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第八章 整式的乘法
8.5乘法公式
第1課時(shí)
平方差公式這一內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整式乘法的基礎(chǔ)上得到的，它在整式乘法、因式分解、分式運(yùn)算及其它代數(shù)式的變形中起著十分重要的作用．可以說(shuō)，它是構(gòu)建學(xué)生代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生化歸、換元、整體的數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造性，是構(gòu)建學(xué)生有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)體系并形成相應(yīng)技能的重要內(nèi)容．
學(xué)生已經(jīng)掌握了整式的乘法，但在進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，常常會(huì)弄錯(cuò)某些項(xiàng)的符號(hào)及漏項(xiàng)等問(wèn)題，學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于，對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征的理解.本節(jié)課關(guān)注學(xué)生對(duì)公式的探索過(guò)程，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，讓學(xué)生經(jīng)歷“引入—形式—理解—應(yīng)用—深化”的過(guò)程，并有條理地表達(dá)自己的思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和符號(hào)感，真正理解公式的來(lái)源、本質(zhì)和應(yīng)用．
1.理解平方差公式的意義，能利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則推導(dǎo)平方差公式
2.能熟練運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，并能在解題過(guò)程中增強(qiáng)符號(hào)感和提高推理能力.
3.能利用平方差公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力.
4.讓學(xué)生在合作探究中推導(dǎo)平方差公式，準(zhǔn)確應(yīng)用公式，培養(yǎng)學(xué)生的建模思想和抽象思維能力，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣．
重點(diǎn)：平方差公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.
難點(diǎn)：對(duì)公式中a，b的廣泛含義的理解及正確運(yùn)用
情境導(dǎo)入
活動(dòng)一：展示圖片，引入新課．
小明的父親在自家院子里圈一塊長(zhǎng)方形的地，準(zhǔn)備種植一種新品種黃瓜，測(cè)得它的長(zhǎng)為10.3米，寬為9.7米．小明的父親讓他算算這塊地的面積，小明脫口而出99.91平方米！他父親驚訝的問(wèn)：“你怎么算的這么快？”小明自豪的說(shuō)：“我利用了一個(gè)剛學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)公式而已．”
你知道他用了什么公式嗎？我們一起來(lái)探究吧！
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入，增強(qiáng)趣味性，方便學(xué)生理解也更容易接受新的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察和概括的能力．
一起探究
活動(dòng)二：復(fù)習(xí)回顧．
如何計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式？
設(shè)計(jì)意圖：回顧舊知，通過(guò)復(fù)習(xí)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算方法，為后邊平方差公式的得出做好鋪墊.
活動(dòng)三：探索平方差公式
在進(jìn)行多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，往往會(huì)遇到一些特殊形式的多項(xiàng)式相乘，其結(jié)果也很特殊.
由多項(xiàng)式的乘法，得
.
兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，運(yùn)算結(jié)果一般應(yīng)有四項(xiàng)．如果兩個(gè)特殊形式的多項(xiàng)式與相乘，那么運(yùn)算結(jié)果是否也是特殊形式的多項(xiàng)式呢
做一做：計(jì)算下面的多項(xiàng)式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
(1) (x+1) (x 1)
(2)(a+2)(a 2)
(3) (2x+1)(2x 1)
(4) (a+b)(a b)
師生活動(dòng)：四名學(xué)生板演，其他人獨(dú)立完成計(jì)算.教師在學(xué)生正確解答之后繼續(xù)提出問(wèn)題：在上面四個(gè)式子中，兩個(gè)因式之間有怎樣的特征？學(xué)生認(rèn)真思考，合作交流，嘗試用自己的語(yǔ)言敘述發(fā)現(xiàn).
等號(hào)前：都是兩個(gè)數(shù)的和乘這兩個(gè)數(shù)的差
等號(hào)后：都是等于這兩個(gè)數(shù)的平方差
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生利用已有的知識(shí)，通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)從特殊到一般的規(guī)律，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)表自己的見(jiàn)解.
師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題：你能試著用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？學(xué)生認(rèn)真思考，合作交流得出：(a+b)(a b)=.
師生共同完善平方差公式：
兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.
用字母表示為：(a+b)(a b)=.
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、合作交流的能力.通過(guò)追加思考，讓學(xué)生更深入的理解，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.
活動(dòng)四：深化理解平方差公式
思考：你能從幾何的角度對(duì)平方差公式進(jìn)行解釋嗎？
如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，再將余下的部分剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形
(1)兩個(gè)圖形（著色部分）的面積之間有什么關(guān)系？
(2)請(qǐng)你結(jié)合圖形對(duì)平方差公式(a+b)(a b)=進(jìn)行解釋.
師生活動(dòng)：學(xué)生積極思考，先獨(dú)立完成再小組討論，匯報(bào)結(jié)果，教師點(diǎn)評(píng)
設(shè)計(jì)意圖:由學(xué)生自己在計(jì)算操作的基礎(chǔ)上，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)面積的計(jì)算，進(jìn)一步驗(yàn)證上面的規(guī)律，使學(xué)生真正經(jīng)歷這一過(guò)程，以促進(jìn)學(xué)生的觀察能力和歸納概括能力的發(fā)展.
做一做：按要求填寫(xiě)下面的表格:
算式 與平方差公式 中a對(duì)應(yīng)的項(xiàng) 與平方差公式 中b對(duì)應(yīng)的項(xiàng) 寫(xiě)成“”的形式 計(jì)算結(jié)果
(m+2)(m-2)
(2m+3)(2m-3)
(x+2y)(-x+2y)
(1+3y)(1-3y)
設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)平方差公式的形式，在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學(xué)生在公式的運(yùn)用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果.
應(yīng)用舉例
例1 計(jì)算：
(1) ； (2)； (3) .
分析：在(1)中，可以把2x看成a，y看成b，即
(1)(2x+y)(2x y)＝.
(a+b) (a b) ＝ .
解：(1).
(2).
(3)
方法總結(jié)：
平方差公式的運(yùn)用：
①看：看是否可以用公式
②找：找相同項(xiàng)和相反項(xiàng)
③套：套用公式
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后獨(dú)立完成例題，3名學(xué)生板演，由學(xué)生判斷板演是否正確．教師統(tǒng)計(jì)做題正確的人數(shù)，同時(shí)給予肯定或鼓勵(lì)，小組加分．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例1，讓學(xué)生加深對(duì)平方差公式的理解，正確掌握平方差公式的運(yùn)用方法.
例2. 計(jì)算：
(1) (2x+3)(2x 3) (x+2)(x 2) ； (2) 102×98.．
解:(1) (2x+3)(2x 3) (x+2)(x 2)
(2)
方法總結(jié)：平方差公式中的a與b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，還可以是具體的數(shù)，運(yùn)用公式做題時(shí)關(guān)鍵分清哪個(gè)數(shù)相當(dāng)于公式中的a，哪個(gè)數(shù)相當(dāng)于公式中的b，不能混淆.
師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考再合作交流之后作答.
設(shè)計(jì)意圖：借助此題讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)平方差公式中a，b的含義，它們可以是數(shù)，也可以是整式.
思考：你知道“情境”中的小明用了什么公式來(lái)計(jì)算菜地的面積嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后舉手作答.
解：10.3×9.7=(10+0.3)(10 0.3)＝ =100 0.09=99.91（平方米）.
設(shè)計(jì)意圖：與情境中的問(wèn)題呼應(yīng)，讓學(xué)生體會(huì)成功的喜悅感，并學(xué)會(huì)利用平方差公式解決實(shí)際問(wèn)題.
課堂練習(xí)
1.計(jì)算:
(1)； (2)；
(3)； (4)
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4).
2.用平方差公式計(jì)算:
(1)998×1002； (2)48×52+37×43.
解：(1)998×1002
=(1000 2)×(1000+2)
=
=1000000-4
=999996.
(2)48×52+37×43
=(50 2)×(50+2)+(40 3)×(40+3)
=
=2500-4+1600-9
=4087.
3.先化簡(jiǎn)，再求值.
(1) .其中，x=-1.
(2) .其中，x=2，y=-1.
解：
(2)
4.(1)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:
19×21= ； 29×31= ； 39×41= ； 49×51= .
(2)你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律 請(qǐng)用含有字母的式子表示出來(lái).
解：(1)
(2)
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)，學(xué)以致用，及時(shí)獲知學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握程度，調(diào)動(dòng)全體學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使每個(gè)學(xué)生都能有所收益、有所提高.
課堂總結(jié)
這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？說(shuō)說(shuō)你的體會(huì).
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的歸納、總結(jié)，把零碎的知識(shí)點(diǎn)和認(rèn)知過(guò)程形成了一個(gè)完整的知識(shí)體系.
課堂檢測(cè)
1.下列各式的計(jì)算是否正確 如果不正確，請(qǐng)改正過(guò)來(lái).
(1).
(2) .
(3) .
解：(1)不正確.應(yīng)為：.
(2)不正確.應(yīng)為：.
(3)不正確.應(yīng)為：.
2.計(jì)算:
(1)； (2) ；
(3)； (4) .
解:(1).
(2).
(3).
(4).
3.(1)已知，求的值.
(2)已知=3，求的值.
解：(1)
(2)
總結(jié)：
平方差公式：(a+b)(a b)=；可逆用(a+b)(a b).
4.說(shuō)明:兩個(gè)相鄰偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù).
解：
——公式的逆用
實(shí)踐作業(yè)：你還能用其它圖形驗(yàn)證平方差公式嗎 請(qǐng)動(dòng)手試一試吧.
平方差公式是初中數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)知識(shí)方面應(yīng)用最廣泛的公式，也是學(xué)生代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)公式，在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，更能體現(xiàn)其重要性，所以公式的教學(xué)要求很高，需要每一名學(xué)生都必須熟練掌握，在學(xué)生熟練掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法后，發(fā)現(xiàn)平方差公式，由找規(guī)律得出公式的猜想，再介紹平方差公式的幾何面積驗(yàn)證方法，來(lái)驗(yàn)證公式猜想的正確性，從而由代數(shù)探究及幾何論證來(lái)得出平方差公式，得出公式后再來(lái)實(shí)際應(yīng)用.教學(xué)設(shè)計(jì)提供充分探索與交流的空間，使學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷觀察，實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法和能力的重要性，通過(guò)幾何意義說(shuō)明平方差方式的探究過(guò)程，學(xué)生可以切實(shí)感受到兩者之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)一些探究的基本方法與思路，并體會(huì)到數(shù)學(xué)證明的靈巧間法與和諧美是很有必要的.其次，加強(qiáng)師生之間的活動(dòng)也是必要的.在活動(dòng)中，通過(guò)教師的組織、引導(dǎo)和鼓勵(lì)下，學(xué)生不斷地思考和探究，并積極地進(jìn)行交流，使活動(dòng)有序進(jìn)行，我始終以平等、欣賞、尊重的態(tài)度參與到學(xué)生活動(dòng)中，營(yíng)造出了一個(gè)和諧，寬松的教學(xué)環(huán)境.

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