資源簡介

第十一章　不等式與不等式組
11.3一元一次不等式組
本章內容是在學生已經學習了一元一次方程、二元一次方程組以及一元一次不等式的基礎上進行學習的，是對方程和不等式知識的進一步深化和拓展.本節課主要學習一元一次不等式組的概念、解法以及應用，為后續學習二元一次不等式組以及更復雜的不等式組奠定基礎.
本節課內容既是對一元一次不等式知識的鞏固和提升，又是學習更復雜不等式組的基礎，在初中數學學習中起著承上啟下的作用.本節課類比一元一次不等式的相關知識，讓同學們理解并掌握一元一次不等式組、一元一次不等式組的解集的概念以及解一元一次不等式組的方法步驟.通過本節課的學習，可以培養學生的邏輯推理能力、數形結合能力以及應用數學知識解決實際問題的能力.不等式組在現實生活中有著廣泛的應用，例如資源分配、生產計劃、投資決策等.學習本節課內容，可以幫助學生更好地理解和解決生活中的實際問題.
七年級學生已經學習了一元一次方程、二元一次方程組以及一元一次不等式，具備了一定的代數運算能力和邏輯推理能力，學生的抽象思維能力和邏輯推理能力還在發展中，對于數形結合的思想方法還需要進一步引導和強化，學生對于與生活實際相關的數學問題比較感興趣，但對于抽象的概念和復雜的運算可能會產生畏難情緒.
為此，在教學過程中，教師應關注學生的這些難點，通過設置貼近生活的實際問題，引導學生逐步明晰解不等式組的關鍵，并在解題過程中給予適當的提示和指導.此外，教師要注重激發學生的學習興趣，鼓勵他們積極參與課堂討論，發揮學生的主體作用，幫助他們克服困難，提高解題能力時，針對學生的個體差異，教師應制定有針對性的教學策略，使每位學生都能在本章節的學習中取得進步.
1.理解一元一次不等式組及其解集的概念，掌握一元一次不等式組的解法，提高運算能力；
2.經歷探索一元一次不等式組解集的過程，能夠利用數軸法或口訣法正確表示出一元一次不等式組的解集，體會數形結合、類比、分類討論等數學思想方法；
3.會用不等式組解決簡單的實際問題，掌握將實際問題抽象為不等式組模型的方法，并能夠根據解集對實際問題進行合理解釋，初步體會不等式組的應用價值.
重點：理解一元一次不等式組及其解集的概念，掌握一元一次不等式組的解法.
難點：會用不等式組解決簡單的實際問題.
復習回顧
問題：什么是不等式？什么是一元一次不等式？
答：用符號“” “”或“”表示不等關系的式子，叫作不等式；一元一次不等式是指只含有一個未知數，并且未知數的最高次數為1的不等式.
問題：解下列一元一次不等式：
；
；
解：，
，去分母
，移項
，合并同類項
.系數化為1
，
，去分母，去括號
，移項
，合并同類項
.系數化為1
師生活動：教師提問，學生舉手回答.
設計意圖：復習舊知，喚起學生已有的知識經驗，通過提問，激發學生的學習興趣和求知欲，為新知識的學習做好鋪墊.
探究新知
活動一：一元一次不等式組的概念
問題：某工程隊用每小時可抽30t水的抽水機來抽污水管道里積存的污水，估計積存的污水超過1200t而不足1500t，求將污水抽完所用時間的范圍．
分析：不等關系：
“積存的污水超過1200t” →
“積存的污水不足1500t” →
答：解：設用x h將污水抽完，則x同時滿足不等式
， ②.
類似于方程組，把30x＞1200，30x＜1500這兩個不等式合起來，組成一個一元一次不等式組，記作.
師小結：類似于方程組，把兩個含有同一個未知數的一元一次不等式合起來，組成一個一元一次不等式組．
一元一次不等式組的特點：不等式組中不等式的個數可以是兩個，也可以是多個；不等式組中各個不等式必須含有同一個未知數；書寫時不能漏掉邊上的大括號.
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，直接作答填空，然后小組討論，選代表回答問題，教師補充總結學生的結論.
設計意圖：通過分析，初步感知一元一次不等式組.
活動二：一元一次不等式組的解集
問題：怎樣確定不等式組中x的取值范圍呢？
分析：類似方程組的解，不等式組中的各不等式解集的公共部分，就是不等式組中x的取值范圍．
答：解：由不等式①，解得x＞40.由不等式②，解得x＜50.
把不等式①②的解集在數軸上表示出來，如圖.
師小結：一般地，幾個不等式的解集的公共部分，叫作由它們所組成的不等式組的解集，解不等式組就是求它的解集．
注意：(1)不等式組的解集同時滿足所有不等式的解；
(2)兩個不等式解集的公共部分才是不等式組的解集，當兩個不等式的解集沒有公共部分時，說明這個不等式組無解..
問題：利用數軸確定下列不等式組的解集，并說說有你有什么發現？
答：
師小結：
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，直接作答填空，然后小組討論，選代表回答問題，教師補充總結學生的結論.
設計意圖：通過具體題目的分析，初步感知一元一次不等式組的解集的概念與特點，將抽象知識具體化.通過觀察四組不等式組解集的公共部分，討論交流探究不同情況的解集的規律，讓學生體會數學表達的簡潔性，提高學生的符號意識.
應用新知
【經典例題】
例1解下列不等式組：
(1)；　　 (2) ．
解：(1)解不等式①，得；解不等式②，得．
把不等式①和②的解集在數軸上表示出來，就可以找出兩個不等式解集的公共部分，如圖.
所以不等式組的解集為．
(2)解不等式①，得；解不等式②，得．
把不等式①和②的解集在數軸上表示出來，就可以找出兩個不等式解集的公共部分，如圖.所以不等式組無解．
例2 x取哪些整數值時，不等式與都成立？
分析：使兩個不等式都成立的x的值，就是兩個不等式的公共解，因此求出由這兩個不等式組成的不等式組的解集，解集中的整數就是x可取的整數值．
解：解不等式，得.
所以x可取的整數值是-2，-1，0，1，2，3，4.
思考：解一元一次不等式組的一般步驟是什么？
①分別求出不等式組中各個不等式的解集；
②利用數軸（或口訣)求出這些不等式解集的公共部分，即這個不等式組的解集.若沒有公共部分，則無解.
師生活動:學生獨立完成解題過程，教師點評，規范格式.
設計意圖：通過例題，更好的掌握解一元一次不等式組的步驟，能夠應有不等式組的知識解決數學問題.
課堂練習
1.解下列不等式組：
(1) ; (2);
(3) .
解：(1)解不等式，得；
解不等式，得．
則不等式組的解集為．
(2)解不等式，得；
解不等式，得．
則不等式組無解．
(3)解不等式，得；
解不等式，得．
則不等式組的解集為．
2.x取哪些整數值時，不等式與都成立？
解：解不等式組，得.
所以x可取的整數值是4，5.
3.把一些書分給幾名同學，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同學分5本，那么最后一人分到了書但不到3本．這些書有多少本？共有多少名同學？
分析：等量關系：書的數量=人數3+8；
兩個不等關系：書的數量（人數-1）50； 書的數量 （人數-1）53.
解：設共有x人，則這些書有本，
依題意得，解得.
又x為正整數， .
答：這些書有26本，共有6名同學.
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.若關于x的不等式組.的解集在數軸上表示正確的是( )
答： B
若關于x的不等式組.的解集為x＜3，則m的取值范圍是( )
A. m＞2 B.m≥2 C.m＜2 D. m≤2
答：B
3. 若關于x的不等式組恰有3個整數解，則實數a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
分析：解不等式，得：，解不等式，得：，
所以不等式組的解集是：，
因為關于的不等式組恰有個整數解整數解是，，，
， 故選：C．
4.定義一種運算： ，則不等式的解集是( )
A. 或 B. C. 或 D. 或
分析：由新定義得或，解得或， 故選：．
5.某學校為了增強學生體質，鼓勵學生加強體育鍛煉，決定讓各班購買跳繩和毽子作為活動器材已知購買2根跳繩和5個毽子共需32元購買根跳繩和個毽子共需元．
求購買一根跳繩和一個毽子分別需要多少元.
某班需要購買跳繩和毽子的總數量是，且購買的總費用不能超過元若要求購買跳繩的數量多于根，通過計算說明共有哪幾種購買跳繩的方案．
解：設購買一根跳繩需要元，購買一個毽子需要元，
依題意，得：， 解得：．
答：購買一根跳繩需要6元，購買一個毽子需要4元．
設購買m根跳繩，則購買個毽子，
依題意，得：，解得：．
又m為正整數，m可以為21，22．
共有2種購買方案，方案1：購買21根跳繩，33個毽子；方案2：購買22根跳繩，32個毽子．
師生活動：學生先獨立作答，老師合理限制時間，最后隨機選擇學生回答.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的熟練運用，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力，同時提升學生解題速度.
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.回顧本節課學習的主要內容：一元一次不等式組的概念、解法、應用.
2.解一元一次不等式組的基本步驟是什么？
3.解一元一次不等式組的關鍵是什么？
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
本節課采用類比教學法，引導學生將一元一次不等式的解法遷移到一元一次不等式組的解法，降低了學習難度，提高了學習效率，利用數軸表示不等式的解集，將抽象的不等式組解集直觀地呈現出來，幫助學生更好地理解和掌握，練習題由易到難，層次分明，既鞏固了基礎知識，又拓展了學生的思維，滿足了不同層次學生的學習需求.
本節課以引導學生回顧一元一次不等式相關概念和解題方法為起始，循序漸進進入一元一次不等式組的學習，課堂上總結了一些解題方法和口訣，對學生解題有很大幫助.
在課堂上，通過小組討論、學生板演等方式，調動了學生的積極性，營造了良好的課堂氛圍.
總之，本節課總體達到了預期的教學目標，但也存在一些不足之處.在今后的教學中，需要不斷反思和改進自己的教學方法，努力提高課堂教學效率，使每個學生都能在數學學習中獲得進步和發展.

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