資源簡介

第八章 整式的乘法
8.5乘法公式
第2課時
完全平方公式是在學生已有的字母表示數、有理數運算以及平方差公式的基礎上展開的．完全平方公式既是對前面所學知識的深化和發展，也是以后學習分式和根式運算、方程以及函數等知識的基礎．
學生在學習了多項式的乘法以后學習完全平方公式，這是教材編排遵循從一般到特殊的認知規律的典型范例. 完全平方公式的結構特點及公式中字母的含義對學生來講非常抽象，是本節課的學習難點．本教學設計以感知特征，建構模型入手，由淺入深，由表象到本質，數形結合，層層剖析公式特征，建構公式模型，加深學生對公式的理解，增強學生應用公式解決問題的能力，從而達到較好的授課效果，也為今后學習其他乘法公式做好相關準備．
1.理解并掌握完全平方公式的推理過程．
2.會用完全平方公式進行運算.
3.在運用公式解決實際問題的過程中，會運用化歸思想，培養學生的數學建模能力與類比運用能力.
重點：理解并掌握完全平方公式的推導過程、結構特點、語言表達、幾何解釋
難點：對公式中a，b的廣泛含義的理解及正確運用
情境導入
活動一：展示圖片，引入新課．
一個老人非常喜歡孩子，每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們.來一個孩子老人就給孩子一塊糖；來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊糖...
(1)第一天，來了a個男孩子；老人一共給了塊糖；
(2)第二天，來了b個女孩子；老人一共給了塊糖；
(3)第三天，這些孩子都來了；老人一共給了塊糖.
老人前兩天加起來給的糖果多，還是第三天給的糖果多？
我們一起來探究吧！
設計意圖：通過實際問題引入，增強趣味性，方便學生理解也更容易接受新的知識，培養學生觀察和概括的能力.
一起探究
活動二：復習回顧．
如何計算多項式乘多項式？
設計意圖：回顧舊知，通過復習多項式與多項式的乘法運算方法，為后邊完全平方公式的學習做好鋪墊.
活動三：探索完全平方公式
做一做：利用多項式與多項式相乘，計算.
師生活動：學生認真思考，舉手作答.
做一做：請仿照上面的方法，計算
師生活動：學生板演，其他人獨立完成計算．教師在學生正確解答之后繼續提出問題：通過計算，你能發現什么規律？
學生認真思考，合作交流，嘗試用自己的語言敘述發現.
等號前：都是兩個數的和或者差的平方
等號后：結果一共有3項；第一項為，最后一項為，中間是這兩個數乘積的兩倍.
設計意圖：學生利用已有的知識，通過計算，發現從特殊到一般的規律，鼓勵學生大膽發表自己的見解.
師生活動：教師提出問題：你能試著總結你所發現的規律嗎？學生認真思考，合作交流得出：
完全平方公式：
兩數和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)它們的積的2倍.
用字母表示為：；
.
設計意圖：讓學生經歷概念的形成過程，培養自主學習、合作交流的能力．通過追加思考，讓學生更深入的理解，培養學生嚴謹的學習態度.
活動四：完全平方公式的幾何解釋
思考：你能從幾何的角度對完全平方公式進行解釋嗎？
師生活動：教師利用課件的動畫進行演示，幫助學生理解和的完全平方公式.
追問：你能用類似的方法對差的完全平方公式進行解釋嗎？
我們來計算圖中正方形①的面積
利用邊長直接計算得：
利用大正方形減去其他3個矩形得：
故
差的完全平方公式：
師生活動：學生積極思考，先獨立完成再小組討論，匯報結果，教師點評
設計意圖:由學生自己在計算操作的基礎上，在教師的引導下，學生通過面積的計算，進一步驗證上面的規律，使學生真正經歷這一過程，以促進學生的觀察能力和歸納概括能力的發展.
做一做：按要求填寫下面的表格:
算式 與完全平方公式 中a對應的項 與完全平方公式 中b對應的項 利用公式得出 計算結果
設計意圖:通過簡單的運算，強調完全平方公式的形式，在認清公式的結構特征的基礎上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學生在公式的運用中能得心應手，起到事半功倍的效果.
結構特征:
左邊是兩數和（差）的平方；
右邊是兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.
口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央，加減看前方!
應用舉例
例1 計算：
(1)； (2) ； (3) .
分析：在(1)中，可以把x看成a，3y看成b，即
(1).
.
解：(1)
(2)
(3).
方法總結：
完全平方公式的運用：
先明確用哪個完全平方公式，再把計算的式子與完全平方公式對照， 明確哪個是a ， 哪個是b.
師生活動：學生思考后獨立完成例題，3名學生板演，由學生判斷板演是否正確．教師統計做題正確的人數，同時給予肯定或鼓勵，小組加分．
設計意圖：通過例1，讓學生加深對完全平方公式的理解，正確掌握完全平方公式的運用方法.
例2. 運用完全平方公式簡便計算：
(1) ； (2) .
解:(1)
＝
＝
＝10000+400+4
＝10404
(2)
＝
＝
＝10000 200+1
＝9801
方法總結：平方差公式中的a與b可以是單項式，也可以是多項式，還可以是具體的數，運用公式做題時關鍵分清哪個數相當于公式中的a，哪個數相當于公式中的b，不能混淆.
師生活動：學生先獨立思考再合作交流之后作答.
設計意圖：借助此題讓學生進一步體會完全平方公式中a，b的含義，它們可以是數，也可以是整式.
思考：你知道“情境”中的老人前兩天加起來給的糖果多，還是第三天給的糖果多了嗎？
師生活動：學生獨立思考后舉手作答.
解：第三天給的糖果多.理由如下：
.
設計意圖：與情境中的問題呼應，讓學生體會成功的喜悅感，并學會利用完全平方公式解決實際問題.
例3.在計算15×15，25×25，…，95×95時，小明是這樣做的:
15×15=1×2×100+25=225，
25×25=2×3×100+25=625，
35×35=3×4×100+25=1225，
……
你認為小明的做法正確嗎 為什么
解：小明的做法正確，理由如下：
用字母a代表一個正整數，則有如下規律：
左邊＝=右邊.
故 .
所以小明的做法正確.
設計意圖：通過例3讓學生進一步體會完全平方公式的運用，并會利用完全平方公式解決一些問題，同時培養學生的團隊合作意識以及解決問題的能力.
課堂練習
1.用完全平方公式計算:
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)
2.用完全平方公式計算:
(1)； (2)
解：(1)
＝
＝
＝40000+400+1
＝40401
(2)
＝
＝
＝810000 3600+4
＝806404
3.下列各式的計算是否正確 如果不正確，請改正過來.
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)不正確．應為：．
(2)不正確．應為：．
(3)不正確．應為：．
(4)不正確．應為：
4.
解：設這個正方形的邊長為xm，則
　　　　　6x=30
　　　　　　x=5
答：這個正方形的邊長為5m.
設計意圖：通過練習，學以致用，及時獲知學生對所學知識的掌握程度，調動全體學生學習數學的積極性，使每個學生都能有所收益、有所提高.
課堂總結
這節課你學到了哪些知識？說說你的體會.
設計意圖：通過學生對本節課所學內容的歸納、總結，把零碎的知識點和認知過程形成了一個完整的知識體系.
課堂檢測
1.計算：
(1) . (2) . (3) .
解：(1).
(2).
(3).
2.計算:
(1)； (2) ；(3).
解:(1)
(2)
(3)
3.三個圓的位置關系如圖所示，m，n分別是兩個較小的圓的直徑，m+n是最大的圓的直徑，求圖中陰影部分的面積.
解：
=
=
=.
4.觀察下列算式:
1×2×3×4+1=5 ，
2×3×4×5+1=11 ，
3×4×5×6+1=19 ，

說明當n為自然數時，的正確性.
解：
當n為自然數時，
這一課主要研究完全平方公式的特征及應用，教學關鍵是引導學生正確理解完全平方公式的推導過程、幾何背景，并能準確應用完全平方公式解決相關問題．本課的知識要點是經歷探索完全平方公式的過程，了解公式的幾何背景，會應用公式進行簡單的計算，教學已基本達到了預期目標，能突出重點，兼顧難點．學生體會了數形結合及轉化的數學思想，并知道猜想的結論必須要加以驗證；授課思維流暢，知識發生發展過渡自然，學生容易得到一些結論但在老師的引導下又使問題的探討得以不斷深入，學生思考積極、氣氛活躍，教學效果較好．采用以小組自主探究的學習方式，同時各小組展開激烈的比賽，促使學生的情感和興趣始終保持最佳狀態，進而提高課堂教學的有效性．

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