資源簡介

第六章 二元一次方程組
6.1二元一次方程組
本節課《二元一次方程組》是冀教版初中數學七年級下冊第六章第1節的內容.“二元一次方程組的概念和解”，本節課主要讓學生了解二元一次方程及二元一次方程組的有關概念，會驗證所給的一組未知數的值是否是二元一次方程、二元一次方程組的解.讓學生經歷從實際問題中抽象出列二元一次方程組的過程，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界有效的數學模型，體會代數方法的優越性和多樣性.
本節課是學生學習了上冊《一元一次方程》，學習了一元一次方程的概念，已經具備了對方程的初步認知以及一定的基礎知識和構建數學模型的基本思想.在此基礎上進一步學習二元一次方程的概念和解，通過類比學習更易掌握.同時，對于數學建模思想的認識和理解不夠，對于歸納總結的思維能力有限，通過學習有利于提高學生的分析問題、解決問題的能力．
1.了解二元一次方程和二元一次方程組及它們的解的概念.
2.會判斷一個方程組是否為二元一次方程組；會判斷一組未知數的值是否為二元一次方程(組)的解.
3.會把一些簡單的實際問題中的數量關系用二元一次方程組表示出來.
4.感受數學與生活的緊密聯系，體會數學的價值.在自主探索和合作交流的過程中，激發學生學習數學的興趣.
重點：二元一次方程(組)及其解的概念，判斷一組未知數的值是否為二元一次方程(組)的解.
難點：理解二元一次方程組的解的概念，將簡單的實際問題中的數量關系用二元一次方程組表示出來.
情景導入
問題1：什么叫做方程？什么叫一元一次方程？
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再舉手回答問題．
答：含有未知數的等式叫做方程.如：2x+3=5，x+y=8.
在一個方程中，只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，這樣的方程叫做一元一次方程.如：2x+3=5，y+6=8.
設計意圖：教師以復習的形式回顧上節課的重點內容，為下面的實際問題的出現做好鋪墊埋下伏筆.
某班同學在植樹節時植樟樹和白楊樹共45棵.已知樟樹樹苗每棵2元，白楊樹苗每棵1元，購買這些樹苗用了60元.問樟樹苗、白楊樹苗各買了多少棵？
師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，再舉手回答問題．
問題2：你會用已經學過的一元一次方程解決這個問題嗎？
答：設樟樹苗買了x棵，花了2x元；白楊樹苗買了(45-x)棵，花了(45-x)·1元.買樹苗一共花了60元.依據題意，得2x+(45-x)·1=60.
解方程，得x=15，45-x=30.
答：樟樹苗買了15棵，楊樹苗買了30棵.
問題3：如果將樟樹苗的棵樹設為x，白楊樹苗的棵樹設為y，是否可以將上述問題中的等量關系用方程表示出來呢？
答：可以.設樟樹苗買了x棵，白楊樹苗買了y棵，根據兩種樹苗總數為45棵，得x+y=45.
又根據購買樹苗的總費用是60元，得2x+y=60.
設計意圖：通過這個問題的探討,可使學生利用類比的方法進行知識的遷移，讓學生用原有的知識結構去同化新知識，符合建構主義理念，學生通過自己努力歸納的結論也是教育的一部分.
一起探討
問題4：x+y=45①， 2x+y=60②.
(1)上面的兩個方程是否為一元一次方程
(2)每個方程中有幾個未知數
(3)每個含未知數的項的次數是多少
(4)等式兩邊的式子都有什么特點
(5)把x=15，y=30分別代入方程①②中,你會有什么發現
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結果；討論時間2分鐘.教師可適當引導學生思考，待學生充分交流后，教師可選代表總結，教師補充.
規則：1.以小組形式匯報展示 +2分；2.正確回答 +2分；3.補充質疑 +2分
答：(1)否，一元一次方程是含有一個未知數，未知數的次數為1的方程；(2)2個；(3)1次；(4)方程兩邊的式子都是整式；(5)使方程①和方程②的左右兩邊相等.
歸納：含有兩個未知數，并且含有未知數的項以及每個未知數的次數都是1的方程,叫作二元一次方程.使二元一次方程兩邊相等的兩個未知數的值,叫作二元一次方程的一組解.
如x=15，y=30是x+y=45的一組解,也是2x+y=60的一組解.一般地,將二元一次方程的一組解記為的形式.
設計意圖：組織學生合作探究，重視知識的發生過程，讓學生通過自己努力歸納結論，更加深刻的理解二元一次方程的概念及解.
問題5：已知甲數的2倍與乙數的3倍之和是12，甲數的3倍與乙數的2倍之差是5.求這兩個數.
(1)嘗試使用一元一次方程進行求解.
(2)設甲數為x，乙數為y，請根據問題中的等量關系，嘗試用含有兩個未知數的一組方程表示.
(3)在(1)中解出的甲數和乙數代入(2)中的一組方程中，方程兩邊是否相等？
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結果；討論時間2分鐘.
規則：1.正確回答 +2分；2.補充質疑 +2分
答：(1)設乙數為x，則甲數為，
根據題意，得，解得x=2，
所以乙數為2，甲數為.
(2)因為甲數為x，乙數為y，
根據題意得2x+3y=12，3x-2y=5.
(3)由(1)可知，甲數為3，乙數為2，即x=3，y=2，
代入2x+3y=12，2×3+2×2=12，代入3x-2y=5，3×3-2×2=5，等號成立.
歸納：在解決某些問題時，既可以列一元一次方程來求解，也可以列兩個二元一次方程來求解，兩種方法進行比較，列兩個二元一次方程更容易找到等量關系.因此，當遇到存在兩個變量時，可以列兩個二元一次方程來求解.
做一做：用載質量不同的兩種貨車來運貨.已知4輛輕型貨車和5輛中型貨車一次最多能運貨52t，10輛輕型貨車和3輛中型貨車一次最多能運貨54t.那么，這兩種貨車每輛的載質量分別是多少噸
問題中是否存在兩個變量？如若存在，嘗試設未知數x，y，列出兩個二元一次方程.
答：存在.兩個變量分別為每輛輕型貨車的載質量和每輛中型貨車的載質量.
設每輛輕型貨車的載質量為x t，每輛中型貨車的載質量為y t，
根據題意，得4x+5y=52，10x+3y=54.
歸納：列兩個二元一次方程的一般步驟：
第一步：分辨兩個變量，并設兩個變量為未知數x,y；
第二步：利用題中兩個等量關系，列出兩個二元一次方程.
設計意圖：組織學生嘗試列出兩個二元一次方程，讓學生明確并熟悉存在兩個變量的問題時，列兩個二元一次方程的步驟.
問題6：(1)對于二元一次方程,任意給定未知數x 的一個值,你能求出滿足方程的未知數y的值嗎 請填寫下表.
2x+3y=12 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
3x-2y=5 x ... 2 3 4 5 ...
y ... ...
(2)方程2x+3y=12和方程3x-2y=5是否還存在其他解？二元一次方程的解是唯一的嗎？
(3)是否有同時滿足這兩個方程的一組解 若有，請指出是哪組解.
師生活動：教師組織學生合作探究，先獨立思考，再小組合作充分討論；每小組挑選一名代表
展示小組討論結果；討論時間2分鐘.
規則：1.正確回答 +2分；2.補充質疑 +2分
答：(1)
(2)存在，二元一次方程的解是不唯一的.
(3)有，.
歸納：由幾個方程組成的一組方程叫作方程組.含有兩個未知數，并且含有未知數的項以及每個未知數的次數都是1的一組方程，叫作二元一次方程組.二元一次方程組中方程的公共解,叫作這個二元一次方程組的解.
二元一次方程2x+3y=12,3x-2y=5組成的方程組可記為的形式，這個方程組的解可記為的形式.
設計意圖：組織學生合作探究，讓學生更加深刻的理解二元一次方程組的概念及解，明確方程組的表示形式.
應用舉例
例1 已知下列方程：
①xy=1；②2x=3y；③x-=2；④x2+y=3；⑤=3y-1.
其中， 是二元一次方程.（填序號）
答：②⑤
例2 請問下列方程組是二元一次方程組嗎？
(1) (2) (3) (4) (5)
答：(1)是；(2)不是，三個未知數；(3)是；(4)不是，未知數出現在分母中；(5)是.
例3 二元一次方程組的解是（ ）
A. B. C. D.
答：C
設計意圖：在對二元一次方程、二元一次方程組的概念及解已有認識的基礎上，通過舉例應用，學生會更深刻理解和掌握二元一次方程組的概念和解.
課堂練習
1.已知下列方程組：
① ② ③ ④
其中， 是二元一次方程組.（填序號）
答：③
2.若是二元一次方程2x+ay=3（a為常數）的一組解，求a的值.
答：將x=1,y=3代入2x+ay=3得：2+3a=3,解得a=.
3.根據題意，設適當的未知數，列二元一次方程組.
如果甲數比乙數少3，甲數與乙數的和是15，求甲數與乙數.
答：設甲數為x，乙數為y.
根據題意可得方程組為：.
課堂總結
①這節課你學到了哪些知識？
答：二元一次方程、二元一次方程組的概念及解.
②二元一次方程、二元一次方程組的特征是什么？
答：二元一次方程具備的特征:
(1)它是一個整式方程;
(2)只含有兩個未知數;
(3)含有未知數的項的次數為1,兩個未知數的系數不為 0.
構成二元一次方程組的兩個要素:①含有兩個未知數;②每個方程都是一次方程.
③從實際問題到方程組，一般要經歷哪些過程？
答：根據實際情境列二元一次方程組，一般要根據題目中的數量關系，選擇兩個未知數，將題中給出的數量關系表示成含有兩個未知數的等式.
設計意圖：通過小結，回顧本節課所學新知，加深印象．
課堂檢測
1.若3x3m-3-y2n-1=5是二元一次方程，則m= ，n= .
答：2；1.
2.下列哪對x,y的值是二元一次方程x+2y=6的解( )
A. B. C. D.
答：C
3.若是關于x,y的方程組的解，則(a+b)(a-b)的解為( )
A.-16 B.-7 C.7 D.16
答：C
4.《九章算術》中記載：“今有甲乙二人持錢不知其數.甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十.問：甲、乙持錢各幾何 ”大意是：甲、乙二人帶著錢，不知是多少，若甲得到乙的錢數的，則甲的錢數為50；若乙得到甲的錢數的，則乙的錢數也能為50，問甲、乙各有多少錢？設甲持錢為x，乙持錢為y，可列方程組為( )
A. B. C. D.
答：B
設計意圖：通過學生的練習，使教師及時了解學生對二元一次方程組的應用情況，以便教師及時對學生進行矯正．
實踐作業：1.七（2）班買了35張電影票，共用250元，其中甲種票每張8元，乙種票每張6元，問甲、乙兩種票各買了多少張？解決問題并嘗試使用二元一次方程組表示.
2.尋找生活中可以使用二元一次方程組表示的實際問題.
本節課教學的是二元一次方程、二元一次方程組的概念及解.在整節課教師始終堅持以學生為本，教師為輔的教學理念.結合學生的實際情況，從實際問題延申至二元一次方程、二元一次方程組，引出問題，同學們可以結合已有知識進行解決。采取學生小組合作交流、自主探索的學習方式，把難點分解，讓學生歸納總結二元一次方程、二元一次方程組的概念及解。讓學生經歷探索活動，積累探索經驗，發了學生的學習興趣，激活了學生的思維。通過運用結論解決問題，初步培養了學生的推理能力，提高了應用能力。組織課堂提問，更加充分的調動學生的學習積極性、主動性，進而提高課堂學習效率。

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