩部分組成：系數部分與字母部分，因此，有必要將系數部分與字母部分分開討論.在教師的引導下，學生能分別找出公因式的系數部分與字母部分，最后找到這個多項式的公因式.
歸納總結：
找公因式的方法：
定系數：公因式的系數應取各項系數的最大公因數
定字母：公因式中的字母取各項相同的字母
定指數：相同字母的指數取其次數最低的
設計意圖：通過本環節中尋找多項式中各項的公因式，引導他們歸納出確定多項式各項公因式的方法，培養學生的初步歸納能力，順利的歸納出確定多項式各項公因式的方法，培養學生的初步歸納能力.
做一做：1.寫出下列多項式的公因式：
(1)； (2)；(3)； (4).
解：(1)中的公因式為3x ；
(2)中的公因式為a ；
(3)中的公因式為ab ；
(4)中的公因式為2xy.
2.先指出下列多項式的公因式，再進行因式分解：
(1)； (2)3； (3)； (4)4
解：(1)中的公因式為x ；
.
(2)中的公因式為3a ；
=
=.
(3)中的公因式為2ax ；
.
(4)中的公因式為4 ；
=
=
師生活動：由于有了因數分解的基礎以及對提公因式法的正確理解和運用，學生能較快地從數的分解過渡到字母的因式分解.學生在剛開始可能還是不能夠按照正確的步驟去找到一個多項式的公因式，教師應鼓勵學生多說明公因式是怎樣找到的. ）
設計意圖：讓學生嘗試著使用因式分解的意義以及提公因式法的定義進行簡單的多項式的分解，為過渡到較為復雜的多項式的分解提供必要的準備.
應用舉例
例1 把下列多項式分解因式：
(1)； (2).
解：(1).
(2)
師生活動：學生認真思考后嘗試解答，教師進行強調：(1)最后一項提出公因式 后，還有因式1.(2)公因式的系數是負數時，提公因式后各項要變號.
口訣：找準公因式，一次要提凈，全家都搬走，留1把家守，提負要變號.
方法總結：
找準公因式要“五看”：
一看系數：若各項系數都是整數，應提取各項系數的最大公約數；
二看字母：公因式的字母是各項相同的字母；
三看字母的次數：各相同字母的指數取次數最低的；
四看整體：如果多項式中含有相同的多項式，應將其看作整體，不要拆開；
五看首項符號：若多項式中首項含有負號，則公因式符號為負．
例2. 把下列多項式分解因式：
(1)； (2)
解：(1)
=
=.
(2)
=
=.
師生活動：學生思考后獨立完成例題，2名學生板演，由學生判斷板演是否正確．教師統計做題正確的人數，同時給予肯定或鼓勵，小組加分．并提醒學生：(1)把b+c看成一個整體“提”出來；(2) 調整式子順序要注意是否變號；其次，把a-b看成一個整體“提”出來．
方法總結：用提公因式法分解因式的步驟：
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式；
第三步，將多項式化成兩個因式乘積的形式.
注意：1.公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.
2.整體思想是數學中一種重要而且常用的思想方法.
設計意圖：通過例2，讓學生加深對提公因式法的理解，正確掌握提公因式法進行因式分解的運用方法.
例3 用簡便方法計算：
(1)； (2)2023×2026-2023×2024+8×2023.
解：(1) -2023×23
=2023×(2023-23)
=2023×2000.
=4046000
(2) 2023×2026-2023×2024+8×2023
=2023×(2026-2024+8)
=2023×10.
=20230
師生活動：學生思考后獨立完成例題，再次提醒學生注意：公因式既可以是一個單項式，也可以是一個多項式的形式，還可以是數字.
設計意圖：通過此題，讓學生進一步體會提公因式法的含義，并會運用提公因式法解決問題.
課堂練習
1.把下列各式分解因式：
(1)； (2)； (3)； (4).
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4).
2.把下列多項式的公因式和分解因式的結果填入表格中：
多項式 公因式 分解因式的結果
解：
多項式 公因式 分解因式的結果
3.把下列各式分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)
解：(1)；
(2)
=
(3)；
(4)=
=
4.當x=37時，請用簡便方法求的值.
解：
當x=37時，原式=37×(37-36)=37×1=37.
設計意圖：通過練習，學以致用，及時獲知學生對所學知識的掌握程度，調動全體學生學習數學的積極性，使每個學生都能有所收益、有所提高.
課堂總結
這節課你學到了哪些知識？說說你的體會.
設計意圖：通過學生對本節課所學內容的歸納、總結，把零碎的知識點和認知過程形成了一個完整的知識體系.
課堂檢測
1.把下列各式分解因式：
(1)； (2)； (3)； (4).
解：(1)；
(2).
(3).
(4)
2.把下列各式分解因式：
(1)； (2)7； (3)； (4).
解：(1).
(2)).
(3).
(4)).
3.把下列各式分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6).
解：(1)=.
(2)
=.
(3)
=.
(4)
=).
(5)).
(6)
=).
4.a是整數，請說明一定能被2整除的理由.
解：因為且a是整數，
所以，為兩個連續整數的乘積.
因為連續的兩個整數中必有一個為偶數，
所以)為偶數.
故一定能被2整除.
在引入因式分解這一個概念時，是通過復習整式乘法接著讓學生逆向得到的.因式分解和整式乘法的區別則通過把等號兩邊的式子互相轉換位置而直觀得出的.在學習提取公因式時首先讓學生通過小組討論得到公因式的結構組成，并且引導學生得出提取公因式這一因式分解的方法，其實就是將被分解的多項式除以公因式得到余下的因式的計算的過程.此外，是充分讓學生自主探索，合作學習，而實際上學生的學習興趣還是調動起來了，接著通過例題講解，最終讓學生自主完成練習題.上完本課，教學目標能夠完成，教學重難點也能夠逐個突破.

展開更多......

收起↑