資源簡介

第九章 因式分解
9.1因式分解
本節(jié)課是在學習了第八章《整式的乘法》基礎上，對因式分解進行的學習探究，因式分解是整式乘法的逆向運算，是代數(shù)式的一種重要恒等變形，它與整式乘法運算有著密切的聯(lián)系.通過本節(jié)課的學習，不僅使學生掌握因式分解的概念和原理，而且又為繼續(xù)學習因式分解做好了充分的準備，同時學習因式分解對學生的逆向思維能力的培養(yǎng)起到一定的作用.因此本節(jié)課起到承上啟下的作用，為后面學習因式分解的方法和八年級分式的學習作鋪墊．
學生已經具備整式乘法的相關知識，積累了一定的經驗本節(jié)課是在原有的認知基礎上的逆向思維，對于學生具有一定的挑戰(zhàn)性.七年級學生對事物充滿了好奇心，已經具備探索和合作的習慣，但觀察和歸納能力差，教師通過問題和活動不斷制造思維的興奮點，充分調動學生的積極性，達到事半功倍的效果.
1.了解因式分解意義，理解因式分解的概念，以及它與整式乘法的關系；
2.能判斷因式分解的正誤，會進行簡單的因式分解；
3.經歷從因數(shù)分解到因式分解的類比過程，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力；
4.讓學生體會類比、數(shù)形結合的數(shù)學思想．
重點：理解因式分解的意義，準確辨析整式乘法與因式分解這兩個變形
難點：對因式分解與整式乘法關系的理解
情境導入
活動一：展示圖片，引入新課．
觀察下面拼圖過程，寫出相應的關系式
師生活動：教師通過課件進行動畫演示，學生積極思考.
設計意圖：通過實際問題引入，增強趣味性，方便學生理解也更容易接受新的知識，培養(yǎng)學生觀察和概括的能力.
一起探究
活動二：探索因式分解的定義．
觀察下面計算－2011×2010和的過程，哪種更簡便
小明的方法：
－2011×2010
=4044121－4042110
=2011.
=1369－1296
=73.
小亮的方法：
－2011×2010
=2011×(2011－2010)
=2011.
=(37+36)×(37－36)
=73.
思考：
(1)小明用的什么方法
(2)小亮的第一個算式用了什么方法
(3)小亮的第二個算式用了什么方法
答：
(1)根據(jù)乘方的意義直接進行計算.
(2)乘法對加法的分配律的逆用.
(3)平方差公式.
設計意圖：解決問題后進行觀察、分析共同屬性：問題解決的關鍵是把一個加減運算關系的算式化成了幾個相乘關系的算式，從而體會化為“幾個相乘關系的算式”的意義.
做一做：觀察下面三個算式:
.
思考：上面三個算式能反過來，寫成整式乘積的形式嗎
答：能.
歸納總結：
因式分解：
像這樣，把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，叫作多項式的因式分解，也叫作將多項式分解因式.其中每個整式都叫作這個多項式的因式.
做一做：
計算下列式子.
(1)　　　　　　　　；
(2)　　　　　　　　；
(3)=　　　　　　　　；
根據(jù)上面的算式填空.
(1)　　　　　　　　；
(2)　　　　　　　　；
(3)　　　　　　　　.
思考：因式分解與整式的乘法有什么關系
師生活動：學生積極思考，合作交流，教師適當引導，得到因式分解的定義，并強調因式分解與整式乘法的關系.
設計意圖：讓學生抓住概念的本質屬性——凡是“分解因式”都是把整式從左邊和差的關系變形為右邊“積”的形式，凡不是“分解因式”的式子都不具有上述屬性.
應用舉例
例1 下列對多項式的變形，哪些是因式分解 是因式分解的，請指出它的各因式.
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)是因式分解，它的各因式為x和；
(2)不是因式分解；
(3)是因式分解，它的各因式為和；
(4)是因式分解，它的各因式為和.
方法總結：
判定一個變形是因式分解的條件：
(1)左邊是多項式．
(2)右邊是積的形式.
(3)右邊的因式全是整式.
師生活動：學生思考后獨立完成例題．
設計意圖：通過例1，讓學生加深對因式分解定義的理解.
例2. 請將下列等式左邊多項式的另一個因式填在括號里:
(1)2x+4=2( )；
(2)x xy=x( )；
(3)( )；
(4)( ).
解:(1)2x+4=2( x+2 )；
(2)x xy=x(1 y )；
(3)(4x 1)；
(4)(a+3).
師生活動：學生先獨立思考后，小組交流答案.
設計意圖：借助此題讓學生進一步體會因式分解的含義，并初步領會因式分解的方法，為后續(xù)的學習做鋪墊.
例3.若能分解成兩個因式的乘積且有一個因式為，設另一個因式為，其中為常數(shù)，請你求出的值.
解：，
由題意可得，
所以， ，解得，
所以的值分別為.
師生活動：學生先獨立思考后，小組交流答案.
設計意圖：例題3與前兩道題的思考方式不同，主要考查學生的逆向思維，培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力.
課堂練習
1.下列各式中，從等號左邊到右邊的變形，哪些是因式分解
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)(2)(3)是因式分解，符合因式分解的定義；
(4)不是因式分解.
2.下列各式的因式分解正確嗎 如果不正確，請改正過來.
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)正確；
(2)不正確，應為：；
(3)正確；
(4)不正確，應為：.
3.請將下列等式左邊多項式的另一個因式填在括號里:
(1)2R 2r=2( )；
(2)3mn 6nx=( )(m-2x)；
(3)3ax+3ay=3a( )；
(4)10ax 15xy+5x=5x( ).
解：(1)2R 2r=2(R r)；
(2)3mn 6nx=(3n)(m-2x)；
(3)3ax+3ay=3a(x+y )；
(4)10ax 15xy+5x=5x(2a 3y+1).
4.二次三項式可分解為兩個因式的積，且其中一個因式為，求另一個因式及b的值.
解：設另一個因式為，得
，
所以， ，解得，
所以，另一個因式為，b的值為3.
設計意圖：通過練習，學以致用，及時獲知學生對所學知識的掌握程度，調動全體學生學習數(shù)學的積極性，使每個學生都能有所收益、有所提高.
課堂總結
這節(jié)課你學到了哪些知識？說說你的體會.
設計意圖：通過學生對本節(jié)課所學內容的歸納、總結，把零碎的知識點和認知過程形成了一個完整的知識體系.
課堂檢測
1.下列各式中，從等號左邊到右邊的變形，哪些是因式分解
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(2)(3)是因式分解，符合因式分解的定義；
(1)(4)不是因式分解，等式右側不是整式乘積的形式.
2.下列因式分解是否正確 為什么
(1)； (2).
解:(1)不正確，因為等式的右邊不是幾個整式的乘積的形式.
(2)正確，符合因式分解的定義.
3.因為，所以可因式分解為_______．
解：因為，所以.
所以可因式分解為.
4.若是多項式因式分解后的兩個因式，求的值.
解：
本課要研究的是因式分解的概念及意義，因式分解是在學生已經學過因數(shù)分解的概念及整式的乘法運算的基礎上進行的，因式分解是進行代數(shù)式恒等變形的重要手腕之一，它不僅在一些簡便運算中有直接的應用，也為以后學習分式的約分與通分、解一元二次方程、解一元二次不等式及三角函數(shù)式的恒等變形提供了必要的基礎，因此學好因式分解關于代數(shù)知識的后續(xù)學習，具有相當重要的意義.本節(jié)內容的重點是因式分解的意義，由整式乘法尋求因式分解的方式是一種逆向思維進程，而逆向思維對初一年級學生還比較生疏，學習起來必然有難度，再者本節(jié)還沒涉及因式分解的具體方式，因此明白因式分解與整式乘法的關系，并運用它們之間的關系尋求因式分解的方式是教學中的難點.

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