資源簡介

第十一章 不等式與不等式組
11.2一元一次不等式
第1課時
一元一次不等式是初中數學的重要內容，它是在學生學習了一元一次方程、二元一次方程組等等相關知識的基礎上進行的延伸.從知識體系來看，不等式與方程一樣，都是研究數量關系的重要數學工具，方程描述的是等量關系，而不等式描述的是不等關系，二者相互補充，共同完善了初中數學對于數量關系的研究范疇.在理解不等式基本性質的基礎上，教材給出一元一次不等式的定義，明確其形式特征.隨后，詳細講解一元一次不等式的解法，其解法步驟與一元一次方程類似，包括去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為 1 等，但在未知數的系數化為 1 時，需要根據不等式兩邊所乘（或除以）的數的正負情況，確定不等號方向是否改變.這一過程既強化了學生對已有知識（解方程步驟）的遷移運用，又突出了不等式解法的獨特之處，培養學生嚴謹的思維習慣.
學生在學習一元一次不等式時的狀況，學生已經掌握了等式的基礎知識，有利于知識的遷移，但不等式性質與等式的性質差異易致混淆.
從認知能力看，學生在理解不等式性質及實際應用方面有困難，主要是從具體的問題到抽象的數學建模需要學生具有一定的理解能力.學習特點方面，個體差異和學習方式偏好明顯.困難集中在不等式性質理解、解題錯誤及應用建模，應對策略從直觀教學、規范解題、強化應用訓練等方面展開.
1.了解一元一次不等式概念的形成過程.
2.會解一元一次不等式的，并能在數軸上表示出解集，培養學生的運算能力和數形結合的思想.
3.通過類比解一元一次方程的過程，獲得解一元一次不等式的思路，即依據一元一次不等式的性質，將一元一次不等式化簡為x＞a或x＜a的形式，加深對化歸思想的體會.
重點：會解一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集.
難點：通過類比解一元一次方程的過程，獲得解一元一次不等式的思路，即依據一元一次不等式的性質，將一元一次不等式化簡為x＞a或x＜a的形式，加深對化歸思想的體會.
復習回顧
問題：什么一元一次方程？
答：一般地，如果方程中只含有一個未知數，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數都是1，這樣的方程叫一元一次方程.
問題：解一元一次方程的一般步驟是什么？
答：去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1.
師生活動：學生獨立思考，指定學生回答.
設計意圖：通過復習一元一次方程及解題步驟，可以使學生快速進入學習狀態，同時為學習新知識的學習做好充足準備，類比一元一次方程學習一元一次不等式，有助于學生進而更快地理解和掌握.
探究新知
活動一：一元一次不等式的概念
問題：觀察下面的不等式，它們有哪些共同特征？
x-7>26, 3x<2x+1， x＞50， -4x>3.
師生活動：小組形式匯報．
答：解：1.不等式只含有一個未知數；
2.不等式的兩邊都是整式；
3.不等式未知數的次數是1.
追問：你知道上面的不等式是什么不等式嗎？
答：一元一次不等式.
師小結：只含有一個未知數，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數是1的不等式,叫作一元一次不等式．
一元一次不等式必須滿足同時滿足三個條件：
(1)不等號的兩邊都是整式；
(2)只含一個未知數；
(3)未知數的次數是1，且未知數系數不為0.
設計意圖：通過幾個具體的不等式使學生從中抽象出一元一次不等式的概念，有助于學生對于概念的準確識別.
活動二：一元一次不等式的解法
問題：利用不等式的性質解不等式 x－7＞23.
解：根據不等式的性質1，不等式兩邊都加 7，不等號的方向不變，所以
x－7＋7＞23＋7，
x＞30．
　　 所以這個不等式的解集是 x＞30．
師演示課件：
師小結：解不等式時也可以“移項”，即把不等式一邊的某項變號后移到另一邊，而不等號的方向不變．
問題：解一元一次方程：
4x-1=5x+15.
答：解：移項，得4x-5x=15+1.
合并同類項，得-x=16.
系數化為1，得x=-16.
追問：類比一元一次方程的解法，若把“=”變成“<”該如何解呢？
4x-1<5x+15
答：移項，得4x-5x<15+1.
合并同類項，得-x<16.
系數化為1，得x＞-16.
師小結：一般地，利用不等式的性質，采取與解一元一次方程類似的步驟，就可以求出一元一次不等式的解集.
設計意圖：通過類比一元一次方程的解法，使學生掌握一元一次不等式的解法，使學生利用原有的知識基礎進行遷移，這樣能幫助學生對知識的理解與掌握.
應用新知
教材例題
例1 解下列不等式，并在數軸上表示解集：
（1）3（x-1）＜x-2;
（2）+2≥.
答：（1）解：去括號，得3x-3移項，得3x-x<-2+3.
合并同類項，得2x<1.
系數化為1，得 x＜ .
這個不等式的解集在數軸上的表示如圖所示
（2）解：去分母，得3（x-5）+24≥2(5x+1).
去括號，得3x-15+24≥10x+2.
移項，得3x-10x≥2+15-24.
合并同類項，得-7x≥- 7.
系數化為1，得x≤1.
這個不等式的解集在數軸上的表示如圖所示.
小結：
問題：解一元一次不等式每一步變形的依據是什么？
答：去分母：不等式的性質 2.
去括號：去括號法則.
移項：不等式的性質 1.
合并同類項：合并同類項法則.
系數化為 1：不等式的性質 2 或 3.
問題：解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟和依據有哪些相同和不同之處？
答：相同點：
基本步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1；
基本思想：都是運用化歸思想，將一元一次方程或一元一次不等式變形為最簡形式.
不同點：
解法依據：解一元一次不等式的依據是不等式的性質，解一元一次方程的依據是等式的性質；
最簡形式：一元一次不等式最簡形式是x>a或x師生活動：指定學生在黑板上板演，然后全班集體交流.
設計意圖：詳細展示解一元一次不等式的一般步驟和方法，如移項、合并同類項、系數化為 1 等，讓學生了解每一步的依據和目的.通過觀察、比較發現解一元一次不等式與解一元一次方程的類似之處，從而能夠將已有的解方程的經驗和方法遷移到解不等式中，有助于培養學生的類比思維能力，使他們在面對新的數學問題時，能夠主動尋找與已學知識的相似性，進而嘗試用類似的方法去解決問題.
經典例題
例2 若關于，的方程組的解滿足，則整數的最小值為( )
A. B. C. D.
答：解：，
由得：，
關于，的方程組的解滿足，
，
解得：，
的最小整數值為.故選C.
例3已知不等式 x+8＞4x+m (m是常數)的解集是x＜3，求 m的值.
分析：本已知解集求字母的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值.
答：
師生活動：學生先獨立思考，然后指定學生回答，全班集體交流.
設計意圖：通過經典例題講解，及時練習鞏固所學，培養學以致用、積極思考的習慣，提升學生計算能力．
課堂練習
　　【教材練習】
解下列不等式，并在數軸上表示解集：
（1） 5x+15 ＞ 4x－1 ;
（2） 2(x+5) ≤3(x－5) ;
（3） ＞ ;
（4） ≥ +1 .
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
解:（1）移項，得5x-4x＞-1-15.
合并同類項，得x＞-16.
這個不等式的解集在數軸上的表示如圖所示.
（2）去括號，得 2x+10≤3x-15.
移項， 得 2x-3x ≤ -15-10 .
合并同類項，得 -x ≤ -25.
系數化為1， 得 x ≥ 25.
這個不等式的解集在數軸上的表示如圖所示.
（3）去分母，得 3(x-1)＞7(2x+5).
去括號，得 3x-3 ＞ 14x+35.
移項， 得 3x-14x ＞ 35+3.
合并同類項，得 -11x ＞ 38.
系數化為1，得 x ＜ - .
這個不等式的解集在數軸上的表示如圖所示.
（4）去分母，得 2(x+1) ≥ 3(2x-5)+12.
去括號，得 2x+2 ≥ 6x-15+12.
移項，得 2x-6x ≥ -15+12-2.
合并同類項，得 -4x≥ -5.
系數化為1，得x ≤ .
這個不等式的解集在數軸上的表示如圖所示.
2.當上x或y滿足什么條件時，下列關系成立
(1)2(x+1)大于或等于1;
(2)4x與7的和不小于6;
(3)y與1的差不大于2y與3的差;
(4)3y與7的和的 小于-2.
答：（1）由題意，得2(x+1)≥1，
去括號，得2x+2≥1，
移項，得2x≥1-2，
合并同類項，得2x≥-1，
系數化為1，得 x≥- . 所以當x≥ 時，2(x+1)大于或等于1;
（2）由題意得4x+7≥6，
移項，得4x≥6-7，
合并同類項，得 4x≥-1，
系數化為1，得 x≥- .所以當x≥ 時，4x與7的和不小于6;
(3)由題意，得y-1≤2y-3.
移項，得y-2y≤-3+1.
合并同類項，得-y≤-2.
系數化為1，得 y≥2.
所以當y≥2時，y與1的差不大于2y與3的差；
由題意，得 (3y+7)＜-2，去括號，得y+＜-2，
移項，得y＜-2- ，合并同類項，得y＜- ，系數化為1，得y＜ 5.
所以當y＜ 5 時,3y與7的和的 小于-2.
【限時訓練】
1.下列各式中，是一元一次不等式的是( )
A. B. C. D.
答：C
2.不等式3x 1≥x+3的解集是( )
A. x≤4 B. x≥4 C. x≤2 D. x≥2
答：D
3.定義新運算“ ”，規定：a b=a 2b.若關于x的不等式x m>3的解集為x> 1，則m的值是( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
答：B
4.小霞原有存款52元，小明原有存款70元．從這個月開始，小霞每月存15元零花錢，小明每月存12元零花錢，設經過n個月后小霞的存款超過小明，可列不等式為( )
A. 52+15n>70+12n B. 52+15n<70+12n
C. 52+12n>70+15n D. 52+12n<70+15n
答：A
5. 已知關于，的二元一次方程組滿足，則的取值范圍是______．
答：
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解.
歸納總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.一元一次不等式的概念是什么？
3.解一元一次不等式的步驟是什么？
設計意圖：通過歸納總結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
從學習目標達成來看，通過講解和練習，大部分學生能夠理解一元一次不等式的概念，掌握其解法步驟，如去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為 1 等，基本實現了知識與技能目標.
教學方法上，采用了講授法與練習法相結合.講授時，類比一元一次方程的解法，引導學生發現解一元一次方程與解一元一次不等式的異同點，有助于學生快速理解新知識，降低學習難度.
不足之處一些學生對概念理解不夠深入，在判斷不等式是否為一元一次不等式時，容易忽略 “只含有一個未知數，且未知數的次數是 1” 這一關鍵條件.在解不等式過程中，去分母時漏乘常數項，系數化為 1 時，當系數為負數，忘記改變不等號方向等錯誤較為常見.這反映出學生對知識點的掌握不夠扎實，運算的準確性和細心程度有待加強.同時，部分學生在解決實際問題時，難以將實際情境轉化為數學模型，缺乏分析問題和建立不等式的能力.

展開更多......

收起↑