資源簡介

第十章 二元一次方程組
10.4《三元一次方程組的解法》
第2課時
本節(jié)課《三元一次方程組的解法》是人教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第十章第四節(jié)的內(nèi)容.這一章是選學(xué)內(nèi)容，是以學(xué)生學(xué)習(xí)完二元一次方程組的知識為基礎(chǔ).本節(jié)內(nèi)容學(xué)生主要學(xué)習(xí)三元一次方程組在實際問題中的應(yīng)用和代數(shù)式中應(yīng)用的知識，豐富了學(xué)生的知識儲備，開闊了眼界.
到了七年級下冊，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和轉(zhuǎn)化思維能力，對三元一次方程組可以進行初步的理解和學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生從三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再到一元一次方程的過程，讓學(xué)生認(rèn)識到化元的魅力和奇妙，為深入的學(xué)習(xí)和應(yīng)用三元一次方程組解決實際問題打下基礎(chǔ).
1. 學(xué)生通過回顧復(fù)習(xí)，牢固掌握用代入消元法和加減消元法來解三元一次方程組的技巧；
2. 通過對三元一次方程組的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠?qū)⑵潇`活應(yīng)用，用來解決實際問題；
3. 經(jīng)歷各式各樣的解題方法，讓學(xué)生體會到轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際和解決問題的能力.
重點：學(xué)生通過回顧復(fù)習(xí)，牢固掌握用代入消元法和加減消元法來解三元一次方程組的技巧；
難點：通過對三元一次方程組的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠?qū)⑵鋺?yīng)用，用來解決實際問題.
復(fù)習(xí)回顧
問題1：請你說一說解三元一次方程組的基本思路？
師生活動：小組形式匯報．
結(jié)論：解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”進行消元，把三元”轉(zhuǎn)化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程.
設(shè)計意圖：通過學(xué)生對以前學(xué)過的三元一次方程組的解法的復(fù)習(xí)，進而為本節(jié)利用三元一次方程組解決實際問題打下基礎(chǔ).
探究新知
活動一：三元一次方程組在求值中的應(yīng)用
問題1：在等式是常數(shù)中，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，求，，的值．
師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
分析：把a，b，c看作三個未知數(shù)，分別把已知的x，y值代入原等式，就可以得到一個三元一次方程組.
解：把分別代入等式，得
，得，解得．
，得
把代入，得．
把，代入，得．
所以，，．
設(shè)計意圖：讓學(xué)生借助列代數(shù)式的相關(guān)知識，來構(gòu)建出三元一次方程組，并且能夠三元一次方程組的解法來求值.
活動二：三元一次方程組在實際問題中的應(yīng)用
問題2：一個三位數(shù)，十位上的數(shù)等于百位上的數(shù)的倍，百位上的數(shù)的倍減去個位上的數(shù)等于十位上的數(shù)的，且各數(shù)位上的數(shù)的和為求這個三位數(shù)．
師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示.
答：解：設(shè)這個三位數(shù)的百位上的數(shù)是，十位上的數(shù)是，個位上的數(shù)是，則這個三位數(shù)是．
根據(jù)問題中的相等關(guān)系，列得方程組
由，得
，得
由與組成二元一次方程組
解這個方程組，得把，代入，得，．
因此，這個三元一次方程組的解是
．
答：這個三位數(shù)是．
設(shè)計意圖：讓學(xué)生能夠利用已經(jīng)學(xué)過的方程的知識，列出三元一次方程組，并且能夠解法解出 來，體現(xiàn)出來學(xué)以致用，用來解決實際問題.
應(yīng)用新知
經(jīng)典例題：球類運動室有籃球、排球和足球共26個．已知籃球比排球多1個，排球與足球個數(shù)的和比籃球多6個．問這三種球各多少個？
解：
解得
答：籃球有10個，排球有9個，足球有7個.
教材例題：
例2：在等式中，當(dāng)x= 1時，y=0；當(dāng)x=2時，y=3；x=5時，y=60.求a、b、c的值.
分析：把a、b、c看做三個未知數(shù)，分別把已知的x、y值代入原等式，就可以得到一個三元一次方程組.
師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
答：解：根據(jù)題意，列得三元一次方程組
②-①，得a+b=1 ④
③-①，得4a+b=10 ⑤
④與⑤組成二元一次方程組
解這個方程組，得
把a=3，b= 2代入①得,
c= 5
因此a、b、c的值分別為3,-2,-5.
例3：一個三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)的和為14，百位上的數(shù)的2倍減去十位上的數(shù)的差是個位上的數(shù)的．如果把這個三位數(shù)個位上的數(shù)與百位上的數(shù)交換位置，那么所得的新數(shù)比原數(shù)小99．求這個三位數(shù).
分析：把這個三位數(shù)各位上的數(shù)看成三個未知數(shù)，則根據(jù)題目中的三個相等關(guān)系，可以列三元一次方程組.
師生活動：學(xué)生先獨立思考，再小組交流，最后以小組為代表匯報展示．
答：解：設(shè)這個三位數(shù)百位上的數(shù)為x，十位上的數(shù)為y，個位上的數(shù)為z．根據(jù)題意，列得三元一次方程
解這個方程組得
因此這個三位數(shù)是473.
教材例題歸納：讓學(xué)生借助列代數(shù)式的相關(guān)知識及已經(jīng)學(xué)過的方程的知識，來構(gòu)建出三元一次方程組，并且能夠三元一次方程組的解法來求值，學(xué)以致用，從而解決實際問題.
課堂練習(xí)
教材練習(xí)：
1.甲、乙、丙三個數(shù)的和是35，甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5，乙數(shù)的等丙數(shù)的．求這三個數(shù).
解：設(shè)甲數(shù)是x，乙數(shù)是y，丙數(shù)是z.
由題意得
解得
答：甲、乙、丙這三個數(shù)分別是10，15，10.
2. 在等式z=ax+by+c中，當(dāng)x=1,y=2時，z=8；當(dāng)x=2,y=1時，z=5；當(dāng)x= 1,y= 1時，z=4.求a,b,c的值.
答：解：由題意可得
解這個方程組得
答：a,b,c的值分別是-1，2，5.
限時訓(xùn)練：
1.解方程組時，第一次消去未知數(shù)的最佳方法是( )
A. 加減法消去，即，
B. 加減法消去，即，
C. 加減法消去，即，
D. 代入法消去，，中的任何一個
答：C
2.已知且，則的值為( )
A. B. C. D. 不確定
答：B
3.在精準(zhǔn)扶貧的過程中，某駐村服務(wù)隊結(jié)合當(dāng)?shù)馗呱降匦危瑳Q定在該村種植中藥材川香、貝母、黃連增加經(jīng)濟收入．經(jīng)過一段時間，該村已種植的川香、貝母、黃連面積之比：：，是根據(jù)中藥材市場對川香、貝母、黃連的需求量，將在該村余下土地上繼續(xù)種植這三種中藥材，經(jīng)測算需將余下土地面積的種植黃連，則黃連種植總面積將達到這三種中藥材種植總面積的為使川香種植總面積與貝母種植總面積之比達到：，則該村還需種植貝母的面積與該村種植這三種中藥材的總面積之比是______．
答：：
解：設(shè)該村已種藥材面積，余下土地面積為，還需種植貝母的面積為，則總面積為，川香已種植面積、貝母已種植面積，黃連已種植面積
依題意可得，
由，得，
將代入，得，
貝母的面積與該村種植這三種中藥材的總面積之比，
故答案為：．
4.現(xiàn)有角、角、元硬幣各枚，從中取出枚，共值元．角、角、元硬幣各取出多少枚？
答：設(shè)取出1角、5角、1元硬幣各x，y，z枚.
根據(jù)題意，得．
②-①得4y+9z=55，即y=
因為x，y，z都不大于，且只能取正整數(shù)，所以．
答：應(yīng)取枚角，枚角，枚元的硬幣．
歸納總結(jié)
師生活動：教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容.
1.本節(jié)課你學(xué)到了什么？
2.如何用代入消元法和加減消元法來解三元一次方程組？
3.如何利用列三元一次方程組來解決實際問題？
設(shè)計意圖：通過小結(jié)讓學(xué)生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識.
實踐作業(yè)
請同學(xué)們以小組為單位，以男生、女生和任課老師的人數(shù)為依據(jù)，編一道三元一次方程組的題目，并由其他小組進行解答，看你們得到的結(jié)果一致嗎？
在教授初中七年級人教版三元一次方程組的解法第二課時時，我收獲了許多寶貴經(jīng)驗.課堂上，我通過帶領(lǐng)學(xué)生回顧上一課時三元一次方程組的解法，為應(yīng)用題的學(xué)習(xí)打下了堅實基礎(chǔ)，學(xué)生能較好地運用消元思想來解決實際問題，知識過渡較為自然.
在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，組織學(xué)生進行小組合作討論，共同解決較復(fù)雜的應(yīng)用題.學(xué)生們在小組中積極交流想法，互相啟發(fā)，不僅提高了合作能力，還找到了多種解決問題的思路和方法，培養(yǎng)了學(xué)生的思維靈活性.
但也存在不足.盡管大部分學(xué)生能跟上教學(xué)進度，但仍有少部分學(xué)生在理解應(yīng)用題題意和建立三元一次方程組模型時存在困難.在后續(xù)教學(xué)中，需要更加關(guān)注這部分學(xué)生，給予他們更多的指導(dǎo)和練習(xí)機會.在講解一些較難的應(yīng)用題時，花費時間較多，導(dǎo)致后面的課堂小結(jié)有些倉促，沒有充分讓學(xué)生分享自己在本節(jié)課的收獲和體會，影響了課堂教學(xué)的完整性.
后續(xù)教學(xué)中，我會加強小組討論的組織引導(dǎo)，明確規(guī)則與方向，確保全員參與.優(yōu)化習(xí)題設(shè)計，增加分層練習(xí)，滿足不同層次學(xué)生需求.同時，持續(xù)挖掘生活素材，豐富教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生更深入掌握三元一次方程組的知識.拓寬學(xué)生的解題思路，提高他們的綜合應(yīng)用能力.

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