資源簡介

第八章 三角形
8.2 多邊形的內角和與外角和
第2課時 多邊形的外角和
《多邊形外角和》是華師版七年級下冊第8章第2節第2課時的內容，承接了三角形內角和、外角性質以及多邊形內角和公式等知識．此前學生對三角形和多邊形內角相關內容的學習，為探究多邊形外角和奠定了基礎．從知識體系構建來看，多邊形外角和完善了多邊形的角相關知識架構，它與多邊形內角和相互補充，共同揭示了多邊形角的特征．通過學習多邊形外角和，能讓學生從新的角度認識多邊形，體會多邊形內角與外角之間的內在聯系．這不僅有助于深化學生對多邊形概念的理解，還為后續學習多邊形的其他性質，如多邊形的穩定性、正多邊形的特征等，以及在實際生活中解決與多邊形相關的問題，如建筑設計、圖案拼接等，提供了重要的理論支撐，在整個初中幾何知識體系中起到了承上啟下的關鍵作用．
學生已掌握三角形內角和、外角性質及多邊形內角和公式，為學習多邊形外角和提供類比與推導基礎．但從三角形到多邊形，知識遷移有難度，如識別多邊形外角易混淆，推導思路不清晰，對概念、公式理解浮于表面，運用不靈活．
七年級學生處于形象向抽象思維過渡階段，觀察多邊形圖形尚可，歸納出抽象定理較難．自主學習缺深度、系統性，對數學思想方法感悟、運用不足．
1．理解多邊形外角和的定義，能準確識別多邊形的外角．
2．掌握多邊形外角和，并能熟練運用該公式進行相關計算．
3．經歷探索多邊形外角和公式的過程，學會運用轉化、類比、從特殊到一般等數學思想方法．
4．通過自主探索和合作交流，培養勇于探索創新的精神和團隊合作意識，獲得成功的體驗，增強學習數學的興趣和信心．
重點：多邊形外角和概念及公式的理解．
難點：利用多邊形的外角和公式進行相應的計算．
復習回顧
1．三角形的外角和的概念
答：從與每個內角相鄰的外角中分別取一個相加，得到的和稱為三角形的外角和．
2．三角形的外角和等于_________．
答：360°．
3．多邊形的內角和公式：_________________．
答：(，n為正整數)
思考：多邊形的外角和是多少呢？
設計意圖：回顧三角形外角和概念及多邊形內角和公式，鞏固學生已有知識，為探究多邊形外角和做知識儲備，搭建新舊知識聯系橋梁．
探究新知
活動一：多邊形的外角和
問題1 根據三角形的外角和定義，你能說一說多邊形的外角和的定義嗎
概念：從與多邊形的每個內角相鄰的兩個外角中分別取一個相加，得到的和稱為多邊形的外角和．
例如：∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是四邊形的外角和．
問題2 通過類比三角形外角和的求解方式，你能求出四邊形的外角和嗎？
從圖中可以知道：
，
所以．
四邊形ABCD的內角和為．
因此．
問題3 n邊形的外角和等于多少度呢
根據n邊形的每一個內角與和它相鄰的外角都互為補角，可以求得n邊形的外角和．據此，請將數據填入表格．
答：
通過驗證可以得出多邊形的外角和為
即：任意多邊形的外角和都為360°．
設計意圖：借助類比三角形外角和定義，引導學生自主歸納多邊形外角和定義，模仿三角形外角和求解，探究四邊形外角和，從四邊形拓展到更多邊數多邊形，讓學生填表找規律，以數據支撐，助力其掌握從特殊到一般歸納出多邊形外角和．
應用新知
經典例題
師生活動：學生獨立思考作答，教師巡視指導，全班展示交流．
例1：一個多邊形的每個外角都是72°，這個多邊形是幾邊形？
解：設多邊形的邊數為n，根據題意，得
．
解得 ．
因此，這個多邊形是五邊形．
例2：一個多邊形的內角和等于它外角和的5倍，這個多邊形是幾邊形？
解：設這個多邊形的邊數為n，根據題意，得
．
解得 ．
因此，這個多邊形是十二邊形．
設計意圖：通過學生參與活動，激發學生參與課堂教學的熱情，讓學生加深多邊形外角和的掌握．
【思考】
正多邊形的每個外角是多少度？
答：因為正多邊形的每個角相等，所以知道正多邊形的邊數，就可以求出每一個外角的度數．
正n邊形的每個外角度數：．
設計意圖：引導學生基于正多邊形性質（各角相等），結合多邊形外角和為360°這一結論，推導出正n邊形每個外角的度數公式，培養學生邏輯推理與知識應用能力，深化對正多邊形外角特征的理解．
課堂練習
1．一個多邊形的每一個外角都等于45°，這個多邊形是幾邊形？它的每一個內角是多少度？
解：，．
因此，這個多邊形是八邊形，它的每一個內角是 135°．
在一個多邊形中，它的內角最多可以有幾個是銳角？
解：根據多邊形的外角和可知，多邊形的外角最多可以有3個鈍角，所以多邊形的內角最多可以有3個銳角．
3．一個多邊形的內角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？
解：設這個多邊形是n邊形，則它的內角和是，
外角和等于360°，
所以 ．
解得
因此，這個多邊形是八邊形．
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，掌握多邊形的外角和．
課堂檢測
限時訓練
1．如圖，狀狀從點A出發沿直線前進10米，后左轉30度，再沿直線前進10米．又向左轉30度，…，照這樣走下去，他第一次回到出發地A點時，一共走了多少米？
解：由題意可知，小亮第一次回到出發地A點時，他的行走路線是一個正多邊形，且這個正多邊形的外角等于30°，邊長為10米．所以這個多邊形的邊數為．
所以一共走了（米）．
2．如圖，用n個完全相同的正五邊形進行拼接，使相鄰的兩個正五邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正n邊形，則n的值等于______．
答：10．
將正三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，且每一個圖形的一個頂點都在另一個圖形的一條邊上，則______．
答：102°．
設計意圖：通過課堂檢測，查缺補漏，進一步加深對多邊形外角和的掌握．
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容．
1．本節課你學到了什么？
2．說一說多邊形的外角和概念？
3．多邊形的外角和是多少？
答：
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識．
實踐作業
任意的畫一個多邊形，用量角器測下它的外角并計算這些角的和，與同學交流．
在知識講授上，雖學生已有一定基礎，但部分同學在多邊形外角和概念理解時仍混淆不清，如對外角的選取與內角關系模糊，后續應強化概念剖析，多舉例類比．推導定理環節，小組合作未達預期，個別學生主導，多數被動跟隨，應提前規劃小組分工，培養協作技巧．練習鞏固時，綜合題出錯率高，反映出學生知識遷移、運用能力弱，要設計分層練習，從基礎鞏固到綜合提升，逐步深化．教學方法上，生活實例引入激發了興趣，但抽象到理論轉化過快，應延長過渡時間，借助多媒體動態演示，助力學生從形象思維邁向抽象思維，讓學生更扎實地掌握知識．

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