資源簡介

第十一章 不等式與不等式組
11.2 一元一次不等式
第3課時
本節課是在學生掌握一元一次不等式概念、解法以及利用一元一次不等式解決實際問題等基礎上，深入探討利用一元一次不等式解決生活中的一些實際問題，是對一元一次不等式知識的鞏固與拓展.教材通過生活中購物問題，貨比兩家，加以選擇.兩個優惠方案的優惠起點是具有關鍵意義的數據，需要根據這些數據分三種情況討論問題.其中，第三種情況最為復雜，需要再次分類，列不等式解決，體會分類討論的數學思想重要性.
教材通過豐富的實際問題情境，引導學生運用一元一次不等式解決生活中的不等關系問題，體現了數學與生活的緊密聯系，培養學生數學建模和應用意識.
學生已學習一元一次不等式的基本概念和解法，具備一定的運算能力和知識儲備，但在將實際問題轉化為數學模型并準確列出不等式方面可能存在困難.
七年級學生正處于從形象思維向抽象思維過渡階段，對直觀、具體的事物感興趣，在教學中應多創設生活情境，借助圖表等直觀手段幫助學生理解抽象的數學概念和數量關系.
1. 利用一元一次不等式解決分段計費等較復雜實際問題，體會分類討論的數學思想.
2. 通過分析實際問題中的不等關系，建立不等式模型，訓練學生的分析問題和建立數學模型的能力.
3. 通過利用一元一次不等式解決實際問題，使學生認識數學與實際生活的密切聯系，以激發學生學習數學的興趣和信心.
重點：利用一元一次不等式解決較復雜的實際問題.
難點：利用一元一次不等式解決分段計費等較復雜實際問題，體會分類討論的數學思想.
復習回顧
問題：用一元一次不等式解決實際問題的基本步驟是什么呢？
答：(1)審：認真審題，分清已知量、未知量；
(2)找：要抓住題中的關鍵字找出題中的不等關系；
(3)設：設出適當的未知數；
(4)列：根據題中的不等關系列出不等式；
(5)解：解出所列不等式的解集；
(6)答：檢驗是否符合題意，寫出答案．
師生活動：指定學生回答，然后全班集體交流．
設計意圖：通過復習利用一元不等式解決實際問題的步驟，進而為這節課研究利用一元一次不等式解決較復雜的實際問題作鋪墊.
探究新知
活動：應用題中的分類討論思想
問題：甲、乙兩超市以同樣價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優惠方案：在甲超市累計購物超過100元后，超出100元的部分按九折收費；在乙超市累計購物超過50元后，超出50元的部分按九五折收費．顧客到哪家超市購物花費較少？
師適當的引導學生：
在甲超市購物超過100元后享受優惠，在乙超市購物超過50元后享受優惠．因此，需要分三種情況討論：
（1）累計購物不超過50元；
（2）累計購物超過50元而不超過100元；
（3）累計購物超過100元.
思考：設累計購物為x元，如何表示上面三種情況的不等關系呢？
答：（1）0＜x≤50；
（2）50＜x≤100
（3）x＞100.
思考：你能用含 x的式子表示顧客在兩家超市花費的錢嗎？
答：
思考：能判斷到哪家超市購物花費比較少呢？
答：1＜x≤50，甲、乙兩超市購物花費相同；50100時，兩個式子無法直接比較.
師追問：當累計購物超過100元時，兩個超市的花費都是用含 x的式子表示，需要進一步分情況討論，你知道怎么討論嗎？
答：也是分3種情況討論，什么情況在甲超市購物花費少；什么情況在乙超市購物花費少；
什么情況在甲、乙超市購物花費一樣.
答：
問題：總結說一說，怎樣購物花費較少？
答：當累計購物花費不超過50元或等于150元時，到兩家超市購物花費相同；當累計購物超過50元而不到150元時，到乙超市購物花費較少；當累計購物超過150元時，到甲超市購物花費較少．
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，師適當的引導．
設計意圖：學生從實際問題中抽象出數學問題，找出數量關系中的不等關系，用不等式來解決實際問題，讓學生體會建立不等式模型的過程和分類討論的必要性，教師及時予以引導、歸納和總結，培養學生有條理地思考和表達的習慣，滲透分類討論的思想.
經典例題：
例 為了鼓勵市民節約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費．下表是該市居民“一戶一表”生活用水階梯式計費價格表的部分信息：
（1）設小王家5月的用水量為28噸，求小王家5月應繳的水費；
(2)隨著夏天的到來，用水量將增加．為了節省開支，小王計劃把7月的水費控制在不超過家庭月收入的2%.若小王家的月收入為9200元，則小王家7月最多能用水多少噸？
答：解：
答：小王家5月應繳的水費為106元.
（2）當用水量為30噸時，水費為17×（2.2＋0.8）＋（30－17）×（4.2＋0.8）＝116（元），因為9200×2%＝184（元），因為184＞116，所以小王家7月的用水量超過30噸．
設小王家7月的用水量為x噸，根據題意，得116＋（6.0＋0.8）（x－30）≤184，
解得x≤40．
答：小王家7月最多能用水40噸．
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
設計意圖：通過經歷各類生活情境，加深其多維度思考問題的能力，培養分類討論的思想，進而提高解決實際問題的能力.
課堂練習
教材練習：
1. 學校打算購買某款筆記本和中性筆作為獎品，獎勵給在繪畫比賽中獲獎的學生．筆記本的價格為16元/個，中性筆的價格為4元/支．如果學校一共要購買100件獎品，總費用不能超過900元，那么學校最多能買多少個筆記本？
答：解：設購買個筆記本.
由題意可得，解得.
因為x應為正整數，可得x最大為41.
答：學校最多能買41個筆記本.
2. 一家水果店花費10000元購進了大櫻桃和小櫻桃各200kg，計劃分別以39元/kg和29元/kg的價格銷售，但大櫻桃在運輸中損耗了20%．若小櫻桃的售價不變，為了使獲得的總利潤不低于預期利潤的90%，大櫻桃的售價至少要定為每千克多少元？
答：解：設大櫻桃的售價應定為每千克x元,則根據題意得；
，
整理得，解得.
答：大櫻桃的售價至少要定為元/kg.
限時訓練：
1.某出租車司機開車從甲地到乙地用時30分鐘，從乙地到丙地用時40分鐘.如果甲、乙兩地的距離比乙、丙兩地的距離多30千米，且司機全程的平均速度不低于60km/h，那么甲、乙兩地至少多遠？
答：解：設甲、乙兩地的距離為，則乙、丙兩地的距離為．
根據題意，得，解得．
答：甲、乙兩地的距離至少為50千米.
2.甲、乙兩個工程隊同時對全長為64千米的某段高鐵全線某個配套項目進行施工，每天對其施工的長度比為7：9，計劃40天完成；施工5天后，工程指揮部要求甲工程隊提高工效，以確保整個工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程隊后期每天至少施工多少千米？
答：設甲隊后期每天施工千米，
甲原來每天的施工長度為千米，
乙每天的施工長度為千米，
根據題意，得：，
解得.
答：甲工程隊后期每天至少施工千米，可確保工程提早天以上含天完成．
3.某市對居民用電的電價實行階梯收費，收費標準如下表：
已知李叔家四月份用電千瓦時，繳納電費元五月份用電千瓦時，繳納電費元請你根據以上數據，求出表格中、的值．
六月份是用電高峰期，李叔計劃六月份電費支出不超過元，那么李叔家六月份最多可用電多少千瓦時
解：
根據題意，得解得
答：、的值分別為0.61和0.66．
因為元，，
所以最多可用電超過千瓦時設李叔家六月份用電千瓦時．
根據題意，得，
解得 ．
答：李叔家六月份最多可用電千瓦時
師生活動：學生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
設計意圖：通過練習讓學生進一步掌握利用一元一次不等式解決實際問題.
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
在教學過程中，通過創設貼近學生生活的實際問題情境，激發了學生的學習興趣和積極性，讓學生感受到數學的實用性.同時，通過經歷各類生活情境，加深其多維度思考問題的能力，從而培養出學生利用分類討論思想解決實際問題的能力.
在教學中，部分學生對實際問題中的不等關系分析不夠準確，導致列不等式時出現錯誤.在今后教學中，應加強對學生分析問題能力的培養，注重引導學生從多角度思考問題，提高學生解決實際問題的能力.
在今后教學中，可增加一些針對性的練習，讓學生在練習中不斷鞏固所學知識，提高解題能力，同時，加強對學習困難學生的個別輔導，幫助他們克服學習中的困難，增強學習信心.

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