資源簡(jiǎn)介

第四章 平面內(nèi)兩條直線
4.5 垂線
第2課時(shí) 垂線段與點(diǎn)到直線的距離
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握垂線段、點(diǎn)到直線的距離的有關(guān)概念.
2.會(huì)作出直線外一點(diǎn)到一條直線的垂線.
3.理解垂線段最短的性質(zhì).
4.經(jīng)過(guò)觀察、分析、抽象、概括、畫圖等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展思維能力.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離的概念及垂線段最短的性質(zhì).
難點(diǎn)：垂線段最短的性質(zhì)及從直線外一點(diǎn)作直線的垂線的畫法.
三、教學(xué)用具
電腦、多媒體、課件
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境
【情境引入】
在灌溉時(shí)，要把河中的水引到農(nóng)田P處,如何挖渠能使渠道最短 說(shuō)到最短，上學(xué)期我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)什么最短的知識(shí),還記得嗎
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的引入，讓學(xué)生感受到生活中處處可以遇到垂直問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價(jià)值.
環(huán)節(jié)二 探究新知
【做一做】
問(wèn)題1 如圖，任畫一條直線 l ，作 l 的垂線.這樣的垂線能畫出幾條？
預(yù)設(shè)：可以畫無(wú)數(shù)條.
問(wèn)題2 任畫一條直線l，用三角板或量角器過(guò)任意一點(diǎn) P 畫直線 l 的垂線.
(1) 若直線 l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P ，這樣的垂線能畫幾條？
預(yù)設(shè)：可以畫一條
畫法：一靠，二過(guò)，三畫.
(2) 若直線 l 不經(jīng)過(guò)點(diǎn) P ，這樣的垂線能畫幾條？
預(yù)設(shè)：可以畫一條
根據(jù)以上操作，你能得出什么結(jié)論
【抽象】
在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.
注意:
① “過(guò)一點(diǎn)”中的點(diǎn)，可以在已知直線上，也可以在已知直線外.
② “有且只有”中,“有”指存在，“只有”指唯一性.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)做一做畫垂線活動(dòng)，總結(jié)歸納得到在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.
如圖，設(shè) PO 垂直于直線 l，O 為垂足，線段 PO 叫作點(diǎn)P 到直線 l 的垂線段．
垂線段是垂線上的一部分，它是線段，一端是一個(gè)點(diǎn)，另一端是垂足.
經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的其他直線分別交直線l于A，B，C，D ···，線段PA，PB，PC，PD，··· 都不是垂線段，稱為斜線段．
【說(shuō)一說(shuō)】
比較圖中PA，PB，PO，PC，PD 五條線段的長(zhǎng)度，哪條線段最短？
預(yù)設(shè)：
① 用刻度尺量，發(fā)現(xiàn)垂線段 PO 最短.
② 用圓規(guī)比較垂線段 PO 和斜線段 PA，PB，PC，PD 的長(zhǎng)度，可知線段 PO 最短.
【抽象】
特別規(guī)定：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.
簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．
從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫作點(diǎn)到直線的距離.
如圖：垂線段 PO 的長(zhǎng)度叫作點(diǎn) P 到直線 l 的距離.
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)用刻度尺測(cè)量、圓規(guī)比較等操作，自主探究垂線段與斜線段的長(zhǎng)度關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力和自主探究精神，在操作基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)垂線段最短這一性質(zhì)，經(jīng)歷從實(shí)踐到理論的歸納過(guò)程，加深對(duì)該性質(zhì)的理解與記憶，提高學(xué)生歸納總結(jié)能力.
【做一做】
(1) 量出圖中點(diǎn) P 到直線 AB 的距離.
預(yù)設(shè)：
(2) 某單位要在河岸 l 上建一個(gè)水泵房引水到 C 處，如圖，問(wèn)建在哪個(gè)位置才最節(jié)省水管？為什么？
預(yù)設(shè)：如圖，垂線段最短．
(3)由(1)(2)你會(huì)發(fā)現(xiàn)可以怎樣求點(diǎn)到直線的距離？
預(yù)設(shè)：求點(diǎn)到直線的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到點(diǎn)的距離.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納的能力，幫助學(xué)生掌握將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，提升數(shù)學(xué)思維水平.
環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知
【典型例題】
教師提出問(wèn)題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過(guò)程.
例 如圖，在△ ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足為點(diǎn) D，AB = 5，BC = 12，AC = 13.
求：(1) 點(diǎn) A 到直線 BC 的距離；
(2) 點(diǎn) B 到直線 AC 的距離.
解：因?yàn)椤螦BC = 90°，
所以 AB⊥BC， 點(diǎn)B為垂足，
所以線段 AB 即為點(diǎn) A 到直線 BC 的垂線段.
因?yàn)锳B = 5，
所以點(diǎn) A 到直線 BC 的距離為 5.
因?yàn)?BD⊥AC， 垂足為點(diǎn) D，
所以線段 BD 的長(zhǎng)度即為點(diǎn) B 到直線 AC 的距離.
因?yàn)镾△ABC =BC AB= AC BD ,
所以BD===.
所以點(diǎn)B到直線AC的距離為.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，為學(xué)生提供規(guī)范的邏輯推理思路，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決幾何問(wèn)題的能力.
環(huán)節(jié)四 鞏固新知
【隨堂練習(xí)】
教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.
如圖，在△ ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 ，AC = 4 ，BC = 5 ，求點(diǎn) A 到 BC 的距離，點(diǎn) C 到 AB 的距離.
解：作 AD ⊥ BC，垂足為點(diǎn) D .
所以線段 AD 的長(zhǎng)度即為點(diǎn) A 到直線 BC 的距離.
因?yàn)镾△ABC =AC AB= BC AD，
所以AD==.
因?yàn)椤螧AC = 90°，
所以 AC ⊥ AB， 點(diǎn) A 為垂足，
所以線段 AC 的長(zhǎng)度即為點(diǎn) C 到直線 AB 的距離，則距離為4.
2.某公園的 4 條縱橫交錯(cuò)的人行道和一噴泉的示意圖如圖所示(比例尺為：1∶5 000)，其中直線 a，b，c，d表示人行道，點(diǎn) P 表示噴泉. 量出點(diǎn) P 到 4 條直線的距離，并求出其實(shí)際距離．
提示: 用直尺量出圖中點(diǎn) P 到各直線的距離, 再按比例尺換算成實(shí)際距離.
3.如圖，體育課上應(yīng)該怎樣測(cè)量同學(xué)們的跳遠(yuǎn)成績(jī)？
解：體育課上，測(cè)量同學(xué)們的跳遠(yuǎn)成績(jī)的方法: 先分別過(guò)落地點(diǎn)作起跳線的垂線，然后分別量取這些落地點(diǎn)到起跳線的垂線段的長(zhǎng)度，這些長(zhǎng)度就分別是同學(xué)們各自的跳遠(yuǎn)成績(jī).
4. 如圖所示，火車站、碼頭分別位于A，B 兩點(diǎn)，直線 a 和 b 分別表示河流與鐵路.
(1) 從火車站到碼頭怎樣走最近，畫圖并說(shuō)明理由；
(2) 從碼頭到鐵路怎樣走最近，畫圖并說(shuō)明理由；
(3) 從火車站到河流怎樣走最近，畫圖并說(shuō)明理由.
預(yù)設(shè)：如圖所示:
(1)沿AB走，兩點(diǎn)之間線段最短；
(2)沿BD走，垂線段最短；
(3)沿AC走，垂線段最短.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)，檢測(cè)學(xué)生對(duì)本堂課所學(xué)知識(shí)的掌握程度.
環(huán)節(jié)五 課堂小結(jié)
思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容：
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)總結(jié)回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納、鞏固所學(xué)知識(shí).

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