資源簡介

【思維導圖+典型例題+知識精講+高頻真題+答案解析】
例題1：有12瓶護手霜，其中11瓶質量相同，另有1瓶質量不足，略輕一些。如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出這瓶護手霜？請寫出詳細過程。
【答案】見試題解答內容
【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成兩份，然后每次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。
【解答】解：第一次：把12瓶，平均分成2份，每份6瓶，分別放在天平秤兩端，質量較輕的那瓶在天平秤較高的一端；
第二次：把天平秤較高端的6瓶平均分成2份，每份3瓶，分別放在天平秤兩端，質量較輕的那瓶在天平秤較高的一端；
第三次：從天平秤較高的3瓶中，任取2瓶，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則未取那瓶即為質量較輕的護手霜，若不平衡，天平秤較低端的瓶即為質量較重的護手霜；
所以如果用天平稱，至少稱3次能保證找出這瓶護手霜。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
例題2：有36盒同一種規格的餅干，其中有一盒稍重些。如果用天平稱，至少稱幾次才能保證找到這盒餅干？請寫出簡要的過程。
【答案】4
【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。
【解答】解：第一次，把36盒餅干分成3份：12，12，12，任取12盒餅干的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，較重的那盒餅干在未取的一份中，若天平不平衡，取較重的一份繼續；
第二次，取較重的一份12盒平均分成3份，4，4，4，取4盒餅干的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，較重的那盒餅干在未取的一份中，若天平不平衡，取較重的一份繼續；
第三次，取較重的一份4盒，平均分成2份2，2，分別放在天平兩側，天平不平衡，較重一端是略重的那盒餅干；
第四次，取較重的一份兩盒，分成1，1，分別放在天平兩側，較重一端是略重的那盒餅干；
所以用天平至少稱4次才能保證找到這盒餅干。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
例題3：中藥學是中國的瑰寶!奶奶因病需要到中藥店買9副中藥，每副重200克，但由于藥師的疏忽，其中一副少放了一味藥導致這一副不足200克。如果能用天平稱，至少稱幾次能保證找出這副不足200克的中藥？
【答案】2次。
【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。
【解答】解：可以把9副中藥平均分成3份，每份（3，3，3），任取2份，分別放在天平兩端；
（1）若天平平衡，則質量較輕的在未取的3副中，再按照下面天平不平衡的方法操作；
（2）若天平不平衡，把天平較高端的3副中，平均分為（1，1，1），任取2副分別放在天平兩端；
若天平平衡，則質量較輕的是未取的那副；
若天平不平衡，天平較高端的那副即為質量較輕的那副。
答：如果能用天平稱，至少稱2次能保證找出這副不足200克的中藥。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
例題4：我國是世界上最早發現茶樹和利用茶樹的國家，中國是茶的故鄉，中國是世界茶葉的祖國。某茶廠進行質量抽檢。在抽檢的15盒茶葉中，其中的14盒質量相同，另有1盒質量較重一些，如果用天平稱，至少稱幾次能保證將這盒質量較重的茶葉找出來？
【答案】3次。
【分析】根據“n次可以找出3的n次冪個零件中一個較輕次品”做題。
【解答】解：2次可以找出3 ＝9（個）待測物品的一個較重次品；
3次可以找出3 ＝27（個）待測物品的一個較重次品；
因此3次可以找出10～27個待測物品中的一個較重次品；
15盒茶葉中的一盒較重，至少稱3才可以保證找出這盒茶葉。
答：用天平稱，至少稱3次能保證將這盒質量較重的茶葉找出來。
【點評】運用找次品問題總結的規律是解答本題的捷徑。
例題5：有10瓶飲料，其中一瓶略重一些，如果用天平稱，那么至少稱幾次就能保證找出那瓶略重的飲料？并說明理由。
【答案】3次。
理由：
稱第一次：
把10瓶分成（5，5）兩組，天平兩邊各放一組，略重一些的一瓶在重的一邊。
稱第二次：
再把有略重一些的一組5瓶分成（2，2，1）三組。天平兩邊各放2瓶，出現兩種情況：天平平衡，略重一些的一瓶是未稱的一瓶；天平不平衡，略重一些的一瓶在重的一邊。
稱第三次：
把有略重一些的2瓶分成（1，1），天平兩邊各放1瓶。
【分析】把10瓶分成（5，5）兩組，天平兩邊各放一組，略重一些的一瓶在重的一邊（稱第一次）。再把有略重一些的一組5瓶分成（2，2，1）三組。天平兩邊各放2瓶，出現兩種情況：天平平衡，略重一些的一瓶是未稱的一瓶（稱兩次即可找到）；天平不平衡，略重一些的一瓶在重的一邊（稱第二次）。把有略重一些的2瓶分成（1，1），天平兩邊各放1瓶，此次即可找到略重一些的一瓶（稱第三次）。
【解答】解：稱第一次：
把10瓶分成（5，5）兩組，天平兩邊各放一組，略重一些的一瓶在重的一邊。
稱第二次：
再把有略重一些的一組5瓶分成（2，2，1）三組。天平兩邊各放2瓶，出現兩種情況：天平平衡，略重一些的一瓶是未稱的一瓶；天平不平衡，略重一些的一瓶在重的一邊。
稱第三次：
把有略重一些的2瓶分成（1，1），天平兩邊各放1瓶。
答：至少稱幾次就能保證找出那瓶略重的飲料（理由如上述）。
【點評】用平平找次品關鍵是把被測物品分組，分組不同，所稱的次數也會有所不同。所檢測的物品有只有一個次品，且已知次品比正品輕或重，被測物品個數為2～3個時，至少稱1次即可把次品找出，被測物品是4～9個時，至少稱2次即可把次品找出，被物品是10～27個時，至少稱3次……
一、概念 次品主要的特征是在重量上不符合標準，偏輕或偏重． 方法：一是把待測物品平均分成3份，二是要分的盡量平均，能夠均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份與少的一份相差1，利用天平性質找出次品． 二、找次品的策略技巧： 1、分組原則：把待測物品分成3份。能夠均分就平均分成3份；不能平均分的，應讓多的與少的一分只相差1，這樣才能保證稱的次數最少就能找出次品。 2、畫“次品樹形”分組圖，例如8個產品中有一個次品，第一次稱：分成3、3、2三組，將天平兩端放3個一組的，若一樣重則次品在剩下的2個中，若不一樣重則次品在輕的一組中；第二次稱：若是2個的分別再天平兩端放一個，輕的一端就是次品；若是3個的，隨便取2個進行稱，若一樣重則次品就是沒選取的，若不一樣重則輕的一端是次品。 三、基本思路：把待測物品盡量平均分成三份、如果不能平均分，則使其中兩份相等，第三份與這兩份相差不超過一，依次進行，可用最少的次數找到次品。找次品是思維拓展中的主要類型，其基本題型是在若干個零件里面有一個零件和其它零件不同，這個零件比其它零件輕或重，用一個無砝碼的天平，最少稱幾次能一定把次品找出來。一般是把零件總數平均分成三份，如果不能平均分，則分成a、a、b形式，a比b多1或者少1，不能多2后者少2。 四、歸納總結 物品數量分成的份數至少稱幾次就一定能找到這個次品33（1，1，1）155（2，2，1）299（3，3，3）2………………
數目與測試的次數的關系： （1）2～3個物體，保證能找出次品需要測的次數是（1）次 （2）4～9個物體，保證能找出次品需要測的次數是（2）次 （3）10～27個物體，保證能找出次品需要測的次數是（3）次 （4）28～81個物體，保證能找出次品需要測的次數是（4）次 （5）82～243個物體，保證能找出次品需要測的次數是（5）次
1．柜子中有5袋鹽，其中的4袋每袋重500克，另一袋的質量不是500克，但不知道比500克重還是輕．你用無砝碼的天平至少稱幾次就能找出質量不是500克的那袋鹽呢？
2．有27顆形狀大小完全相同的珍珠，其中摻雜著一顆假珍珠（重量較輕），用天平至少秤幾次才能找出這顆假珍珠？
3．有3盒茶葉，其中2盒每盒250克，另一盒次品不是250克，但不知道它比250克重還是輕。請你用天平找出次品，用合適的方法表示稱的過程。至少要稱幾次才能保證找出來？
4．王阿姨把散裝的白糖包裝成每袋1千克的袋裝糖，中途接了個電話，有一袋糖忘了稱重量，結果包了20袋后，她稱了一下總重量，發現不足20千克，請你設計一種方法，幫她以最快的速度找出這袋糖．
5．有8個外形相同的乒乓球，其中只有一個質量不標準，請用一架不帶砝碼的天平，最多使用三次該天平，找出上述次品乒乓球，并判斷它是重于標準球，還是輕于標準球．請在下面用圖表示出稱的過程．
6．有10袋冰糖，其中9袋重400克，1袋重390克，用天平稱，至少稱幾次，才能找出這袋重390克的冰糖？
7．有大小、形狀完全相同的薯片11桶，其中有一桶質量較輕．如果用天平，你最少稱幾次能找到它？
8．某車間生產一批零件共11個，這批零件中有1個次品，且次品比正品輕，現在有一架天平，至少稱幾次才能找出次品？
9．有8瓶礦泉水，編號是①至⑧，其中有6瓶一樣重，是合格產品，另外2瓶都輕5g，是不合格產品，用天平稱了3次，結果如下：第一次①+②比③+④重；第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕；第三次：①+③+⑤與②+④+⑧一樣重，那么這2瓶不合格產品分別是幾號？
10．有11袋糖，其中10袋質量相同，另有1袋輕一些，用天平至少稱幾次才能保證找出這袋輕一些的糖？
11．有11袋洗衣粉，其中有10袋每袋重500g，另一袋不足500g，到底是哪一袋不足500g呢？
（1）如果用天平稱，稱幾次就能保證找出來？
（2）如果天平兩邊各放5袋，稱一次有可能找到嗎？
12．有7個粽子，其中6個質量相同，另1個包了一枚硬幣，重一些。至少稱幾次才能保證找到這個粽子？（用你喜歡的方法表示稱重過程）
13．有18瓶同樣的水，小明往其中1瓶里加了一些鹽．如果用天平秤稱，那么至少稱幾次才能保證找出加鹽的那瓶水？
14．質檢部門對某企業的產品進行質量抽檢，在抽檢的9盒產品中有1盒不合格（質量稍輕一些），如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？
15．一箱藥品有15盒，其中14盒的質量相同，有一盒的質量不足輕一點，如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出那盒質量不足的？
16．用天平找次品，稱了三次，至少可以從多少個零件中找出次品？最多可以從多少個零件中找出次品？寫出你的方案。
17．有13袋薯片，其中的12袋質量相同，另有一袋質量不足為次品。至少稱幾次可以保證找出這袋薯片？
18．媽媽到超市買了10盒質量相同的奶片，樂樂偷偷吃了一片．如果用天平，至少稱幾次就可以保證找出少了一片的那一盒來？
19．有12袋外觀相同的果凍，其中有1袋比其他發的質量略輕一些，用無砝碼的天平最少稱幾次能把它找出來？
20．有10個玻璃珠，其中一個略輕一些，用天平稱，至少稱幾次才能保證找到它，請寫出稱的過程。
21．平遙牛肉是平遙縣的特色名菜，中華老字號“冠云”牌平遙牛肉馳名中外。分管質檢的張叔叔，發現在8袋外觀相同的牛肉中有1袋質量較輕的次品。假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？用你喜歡的方式記錄找次品的過程。
22．李爺爺從6盒鈣片里的一盒中拿出一片吃了，但他忘了是從哪一盒中拿出來的．你能用天平把少了一片的那一盒找出來嗎？至少稱幾次能保證找出來？（請你用圖表示稱的過程）
23．猴媽媽的水果店進了9筐相同質量的桃子，饞嘴的小猴偷吃了一筐中的3個桃子，這筐桃子就輕一些．
（1）如果用天平稱，至少稱幾次可以保證找出被吃掉3個的那一筐？請寫出主要過程．
（2）如果天平兩邊各放4筐，稱一次有可能找出來嗎？
24．5袋同樣包裝的餅干，其中有1袋是次品，較輕一些，用天平找，至少稱幾次能保證找出這袋餅干？
25．有12袋食鹽，其中11袋的質量相同，另有1袋重一些，用天平稱，至少稱幾次才能保證找出這袋重的食鹽？
26．有9顆外形完全相同的鉆石，其中有1顆是假的，且比真的略重一些。現再拿1顆外形完全相同的真鉆石放入其中，用天平稱，至少稱幾次能保證把假的鉆石找出來？
27．有13袋糖，其中12袋質量相同，另1袋質量重一些，用天平秤至少稱重幾次才能保證找出這袋較重一些的糖？
28．有盒乒乓球，其中有一個較重的是次品，用天平稱，保證稱3次就能找到這個較重的乒乓球．這盒乒乓球最多有多少個？
29．有100個零件，分裝成10袋，每袋裝10個．在其中的9袋里面每個零件都是50克，另1袋里面的每個零件都是49克．這10袋混在一起，你能用秤稱﹣﹣次，就把裝49克的那1袋零件找出來嗎？
30．有15個乒乓球，其中1個是次品，質量稍輕一些，小明用天平稱，第一次天平兩端各放7個，天平平衡。因此至少稱一次就能保證找到次品。這種說法對嗎？為什么？
31．李師傅生產了80個合格的零件，徒弟不小心把一個較重但外形相同的零件混在了80個零件中了，如果用天平稱，保證找出這個較重的零件最少需要稱多少次？
32．在9枚一模一樣的金幣中，有一枚比真金幣輕的假金幣。如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出這枚假金幣？
33．一箱核桃露有24罐，其中有一罐質量有問題，比其他的核桃露重一些，如果用天平稱，至少稱幾次才能保證找到次品？（請寫出過程）
34．1箱糖果有7袋，我們將這7袋糖果分別用序號①～⑦表示，其中6袋質量相同，另有一袋質量不足，如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出這袋糖果？請你表示出用天平找次品的過程。
35．學校食堂買回來8袋鹽，其中7袋質量相同，另有一袋的質量不足，輕一些。如果用天平來稱，至少要稱幾次才能保證找到這袋質量不足的鹽？
36．有9袋糖果，其中8袋每袋100克，另一袋不足100克。如果能用天平稱，至少稱幾次能保證找出這袋糖果？
37．有7個零件，其中有1個是次品（偏重一些），想借助天平確保稱2次找出。請你把稱的過程表述出來。
38．有16瓶相同的礦泉水，其中1瓶質量較輕，屬于不合格產品。用一架沒有砝碼的天平至少稱幾次才能保證找出這瓶不合格產品？
39．有10個羽毛球，有一個是次品（輕一些），用天平至少稱幾次能保證找出次品？
40．有15瓶水，其中14瓶質量相同，另有一瓶是鹽水，比其他的水略重一些．
（1）如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出這瓶鹽水來？
（2）稱一次有可能找出這瓶鹽水嗎？為什么？
41．1箱牛奶有12袋，其中11袋質量相同，另有1袋質量不足，小東說他用天平稱2次就能保證找出質量不足的牛奶，他說得對嗎？為什么？
42．有32盒外包裝一樣的茶葉，其中31盒質量相同，另有一盒稍輕一些。用天平稱，至少稱幾次能保證找出這盒茶葉？（請寫出簡要過程）
43．在9顆螺絲釘中，混入了1顆不合格的螺絲釘（次品），它與合格螺絲釘的外形一模一樣，只是質量略重些．如果用天平稱，最少稱幾次能保證找出這個次品？
44．李叔叔加工了5個精密零件，其中有一個零件內部有砂眼，比別的零件輕．為保證精密零件的質量，要找出這個次品．你能用無砝碼的天平很快把它找出來嗎？
45．1箱牛奶有12袋，其中11袋質量相同，另一袋質量較輕．如果用天平來稱，至少稱幾次能保證找出這袋牛奶？
46．有8瓶礦泉水，編號是①至⑧，其中有6瓶是合格產品，另外2瓶都輕5g，是次品，如圖用天平稱了3次，那么這兩瓶次品分別是哪兩瓶？
47．有一箱乒乓球（外觀完全相同），其中里面含有一個較重的次品球，如果稱5次才能找出這個次品球，這個箱子中最少有多少個乒乓球？最多呢？
48．彭叔叔生產了A，B，C，D4個零件，其中3個質量都是100克，另1個次品質量不是100克，但不知道是比100克重還是輕。如果用天平稱，那么至少稱幾次能保證找出這個次品？請用表示稱的過程。
49．6個零件里有1個是次品（輕一些），假如用天平秤，至少稱幾次才能保證找出次品？
參考答案與試題解析
1．柜子中有5袋鹽，其中的4袋每袋重500克，另一袋的質量不是500克，但不知道比500克重還是輕．你用無砝碼的天平至少稱幾次就能找出質量不是500克的那袋鹽呢？
【答案】見試題解答內容
【分析】天平是一個等臂杠桿，利用杠桿的平衡原理即可解決此類問題．
【解答】解：（1）等一次稱量：先把其中4袋拿出分作2份，放在天平左右兩邊進行稱量，如果左右相等，那么說明剩下的那一袋是次品；如果左右不等，那么說明次品就在其中一邊；
（2）第二次稱量：把左邊的兩袋分別放在天平的左右兩邊稱量：如果相等，那么次品在右邊一組的兩袋中，如果不等，那么說明這兩袋中有一袋是次品；
（3）把確定有次品的2袋鹽，分別與其它三袋中的任意一袋繼續稱量，相等的是500克，不等的就是次品，由此也可以利用天平的平衡原理得出它的質量是大于500克或是小于500克．
【點評】此題是靈活考查天平的應用，方法還是杠桿的平衡原理．
2．有27顆形狀大小完全相同的珍珠，其中摻雜著一顆假珍珠（重量較輕），用天平至少秤幾次才能找出這顆假珍珠？
【答案】見試題解答內容
【分析】第一次：把27顆珍珠平均分成3份，每份9顆，任取2份，分別放在天平2端，若天平秤平衡，則較輕的珍珠即在未取的9顆中，若不平衡較輕的珍珠在天平上翹的那一端；
第二次：把天平上翹的那一端的9顆珍珠分成3份，每份3顆，任取2份，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則較輕的珍珠即在未取的3顆中，若不平衡較輕的珍珠在天平上翹的那一端；
第三次：把天平上翹的那一端的任取2顆，分別放在天平秤2端，若天平秤平衡，未取那顆即為較輕珍珠，若不平衡，天平上翹的那一端即為較輕的．
【解答】解：第一次：把27顆珍珠平均分成3份，每份9顆，任取2份，分別放在天平秤2端，若天平秤平衡，則較輕的珍珠即在未取的9顆中，若不平衡較輕的珍珠在天平上翹的那一端；
第二次：把天平上翹的那一端的9顆珍珠分成3份，每份3顆，任取2份，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則較輕的珍珠即在未取的3顆中，若不平衡較輕的珍珠在天平上翹的那一端；
第三次：把天平上翹的那一端的任取2顆，分別放在天平秤2端，若天平秤平衡，未取那顆即為較輕珍珠，若不平衡，天平上翹的那一端即為較輕的．
答：用天平至少秤3次才能找出這顆假珍珠．
【點評】本題主要考查學生運用天平秤平衡原理解決問題的能力，注意每次取珍珠的顆數．
3．有3盒茶葉，其中2盒每盒250克，另一盒次品不是250克，但不知道它比250克重還是輕。請你用天平找出次品，用合適的方法表示稱的過程。至少要稱幾次才能保證找出來？
【答案】2次。
【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。
【解答】解：第一次：從3盒茶葉中任取2盒標為①②，分別放在天平兩端，若天平平衡，則未取那盒③即是重量不同的那盒。
第二次：若天平不平衡，把在天平兩端的茶葉，取一盒①，與未取那盒③，分別放在天平兩端，
若天平平衡，則第一次稱量時的另一盒②即為重量不一樣的茶葉。
答：至少要稱2次才能保證找出來。
【點評】本題考查知識點：依據天平平衡原理解決問題。
4．王阿姨把散裝的白糖包裝成每袋1千克的袋裝糖，中途接了個電話，有一袋糖忘了稱重量，結果包了20袋后，她稱了一下總重量，發現不足20千克，請你設計一種方法，幫她以最快的速度找出這袋糖．
【答案】見試題解答內容
【分析】先把20袋糖分成（7，7，6），把兩個7袋一組的放在天平上稱，可找出有次品的一組，再把7分成（3，3，1），可找出有次品的一組，再把3分成（1，1，1），可找出次品，如次品在6袋一組里，則把6分成（2，2，2），把兩個2袋一組的放在天平上稱，可找出次品一組，再把2成（1，1），可找出次品．據此解答．
【解答】解：先把20袋糖分成（7，7，6），把兩個7袋一組的放在天平上稱，可找出有次品的一組，再把7分成（3，3，1），可找出有次品的一組，再把3分成（1，1，1），可找出次品，需3次；
如次品在6個一組里，則把6分成（2，2，2），把兩個2個一組的放在天平上稱，可找出次品一組，再把2成（1，1），可找出次品，需3次；
所以用天平稱，至少稱3次能保證找出次品球．
【點評】本題主要考查了學生根據天平平衡的原理解答問題的能力．
5．有8個外形相同的乒乓球，其中只有一個質量不標準，請用一架不帶砝碼的天平，最多使用三次該天平，找出上述次品乒乓球，并判斷它是重于標準球，還是輕于標準球．請在下面用圖表示出稱的過程．
【答案】見試題解答內容
【分析】稱第一次：把這8個乒乓分成（4，4）兩組，天平每邊放一組，肯定不平衡．稱第二次：把輕的4個分成（2，2），若平衡，獎品在未稱的4個，且獎品比標準球重；若不平衡，獎品在正在稱的4個，且次品比標準球輕．此時已知次品比標準球輕還是重．稱第三次：天平每邊各拿下1個，若平衡，次品是拿下的兩個中的一個，根據在哪邊拿下的即可確定這個次品．
【解答】解：第一次：把8個分成（4，4）A、B兩組兩組，天平每邊放一組，天平一定不平衡（如圖）．
稱第二次：把A組分成（2，2）C、D兩組．有兩種情況：①平衡，次品在B組，且比標準球重；②不平衡，次品在A組，且次品比標準球輕．不論怎樣，稱這一次已經知道次品在哪組，且比標準球重（或經）．
稱第三次：把有次品的一組4個每邊各拿下1個．出現兩種情況：①平衡，次品在原來重（或輕）的一邊；②不平衡，次品是重（或輕）一個．由于第二次稱已經知道次品比標準球重還是輕，因此，這一次一定找到次品．
【點評】用天平找次品，關鍵是合理分組，分組的方法不同，稱的次數也會改變．
6．有10袋冰糖，其中9袋重400克，1袋重390克，用天平稱，至少稱幾次，才能找出這袋重390克的冰糖？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據題意，第一次先拿五袋來稱，得出哪五袋中有390的；第二次從有390的五袋拿三袋來稱，如果390的在這三袋中，則第三次從這三袋中再拿兩袋稱，如果390的在這兩袋中，則再稱一次，如果第二次的時候390的不在所稱的三袋中，那么就只需要三次．
【解答】解：第一次五五分，找出有輕的一份；
第二次把輕的一份選出四袋，二二分，如果一樣重，則剩下的一袋為390克，若不是，則把輕的一份再稱一次．
這樣，最多3次可以找到390克的冰糖．
答：至少稱3次，才能找出這袋重390克的冰糖．
【點評】本題主要考查找次品，一般方法為：一是把待測物品平均分成3份，二是要分的盡量平均，能夠均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份與少的一份相差1，利用天平性質找出次品．
7．有大小、形狀完全相同的薯片11桶，其中有一桶質量較輕．如果用天平，你最少稱幾次能找到它？
【答案】見試題解答內容
【分析】先把11桶薯片分成（4，4，3），再分成（2，2，）或（1，1，1），最后分成（1，1），這樣最少稱3次能找到它；據此解答即可．
【解答】解：先把11桶薯片分成（4，4，3），每側放4桶，
如果平衡，在剩下的3桶一定有一桶質量較輕，然后分成（1，1，1），稱量2次即可找到質量較輕的一桶．
如果不平衡，上翹4桶中一定有一桶質量較輕的，然后分成（2，2），然后再把上翹的2桶，分成（1，1），這樣稱量3次即可找到質量較輕的一桶．
【點評】天平秤的平衡原理是解答本題的依據，關鍵是明確每次分組的數量．
8．某車間生產一批零件共11個，這批零件中有1個次品，且次品比正品輕，現在有一架天平，至少稱幾次才能找出次品？
【答案】3次。
【分析】把11 分成（4，4，3），天平兩邊各放4個，如果平衡，將3分成（1，1，1）需要2次，找出較輕的，即可解答。如果不平衡將4分成（1，1，2），再將2分成（1，1）需要3次，找出較輕的，即可解答。所以至少稱3次才能找出次品。
【解答】解：把11 分成（4，4，3），天平兩邊各放4個，如果平衡，將3分成（1，1，1）需要2次，找出較輕的，即可解答。如果不平衡將4分成（1，1，2），再將2分成（1，1）需要3次，找出較輕的，即可解答。所以至少稱3次才能找出次品。
答：至少稱3次才能找出次品。
【點評】天平秤的平衡原理是解答本題的依據。注意每次分的份數。
9．有8瓶礦泉水，編號是①至⑧，其中有6瓶一樣重，是合格產品，另外2瓶都輕5g，是不合格產品，用天平稱了3次，結果如下：第一次①+②比③+④重；第二次⑤+⑥比⑦+⑧輕；第三次：①+③+⑤與②+④+⑧一樣重，那么這2瓶不合格產品分別是幾號？
【答案】見試題解答內容
【分析】由①+②比③+④重可知①、②為合格產品，③、④中有一瓶是不合格產品（不能都是不合格產品，因為若都是不合格產品，就不會出現：⑤+⑥比⑦+⑧輕）．
由⑤+⑥比⑦+⑧輕可知⑦、⑧為合格產品，⑤、⑥中有一瓶不是合格產品（同理不能都是次品）．
這樣會出現以下四種情況：A、③和⑤是不合格產品；B、③和⑥是不合格產品；C、④和⑤是不合格產品；D、④和⑥是不合格產品．根據：①+③+⑤與②+④+⑧一樣重，A、B、D都不能使這個等式成立，只有C能使這個等式成立，即不合格產品是④和⑤．
【解答】解：因為①+②比③+④重
所以③、④中有一瓶是不合格產品（不能都是不合格產品，因為若都是不合格產品，就不會出現：⑤+⑥比⑦+⑧輕）
因為⑤+⑥比⑦+⑧輕
所以⑤、⑥中有一瓶不是合格產品（同理不能都是次品）
于是會出現以下四種情況：
A、③和⑤是不合格產品
B、③和⑥是不合格產品
C、④和⑤是不合格產品
D、④和⑥是不合格產品．
因為：①+③+⑤與②+④+⑧一樣重
所以A、B、D都不能使這個等式成立
所以不合格產品是④和⑤．
答：這2瓶不合格產品分別是④號和⑤號．
【點評】解答本題的關鍵是根據題干中前兩次的稱量，找出次品的可能性，進而根據第三次稱量得出結論．
10．有11袋糖，其中10袋質量相同，另有1袋輕一些，用天平至少稱幾次才能保證找出這袋輕一些的糖？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據題意，第一次，把11袋糖分成3份：4袋、4袋、3袋，取4袋的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的一袋在未取的一份中；若天平不平衡，取較輕的一份繼續稱量．第二次，取含有較輕的一份，分成3份：1袋、1袋、2袋（或1袋），取1袋的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的一袋在未取的一份中，若天平不平衡，則找到較輕的一袋．第三次，取含有較輕的一份分別放在天平兩側，即可找到較輕的一袋糖．
【解答】解：第一次，把11袋糖分成3份：4袋、4袋、3袋，取4袋的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的一袋在未取的一份中；若天平不平衡，取較輕的一份繼續稱量．第二次，取含有較輕的一份，分成3份：1袋、1袋、2袋（或1袋），取1袋的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的一袋在未取的一份中，若天平不平衡，則找到較輕的一袋．
第三次，取含有較輕的一份分別放在天平兩側，即可找到較輕的一袋糖．
答：用天平至少稱3次才能保證找出這袋輕一些的糖．
【點評】天平秤的平衡原理是解答本題的依據，注意每次取糖的袋數．
11．有11袋洗衣粉，其中有10袋每袋重500g，另一袋不足500g，到底是哪一袋不足500g呢？
（1）如果用天平稱，稱幾次就能保證找出來？
（2）如果天平兩邊各放5袋，稱一次有可能找到嗎？
【答案】（1）3次；
（2）有可能。
【分析】（1）天平兩邊放相同的袋數，如果天平平衡，次品在未放上天平的幾袋中，如果天平不平衡，次品在較輕的幾袋中，據此去找出不足500克的一袋；
（2）天平兩邊各放5袋，有一袋沒放上天平，如果天平平衡，則沒放上天平的一袋不足500克。
【解答】解：（1）第一次天平兩邊各放5袋，如果天平平衡，則沒放上天平的一袋不足500克，如果天平不平衡，則不足500克的一袋在較輕的5袋中，第二次天平兩邊各放2袋，如果天平平衡，則沒放上天平的一袋不足500克，如果天平不平衡，則不足500克的一袋在較輕的2袋中，第三次天平兩邊各放1袋，較輕的一袋不足500克；所以用天平稱，稱3次就能保證找出不足500克的一袋。
（2）如果天平兩邊各放5袋，稱一次有可能找到不足500克的一袋。
【點評】把物品總數分成三份，讓其中兩份數量相等，分別放在天平兩邊，根據天平是否平衡，就能知道較輕的次品在哪一份中。
12．有7個粽子，其中6個質量相同，另1個包了一枚硬幣，重一些。至少稱幾次才能保證找到這個粽子？（用你喜歡的方法表示稱重過程）
【答案】2次。
【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。
【解答】解：依據分析可得：
第一步：把7個中分成3、3、1，稱量3、3兩組，若天平平衡，則剩下的那1個是重的；
第二步：如果天平不平衡，則天平較低的那端一定有稍重的那個，再把這3個分成1，1，1，稱量1，1兩組，如果天平不平衡，則天平較低的那端一定是稍重的那個，如果平衡，則剩下的一個就是較重的那個粽子。
故至少稱2次才能保證找到這個粽子。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
13．有18瓶同樣的水，小明往其中1瓶里加了一些鹽．如果用天平秤稱，那么至少稱幾次才能保證找出加鹽的那瓶水？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據天平平衡原理，第一次，先把18瓶水平均分成3份，每份6瓶，取其中的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較重的一份在未取的一份中，若天平不平衡，取較重的一份繼續；第二次，取較重的一份平均分成3份（每份2瓶），取其中的2份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較重的在未取的一份，若天平不平衡，取較重的一份繼續；第三次，取較重的一份（3瓶）中的兩瓶分別放在天平兩側，若天平平衡，則未取的較重，若不平衡，較重的一瓶就是加鹽的．據此解答．
【解答】解：第一次，先把18瓶水平均分成3份，每份6瓶，取其中的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較重的一份在未取的一份中，若天平不平衡，取較重的一份繼續；
第二次，取較重的一份平均分成3份（每份2瓶），取其中的2份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較重的在未取的一份，若天平不平衡，取較重的一份繼續；
第三次，取較重的一份（3瓶）中的兩瓶分別放在天平兩側，若天平平衡，則未取的較重，若不平衡，較重的一瓶就是加鹽的．
答：至少稱3次才能保證找出加鹽的那瓶水．
【點評】本題主要考查學生依據天平秤平衡原理解決問題的能力，注意每次取水的瓶數．
14．質檢部門對某企業的產品進行質量抽檢，在抽檢的9盒產品中有1盒不合格（質量稍輕一些），如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？
【答案】2次。
【分析】（1）根據題意，第一次把9盒產品平均分成3份，取其中兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的一個在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；第二次，取含有較輕產品的一份中的3個分別放在天平兩側，若天平平衡，則未取的一個為不合格產品，若天平不平衡，較輕的為不合格產品。據此解答。
（2）如果在天平兩側各放4盒產品，天平平衡，則未取的一盒為不合格產品，所以稱一次有可能找到不合格產品。據此解答。
【解答】解：（1）第一次把9盒產品平均分成3份，取其中兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的一個在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；
第二次，取含有較輕產品的一份中的3個分別放在天平兩側，若天平平衡，則未取的一個為不合格產品，若天平不平衡，較輕的為不合格產品。
所以至少稱2次能保證找出次品。
故答案為：2次。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
15．一箱藥品有15盒，其中14盒的質量相同，有一盒的質量不足輕一點，如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出那盒質量不足的？
【答案】3次。
【分析】天平是一個等臂杠桿，所以如果左右兩邊的質量不一樣，則天平會不平衡，利用此特點把15盒藥品分成5盒、5盒、5盒三份，先稱其中的兩份，若平衡，則次品在剩余的一份中，若不平衡，則次品在天平的較高一端；進而繼續將較高端分成2盒、2盒、1盒，利用上面方法繼續比較，直至找出質量不足的那一盒藥品。
【解答】解：把15這盒分成5盒，5盒，5盒三份。
第一次：任取兩份，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則較輕一盒，即在未取的5盒中（再按照下面方法即可找出），若不平衡，取天平秤較高端的一份繼續；
第二次：把在天平秤較高端5盒，任取4盒，平均分成兩份，每份2盒，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則未取那盒即為質量不足的，若天平秤不平衡，取天平秤較高端的一份繼續；
第三次：把天平秤較高端的兩盒，分別放在天平秤兩端，較高端的那盒即為質量不足的。
答：至少稱3次能保證找出那盒質量不足的。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
16．用天平找次品，稱了三次，至少可以從多少個零件中找出次品？最多可以從多少個零件中找出次品？寫出你的方案。
【答案】10；27。
（1）10個零件中找一個次品，分成三組（3，3，4），至少稱3次就一定能找出這個次品零件。
（2）27個零件中找一個次品，分成三組（9，9，9），稱量一次確定次品在哪9個中，再把9個分成三組（3，3，3），至少稱3次就一定能找出這個次品零件。
【分析】小學數學找次品的公式：找次品的公式計算
規律：
2～3個物品稱1次
4～9個物品稱2次
10～27個物品稱3次
28～81個物品稱4次（以上是知道次品輕重的，不知道次品輕重要稱多一次）
【解答】解：至少可以從10個零件中找出次品，最多可以從27個零件中找出次品。
（1）10個零件中找一個次品，分成三組（3，3，4），至少稱3次就一定能找出這個次品零件。
（2）27個零件中找一個次品，分成三組（9，9，9），稱量一次確定次品在哪9個中，再把9個分成三組（3，3，3），至少稱3次就一定能找出這個次品零件。
【點評】此題考查了對找次品的規律的靈活運用。
17．有13袋薯片，其中的12袋質量相同，另有一袋質量不足為次品。至少稱幾次可以保證找出這袋薯片？
【答案】3次。
【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。
【解答】解：有13袋薯片，其中的12袋質量相同，另有一袋質量不足為次品。將13袋分成3份：4，4，5。
第一次稱重，在天平兩邊各放4袋，手里留5袋；
①如果天平平衡，則次品在手里，將手里的5袋分為2，2，1，在天平兩邊各放2袋，手里留1袋。
a.如果天平平衡，則次品在手里；
b.如果天平不平衡，則次品在升起的天平托盤的2袋中。
接下來，將這兩袋分別放在天平的兩邊就可以鑒別出次品。
②如果天平不平衡，則次品在升起的天平托盤的4袋中，將這4袋中的2袋在天平兩邊各放1袋，手里留2袋。
a.如果天平不平衡，則找到次品在升起的天平托盤中；
b.如果天平平衡，則次品在手中的2袋中。
接下來，將這兩袋分別放在天平的兩邊就可以鑒別出次品。
答：至少稱3次可以保證找出這袋薯片。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
18．媽媽到超市買了10盒質量相同的奶片，樂樂偷偷吃了一片．如果用天平，至少稱幾次就可以保證找出少了一片的那一盒來？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據題意，第一次，把10盒奶片分成3份：3盒、3盒、4盒，取3盒的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則被吃的一盒在未取的一份，若天平平衡，取較輕的一份繼續稱量；第二次，取含有被吃一片的一盒（3盒或4盒），分成3份：1盒、1盒、1盒（或2盒），取1盒的2份分別放在天平兩側，若天平平衡，則，被吃掉一片的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，可找到較輕的一盒；第三次，取含有較輕的一份（2盒），分別放在天平兩側，即可找到較輕的一盒．據此回答．
【解答】解：第一次，把10盒奶片分成3份：3盒、3盒、4盒，取3盒的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則被吃的一盒在未取的一份，若天平平衡，取較輕的一份繼續稱量；
第二次，取含有被吃一片的一盒（3盒或4盒），分成3份：1盒、1盒、1盒（或2盒），取1盒的2份分別放在天平兩側，若天平平衡，則，被吃掉一片的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，可找到較輕的一盒；
第三次，取含有較輕的一份（2盒），分別放在天平兩側，即可找到較輕的一盒．
答：只數3次就可以保證找出少了一片的那一盒來．
【點評】本題主要考查找次品，關鍵注意每次取奶片的盒數．
19．有12袋外觀相同的果凍，其中有1袋比其他發的質量略輕一些，用無砝碼的天平最少稱幾次能把它找出來？
【答案】見試題解答內容
【分析】分成每6袋一組，用天平稱，因有一袋質量不足，所以找出輕的一組，再把輕的一組任意3袋分成一組，用天平稱，再找出輕的一組，再任取2袋用天平稱，若天平平衡，則沒稱的1袋是次品，若不平衡則輕的是次品．據此解答．
【解答】解：根據以上分析可知至少要稱3次才能保證找出這袋糖果來．
答：至少需要3次保證找出這袋果凍．
【點評】本題主要運用天平平衡的知識來尋找次品．
20．有10個玻璃珠，其中一個略輕一些，用天平稱，至少稱幾次才能保證找到它，請寫出稱的過程。
【答案】3次。
第一次：把10個玻璃珠平均分成兩份，每份5個，分別放在天平秤兩端。
第二次：從天平秤較高端的5個玻璃珠中任取4個，平均分成兩份，每份2個，若天平秤平衡，則未取那個玻璃珠即為較輕的，若天平秤不平衡，進行第三次稱重。
第三次：把天平秤較高端的2個玻璃珠，分別放在天平秤兩端，較高端的即為較輕的。
所以至少稱3次才能保證找到它。
【分析】第一次：把10個玻璃珠平均分成兩份，每份5個，分別放在天平秤兩端；第二次：從天平秤較高端的5個玻璃珠中任取4個，平均分成兩份，每份2個，若天平秤平衡，則未取那個玻璃珠即為較輕的，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤較高端的2個玻璃珠，分別放在天平秤兩端，較高端的即為較輕的，據此即可解答。
【解答】解：用天平稱，至少稱3次才能保證找到它。
第一次：把10個玻璃珠平均分成兩份，每份5個，分別放在天平秤兩端。
第二次：從天平秤較高端的5個玻璃珠中任取4個，平均分成兩份，每份2個，若天平秤平衡，則未取那個玻璃珠即為較輕的，若天平秤不平衡，進行第三次稱重。
第三次：把天平秤較高端的2個玻璃珠，分別放在天平秤兩端，較高端的即為較輕的。
所以至少稱3次才能保證找到它。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
21．平遙牛肉是平遙縣的特色名菜，中華老字號“冠云”牌平遙牛肉馳名中外。分管質檢的張叔叔，發現在8袋外觀相同的牛肉中有1袋質量較輕的次品。假如用天平稱，至少稱幾次能保證找出次品？用你喜歡的方式記錄找次品的過程。
【答案】2次。
【分析】結合分析可知：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），稱一次，無論次品是在3袋中還是在2袋中，只要再稱一次即可找到次品。
【解答】解：第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平兩端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一邊1袋，如果不平衡，則再輕的一邊，把輕的一邊的3份再平均分成3份（1，1，1），天平兩邊各放1份，如果平衡，次品在比較輕的一端，如果不平衡，剩下的1個是次品，所以至少秤2次能保證找出次品。
答：至少稱2次能找出次品。
【點評】通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題是應該具備的基本能力。
22．李爺爺從6盒鈣片里的一盒中拿出一片吃了，但他忘了是從哪一盒中拿出來的．你能用天平把少了一片的那一盒找出來嗎？至少稱幾次能保證找出來？（請你用圖表示稱的過程）
【答案】見試題解答內容
【分析】根據題意，第一次，把6盒鈣片平均分成3份（每份2盒），取其中的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的一盒在未取的一份，若天平平衡，取較輕的一份繼續；第二次，取含有較輕的一份（2盒），分別放在天平兩側，即可找到較輕的一盒．
【解答】解：如圖所示：
第一次，把6盒鈣片平均分成3份（每份2盒），取其中的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的一盒在未取的一份，若天平平衡，取較輕的一份繼續；
第二次，取含有較輕的一份（2盒），分別放在天平兩側，即可找到較輕的一盒．
答：能用天平把少了一片的那一盒找出來，至少稱2次能保證找出來．
【點評】本題主要考查找次品，關鍵注意每次取鈣片的盒數．
23．猴媽媽的水果店進了9筐相同質量的桃子，饞嘴的小猴偷吃了一筐中的3個桃子，這筐桃子就輕一些．
（1）如果用天平稱，至少稱幾次可以保證找出被吃掉3個的那一筐？請寫出主要過程．
（2）如果天平兩邊各放4筐，稱一次有可能找出來嗎？
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據題意，第一次，把9筐桃子平均分成3份，取其中的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的一筐在未取的一份中，若天平不平衡，則取較輕的一份繼續；第二次，取較輕的一份（3筐）中的2筐分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的為未取的一筐，若天平不平衡，則可找到較輕的一筐．據此解答．
（2）根據事件發生的可能性原理可知，如果天平兩邊各放4筐，如果天平平衡，則較輕的為剩余的1筐，所以有可能稱一次就找到這筐桃子．
【解答】解：（1）第一次，把9筐桃子平均分成3份，取其中的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的一筐在未取的一份中，若天平不平衡，則取較輕的一份繼續；
第二次，取較輕的一份（3筐）中的2筐分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的為未取的一筐，若天平不平衡，則可找到較輕的一筐．
答：至少稱2次可以保證找出被吃掉3個的那一筐．
（2）答：如果天平兩邊各放4筐，稱一次有可能找出來．
【點評】本題主要考查找次品，關鍵注意每次取桃子的筐數．
24．5袋同樣包裝的餅干，其中有1袋是次品，較輕一些，用天平找，至少稱幾次能保證找出這袋餅干？
【答案】2次。
【分析】把5袋分成（2，2，1），天平兩邊各放2袋，出現兩種情況：天平平衡，次品是未稱的一袋；天平不平衡，次品在輕的一邊（稱第一次）。把有次品的2袋分成（1，1），再稱一次即可找出次品（稱第二次）。
【解答】解：稱第一次：
把5袋分成（2，2，1）
天平兩邊各放2袋，出現兩種情況：天平平衡，次品是未稱的一袋；天平不平衡，次品在輕的一邊。
稱第二次：
把有次品的2袋分成（1，1），天平兩邊各放1袋，次品在輕的一邊。
答：至少稱2次能保證找出這袋餅干。
【點評】用平平找次品關鍵是把被測物品分組，分組不同，所稱的次數也會有所不同。所檢測的物品有只有一個次品，且已知次品比正品輕或重，被測物品個數為2～3個時，至少稱1次即可把次品找出，被測物品是4～9個時，至少稱2次即可把次品找出，被物品是10～27個時，至少稱3次……
25．有12袋食鹽，其中11袋的質量相同，另有1袋重一些，用天平稱，至少稱幾次才能保證找出這袋重的食鹽？
【答案】3次。
【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。
【解答】解：經分析得：
將12袋分成3份：4，4，4；第一次稱重，在天平兩邊各放4袋，手里留4袋；
（1）如果天平平衡，則次品在手里，將這4袋中的2袋在天平兩邊各放1袋，手里留2袋；
a.如果天平不平衡，則找到次品在下沉的天平托盤中；
b.如果天平平衡，則次品在手中的2袋中，接下來，將這兩袋分別放在天平的兩邊就可以找出次品。
（2）如果天平不平衡，則次品在下沉的天平托盤的4袋中，將這4袋中的2袋在天平兩邊各放1袋，手里留2袋，
a.如果天平不平衡，則找到次品在下沉的天平托盤中；
b.如果天平平衡，則次品在手中的2袋中，接下來，將這兩袋分別放在天平的兩邊就可以找出次品。
故用天平稱，至少稱3次才能保證找出這袋重的食鹽。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
26．有9顆外形完全相同的鉆石，其中有1顆是假的，且比真的略重一些。現再拿1顆外形完全相同的真鉆石放入其中，用天平稱，至少稱幾次能保證把假的鉆石找出來？
【答案】3次。
【分析】將10顆鉆石分成5、5兩組，放在天平上稱量，再將較重的那5個分成2、2、1三組稱量，進而再將較重的那2個稱量一次就可以找出這個質量重的鉆石。
【解答】解：第一次：兩邊各放5個，則可以找出較重的那5個，
第二次：兩邊各放2個，天平平衡，則剩下的那個是質量重的鉆石，天平不平衡，就可以找出較重的那2個，
第三次：兩邊各放1個，即可找出質量重的鉆石；
用天平稱，至少稱3次能保證把假的鉆石找出來。
【點評】解答此題的關鍵是將10顆鉆石進行合理的分組，逐次稱量，進而找出次品。
27．有13袋糖，其中12袋質量相同，另1袋質量重一些，用天平秤至少稱重幾次才能保證找出這袋較重一些的糖？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據天平平衡原理，第一次：把13袋糖分成3份：4袋、4袋、5袋，取4袋的2份，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則較重的糖果即在未取的一份中（再按下面方法操作），若不平衡，取較重的一份繼續；第二次：把天平秤中較低端的一份糖，分成1袋、1袋、2袋（或3袋），取1袋的兩份分別放在天平秤兩端，若天平平衡，則較重的在未取的一份，若天平平衡，即可找出較重的一袋；第三次：把天平秤中較低端的2袋（或3袋糖，取2袋分別放在天平秤2端，若天平平衡，則未取的一袋就是較重的一袋，若不平衡，較低端即為較重的，據此即可解答．
【解答】解：第一次：把13袋糖分成3份：4袋、4袋、5袋，取4袋的2份，分別放在天平秤兩端，若天平秤平衡，則較重的糖果即在未取的一份中（再按下面方法操作），若不平衡，取較重的一份繼續；
第二次：把天平秤中較低端的一份糖，分成1袋、1袋、2袋（或3袋），取1袋的兩份分別放在天平秤兩端，若天平平衡，則較重的在未取的一份，若天平平衡，即可找出較重的一袋；
第三次：把天平秤中較低端的2袋（或3袋糖，取2袋分別放在天平秤2端，若天平平衡，則未取的一袋就是較重的一袋，若不平衡，較低端即為較重的．
答：用天平秤至少稱重3次才能保證找出這袋較重一些的糖．
【點評】本題主要考查學生依據天平秤平衡原理解決問題的能力，注意每次取糖果的袋數．
28．有盒乒乓球，其中有一個較重的是次品，用天平稱，保證稱3次就能找到這個較重的乒乓球．這盒乒乓球最多有多少個？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據找次品的規律，當物品個數最多在3n時，至少需要n次即可找到次品．所以如果3次才能找到次品，則物品的個數最多是：33＝27（個）．
【解答】解：33＝27（個）
答：這盒乒乓球最多有27個．
【點評】本題主要考查找次品，關鍵根據找次品的規律：當物品個數最多為3n個時，最多n次即可保證找到次品．
29．有100個零件，分裝成10袋，每袋裝10個．在其中的9袋里面每個零件都是50克，另1袋里面的每個零件都是49克．這10袋混在一起，你能用秤稱﹣﹣次，就把裝49克的那1袋零件找出來嗎？
【答案】見試題解答內容
【分析】因天平是一個等臂杠桿，所以如果左右兩盤質量不一樣，則天平會不平衡，利用此特點進行分組稱量，即可解答問題．
【解答】解：（1）把10袋零件分成兩組：5袋為1組，進行第一次稱量，那么次品就在較輕的那一組中，
（2）由此再把較輕的5袋分成2組：2袋為1組，如果左右相等說明剩下的1袋中有次品，考慮最差情況：左右不等，那么次品就在較輕的那2袋中，
（3）把較輕的2袋分為2組：1組1盒，那么較輕的那一堆中有次品．
綜上所述，至少經過3次就一定能找到次品．
【點評】解答此題的關鍵是將10袋零件進行分組，利用篩選法逐步找出次品．
30．有15個乒乓球，其中1個是次品，質量稍輕一些，小明用天平稱，第一次天平兩端各放7個，天平平衡。因此至少稱一次就能保證找到次品。這種說法對嗎？為什么？
【答案】說法錯誤。
一次只能說可能找到，不是能保證找到次品。
【分析】因天平是一個等臂杠桿，所以如果左右兩盤質量不一樣，則天平會不平衡，如果天平平衡，說明剩下的是次品，此特點進行分組稱量：
（1）把15個分成3組（7，7，1），把兩組7個的進行第一次稱量，如果平衡，那么次品就是剩下的那1個，
（2）如果不平衡，再把較輕的7個，分成3組（2，2，3），如此經過3次即可找出次品。
【解答】解：有15個乒乓球，其中1個是次品，質量稍輕一些，小明用天平稱，第一次天平兩端各放7個，天平平衡。因此至少稱一次就能保證找到次品。說法錯誤。
一次只能說可能找到，不是能保證找到次品。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
31．李師傅生產了80個合格的零件，徒弟不小心把一個較重但外形相同的零件混在了80個零件中了，如果用天平稱，保證找出這個較重的零件最少需要稱多少次？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據找次品的規律，當物品個數最多為3n時，n次即可找到次品．因為33＜80＜34，所以，4次即可保證找出這個較重的零件．
【解答】解：33＜80＜34
答：用天平稱，保證找出這個較重的零件最少需要稱4次．
【點評】本題主要考查找次品，關鍵利用找次品的規律做題．
32．在9枚一模一樣的金幣中，有一枚比真金幣輕的假金幣。如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出這枚假金幣？
【答案】2
【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。
【解答】解：第一次把9枚金幣平均分成三份，每份3枚，任取其中兩份，分別放在天平兩端；
若天平不平衡，則第二次從天平較高端的3枚金幣中，任取2枚金幣，分別放在天平兩端，
若天平平衡，則未取的那枚金幣就是假金幣，
若天平不平衡，則天平較高端的是假金幣；
若第一次天平平衡，則第二次從未取的那3枚金幣中，任取2枚金幣，分別放在天平兩端，
若天平平衡，則未取的那枚金幣就是假金幣，
若天平不平衡，則天平較高端的是假金幣。
所以至少稱2次能保證找出這枚假金幣。
答：至少稱2次能保證找出這枚假金幣。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
33．一箱核桃露有24罐，其中有一罐質量有問題，比其他的核桃露重一些，如果用天平稱，至少稱幾次才能保證找到次品？（請寫出過程）
【答案】3次。
【分析】整體思路：把零件總數分成3份（a+a+b），a＝b或a和b的差是1。把兩個a放在天平兩端，如果天平平衡，次品就在b里頭，如果天平不平衡，則根據次品和正品的差別找出次品在哪一份中；重復同樣的方法，直到找出次品。
【解答】解：24罐核桃露分成3份（8+8+8），任取兩份，天平兩邊各放一份，如果不平衡，次品在較重的8個中；如果平衡，次品在剩下的8個中；這樣次品范圍縮小到8個中；
將8罐核桃露分成3份（3+3+2），天平兩邊各放3罐，如果平衡，次品在剩下的2罐中，這兩罐再稱一次，較重的是次品；如果不平衡，次品在較重的3個中；
將8罐核桃露分成3份（1+1+1），天平兩邊各放一罐，如果平衡，剩下的一罐是次品，如果不平衡，較重的一罐是次品。
答：至少3次可以保證找到次品。
【點評】把零件總數分成數量最接近的3份，才能保證用最少的次數找出其中一個已知輕（或重）的次品。
34．1箱糖果有7袋，我們將這7袋糖果分別用序號①～⑦表示，其中6袋質量相同，另有一袋質量不足，如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出這袋糖果？請你表示出用天平找次品的過程。
【答案】2次。
【分析】根據圖示，把7袋糖果分成三份（3袋、3袋、1袋），取3袋的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則未取的1袋為較輕的，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；第二次取較輕的一份（3袋）中的2袋分別放在天平兩側，若天平平衡，則未取的一袋為次品，若天平不平衡，可找到較輕的。據此做題。
【解答】解：如圖：
答：至少稱2次能保證找出這袋糖果。
【點評】本題主要考查找次品，關鍵注意每次糖果的袋數。
35．學校食堂買回來8袋鹽，其中7袋質量相同，另有一袋的質量不足，輕一些。如果用天平來稱，至少要稱幾次才能保證找到這袋質量不足的鹽？
【答案】2
【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。
【解答】解：將8袋鹽分成3 份（3，3，2），第一次稱重，在天平兩邊各放3袋，手里留2袋。
（1）如果天平平衡，則次品在手里，然后再稱一次就可以找到次品；
（2）如果天平不平衡，則次品在升起的天平托盤的3袋中，將這3袋中的2袋在清空的天平兩邊各放1袋。
手里留1袋。如果天平不平衡，則找到次品在升起的天平托盤中，如果天平平衡，則次品在手中。
所以至少要稱2次才能保證找到這袋質量不足的鹽。
答：至少要稱2次才能保證找到這袋質量不足的鹽。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
36．有9袋糖果，其中8袋每袋100克，另一袋不足100克。如果能用天平稱，至少稱幾次能保證找出這袋糖果？
【答案】2次。
【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。
【解答】解：第一步：把9袋糖果中平均分成3份，每份3袋，任取2份，分別放入天平秤兩端，若天平秤不平衡（按照下面的方法操作即可），若天平秤平衡，那么不足100克的那袋糖果即在未取的那份中；
第二步：從天平秤較高端的那3袋糖果中，任取2袋分別放入天平秤兩端，若天平秤平衡，則未取那袋即為不足100克糖果，若不平衡，較高端即為不足100克的糖果。
所以如果能用天平稱，至少稱2次能保證找出這袋糖果。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
37．有7個零件，其中有1個是次品（偏重一些），想借助天平確保稱2次找出。請你把稱的過程表述出來。
【答案】把7個零件分成3、3、1三組，先把3、3分別放在天平的兩邊，若平衡，則剩下的1個是次品，若不平衡，則較重的一邊有次品，
再把下降的一邊3個分成1、1、1三組，把其中2個分別放在天平的兩邊，若平衡，剩下的是次品，若不平衡，較重的是次品，所以至少需要2次一定可以找到次品。
所以至少需要稱2次能保證找出次品。
【分析】天平是用來稱量物體質量的工具，此題并不是稱量物體的質量，而是使用天平來比較物體質量的大小，所以，在調好的天平兩盤中分別放上物體，當哪邊的托盤上升，則說明這邊托盤中的物體質量偏小。
【解答】解：把7個零件分成3、3、1三組，先把3、3分別放在天平的兩邊，若平衡，則剩下的1個是次品，若不平衡，則較重的一邊有次品，
再把下降的一邊3個分成1、1、1三組，把其中2個分別放在天平的兩邊，若平衡，剩下的是次品，若不平衡，較重的是次品，所以至少需要2次一定可以找到次品。
所以至少需要稱2次能保證找出次品。
【點評】該題考查了利用天平判斷物體質量的技能，需要學生開動腦筋，借助一定的數學思維方式進行解答。
38．有16瓶相同的礦泉水，其中1瓶質量較輕，屬于不合格產品。用一架沒有砝碼的天平至少稱幾次才能保證找出這瓶不合格產品？
【答案】三次。
【分析】根據題意，第一次：把16瓶礦泉水5瓶、5瓶、6瓶，取5瓶的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；第二次：把較輕的一份（5瓶或6瓶）分成3份：2瓶、2瓶、1瓶（或2瓶），取2瓶的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的繼續；第三次，取含有較輕的2瓶礦泉水，分別放在天平秤兩端，即可找到較輕的不合格產品，據此即可解答。
【解答】解：第一次：把16瓶礦泉水5瓶、5瓶、6瓶，取5瓶的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；
第二次：把較輕的一份（5瓶或6瓶）分成3份：2瓶、2瓶、1瓶（或2瓶），取2瓶的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的繼續；
第三次，取含有較輕的2瓶礦泉水，分別放在天平秤兩端，即可找到較輕的不合格產品答：用秤至少稱三次能保證找出不合格產品。
【點評】天平秤的平衡原理是解答本題的依據，關鍵是明確每次取礦泉水的瓶數。
39．有10個羽毛球，有一個是次品（輕一些），用天平至少稱幾次能保證找出次品？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據題意，第一次，把10個羽毛球分成3份：3個、3個、4個，取3個的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，較輕的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；第二次，取含有次品的一份（3個或4個），取2個分別放在天平兩側，若天平平衡，則次品在未取的一份中，若天平不平衡，則較輕的為次品；第三次，取含有次品的兩個羽毛球分別放在天平兩側，即可找到次品．據此解答．
【解答】解：，第一次，把10個羽毛球分成3份：3個、3個、4個，取3個的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，較輕的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；
第二次，取含有次品的一份（3個或4個），取2個分別放在天平兩側，若天平平衡，則次品在未取的一份中，若天平不平衡，則較輕的為次品；
第三次，取含有次品的兩個羽毛球分別放在天平兩側，即可找到次品．
答：用天平至少稱3次能保證找出次品．
【點評】天平秤的平衡原理是解答本題的依據，注意每次取羽毛球的個數．
40．有15瓶水，其中14瓶質量相同，另有一瓶是鹽水，比其他的水略重一些．
（1）如果用天平稱，至少稱幾次能保證找出這瓶鹽水來？
（2）稱一次有可能找出這瓶鹽水嗎？為什么？
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據題意，第一次，把15瓶水平均分成3份，取其中的2份分別放在天平的兩側，若天平平衡，則較重的一瓶在未取的一份中，若天平平衡，取較重的一份繼續；第二次，把含有較重的一份（5瓶）分成3份（2瓶、2瓶、1瓶），取2瓶的2份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較重的為未取的一瓶，若天平不平衡，則取較重的繼續；第三次，取含有較重的一份（2瓶），分別放在天平兩側，即可找到較重的一瓶．
（2）根據事件發生的可能性可知，稱一次有可能找到這瓶鹽水，因為這瓶較重的鹽水就在這里面，所以，有可能一次就找到．
【解答】解：（1）第一次，把15瓶水平均分成3份，取其中的2份分別放在天平的兩側，若天平平衡，則較重的一瓶在未取的一份中，若天平平衡，取較重的一份繼續；
第二次，把含有較重的一份（5瓶）分成3份（2瓶、2瓶、1瓶），取2瓶的2份分別放在天平兩側，若天平平衡，則較重的為未取的一瓶，若天平不平衡，則取較重的繼續；第三次，取含有較重的一份（2瓶），分別放在天平兩側，即可找到較重的一瓶．
答：至少稱3次能保證找出這瓶鹽水來．
（2）答：因為這瓶較重的鹽水在這些水中，所以，有可能稱一次就找到．
【點評】本題主要考查找次品，關鍵注意每次取水的瓶數．
41．1箱牛奶有12袋，其中11袋質量相同，另有1袋質量不足，小東說他用天平稱2次就能保證找出質量不足的牛奶，他說得對嗎？為什么？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據找次品的規律：當物品的個數最多為3n時，至少n次即可找到保證找到質量較輕或較重的物品．據此回答．
【解答】解：32＜12＜33
答：小冬的說法不對，因為至少需要3次才可保證一定找到質量不足的牛奶．
【點評】本題主要考查找次品，關鍵利用規律做題．
42．有32盒外包裝一樣的茶葉，其中31盒質量相同，另有一盒稍輕一些。用天平稱，至少稱幾次能保證找出這盒茶葉？（請寫出簡要過程）
【答案】4次。
【分析】要達到次數最少，需要將要識別的物品的數目盡可能均勻的分成三份，然后每次稱重時，需要將數目相等的兩份放到天平兩邊稱重，不斷識別，一直到找到次品為止。據此答題即可。
【解答】解：第一次，把32盒茶葉分成3份：11，11，10，取11盒茶葉的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，較輕的那盒茶葉在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；
第二次，取較輕的一份11或12盒平均分成3份，4，4，3（4），取4盒茶葉的兩份分別放在天平兩側，若天平平衡，較輕的那盒茶葉在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的一份繼續；
第三次，取較輕的一份4盒或3盒，平均分成2份2，2，或1，1，1，分別放在天平兩側，天平不平衡，較，輕一端是略輕的那盒茶葉；
第四次，取較輕的一份兩盒，分成1，1，分別放在天平兩側，較輕一端是略輕的那盒茶葉。
所以至少稱4次能保證找出這盒茶葉。
【點評】解答此題的關鍵是將所給物品進行合理的分組，逐次稱量，即可找出次品。
43．在9顆螺絲釘中，混入了1顆不合格的螺絲釘（次品），它與合格螺絲釘的外形一模一樣，只是質量略重些．如果用天平稱，最少稱幾次能保證找出這個次品？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據題意，第一次，把9顆螺絲釘平均分成3份，每份3顆，取兩份分別放在天平的兩側，若天平平衡，則較重的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取較重的一份繼續；第二次，取含有較重的一份（3個），取其中2個分別放在天平兩側，若天平平衡，則次品為未取的一個，若天平不平衡，可找到較重的次品．據此解答．
【解答】解：第一次，把9顆螺絲釘平均分成3份，每份3顆，取兩份分別放在天平的兩側，若天平平衡，則較重的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取較重的一份繼續；
第二次，取含有較重的一份（3個），取其中2個分別放在天平兩側，若天平平衡，則次品為未取的一個，若天平不平衡，可找到較重的次品．
答：用天平稱，最少稱2次能保證找出這個次品．
【點評】本題主要考查找次品，關鍵注意每次取螺絲釘的顆數．
44．李叔叔加工了5個精密零件，其中有一個零件內部有砂眼，比別的零件輕．為保證精密零件的質量，要找出這個次品．你能用無砝碼的天平很快把它找出來嗎？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據題意，第一次，把5個精密零件分成3份（2個、2個、1個），取2個的兩份，分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的是未取的一個，若天平不平衡，取較輕的繼續；第二次，取含有較輕的零件的2個，分別放在天平兩側，即可找到較輕的精密零件．據此解答．
【解答】解：第一次，把5個精密零件分成3份（2個、2個、1個），取2個的兩份，分別放在天平兩側，若天平平衡，則較輕的是未取的一個，若天平不平衡，取較輕的繼續；
第二次，取含有較輕的零件的2個，分別放在天平兩側，即可找到較輕的精密零件．
答：至少2次能保證找到有沙眼的零件．
【點評】本題主要考查找次品，天平秤的平衡原理是解答本題的依據．
45．1箱牛奶有12袋，其中11袋質量相同，另一袋質量較輕．如果用天平來稱，至少稱幾次能保證找出這袋牛奶？
【答案】見試題解答內容
【分析】分成每6袋一組，用天平稱，因有一袋質量不足，所以找出輕的一組，再把輕的一組任意3袋分成一組，用天平稱，再找出輕的一組，再任取2袋用天平稱，若天平平衡，則沒稱的1袋是較輕的，若不平衡則上翹的就是輕的．據此解答．
【解答】解：根據以上分析可知至少要稱3次才能保證找出這袋糖果來．
答：如果用天平來稱，至少稱3次能保證找出這袋牛奶．
【點評】本題主要運用天平平衡的知識來尋找次品．
46．有8瓶礦泉水，編號是①至⑧，其中有6瓶是合格產品，另外2瓶都輕5g，是次品，如圖用天平稱了3次，那么這兩瓶次品分別是哪兩瓶？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據圖示可知：根據第一次稱的結果可知，③④中必有次品；由第二次稱的結果可知：⑤⑥中必有次品；由第三次稱量可以推出：次品為④⑤這兩瓶．
【解答】解：根據第一次稱的結果可知，③④中必有次品；
由第二次稱的結果可知：⑤⑥中必有次品；
由第三次稱量可以推出：次品為④⑤這兩瓶．
答：這兩瓶次品分別為④、⑤．
【點評】本題主要考查找次品，關鍵注意每次稱量的結果和結論．
47．有一箱乒乓球（外觀完全相同），其中里面含有一個較重的次品球，如果稱5次才能找出這個次品球，這個箱子中最少有多少個乒乓球？最多呢？
【答案】見試題解答內容
【分析】根據找次品的規律，當物品個數最多在3n時，至少需要n次即可找到次品．所以如果5次才能找到次品，則物品的個數應大于34＝81（個），小于或等于35＝243（個）．
【解答】解：34＝81（個）
81+1＝82（個）
35＝243（個）
即：81＜乒乓球的個數≤243
答：這個箱子中最少有82個乒乓球，最多243個．
【點評】本題主要考查找次品，關鍵根據找次品的規律：當物品個數最多為3n個時，最多n次即可保證找到次品．
48．彭叔叔生產了A，B，C，D4個零件，其中3個質量都是100克，另1個次品質量不是100克，但不知道是比100克重還是輕。如果用天平稱，那么至少稱幾次能保證找出這個次品？請用表示稱的過程。
【答案】2，
【分析】把A與B放在天平兩端，如果平衡，取下A或B放上C，如果平衡，D就是次品，如果不平衡，C就是次品；如果A與B不平衡，取下A，放上C，如果平衡，則A是次品，如果不平衡，則B是次品。至少稱2次能保證找出這個次品。
【解答】解：
答：至少稱2次能保證找出這個次品。
【點評】利用天平平衡的原理是解決本題的關鍵。
49．6個零件里有1個是次品（輕一些），假如用天平秤，至少稱幾次才能保證找出次品？
【答案】2次。
【分析】天平是用來稱量物體質量的工具，此題并不是稱量物體的質量，而是使用天平來比較物體質量的大小，所以，在調好的天平兩盤中分別放上物體，當哪邊的托盤上升，則說明這邊托盤中的物體質量偏小，據此解答。
【解答】解：第一次稱量：把6個零件分成2份，3、3，先把天平兩邊分別放3個，會有1種情況出現：
左右不平衡，則次品在托盤上升的一邊3個中，由此即可進行第二次稱量：從上升一邊的3個拿出2個，放在天平的兩邊一邊1個，若天平平衡，則剩下1個是次品；若天平不平衡，則托盤上升一邊為次品。
答：綜上所述，至少需要稱2次，才能找到次品。
【點評】該題考查了利用天平判斷物體質量的技能，需要學生開動腦筋，借助一定的數學思維方式進行解答。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑