資源簡介

第八章 三角形
8.3 用正多邊形鋪設地面
第1課時 用相同的正多邊形
“用相同的正多邊形鋪設地面”是華師版七年級下冊第8章第3節第1課時的內容，是在學生學習了多邊形內角和、外角和等知識基礎上展開的．它將抽象的多邊形知識與實際生活中的地面鋪設問題緊密聯系，具有很強的實用性與趣味性．從知識體系看，這一內容不僅是對多邊形內角和等知識的深化應用，還為后續探究多種正多邊形鋪設地面以及更復雜的圖形鑲嵌問題奠定基礎，起到了承上啟下的作用．通過學習，學生能進一步理解多邊形的性質，體會數學在生活中的廣泛應用，提升數學應用意識與實踐能力，增強對數學學科的認同感與興趣．
七年級學生處于形象思維向抽象思維過渡關鍵期．對生活中地板鋪設等具體實例，學生能觀察到圖案特征，引發興趣，但從現象提煉出用正多邊形鋪設地面的數學原理，如圍繞一點內角和為360°，部分學生難以完成思維跨越．課堂上，學生具備一定自主學習能力，能在教師引導下嘗試探究問題，但缺乏系統性和深度，如自主探究正多邊形能否鋪滿地面時，可能僅停留在表面拼擺，未深入思考內角和與鋪設原理的內在聯系．小組合作學習中，雖有合作意愿，但部分學生缺乏有效溝通、分工協作技巧，導致合作效率低，難以充分發揮小組優勢解決問題．在歸納總結方面，學生能對簡單、直觀現象歸納，但從特殊正多邊形（正三角形、正方形等）推廣到一般正多邊形鋪設地面的條件，構建數學模型，對學生抽象概括能力要求高，多數學生需教師進一步引導．
1．通過用相同的正多邊形拼地板活動，鞏固多邊形的內角和與外角和公式．
2．知道怎樣的正多邊形能無空隙的鋪設地面．
3．探索用一種正多邊形拼地板的過程和原理．
4．結合現實世界中的美麗圖案，充分感受用正多邊形拼地板的意義．
重點：運用多邊形內角和與外角和公式，分析判斷何種正多邊形能單獨用于鋪設地面．
難點：深刻理解并掌握用相同正多邊形鋪設地面的原理，即圍繞一點拼合的正多邊形內角之和為360°．
情境導入
思考：這些形狀的瓷磚為什么能鋪滿地面而不留一點空隙？它們有什么特點？
答：這些瓷磚都是正多邊形．
設計意圖：通過展示生活中常見的不同正多邊形瓷磚鋪設地面的精美圖片，吸引學生注意力，引發學生對生活中數學現象的關注，激發學生對用正多邊形鋪設地面這一問題的好奇心和探究欲望．
探究新知
活動一：鑲嵌的概念
生活中常常用瓷磚嚴絲合縫、不留空隙地鋪滿墻面或地面．從數學的角度看，就是用幾何圖形不留空隙、不重疊地鋪滿平面的一部分，這就是平面圖形的鑲嵌．
設計意圖：給出平面圖形鑲嵌的定義，幫助學生準確把握概念內涵，為后續探究用正多邊形進行平面鑲嵌（鋪設地面）的原理和方法奠定基礎．
活動二：探究鑲嵌的規律
探究：使用給定的某種正多邊形，它能否鋪滿地面，既不留下一絲空白，又不互相重疊呢？
答：與正多邊形的內角大小有關．
請根據下圖，完成表格．
答：
思考：從正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形···中選用其中一種鑲嵌，哪幾種正多邊形能夠進行平面鑲嵌(鋪滿地面)？
答：
由圖可知，6個正三角形可以無縫拼接，所以正三角形能鋪滿地面．
由圖可知，4個正方形可以無縫拼接，所以正方形能鋪滿地面．
由圖可知，正五邊形不能無縫拼接，所以正五邊形不能鋪滿地面．
由圖可知，3個正六邊形可以無縫拼接，所以正六邊形能鋪滿地面．
由圖可知，正八邊形不能無縫拼接，所以正八邊形不能鋪滿地面．
思考：你知道鑲嵌的規律了嗎？
結論：使用給定的某種正多邊形，當圍繞一點拼在一起的幾個內角加在一起恰好組成一個周角(360°)時，就可以鋪滿地面．
如果用x表示正多邊形的一個內角的度數，a表示正多邊形的個數，那么上面的結論可表示為：
　
設計意圖：引導學生探究正多邊形密鋪，從特殊正多邊形推廣到一般情況，歸納出正多邊形密鋪的條件，培養學生歸納概括能力．
應用新知
經典例題
師生活動：學生獨立思考作答，教師巡視指導，全班展示交流．
例：正七邊形、正九邊形、正十邊形、正十二邊形能密鋪地面嗎？為什么？
解：如圖，均不能密鋪，內角不能被360°整除．
總結：判斷用一種正多邊形能否鋪滿地面，關鍵是看這種正多邊形的一個內角能否整除360°．
若能整除，則能鋪滿地面；否則不能鋪滿地面．
設計意圖：引導學生從具體例題中提煉一般性結論，加深對正多邊形密鋪條件的認識，培養歸納概括能力，構建完整知識體系．
課堂練習
1．用一種正多邊形能進行平面鋪設的條件是（ ）
A．內角都是整數度數
B．邊數是3的整數倍
C．內角整除180°
D．內角整除360°
答：D．
2．用正三角形瓷磚鋪滿地面，它在一個頂點周圍的正三角形的個數為（ ）
A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
答：D．
3．用黑白兩種顏色的正六邊形地磚按如圖所示的規律拼成若干圖案，則時，白色地磚共有______塊．
答：34．
設計意圖：讓學生運用正多邊形密鋪原理進行實際運算，培養學生運用知識解決具體問題的能力，加深對密鋪原理的理解．
課堂檢測
限時訓練
1．下列正多邊形能鋪滿地面的是（ ）
A．正五邊形 B．正方形 C．正七邊形 D．正八邊形
答：B．
2．若用一種正多邊形鋪滿地面，則這個正多邊形的內角度數是______（寫出一個即可）．
答：90°．
3．一個正多邊形能鋪滿地面，它的一個外角是60°，則這個正多邊形是正______邊形．
答：六．
設計意圖：通過課堂檢測，查缺補漏，進一步加深對正多邊形密鋪的理解．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1．本節課你學到了什么？
2．能用相同的正多邊形鋪滿地面需要滿足的條件是？
3．判斷一個正多邊形能否鋪滿地面，關鍵是要看什么？
答：
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識．
實踐作業
找一找家里鋪的是正幾邊形的地磚，并與家人分享選擇的理由．
在講解用相同正多邊形鋪設地面的原理時，雖學生已具備多邊形內角和、外角和及正多邊形相關基礎知識，但部分同學在聯系舊知推導何種正多邊形能鋪滿地面這一關鍵環節仍存在障礙．例如，從正多邊形內角和公式過渡到判斷其內角能否整除360°時，學生思維轉換較慢，反映出對內角和公式理解的深度不夠，后續應強化公式推導過程回顧，多設置引導性問題幫助學生建立知識關聯．
引導學生從具體拼擺上升到抽象原理推導時，困難較為明顯．用代數式表示正多邊形鋪滿地面條件，對七年級學生抽象思維挑戰較大，不少學生跟不上節奏，理解吃力．后續教學需放慢腳步，利用更多直觀示例，如動畫演示不同正多邊形圍繞一點拼合的動態過程，配合分步講解，助力學生跨越思維難關，掌握抽象原理．
在解決實際問題，像設計簡單地面鋪設方案練習中，暴露出學生將數學知識與生活實際對接的短板．學生往往不能迅速把場地面積、瓷磚尺寸等實際要素轉化為數學量進行計算，知識遷移和綜合運用能力亟待提升．日后應增加貼近生活的案例練習，搭建數學與生活的橋梁，培養學生靈活運用知識的能力，提升其數學應用素養．

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