資源簡介

第十章 二元一次方程組
10.4 三元一次方程組
第2課時
一、教學(xué)目標(biāo)
1.熟練掌握解三元一次方程組的方法與步驟
2.會用三元一次方程組解決含有三個未知數(shù)的問題.
3.會利用三元一次方程組解決實(shí)際問題，進(jìn)一步提高模型概念，發(fā)展應(yīng)用意識.
4.通過探究三元一次方程組的應(yīng)用的過程，提高學(xué)生的計(jì)算能力及邏輯思維能力.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：會用三元一次方程組解決含有三個未知數(shù)的問題.
難點(diǎn)：根據(jù)具體問題列出三元一次方程組.
三、教學(xué)用具
多媒體課件
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
環(huán)節(jié)一 復(fù)習(xí)回顧
【回顧】
問題1：三元一次方程組的概念是什么？
預(yù)設(shè)：方程組含有三個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，一共有三個方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組.
問題2：解三元一次方程組的思路是什么？.
預(yù)設(shè)：
強(qiáng)調(diào)：不管是代入法還是加減法，其根本都是消元.
在解決一些含有三個未知數(shù)的問題時，可以考慮列三元一次方程組，通過解方程組獲得問題的答案，我們繼續(xù)探究！
設(shè)計(jì)意圖：通過回顧三元一次方程組的概念和解三元一次方程組的基本思路，鞏固上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，為本節(jié)課用三元一次方程組解決具體問題作鋪墊.
環(huán)節(jié)二 探究新知
【探究】
在等式 中，當(dāng) x＝－1 時，y＝0；當(dāng) x＝2 時，y＝3；當(dāng) x＝5 時，y＝60，求 a，b，c 的值．
要想解決這個問題，引導(dǎo)學(xué)生讓其帶著如下四個問題進(jìn)行思考：
(1)這個問題中的相等關(guān)系是如何給出的？有幾個相等關(guān)系？
師生活動：學(xué)生明確相等關(guān)系由等式給出，所給的每一組x，y的值都使等式成立，共有三組，所以有3個相等關(guān)系．
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考相等關(guān)系如何得來，此題的相等關(guān)系直接由等式給出，不需要再設(shè)未知數(shù)．學(xué)生易發(fā)現(xiàn)，三組x，y的值分別使等式成立，有3個相等關(guān)系，為后續(xù)列出三元一次方程組作鋪墊．
(2)如何列出方程組解決問題？
師生活動：學(xué)生提出把三組x，y的值分別代入等式，得到三個含a，b，c的等式．
設(shè)計(jì)意圖：教師通過追問引導(dǎo)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生體會利用三元一次方程組求三個未知數(shù)的值得過程．
(3)請按照問題2中的想法，列出方程組.
師生活動：學(xué)生把三組x，y的值分別代入等式，得到三個含a，b，c的等式，這三個等式組成一個三元一次方程組，解這個方程組就可求得a，b，c的值．
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生列出三元一次方程組，體會三元一次方程組的應(yīng)用．
(4)你會解這個方程組嗎？想一想，如何消元更簡單？
師生活動：學(xué)生觀察三個未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)未知數(shù)c的系數(shù)都是1，采用加減法先消去未知數(shù)c，計(jì)算起來較為簡單
解：根據(jù)題意，把三組x，y的值分別代入等式，列得三元一次方程組
解：②－①，得 . ④
　　③－①，得 .⑤
　　④與⑤組成二元一次方程組　　
解這個方程組，得
把 a＝3，b＝－2 代入①，得
　　　　　　c＝－5．
因此 a，b，c 的值分別為 3，－2，－5．
總結(jié)：應(yīng)用三元一次方程組解決問題的思路：
在解決一些含有三個未知數(shù)的問題時，可以根據(jù)題意，列三元一次方程組，通過解方程組獲得問題的答案.
設(shè)計(jì)意圖：通過解關(guān)于未知數(shù) a，b，c的三元一次方程組得到 a，b，c的值，達(dá)到解決問題的目的．同時學(xué)生通過觀察、思考，確定更優(yōu)的運(yùn)算求解策略．
環(huán)節(jié)三 應(yīng)用新知
【典型例題】
例1在等式中，當(dāng)x＝1時，y＝-2；當(dāng)x＝-1時，y＝20；當(dāng)x＝與x＝時，y的值相等．求a，b，c的值．
分析：把a(bǔ)，b，c看作三個未知數(shù)，分別把已知的x,y值代入原等式，就可以得到一個三元一次方程組．
解：根據(jù)題意，列得三元一次方程組
將原方程組整理得
①－②，得 2b＝ 22.
解得 b＝ 11.
將b＝ 11代入方程③，得：a=6
將b＝ 11,a=6代入方程①，得：c=3.
因此 a，b，c 的值分別為 6，－11，3．
師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，列出方程組.教師提醒學(xué)生注意，③式較復(fù)雜，需要先對方程組化簡，再進(jìn)行求解.學(xué)生完成化簡之后，繼續(xù)提醒學(xué)生選擇合適的方法解方程組.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固、提高學(xué)生利用三元一次方程組解決問題的能力.
例2 一個三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)的和為14，百位上的數(shù)的2倍減去十位上的數(shù)的差是個位上的數(shù)的．如果把這個三位數(shù)個位上的數(shù)與百位上的數(shù)交換位置，那么所得的新數(shù)比原數(shù)小99.求這個三位數(shù)．
分析：題目中蘊(yùn)含了幾個相等關(guān)系？如何表示？
相等關(guān)系 對應(yīng)方程
百位上的數(shù)＋十位上的數(shù)＋個位上的數(shù)＝14
百位上的數(shù)的2倍－十位上的數(shù)＝個位上的數(shù)的
新三位數(shù)＋99＝原三位數(shù) 100z＋10y＋x＋99＝100x＋10y＋z
設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生再次審題明確三個相等關(guān)系，進(jìn)而列式，為后續(xù)構(gòu)建三元一次方程組作鋪墊．
解：設(shè)這個三位數(shù)百位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，個位上的數(shù)為z，根據(jù)題意，列得三元一次方程組
思考：想一想，如何解這個方程組？
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)最后一個方程不是最簡形式，需要對其進(jìn)行整理和化簡，而且第三個方程化簡后只含未知數(shù)x和z，于是有以下思路．
思路1：可用z表示x，消去x．
由③得x=z+1,④
將④分別代入①②并整理得：
y+2z=13⑤
y+z= 2 ⑥
解由⑤⑥組成的方程組得
將y=7,z=3代入④得：x=4.
所以這個方程組的解為
因此這個三位數(shù)是473．
思路 2：①＋②消去 y．
①＋②，得 3x＋z＝14，④
解由③與④組成的方程組
得,
將x=4,z=3代入①得：y=7.
所以這個方程組的解為
因此這個三位數(shù)是473．
思路 3：加減法消去 z．
①＋②，得 7x－2y＝14，④
①＋③，得 2x＋y＝15． ⑤
解由④⑤組成的方程組
得,
將x=4,y=7代入①得：z=3.
所以這個方程組的解為
因此這個三位數(shù)是473．
設(shè)計(jì)意圖：此題列出的三元一次方程組并不是最簡形式，對于這樣的方程組需要先化簡整理再求解，由此培養(yǎng)學(xué)生由繁化簡的意識，提升運(yùn)算能力．
總結(jié)：應(yīng)用三元一次方程組解決問題的一般步驟：
①明確三個未知數(shù)；
②尋找三個相等關(guān)系；
③列出三元一次方程組；
④解三元一次方程組；
⑤答題．
師生活動：師生共同小結(jié)，學(xué)生梳理解題步驟．
設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生明確應(yīng)用三元一次方程組解決具體問題的一般步驟，積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，突破本節(jié)課的難點(diǎn)．
環(huán)節(jié)四 課堂練習(xí)
教師給出練習(xí)，隨時觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.
1.甲、乙、丙三個數(shù)的和是35，甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5，乙數(shù)的等于丙數(shù)的．求這三個數(shù)．
解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，丙數(shù)為z．
根據(jù)題意，列得方程組
把③變形為 ，④
把④分別代入①②，得
x+z=35⑤
2x z=5⑥
解由⑤⑥組成的方程組得
將x=10，z=10代入①得：y=15.
所以甲數(shù)為10，乙數(shù)為15，丙數(shù)為10．
2.在等式 中，當(dāng) 時，z＝8；當(dāng) x＝2，y＝1時，z＝5；當(dāng) x＝－1，y＝－1 時，z＝4．求 a，b，c 的值．
分析:把a(bǔ)，b，c 看作三個未知數(shù)，分別把已知的x,y,z值代入原等式， 就可以得到一個三元一次方程組．
解：根據(jù)題意，列得三元一次方程組
②－①，得 a－b＝－3，④
②－③，得 3a＋2b＝1，⑤
解由④⑤組成的方程組得
將a=-1,b=2代入③，得 c＝5．
所以 a＝－1，b＝2，c＝5．
3. 一個三位數(shù)，十位上的數(shù)等于百位上的數(shù)的2倍，百位上的數(shù)的3倍減去個位上的數(shù)等于十位上的數(shù)的，且各數(shù)位上的數(shù)的和為11,求這個三位數(shù)．
分析：本題中的等量關(guān)系是：
十位上的數(shù)=百位上的數(shù)×2；
百位上的數(shù)×3-個位上的數(shù)=十位上的數(shù)×
百位上的數(shù)＋十位上的數(shù)＋個位上的數(shù)＝11.
把這個三位數(shù)各位上的數(shù)看成三個未知數(shù)，則根據(jù)題目中的三個相等關(guān)系，可以列三元一次方程組．
解：設(shè)這個三位數(shù)百位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，個位上的數(shù)為z.
根據(jù)題意，列得三元一次方程組
解這個方程組得.
因此這個三位數(shù)是245.
4. 甲地到乙地全程是3.3km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路組成．如果保持上坡每小時走3km，平路每小時走4km，下坡每小時走5km，那么從甲地到乙地需51min，從乙地到甲地需53.4min．從甲地到乙地時，上坡、 平路、下坡的路程各是多少？
分析：本題中的等量關(guān)系是：上坡路+平路+下坡路=3.3；
上坡路÷3+平路÷4+下坡路÷5=51min=
上坡路÷5+平路÷4+下坡路÷3=53.4min=
解：設(shè)從甲地到乙地時，上坡、 平路、下坡的路程分別xkm,ykm,zkm,
又51min=,53.4min=
根據(jù)題意，列得三元一次方程組
解這個方程組得.
所以從甲地到乙地時，上坡、平路、下坡的路程分別1.2km,0.6km,1.5km.
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，學(xué)以致用，及時獲知學(xué)生對所學(xué)知識的掌握程度，調(diào)動全體學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使每個學(xué)生都能有所收益、有所提高.
環(huán)節(jié)五 歸納總結(jié)
思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容：
設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，進(jìn)一步提升用三元一次方程組解決問題的能力，加強(qiáng)應(yīng)用意識，發(fā)展模型觀念，提升運(yùn)算能力．

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