資源簡介

第十章 二元一次方程組
10.4 三元一次方程組
第1課時
一、教學目標
1.理解三元一次方程組的概念.
2.會用代入法和加減消元法解簡單的三元一次方程組.
3.通過解三元一次方程組進一步體會消元思想.
4.通過探究消元法解三元一次方程組的過程，提高學生邏輯思維能力、計算能力、解決實際問題的能力.
二、教學重難點
重點：使學生會解簡單的三元一次方程組，進一步體會“消元”的基本思想.
難點：針對方程組的特點，靈活使用代入法、加減法等重要方法.
三、教學用具
多媒體課件
教學過程設計
環節一 復習回顧
【回顧】
問題1：回憶一下二元一次方程組的概念.
預設：含有兩個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1的兩個方程組成的方程組叫作二元一次方程組.
問題2：回憶一下二元一次方程組的解法.
預設：學生分別說一說，并引導其說出代入法和加減法的求解過程及其注意事項.
強調：不管是代入法還是加減法，其根本都是消元.
問題3：解二元一次方程組的思路是什么？
預設：把二元一次方程組通過代入和加減法進行消元，即“二元”化為“一元”.
實際上，有不少問題含有更多未知數，我們繼續探究！
設計意圖：通過回憶二元一次方程組的概念和解法，引出三元一次方程組的學習，并為后邊學習三元一次方程組及其相關知識做鋪墊.
環節二 探究新知
【探究】
在一次足球聯賽中，一支球隊共參加了22場比賽，積47分，且勝的場數比負的場數的4倍多2.按照足球聯賽的積分規則，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，那么這支球隊勝、平、負各多少場
要想解決這個問題，引導學生讓其帶著如下三個問題進行思考：
(1)題目中有幾個未知量？分別是什么？
勝的場數、平的場數、負的場數
(2)題目中有哪些等量關系？
①勝的場數+平的場數+負的場數=22場
②勝場積分+平場積分+負場積分=47分
③ 勝的場數=負的場數的4倍+2
如何用方程表示這些等量關系呢？先把問題（1）中的未知量設為不同的未知數，然后根據問題（2）中的等量關系列出三個方程分別為：x + y + z = 22，3x + y= 47，x = 4z+2，組成一個方程組.
設計意圖：通過解決實際問題的情景引出三元一次方程組的學習，以此提高學生學習的興趣和動力.
觀察得到的方程組，引導學生參照二元一次方程組的概念總結給出三元一次方程組的概念：方程組含有三個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1，一共有三個方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組.
強調組成三元一次方程組必須滿足：方程組含有三個未知數、有未知數的式子都是整式、含未知數的項的次數都是1、含有三個方程.
設計意圖：通過教師的引導，使學生能類比總結出三元一次方程組的概念.
【思考】
怎樣解這個得到的三元一次方程組呢？
回憶一下二元一次方程組的求解過程，有代入法和加減法，我們根據二元一次方程組的求解過程探究一下三元一次方程組的解法吧！
觀察這個方程組，發現三個方程中x的系數都是一樣的，因此可以用代入法和加減法進行消元計算，但是第三個方程的結構比較簡單，可以直接代入第一個和第二個方程直接進行消元計算.
解三元一次方程組：
把③分別代入①②，得y + 5z = 20，y + 12z =41.
得到一個二元一次方程組
解這個方程組，得
把 y = 5，z = 3代入①，得x=14.
因此這個方程組的解是
想一想，還有其它的解法嗎？你可以根據自己的想法嘗試一下哦！
通過計算三元一次方程組，你能說一說解三元一次方程組的思路嗎？
總結：通過“代入”或“加減”進行消元，把“三元”化成“二元”，使解三元一次方程組轉化為解二元一次方程組，進而再轉化為解一元一次方程.
設計意圖：讓學生在探究三元一次方程組的解法過程中，進一步體會類比的數學思想.
環節三 應用新知
【典型例題】
教師提出問題，學生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學生適當點撥，最終教師展示答題過程.
例1解三元一次方程組：
分析：方程①中只含有x，z，②③中未知數y的系數有倍數關系，因此可以由②③消去y，得到一個也只含有x，z的方程.將得到的有關x，z的二元一次方程與①組成一個二元一次方程組，求解得到x，z，進而可求出y.
解：②×3+③，得11x + 10z = 35. ④
①與④組成方程組
解這個方程組，得
把x = 5， z = –2代入②，解得
因此這個三元一次方程組的解為
你還有其他解法嗎？試一試，并與這種解法進行比較！
設計意圖：鞏固、提高學生求解三元一次方程組的能力.
環節四 課堂練習
教師給出練習，隨時觀察學生完成情況并相應指導，最后給出答案，根據學生完成情況適當分析講解.
1.解下列三元一次方程組：
2.甲、乙、丙三個數的和是35，甲數的2倍比乙數大5，乙數的等于丙數的.求這三個數.
答案：
1.解：
②×2+③，得 x+2y = 53. ④
④+①，得 x = 22.
把x = 22代入④，得 y =
把x = 22代入③，得 z =
所以原方程的解為
①+②，得 5x+2y=16. ④
②+③，得 3x+4y=18. ⑤
⑤ – ④×2得，x = 2.
把x = 2代入④，得 y = 3.
把 x =2，y =3代入③，得 z=1.
所以原方程的解為
2.解：設甲、乙、丙三數分別為 x，y，z.
根據題意，得
解這個方程組，得
∴甲數是10，乙數是15，丙數是10.
設計意圖：學生通過練習，可以更好地掌握三元一次方程組的解法，同時進一步提高學生分析問題和解決問題的能力.
環節五 歸納總結
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：回顧知識點形成知識體系，養成回顧梳理知識的習慣.

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