資源簡介

第八章 三角形
8.2 多邊形的內(nèi)角和與外角和
第1課時 多邊形的內(nèi)角和
《多邊形的內(nèi)角和》是華師版七年級下冊第八章第二節(jié)第1課時內(nèi)容．在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的相關(guān)知識，包括三角形的內(nèi)角和定理等．三角形作為最簡單的多邊形，是研究多邊形的基石，學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形過程中積累的觀察、分析、歸納等經(jīng)驗，都為學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和提供了重要基礎(chǔ)．
多邊形內(nèi)角和是對三角形內(nèi)角和知識的拓展與延伸．通過對多邊形內(nèi)角和的探究，能讓學(xué)生進(jìn)一步體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，感悟?qū)?fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單圖形來研究的化歸思想．這不僅有助于學(xué)生深化對幾何圖形的認(rèn)識，還為后續(xù)學(xué)習(xí)多邊形的外角和、用正多邊形鋪設(shè)地面等知識做好鋪墊，同時對今后學(xué)習(xí)平行四邊形、梯形等特殊四邊形以及圓的相關(guān)知識，在方法和思維上起到了重要的銜接作用．
七年級學(xué)生對新鮮事物普遍充滿好奇心，多邊形在生活中的廣泛應(yīng)用，如蜂巢、地磚等形狀，能夠激發(fā)學(xué)生對多邊形內(nèi)角和知識的學(xué)習(xí)興趣．這種生活實例的引入，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，認(rèn)識到學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和知識的實用性，從而提高他們主動學(xué)習(xí)的積極性．然而，數(shù)學(xué)知識的抽象性和邏輯性可能會使部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到困難，進(jìn)而產(chǎn)生畏難情緒．尤其是在多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過程中，若學(xué)生不能及時理解和掌握，可能會對后續(xù)的學(xué)習(xí)失去信心．
在學(xué)習(xí)態(tài)度方面，部分學(xué)生可能更傾向于被動接受知識，缺乏主動探索和質(zhì)疑精神．在課堂上，可能習(xí)慣于跟隨教師的節(jié)奏進(jìn)行思考和回答問題，而對于一些開放性問題或需要自主探究的內(nèi)容，缺乏主動嘗試和深入思考的動力．教師需要通過多樣化的教學(xué)方法和激勵措施，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)他們主動探索、積極思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣．
1．理解多邊形的概念和正多邊形的概念．
2．了解多邊形的內(nèi)角、外角、對角線等概念．
3．在三角形內(nèi)角和定理基礎(chǔ)上，利用分割法探究多邊形內(nèi)角和計算公式．
4．經(jīng)歷質(zhì)疑、猜想、歸納等活動，發(fā)展學(xué)生的推理能力，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，在探索中學(xué)會與人合作，學(xué)會和別人交流自己的思想和方法．
重點：多邊形及相關(guān)概念（內(nèi)角、外角、對角線等）的理解．
難點：利用分割法將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題推導(dǎo)內(nèi)角和公式．
情境導(dǎo)入
從下列生活圖片中，能抽象出哪些圖形呢？
師生活動：學(xué)生通過已學(xué)的知識進(jìn)行思考，并舉手發(fā)言．
答：三角形，長方形，四邊形，六邊形，八邊形．
設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生從熟悉場景中抽象出圖形，復(fù)習(xí)舊知，自然引入多邊形主題，同時培養(yǎng)學(xué)生觀察與抽象思維能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)多邊形概念及內(nèi)角和知識做鋪墊．
探究新知
活動一：多邊形的相關(guān)概念
試一試：三角形有三個內(nèi)角、三條邊，我們也可以把三角形稱為三邊形(但我們習(xí)慣稱為三角形)．
你能說出三角形的定義嗎？
答：由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫作三角形．
你能說出什么叫做四邊形、五邊形嗎？
答：
由四條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫作四邊形．
如圖①，記為：四邊形ABCD
由五條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫作五邊形．
如圖②，記為：五邊形ABCDE
多邊形的定義：
一般地，由n條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為n邊形，也即我們通常所說的多邊形．
n邊形有n條邊，n個頂點．
注意：
這也是四邊形，但不在我們目前的研究范圍內(nèi)．
我們現(xiàn)在研究的多邊形都是凸多邊形．即畫出多邊形的任何一條邊所在直線，整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)．
設(shè)計意圖：從三角形過渡到四邊形、五邊形等，逐步增加邊數(shù)，讓學(xué)生觀察、總結(jié)共同特征，自主歸納多邊形定義，培養(yǎng)抽象概括與邏輯思維能力．
與三角形類似，如圖所示，
∠A、∠D、∠C、∠ABC是四邊形ABCD的四個內(nèi)角．
∠CBE和∠ABF都是與∠ABC相鄰的外角，兩者互為對頂角．
四邊形一共有4個內(nèi)角，8個外角．
思考：五邊形、六邊形分別有多少個內(nèi)角？多少個外角？n邊形呢？
答：
五邊形一共有5個內(nèi)角，10個外角．
六邊形一共有6個內(nèi)角，12個外角．
...
n邊形一共有n個內(nèi)角，2n個外角．
設(shè)計意圖：在于通過具體圖形，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識多邊形的內(nèi)角和外角概念．
一般地，如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱它為正多邊形．
連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線．
思考：從多邊形的一個頂點出發(fā)，一共可以畫幾條對角線？
觀察上面幾個圖形，完成下面的表格．
答：對角線：
表格：
追問：還可以畫出哪些對角線？
答：
四邊形有2條對角線，五邊形有5條對角線，六邊形有9條對角線．
n邊形有條對角線．
歸納：
組成多邊形的各條線段：邊．
相鄰兩條邊的公共端點：頂點．
相鄰兩邊組成的角：內(nèi)角．
多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角：外角．
連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點的線段：對角線．
在平面內(nèi)，邊相等、角也都相等的多邊形叫做正多邊形．
設(shè)計意圖：結(jié)合多邊形的有關(guān)概念，培養(yǎng)學(xué)生抽象能力和觀察能力，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表達(dá)，幫助學(xué)生更好的學(xué)習(xí)概念．
活動二：多邊形的內(nèi)角和
由圖中可以看出，從多邊形的一個頂點引出的對角線把多邊形劃分為若干個三角形．我們已知一個三角形的內(nèi)角和等于180°，那么四邊形的內(nèi)角和等于多少呢？五邊形、六邊形呢？
師生活動：教師提出問題，學(xué)生動手操作，思考后回答問題．
答：180°×2；180°×3；180°×4
問題：n邊形的內(nèi)角和呢？
探究：為了求得n邊形的內(nèi)角和，請根據(jù)下圖，完成表格．
答：
由此，我們得出n邊形的內(nèi)角和等于(，n為正整數(shù))
設(shè)計意圖：借助表格形式梳理不同邊數(shù)多邊形的內(nèi)角和計算過程，讓學(xué)生直觀對比、分析數(shù)據(jù)規(guī)律，進(jìn)一步明確多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的聯(lián)系，從而順利歸納出n邊形內(nèi)角和公式，強(qiáng)化學(xué)生對公式的理解與推導(dǎo)能力，提升數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．
讀一讀：
“歸納推理”是數(shù)學(xué)中的一種推理方式，體現(xiàn)了從特殊到一般的推理過程．在這里，我們通過對三邊形、四邊形、五邊形等的探索，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)角和與邊數(shù)之間存在某種邏輯關(guān)系，從而歸納出多邊形的內(nèi)角和公式．這種歸納推理的方式，我們今后還會經(jīng)常用到．當(dāng)然，“看”出來的數(shù)學(xué)結(jié)論未必一定正確，但它們還是給我們指引了研究的方向．因此，歸納推理和演繹推理相結(jié)合是必要的．
應(yīng)用新知
經(jīng)典例題
師生活動：學(xué)生獨立思考作答，教師巡視指導(dǎo)，全班展示交流．
例1：求八邊形的內(nèi)角和．
分析：由于是八邊形，所以，代入多邊形內(nèi)角和公式計算即可．
解：八邊形的內(nèi)角和為
．
例2：已知一個多邊形的內(nèi)角和等于2160°，求這個多邊形的邊數(shù)．
解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得
．
解得 ．
因此，這個多邊形的邊數(shù)為14．
設(shè)計意圖：通過學(xué)生參與活動，激發(fā)學(xué)生參與課堂教學(xué)的熱情，讓學(xué)生加深多邊形內(nèi)角和公式的掌握．
試一試：你有其他方法證明多邊形的內(nèi)角和嗎？
在n邊形內(nèi)任取一點P，連結(jié)點P與多邊形的每一個頂點，可得n個三角形．則n邊形的內(nèi)角和等于n個三角形的內(nèi)角和減去周角P．
即
若是將點P取在多邊形的邊上以及多邊形的外面，你能證明嗎？
課堂練習(xí)
1．求下列圖形中x的值．
解：（1）∵，∴．
（2）∵，∴．
2．已知一個多邊形的內(nèi)角和等于1440°，求這個多邊形的邊數(shù)．
解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得
．
解得 ．
因此，這個多邊形的邊數(shù)為10．
3．若兩個多邊形的邊數(shù)之比是1：2，內(nèi)角和度數(shù)之和為1440°，則這兩個多邊形的邊數(shù)分別是多少？
解：設(shè)這兩個多邊形的邊數(shù)為m和n() ，根據(jù)題意，得
解得 ，．
因此，這兩個多邊形的邊數(shù)分別為4和8．
設(shè)計意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識，掌握多邊形的內(nèi)角和公式．
課堂檢測
限時訓(xùn)練
1．判斷．
（1）當(dāng)多邊形邊數(shù)增加時，它的內(nèi)角和也隨著增加． ( )
（2）從n邊形一個頂點出發(fā)，可以引出條對角線，得到個三角形．( )
答：（1）√；（2）×．
2．五邊形的內(nèi)角和為___，它的對角線有____條．
答：540°，5．
3．如果一個多邊形的邊數(shù)增加一條，那么這個多邊形的內(nèi)角和增加________．
答：180°．
4．一個多邊形的內(nèi)角和不可能是（ ）
A．1800° B．540° C．720° D．810°
答：D．
5．一個多邊形從一個頂點可引對角線3條，這個多邊形內(nèi)角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
答：C．
設(shè)計意圖：通過課堂檢測，查缺補(bǔ)漏，進(jìn)一步加深對多邊形內(nèi)角和公式的掌握．
歸納總結(jié)
師生活動：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容．
1．本節(jié)課你學(xué)到了什么？
2．說一說多邊形的相關(guān)概念？
3．多邊形的內(nèi)角和計算公式是怎樣的？
答：
設(shè)計意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識．
實踐作業(yè)
任意的畫一個多邊形，試著說出它的內(nèi)角和，并與同學(xué)交流你是怎樣得到的．
教學(xué)中，利用學(xué)生已有的三角形知識引導(dǎo)探究是亮點，學(xué)生能初步嘗試推導(dǎo)，積極性較高．但問題也不少，從學(xué)情來看，部分學(xué)生在知識遷移上卡殼，面對復(fù)雜多邊形不知如何轉(zhuǎn)化為三角形求解內(nèi)角和，反映出我對轉(zhuǎn)化思想滲透不足．小組合作時，個別學(xué)生主導(dǎo)，部分參與度低，今后要優(yōu)化分組與引導(dǎo)策略．練習(xí)環(huán)節(jié)，不少學(xué)生因概念混淆、計算粗心出錯，后續(xù)需強(qiáng)化概念辨析，設(shè)計針對性計算練習(xí)．同時，多引入生活實例，如拼圖游戲，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，助力學(xué)生跨越抽象思維難關(guān)，提升課堂實效．

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