資源簡介

第十一章 不等式與不等式組
11.2 一元一次不等式
第2課時
《一元一次不等式》是初中數學代數領域的重要內容.它承接了一元一次方程的知識體系，在方程的基礎上，將等號變為不等號，研究數量之間的不等關系.本節課是一元一次不等式的第2課時，主要內容是利用一元一次不等式解決實際問題，它是在學習了一元一次方程和不等式的基本性質之后進行的.利用一元一次不等式解決實際問題，是對不等式知識的進一步深化和應用，體現了數學與實際生活的緊密聯系.通過解決實際問題，能讓學生體會到數學是解決實際問題的有力工具，增強學生學習數學的興趣和應用數學的意識，同時也為后續學習二元一次不等式組、一元二次不等式等知識奠定基礎.
學生能夠理解用字母表示數、代數式的概念以及等式的基本性質，這些知識和技能可以類比遷移到一元一次不等式的學習中. 學生也已經初步接觸了不等式的基本性質，了解了不等式的解和解集的概念，會在數軸上表示不等式的解集，這使得他們在學習利用一元一次不等式解決實際問題時，能夠更好地理解不等式模型的建立和解的意義. 在思維能力方面，初中生正處于從形象思維向抽象思維過渡的階段.對于一些具體的、直觀的實際問題，他們能夠通過分析數量關系來建立數學模型，但對于一些較為復雜、抽象的問題，可能還存在一定的困難. 教師在教學過程中應充分考慮學生的特點，采取有針對性的教學方法和策略，幫助學生克服困難，提高他們解決實際問題的能力.
1.能利用一元一次不等式解決實際問題，進一步熟練掌握一元一次不等式的解法.
2.通過分析實際問題中的不等關系，建立不等式模型，訓練學生的分析問題和建立數學模型的能力.
3.通過利用一元一次不等式解決實際問題，使學生認識數學與實際生活的密切聯系，以激發學生學習數學的興趣和信心.
重點：利用一元一次不等式解決實際問題.
難點: 通過分析實際問題中的不等關系，建立不等式模型.
復習回顧
1.一元一次不等式的定義是什么？
含有一個未知數，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數都是1的不等式叫做一元一次不等式.
2.解一元一次不等式的步驟是什么
根據不等式的性質，通過去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1等步驟，將不等式逐步化為 (或 )的形式.
師生活動：教師提問，學生舉手回答.
設計意圖：復習舊知，喚起學生已有的知識經驗，通過提問，激發學生的學習興趣和求知欲，為新知識的學習做好鋪墊.
探究新知
活動：利用一元一次不等式解決實際問題
問題：小華打算在星期天與同學去登山，計劃上午7點出發，到達山頂后休息2h，下午4點以前必須回到出發點. 如果他們去時的平均速度是3km/h，回來時的平均速度是4km/h，他們最遠能登上哪座山頂（圖中數字表示出發點到山頂的路程）？
思考：問題中不等關系是什么？
答： 上午7點到下午4點之間總共相隔9 h，即所用時間應小于或等于9 h.
不等關系：去時所花時間+休息時間+回來所花時間≤9h.
答：設從出發點到山頂的距離為x km,則他們去時所花時間為 h,回來所花時間為 h.
他們在山頂休息了2 h，又上午7點到下午4點之間總共相隔9 h.
根據題意得 ,解得：.
因此要滿足下午4點以前必須返回出發點，小華他們最遠能登上D山頂.
問題：列一元一次不等式解實際問題的步驟有哪些？
答： (1)審：認真審題，分清已知量、未知量；
(2)找：要抓住題中的關鍵字找出題中的不等關系；
(3)設：設出適當的未知數；
(4)列：根據題中的不等關系列出不等式；
(5)解：解出所列不等式的解集；
(6)答：檢驗是否符合題意，寫出答案．
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，指定學生回答，全班集體交流.
設計意圖：讓學生從實際問題中抽象出數學問題，找出不等關系，利用一元一次不等式來解決實際問題，讓學生體會建立不等式模型的過程.
應用新知
【教材例題】
例1七年級舉辦古詩詞知識競賽，共有20道題，每一題答對得10分，答錯或不答都扣5分.如果規定初賽成績超過90分晉級決賽，那么至少要答對多少題才能成功晉級？
師適當引導題中不等關系：不等關系：初賽成績＞90分.
答：解：設初賽答對了道題.根據題意，得
.
去括號，得
.
移項，合并同類項，得
.
系數化為1，得
.
由應為正整數，可得至少為13.
答：初賽至少要答對13道題才能成功晉級.
例2 某市去年萬元地區生產總值能耗為0.320 t標準煤，如果計劃使今年萬元區生產總值能耗比去年的下降率不小于5%，那么這個市今年萬元地區生產總值能耗至多為多少？
分析：
解:設這個市今年萬元地區生產總值能耗為t標準煤.
根據題意，列得不等式
.
去分母，得
.
移項，合并同類項，得
.
系數化為1，得
.
答：這個市今年萬元地區生產總值能耗至多為0.304 t標準煤.
師生活動:學生獨立思考，指定學生回答，全班集體交流.
設計意圖：通過例題，進一步鞏固加深學生對列一元一次不等式解決實際問題的理解，提高學生解決問題的能力.
課堂練習
某工程隊計劃在10天內修路6 km.施工前2天修完1.2 km后，計劃發生變化，準備至少提前2天完成修路任務，以后幾天內平均每天至少要修路多少？
分析：本題不等關系為(10-2-2)天修路總路程+已修路程≥6 km.
答：解：設以后幾天內平均每天修路 km .
(10-2-2)x+1.2≥6.解這個不等式得.
答：以后幾天內平均每天至少要修路0.8 km.
一家商店以每輛340元的進價購入一批自行車共150輛，并以每輛450元的價格銷售.兩個月后，自行車的銷售額已超過這批自行車進貨的總費用，這時至少已售出多少輛自行車？
分析：本題不等關系為已售自行車的銷售額＞150輛自行車進貨的總費用.
答：解： 設已售出 輛自行車，根據題意，得450x＞150×340,
解這個不等式.
由于必須是整數，所以至少需要售出114輛自行車.
答：至少已售出114輛自行車.
師生活動：學生獨立完成解題過程，以小組形式討論后，由學生代表展示，教師點評.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.某商品原價500元，出售時標價為900元，要保持利潤不低于26%，則最低可打 ( )
A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折
解：設最低可打折出售，根據題意，列得不等式,
解這個不等式.
故選B.
2.小穎準備用21元錢買筆和筆記本.已知每支筆3元，每個筆記本2.2元，她買了2個筆記本.她最多還能買 支筆.　
分析：本題不等關系為買筆的費用+買筆記本的費用≤21元.
解：設她還能買支筆，根據題意，列得不等式.
解這個不等式.
因為只能取正整數，所以小穎最多還能買5支筆.
3.有3人攜帶會議材料乘坐電梯，這3人的體重共210kg，每捆材料重20kg，電梯最大負荷1050kg，則該電梯在此3人乘坐的情況下最多能搭載 捆材料.　
分析：本題不等關系為3人的重量+材料質量≤電梯最大負荷.
解：設該電梯最多還能搭載捆材料，根據題意，列得不等式，
解這個不等式.
答：所以該電梯最多還能搭載42捆材料.
4.某商店5月1日舉行促銷優惠活動，當天到該商店購買商品有兩種方案，方案一：用168元購買會員卡成為會員后，憑會員卡購買商店內任何商品，一律按商品價格的八折優惠；方案二：若不購買會員卡，則購買商店內任何商品，一律按商品價格的九五折優惠.已知小敏5月1日前不是該商店的會員.
（1）若小敏不購買會員卡，所購買商品的價格為120元時，實際應支付多少元？
（2）請幫小敏算一算，所購買商品的價格在什么范圍時，采用方案一更合算？
解：（1）（元）.
答：實際應支付114元.
（2）設所購買的商品的價格為x元時，采用方案一更合算，根據題意，得
，
解這個不等式，得
.
所以小敏所購買商品的價格超過1120元時，采用方案一更合算.
師生活動：學生獨立完成解題過程，指定學生講解.
設計意圖：設置分層作業，兼顧不同水平的學生，關注差異，使學生獲得各自的發展，加深學生對知識進一步理解的同時，擴展學生的思維，讓優秀生有施展的舞臺．
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.請你說一說用一元一次不等式解決實際問題的步驟.
3.在使用一元一次不等式解決實際問題的過程中需要注意什么？
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
本節課是利用一元一次不等式組解決實際問題時，學生需要具備較強的閱讀理解能力、邏輯分析能力和數學表達能力，而這些能力的發展是不均衡的，部分學生可能在理解題意、找出不等關系以及將實際問題轉化為數學模型等方面存在障礙，例如“至少”“至多”“不超過”“不少于”等，準確理解這些詞語所表達的不等關系是解題的關鍵.另外，在根據不等式的解來確定實際問題的答案時，學生可能會忽略實際問題的限制條件.例如，實際問題中涉及到人數、物品數量等通常為正整數，而不等式的解可能是一個取值范圍，學生需要根據實際情況對解進行合理的取舍和解釋.這種兩極分化的課堂表現不僅影響了整體教學進度，也給教學帶來了較大挑戰.
基于以上反思，后續教學需做出多方面調整.在教學設計上，增加學生自主探究環節，例如在給出實際問題后，先讓學生獨立思考一段時間，嘗試自行列出不等式，然后再進行小組討論和全班交流，教師在這個過程中給予適時引導.針對學生的個體差異，設計分層作業，為基礎薄弱的學生提供更多基礎鞏固性練習，幫助他們夯實基礎；為學有余力的學生提供拓展性題目，滿足他們的學習需求.同時，加強對學生學習方法的指導，教會學生如何分析題目中的關鍵信息、如何通過列表、畫圖等方式梳理數量關系，逐步提升學生解決實際問題的能力，讓每個學生在這一知識板塊的學習中都能獲得成長與進步.

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