資源簡介

第四章 平面內兩條直線
4.5 垂線
第1課時 垂線的概念
一、教學目標
1.了解垂線的概念及垂線的有關性質.
2.利用垂線的概念及性質，解決一些簡單的幾何問題.
3.經歷觀察、操作、交流、歸納、概括等活動，進一步發展空間概念，提高動手操作技能.
4.在積極參與探索、交流的數學活動中，體驗數學與實際生活的密切聯系，激發學生的求知欲，感受與他人合作的重要性.
二、教學重難點
重點：垂線的概念及垂線的有關性質.
難點：垂線的應用.
三、教學用具
電腦、多媒體、課件
教學過程設計
環節一 創設情境
【情境引入】
日常生活中，如圖中的兩條直線的關系很常見，你還能舉出其他生活中的例子嗎
設計意圖：通過熟悉的生活場景，引發學生好奇心和探究欲，使其更主動投入到后續直線關系相關知識的學習中，為新知識的引入和理解做好鋪墊.
環節二 探究新知
【觀察】
將宣傳欄的上下邊框與兩側邊框均看作直線，如圖所示，則上下兩條直線與左右兩條直線分別相交成多少度的角？
設計意圖：以宣傳欄邊框為例，將生活場景抽象為數學圖形，讓學生直觀感受直線相交形成的角，幫助學生建立起實際物體與數學圖形的聯系，為后續學習垂直的知識奠定基礎.
【思考】
如圖，取兩根木條 a、b，將它們釘在一起，固定木條 a，轉動木條 b. 當 b 的位置變化時，a、b 所成的角 α 是如何變化的？
其中會有特殊情況出現嗎？當這種情況出現時，a 與 b 是什么位置關系？
預設：如圖，是特殊情況.
設計意圖：通過木條轉動的情境，讓學生直觀感受兩直線相交時所成角的動態變化過程，培養學生的空間觀念和觀察能力.
【議一議】
如圖，當∠AOD=90°時，∠AOC、∠BOC、∠BOD等于多少度 為什么
預設：由對頂角和鄰補角的性質，得當∠AOD=90°時，∠AOC =∠BOC =∠BOD.
【抽象】
在同一平面內的兩條直線相交所成的四個角中，若有一個角是直角時(此時可知其余三個角也是直角)，則稱這兩條直線互相垂直.其中一條直線叫作另一條直線的垂線.
它們的交點叫作垂足．“垂直”用符號“⊥”表示.
如圖，直線 AB 與CD互相垂直(O為垂足)，
記作“AB⊥CD”.讀做“AB 垂直于 CD”.
如圖，當直線AB與CD相交于O點，∠AOD=90°時，AB⊥CD，垂足為點O
幾何語言：
因為∠AOD=90° （已知）
所以 AB⊥CD.(垂直的定義)
反之，若直線AB與CD垂直，垂足為點O，那么∠AOD=90°.
設計意圖：從具體角度計算實例中抽象出直線垂直的概念，明確垂直的定義、相關名稱（垂線、垂足）及符號表示，幫助學生構建準確的數學概念，完善知識體系.
【議一議】
兩條直線互相垂直的情形在生活中隨處可見，舉出教室內一些互相垂直的實例，并于同學交流.
預設：
【抽象】
若兩條直線相交所成的四個角中沒有直角，則稱其中一條直線為另一條直線的斜線.
如圖，直線 CD 是 AB 的斜線，同樣，直線 AB 也是 CD 的斜線.
【思考】
（1）如圖，在同一平面內，如果 直線a⊥l，b⊥l，那么 a // b 嗎？
預設：因為 a⊥l， b⊥l，
所以 ∠1 ＝∠2 ＝ 90 ° ，
所以 a∥b （同位角相等，兩直線平行）．
歸納：在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行.
設計意圖：引導學生將垂直和直線平行的知識建立聯系，從直線與同一條直線垂直的條件出發，探究兩直線的平行關系，拓展學生對直線位置關系的認知，加深對垂直和平行概念的理解.
（2）如圖，在同一平面內，如果直線 a∥b，l⊥a，那么 l ⊥ b 嗎？
預設：因為 l⊥a，所以∠1 ＝ 90°．
因為 a∥b，
所以∠2＝∠1＝90°(兩直線平行，同位角相等)，
因此 l ⊥ b．
歸納：在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線也垂直于另一條.
設計意圖：讓學生在直線平行和垂直的條件下，進一步探究直線間的位置關系，強化對平行線性質和垂直概念的應用，深化學生對幾何知識的綜合運用能力.
環節三 應用新知
【典型例題】
教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
例1 在如圖的簡易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1 ＝ 60°，求∠2 的度數．
解: 因為 BD，AE 都垂直于 CG，
所以 BD∥AE (在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行).
從而∠2 ＝∠1 ＝ 60°(兩直線平行，同位角相等)．
例2 如圖，在△ABC中，CD⊥ AB于點 D，∠1＝∠2，求∠BEF的度數．
解: 因為 CD⊥AB，
所以∠BDC = 90°.
又因為∠1 =∠2，
所以 DC∥EF （同位角相等，兩直線平行）.
所以∠BEF =∠BDC = 90° （兩直線平行，同位角相等）.
設計意圖：通過例題，鞏固本節課所學知識，為學生提供規范的邏輯推理思路，培養學生分析和解決幾何問題的能力.
環節四 鞏固新知
【隨堂練習】
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
1. 如圖，直線 AB，CD 相交于點 O， EO⊥CD， ∠BOE ＝ 60°，求∠AOC 的度數．
解：因為 EO⊥CD，
所以∠COE =∠DOE=90°.
因為∠BOE = 60°，
所以∠BOD = 30°，
所以 ∠AOC = ∠BOD = 30°.
2. 如圖， DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，求∠C的度數．
解：因為 DA⊥AB， CD⊥DA，
所以 CD∥AB . (在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行)
所以∠B +∠C=180°，
所以∠C = 180°－ 56°=124°.
3.如圖所示，AB⊥CD，垂足為 O，OE是一條射線，且∠AOE = 35°求∠BOE、∠COE 的度數.
解：因為 AB⊥CD，
所以∠AOC = 90°.
因為∠AOE = 35°，
所以∠COE = 55°.
又因為∠COB = 90°，
所以∠BOE = 145°.
4. 如圖，直線 AB、CD相交于點 O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于點 O，∠1=50°，求∠COB、∠EOB、∠BOF 的度數.
解：因為 OE⊥CD，
所以∠DOE = 90°，∠COE = 90°.
因為∠1 = 50°，所以∠AOD = 40°.
所以∠COB = 40°(對頂角相等).
所以∠EOB = 130°.
因為 OD平分∠AOF，
所以∠DOF = ∠AOD = 40°.
所以∠BOF = 180°-∠COB-∠DOF = 100°.
設計意圖：通過練習，檢測學生對本堂課所學知識的掌握程度.
環節五 課堂小結
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：通過小結總結回顧本節課學習內容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.

展開更多......

收起↑