資源簡介

第十一章 不等式與不等式組
11.1 不等式
11.1.1 不等式及其解集
一、教學目標
1.了解不等式的概念，理解不等式的解集，能用數軸表示不等式的解集.
2.經歷由具體實例建立不等模型的過程，經歷探究不等式解與解集的不同意義的過程，滲透數形結合思想；
3.通過對不等式、不等式解及解集的探究，引導學生在獨立思考的基礎上積極參與對數學問題的討論，培養他們的合作交流意識;
4.初步認識實際生活與數學息息相關，存在緊密的聯系，增強學生學習數學的興趣.
二、教學重難點
重點：正確理解不等式、不等式解與解集的概念，把不等式的解集正確地表示到數軸上.
難點：理解不等式解集的概念以及在數軸上正確表示不等式的解集．
三、教學資源
多媒體.
教學過程設計
環節一 導入情境
現實生活中，數量之間存在著相等與不相等的關系.
小麗的身高為155cm，小楠的身高為156cm；
提問：怎么表示小麗的身高與小楠的身高之間的關系？
答：我們可以用不等號“>”或“<”來表示它們的高度之間的關系:156cm＞155cm或155cm＜156cm.
設計意圖：從生活中發現不等量關系，從而引出不等式，并提出問題，激發學生的求知欲.
環節二 探究新知
問題1 一輛汽車在高速公路上勻速行駛，6:00 時汽車距前方的 A 地210 km，汽車要在 8:00 之前駛過 A 地，車速應滿足什么條件？
分析：設車速是 x km/h，
從時間上看，以 x km/h 的速度行駛 210 km的時間不到 2 h ，這個不等式可以表示為：＜2． ①
從路程上看，以 x km/h 的速度行駛 2 h 的路程要超過 210 km ，這個不等式可以表示為：2x＞210．②
問題 2　你能用式子表示下列不等關系嗎？
　　（1）m 的 4 倍小于 9；
　　（2）a 與 2 的和不等于 a 與 2 的差．
預設答案：（1）4m＜9，（2）a＋2≠a-2
設計意圖：從現實生活、生產、科研中引出不等量關系，列出不等式，為歸納不等式提供豐富素材，并激發學生學習興趣.
問題 3　結合問題 1 和問題 2，你能嘗試給出不等式的概念嗎？
歸納：像＜2，2x＞210 這樣用符號“＜”或“＞”表示不等關系的式子，叫作不等式．
像 a＋2≠a－2 這樣用“≠”表示不等關系的式子也是不等式．
注意：有些不等式中不含字母，例如3<4，-1>-2;有些不等式中含有字母，例如①②這樣的不等式.
設計意圖：通過已有的不等式，引出不等式的概念.
環節三 應用新知
例1 用不等式表示下列數量關系：
（1）a與15的和大于27；
（2）b的一半與3的差是負數；
(3)某縣在鄉村振興項目的援助下，共種植1333 hm2獼猴桃，種植面積超過全縣原有獼猴桃種植面積的 18倍
解：（1）a+15＞27;
＜0;
設這個縣原有獼猴桃種植面積為x hm2，那么1333>18x，也可以表示為 18x<1 333 ．
總結:列不等式的基本步驟:
① 認真審題，找出問題中要對比的量；
② 將要對比的量用代數式表示出來；
③ 找出問題中表示不等關系的關鍵詞，并用不等號表示出來；
④ 用不等號將所列的代數式連接起來，列出不等式.
設計意圖：通過例題總結歸納例不等式的技巧和方法.
問題 4 對于前面問題中的不等式 2x＞210 而言，車速可以是 110 km/h嗎？120 km/h 呢？90 km/h 呢？
當 x＝110 時，2x＝220， 2x＞210；
當 x＝120 時，2x＝240， 2x＞210；
當 x＝90 時，2x＝180，2x＜210．
追問 類比方程的解，什么叫不等式的解？
與方程的解類似，我們把使不等式成立的未知數的值叫作不等式的解．110 是不等式 2x>210 的解，而 90 不是不等式 2x>210 的解.
設計意圖：通過探究滿足不等式的值，得到不等式的解的概念.
探究 再取 x 的一些值試一試，看看哪些是不等式 2x＞210 的解？
預設：
追問 觀察不等式 2x＞210 的解，它們都滿足什么條件？
預設：汽車要在 8:00 之前駛過 A 地，車速應大于 105 km/h．
一般地，一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集．求不等式的解集的過程叫作解不等式．
思考：除了用 x＞105 表示不等式 2x＞210 的解集，還有其他表示方法嗎？
預設：
在表示 105 的點上畫空心圓圈，表示解集不包含這個點所對應的數.
畫數軸表示的步驟：第一步:畫數軸; 第二步:定界點; 第三步:定方向.
【歸納】
不等式解集的表示方法主要有兩種：
（1）用式子，即用最簡形式的不等式（x＞m 或 x＜m）表示；
（2）用數軸，標出數軸上的某一范圍，其中的點對應的數值都是不等式的解．
設計意圖：通過探究不等式的解的情況，得到不等式的解集，并引導學生除了利用式子表示還可以利用數軸表示.
例2 直接寫出x+4＜6的解集，并在數軸上表示出來．
解：不等式的解集為： x<2
用數軸表示為：
環節四 課堂練習
1. 用不等式表示下列不等關系：
　（1）a 是正數；
　（2）5 與 x 的和小于 7；
　（3）－4 與 m 的積大于 8；
　（4）m 與 1 的差小于 m 的 3 倍；
　（5）經檢測，某公園的環境噪聲在 50 dB（分貝）以下；
　 (6)某市有公交車 12 000 輛，其中新能源公交車所占比例超過 66%．
答：（1）a＞0，（2）5＋x＜7，（3）－4m＞8，（4）m－1＜3m，（5） 設公園的環境噪聲為 x dB，那么 x＜50．
（6）設某市有新能源公交車 x 輛，那么 x＞12 000×66%．
2. 下列數中哪些是不等式 x＋3＞6 的解？哪些不是？
　　－4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12．
答：當 x＝－4 時，－4＋3＝－1＜6，原不等式不成立；
　　當 x＝－2.5，0，1，2.5 時，x＋3＜6，原不等式不成立；
　　當 x＝3 時， x＋3＝6，原不等式不成立；
　　當 x＝3.2 時，3.2＋3＝6.2 ＞6，原不等式成立；
　　當 x＝4.8，8，12 時，x＋3＞6，原不等式成立．
3.直接寫出不等式x+4＞8的解集并在數軸上表示它.
解：不等式的解集為：x＞4
用數軸表示為：
設計意圖：通過練習，鞏固本節課所學內容，同時進一步提高學生分析問題和解決問題的能力.
環節五 歸納總結
思維導圖的形式呈現本節課的主要內容：
設計意圖：通過小結總結回顧本節課學習內容，幫助學生歸納、鞏固所學知識.

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