資源簡介

第十章 二元一次方程組
10.4《三元一次方程組的解法》
第1課時
《三元一次方程組的解法》是初中數學代數部分的重要內容，承接二元一次方程組，是對方程組知識的進一步拓展和深化.通過學習三元一次方程組的解法，學生能夠將之前解決二元一次方程組的思路和方法進行遷移，提升解決復雜方程問題的能力，為后續學習更高階的方程以及函數等知識奠定基礎，在數學知識體系的構建中起著承上啟下的關鍵作用.
學生在之前已經學習了一元一次方程和二元一次方程組，掌握了一元一次方程的解法以及二元一次方程組的代入消元法和加減消元法，對解方程的基本思路和方法有了一定的認識和實踐經驗.這些知識儲備為學生學習三元一次方程組的解法提供了必要的基礎，學生可以在已有知識的基礎上，通過類比、遷移來理解和掌握新知識.
初中學生正處于從形象思維向抽象思維過渡的階段，他們具有一定的觀察、分析和歸納能力，但對于較為復雜的數學問題，還需要教師的引導和啟發.在學習三元一次方程組時，學生對于方程組中多個未知數的處理可能會感到困惑，需要教師通過具體的實例和直觀的演示，幫助學生理解消元的思想和方法，逐步提高學生的抽象思維能力和運算能力.
初中學生好奇心強，對新鮮事物充滿興趣，但在學習過程中容易出現注意力不集中、缺乏耐心等問題.在教學過程中，教師可以采用多樣化的教學方法，如問題引導、小組合作、多媒體演示等，激發學生的學習興趣，提高學生的課堂參與度，同時培養學生的自主學習能力和合作交流能力.
1.了解三元一次方程組的概念；
2.能解簡單的三元一次方程組，在解的過程中進一步體會“消元”思想，培養學生將復雜問題轉化為簡單問題的化歸能力；
3.能解決簡單的三元一次方程組的應用問題，提高學生分析問題、解決問題以及數學建模的能力.
重點：三元一次方程組的解法，尤其是代入消元法和加減消元法的運用；
難點: 解決簡單的三元一次方程組的應用問題.
復習回顧
1.解二元一次方程組有哪幾種方法？
代入消元法和加減消元法
2.解二元一次方程組的基本思路是什么？
化二元為一元
【思考】若含有3個未知數的方程組如何求解？
師生活動：教師提問，學生舉手回答.
設計意圖：復習舊知，喚起學生已有的知識經驗，通過提問，激發學生的學習興趣和求知欲，為新知識的學習做好鋪墊.
探究新知
活動一：探究三元一次方程組的概念
問題：在一次足球聯賽中，一支球隊共參加了22場比賽，積47分，且勝的場數比負的場數的4倍多2.按照足球聯賽的積分規則，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，那么這支球隊勝、平、負各多少場
教師問：題目中有幾個條件？
學生答： 題目中共有3個條件.
教師問：問題中有幾個未知量？
學生答：問題中有3個未知量.
教師問：題目中有哪些數量關系呢？
教師問：根據題目中的數量關系，你能得到幾個方程呢？
師生一起解答：在這個題目中，要我們求的有三個未知數，設球隊勝，平，負的場數分別為x，y，z，根據題意可以得到下列三個方程:
把三個方程合在一起寫成：
由此，我們得出三元一次方程組的定義.
含有三個未知數，含有未知數的式子都是整式，含未知數的項的次數都是1，一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，直接作答填空.然后小組討論，選代表回答問題，教師補充總結學生的結論.
設計意圖：通過觀察，比較，得出三元一次方程組的定義.
探究新知
活動二：探究三元一次方程組的解法
問題：怎樣解三元一次方程組呢？類似二元一次方程組的解，三元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個三元一次方程組的解. 求解下面的三元一次方程組：
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，然后小組討論，選代表解答，教師補充總結.
解：把③分別代入①②得
解這個方程組，得
把 代入傘，得.
因此，三元一次方程組的解為
設計意圖：通過知識遷移，將消元法運用在求解三元一次方程組中.
總結：解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”進行消元，把三元”轉化為“二元”，使解三元一次方程組轉化為解二元一次方程組，進而再轉化為解一元一次方程.
應用新知
【經典例題】
例1求解
師生活動:學生獨立完成解題過程，教師點評，規范格式.
解：由方程②，得 . ④
把④分別代入①③，得 ,
解這個方程組，得
把代入④，得.
所以原方程組的解是:
設計意圖：通過例題，讓學生掌握三元一次方程組的解法.
【經典例題】
例2 在等式 y=ax2+bx+c中,當x=－1時,y=0;當x=2時,y=3;當x=5時,y=60. 求a,b,c的值.
師生活動：教師在黑板上展示例題，提示學生仔細審題，找出問題的突破點.學生思考并嘗試
解： 根據題意，得三元一次方程組
得
,得
④和⑤組成方程組
解這個方程組，得
把a=3,b= 2 ,代入①，得c= 5.
所以a,b,c的值分別為3，-2，-5.
例3 幼兒營養標準中要求每個幼兒每天所需的營養中應包含35單位鐵、70單位鈣和35單位維生素.現需給幼兒園小朋友們配餐，其中包含A、B、C三種食物，下表給出的是每份（50g)食物A、B、C分別所含的鐵、鈣和維生素的量（單位）
食物 鐵 鈣 維生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）設食譜中A、B、C三種食物各為x、y、z份，請列出方程組，使得食物中所含的營養量剛好滿足幼兒營養標準.
（2）解該三元一次方程組，求出滿足要求的A、B、C的份數.
師生活動：教師在黑板上展示例題，提示學生仔細審題，找出問題的突破點.學生思考并嘗試
解： (1)由該食譜中包含35單位的鐵、70單位的鈣和35單位的維生素，得方程組
得
，得
④與 ⑤組成方程組
,得
把代入⑤，得
把，代入①，得
所以 .
答：該食譜中包含A種食物2份，B種食物1份，C種食物2份.
設計意圖：通過典型例題鍛煉學生讀題、解題能力，提升邏輯思維能力.
課堂練習
1.解方程組
解：由方程②得 . ④
把④代入①得 , ⑤
解由③⑤組成的二元一次方程組，得
.
把代入④，得.
所以原方程組的解是:
2.解方程組
解：得 . ④
解由①④組成的二元一次方程組，得
.
代入③，得.
所以原方程組的解是:
3.解方程組
解：得 . ④
解由①④組成的二元一次方程組，得
.
把代入，得.
所以原方程組的解是:
4.解方程組
解： ①+②得 . ④
②+③得 . ⑤
解由④⑤組成的二元一次方程組，得
.
代入③，得.
所以原方程組的解是:
師生活動：學生演板，教師點評.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.方程 中，三元一次方程的個數是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1個　　 B. 2個　
C. 3個 　 D. 4個
解析：三元一次方程有三個未知數，并且未知數的項的次數都是1．
由題知，滿足題意．
故選 B ．
2.若，則的值為（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
解析：通過觀察未知數的系數，可采取兩個方程相加的方法.
兩個方程相加可得，所以
故選D ．
3.解方程組
則x＝_____，y＝______，z＝_______.
解析：①+②可得，②+③可得，將，帶入①可得.
4.若，求的值．
解：因為三個非負數的和等于0，所以每個非負數都為0.
可得方程組
解得
5.一個三位數，十位上的數字是個位上的數字的，百位上的數字與十位上的
數字之和比個位上的數字大1.將百位與個位上的數字對調后得到的新三位數
比原三位數大495，求原三位數．
解：設原三位數百位、十位、個位上的數字分別為x、y、z. 由題意，得
解得： ， 所以原三位數為368.
6.某農場300名職工耕種51公頃土地,計劃種植水稻,棉花和蔬菜,已知種植農作物每公頃所需的勞動力人數及投入的設備資金如下表:
農作物品種 每公頃需勞動力 每公頃需投入資金
水稻 4人 1萬元
棉花 8人 1萬元
蔬菜 5人 2萬元
已知該農場計劃在設備上投入67萬元,應該怎樣安排三種農作物的種植面積,才能使所有的職工都有工作,而且投入的資金正好夠用
解:設安排x公頃種水稻,y公頃種棉花,z公頃種蔬菜.
依題意,得
解得
答:安排15公頃種水稻,20公頃種棉花,16公頃種蔬菜.
設計意圖：設置分層作業，兼顧不同水平的學生，關注差異，使學生獲得各自的發展，加深學生對知識進一步理解的同時，擴展學生的思維，讓優秀生有施展的舞臺．
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.請你說一說三元一次方程組的定義.
3.你會解三元一次方程組嗎？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
本節課在學習三元一次方程組解法過程中，采取了類比遷移、舉一反三的方法，鼓勵學生自主探索、合作交流.設計了一系列富有層次的問題鏈，互動學習，充分研討.在探究過程中，學生自主參與度高.類比二元一次方程組的知識學習三元一次方程組，根據方程組的特點靈活選擇恰當的解法，在應用過程中形成技能技巧，并且培養了學生分析題目特點、選擇合適方法的學習能力.
解三元一次方程組，運算量大，變化較多，學生需要首先預判消去哪個未知數，所以在實際解題時容易出現消元選錯未知數，重新消元，消元時出現符號錯誤，這些都是需要多練習多講解的地方，還需要學生在課下多探究多找規律才能掌握.

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