資源簡介

第八章 三角形
8.3 用正多邊形鋪設地面
第2課時 用多種正多邊形
本課時聚焦 “用多種正多邊形鋪設地面”，在華師版七年級下冊第8章第3節中占據重要地位．它是在學生掌握用相同正多邊形鋪設地面的基礎上，對平面鑲嵌知識的進一步拓展與深化．從知識體系看，多種正多邊形鋪設地面問題涉及到多邊形內角和、外角和、正多邊形內角特點等知識的綜合運用，不僅加深學生對這些知識的理解與掌握，還能讓學生體會不同數學知識之間的內在聯系．通過學習，學生能夠將數學知識與實際生活中的藝術設計、建筑裝飾等緊密結合，增強數學應用意識與審美能力，培養創新思維與實踐能力，為后續學習圖形的變換、相似等知識積累經驗，在整個初中數學學習中起到承上啟下的關鍵作用．
學生已學習了多邊形內角和、外角和公式，對正多邊形的基本特征，如各邊相等、各內角相等有清晰認知，且掌握了用相同正多邊形鋪設地面的原理，知曉單個正多邊形能鋪滿地面需其內角能整除360°．然而，對于知識的綜合運用尚顯薄弱，在面對多種正多邊形組合問題時，難以迅速關聯已學知識，例如不能快速準確計算不同正多邊形內角和并判斷組合可行性．部分學生對之前所學公式理解停留在表面，未深入領會推導過程，導致在新情境下靈活運用公式解決復雜鑲嵌問題時力不從心．
1．理解多種正多邊形能夠鋪滿地面的數學原理，掌握常見的兩種或兩種以上正多邊形鋪滿地面的組合情況．
2．能夠根據正多邊形內角和公式計算出正多邊形的內角度數，并據此判斷多種正多邊形能否鋪滿地面．
3．通過觀察、實驗、拼圖等活動，提高動手操作能力、自主探索能力和合作交流能力．
4．感受數學與生活的緊密聯系，體會數學知識在實際生活中的廣泛應用，增強對數學學習的興趣．
重點：熟練掌握常見的兩種或兩種以上正多邊形鋪滿地面的組合情況．
難點：能依據正多邊形內角和公式準確計算內角度數，以此判斷多種正多邊形能否鋪滿地面．
復習回顧
1．在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形中取一種，可以鋪滿地板的有哪些？
答：正三角形、正方形、正六邊形．
2．用同種正多邊形瓷磚能不留空隙，不重疊地鋪滿地板的關鍵是什么？
答：正多邊形的一個內角能否整除360°．
思考：如果用不同種正多邊形瓷磚能不留空隙，不重疊地鋪滿地板嗎？
設計意圖：回顧用相同正多邊形密鋪的判斷方法，為后續探究多種正多邊形組合能否鋪滿地面做鋪墊．
探究新知
活動一：用兩種正多邊形鋪設地面
問題 從正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形、正十二邊形……中任取兩種進行組合是否能鋪滿地面呢？
答：正方形、正三角形組合，
．
正六邊形、正三角形組合，
．
正十二邊形、正三角形組合，
．
正八邊形、正方形組合，
．
正五邊形、正十邊形組合，
．
思考：圍繞一點能拼成360 ，但能擴展到整個平面，即鋪滿地面嗎？
答：如圖，盡管能圍繞一點拼成360 ，但不能擴展到整個平面．
設計意圖：通過選取幾種正多邊形探究組合密鋪，讓學生初步嘗試，感知不同組合效果，為歸納密鋪規律積累經驗，培養探究與分析能力．
活動二：用兩種以上正多邊形鋪設地面
問題 從正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形、正十二邊形……中任取幾種進行組合是否能鋪滿地面呢？
答：正六邊形、正方形、正三角形組合，
．
正十二邊形、正方形、正六邊形組合，
．
正十二邊形、正方形、正三角形組合，
．
思考：多種正多邊形應該滿足什么樣的條件才能鋪滿地面？
答：需滿足圍繞一點拼在一起的多種正多邊形的內角之和為 360 ．
模型：
正多邊形1的個數×正多邊形1的內角度數＋正多邊形2的個數×正多邊形2的內角度數＋… ＝360
注：有時幾種正多邊形的組合能圍繞一點拼成周角，但不能擴展到整個平面，即不能鋪滿平面．如：正五邊形與正十邊形的組合．
設計意圖：讓學生從多種正多邊形中選取組合探究能否鋪滿地面，激發主動探索，初步感受多種正多邊形組合密鋪情況，培養動手和分析能力．
應用新知
經典例題
師生活動：學生獨立思考作答，教師巡視指導，全班展示交流．
例：說說用正方形和正六邊形不能鑲嵌成一個平面圖案的原因嗎？
解：正方形的一個內角為90°，正六邊形的一個內角為120°，
設若能進行平面鑲嵌時正方形有x個，正六邊形有y個，且x、y都是正整數，
則，
此時找不到同時滿足x、y均為正整數的解，
故正方形和正六邊形不能平面鑲嵌．
方法總結：用任意幾種正多邊形鋪滿地面時，根據鋪滿地面的正多邊形的種類，列出關于這幾種正多邊形的二元一次方程或三元一次方程，求其正整數解，方程有幾組正整數解，就有幾種鋪設方法．沒有正整數解，則不能密鋪．
設計意圖：通過具體實例，讓學生運用正多邊形內角度數知識以及方程思想，判斷兩種正多邊形能否鑲嵌，鞏固多種正多邊形平面鑲嵌的原理及相關計算方法．
課堂練習
1．用邊長相同的正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形在一起組合，不能鋪滿地面的是（ ）
A．正三角形和正方形 B．正方形和正六邊形
C．正三角形和正六邊形 D．正方形和正八邊形
答：B．
2．設在一個頂點周圍有a個正三角形，b個正十二邊形鋪滿地面，則______，______．
答：1，2．
3．現有四種地板磚，它們的形狀分別是正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長都相等．同時選擇其中兩種地板磚密鋪地面，選擇的方式有（ ）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
答：B．
4．鋪設一間長6 m、寬3.5 m的客廳地面需要同樣規格的正方形地板磚，現有“40 cm×40 cm”“30 cm×30 cm”“50 cm×50 cm”和“60 cm×60 cm”的地板磚，請你設計一下，要想全部鋪滿，不鋸破且不留一點空隙，選哪一種規格？為什么？需要多少塊？
解：選“50 cm×50 cm”規格的．
理由：∵6 m=600cm，3.5 m=350 cm，
600，350都是50的倍數，
∴選“50 cm×50cm”規格的．
需要（塊）．
設計意圖：讓學生運用正多邊形密鋪原理進行實際運算，培養學生運用知識解決具體問題的能力，加深對密鋪原理的理解．
課堂檢測
限時訓練
1．現要選用兩種不同的正多邊形地磚鋪地板，若選擇了正四邊形，則可以再選擇的正多邊形是（ ）
A．正七邊形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正八邊形
答：D．
2．用正三角形和正六邊形鋪成平面，共有不同的拼法是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
答：B．
3．在下列正多邊形組合中，不能鋪滿地面的是（ ）
A．正八邊形和正方形 B．正五邊形和正八邊形
C．正六邊形和正三角形 D．正三角形和正方形
答：B．
4．一幅美麗的圖案，在某個頂點處由四個邊長相等的正多邊形鋪滿，其中的三個分別為正三角形、正方形、正六邊形，那么另外一個為(　 　)
A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形
答：B．
5．利用邊長相等的正三角形和正六邊形的地磚鑲嵌地面時，在每個頂點周圍有a塊正三角形和b塊正六邊形的地磚，則的值為(　 　)
A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．4
答：B．
設計意圖：通過課堂檢測，查缺補漏，進一步加深對不同種正多邊形組合進行密鋪的理解．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1．本節課你學到了什么？
2．用多種正多邊形鋪滿地面需要滿足的條件是？
答：
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識．
實踐作業
假設你正在為家中的一個小房間（例如書房、兒童房等）設計地面或墻面的裝飾方案．要求使用至少兩種不同的正多邊形瓷磚進行鋪設，使圖案既美觀又滿足數學上的拼接要求．
在講解多種正多邊形鋪設地面的原理時，盡管學生已熟悉多邊形內角和等基礎知識，但從單一正多邊形過渡到多種正多邊形組合，知識綜合運用的難度提升，部分學生出現理解障礙．例如，在運用方程思想求解正多邊形組合數量時，不少學生難以依據內角和為360°準確列出方程，反映出對知識的串聯和靈活運用能力不足．后續教學需強化知識間的聯系，多通過實例引導學生逐步構建解題思路，加深對原理的理解．
在解決實際問題，像設計地面鋪設方案練習中，學生短板盡顯．他們雖知曉原理，但在兼顧場地形狀、美觀需求等現實因素時，顯得力不從心，難以將數學知識與實際完美融合．知識遷移和綜合運用能力亟待提升，日后應增加貼近生活的復雜案例練習，引導學生逐步學會平衡各方要求，提升數學應用素養．

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