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人教A版高二(下)數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)7.1.1條件概率
本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)條件概率.
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)概率的一些基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)一些簡(jiǎn)單的概率模型（如古典概型、幾何概型）已經(jīng)有所了解。條件概率是學(xué)生接觸到的又一個(gè)全新的概率模型。
一方面，它是對(duì)古典概型計(jì)算方法的鞏固，另一方面，為后續(xù)研究獨(dú)立事件打下良好基礎(chǔ)。這一概念比較抽象，學(xué)生較難理解。遇到具體問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常因分不清是P（B|A）還是P（AB）而導(dǎo)致出錯(cuò)。基于此，在本節(jié)的教學(xué)中，應(yīng)特別注意對(duì)于條件概率概念的生成，借助圖示形象直觀地展現(xiàn)條件概率概念的生成過(guò)程。
課程目標(biāo) 學(xué)科素養(yǎng)
A.通過(guò)實(shí)例,了解條件概率的概念； B.掌握求條件概率的兩種方法； C.能利用條件概率公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題； D.通過(guò)條件概率的形成過(guò)程,體會(huì)由特殊到一般的思維方法. 1.數(shù)學(xué)抽象：條件概率的概念 2.邏輯推理：條件概率公式的推導(dǎo) 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用條件概率公式計(jì)算概率 4.數(shù)學(xué)建模：將相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為條件概率
重點(diǎn)：運(yùn)用條件概率的公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題
難點(diǎn)：條件概率的概念
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教學(xué)過(guò)程 教學(xué)設(shè)計(jì)意圖 核心素養(yǎng)目標(biāo)
問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 在必修“概率” 一章的學(xué)習(xí)中，我們遇到過(guò)求同一實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)事件A與B同時(shí)發(fā)生（積事件AB）的概率的問(wèn)題，當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí),有 P(ABP（A）P（B） 如果事件A與B不獨(dú)立，如何表示積事件AB的概率呢？下面我們從具體問(wèn)題入手. 新知探究 問(wèn)題1 . 某個(gè)班級(jí)有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團(tuán)員的人數(shù)如表所示， 在班級(jí)里隨機(jī)選一人做代表， （1）選到男生的概率是多大？ （2）如果已知選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率是多大？ 團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)男生16925女生14620合計(jì)301545
隨機(jī)選擇一人作代表，則樣本空間 包含45個(gè)等可能的樣本點(diǎn).用A表示事件“選到團(tuán)員”， B表示事件“選到男生” ，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以得出 （1）根據(jù)古典概型知識(shí)可知選到男生的概率 P(B) （2）“在選擇團(tuán)員的條件下,選到男生”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生” 的概率，記為P（B|A）.此時(shí)相當(dāng)以A為樣本空間來(lái)考慮B發(fā)生概率，而在新的樣本空間中事件B就是積事件AB，包含了樣本點(diǎn)數(shù)根據(jù)古典概型知識(shí)可知：P（B|A）
問(wèn)題2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個(gè)小孩的家庭，隨機(jī)選一個(gè)家庭，那么
（1）該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩，那么兩個(gè)小孩都是女孩的概率又是多大？ 觀察兩個(gè)小孩的性別，用b表示男孩，g表示女孩,則樣本空間且所有樣本點(diǎn)是等可能的.用A表示事件“選擇家庭中有女孩” ，B表示事件“選擇家庭中兩個(gè)孩子都是女孩” ，A B. （1） 根據(jù)古典概型知識(shí)可知，該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率 P(B) （2）“在選擇的家庭有女孩的條件下，兩個(gè)小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生” 的概率，記為P（B|A） ，此時(shí)A成為樣本空間，事件B就是積事件AB，根據(jù)古典概型知識(shí)可知 P（B|A） 分析：求P（B|A）的一般思想 因?yàn)橐呀?jīng)知道事件A 必然發(fā)生，所以只需在A 發(fā)生的范圍內(nèi)考慮問(wèn)題，即現(xiàn)在的樣本空間為A.因?yàn)樵谑录嗀發(fā)生的情況下事件B 發(fā)生，等價(jià)于事件A 和事件 B 同時(shí)發(fā)生， 即AB發(fā)生.所以事件A 發(fā)生的條件下，事件B 發(fā)生的概率 P（B|A） 為了把這個(gè)式子推廣到一般情形，不妨記原來(lái)的樣本空間為W，則有 P（B|A） 一般地,當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率,稱為條件概率,記作P(B|A), 而且P(B|A)=. 問(wèn)題1. 如何判斷條件概率 題目中出現(xiàn)“在已知……前提下(或條件下)”“在A發(fā)生的條件下”等關(guān)鍵詞,表明這個(gè)前提已成立或條件已發(fā)生,此時(shí)通常涉及條件概率. 問(wèn)題2. P(B|A)與P(A|B)的區(qū)別是什么 P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下,B發(fā)生的概率. P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下,A發(fā)生的概率. 條件概率與事件獨(dú)立性的關(guān)系 探究1：在問(wèn)題1和問(wèn)題2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地， P（B|A）與P（B）不一定相等。如果P（B|A）與P（B）相等，那么事件A與B應(yīng)滿足什么條件？ 直觀上看，當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率， 這等價(jià)于P（B|A）=P（B）成立. =； 探究2：對(duì)于任意兩個(gè)事件A與B，如果已知P（A）與P（B|A），如何計(jì)算P（AB）呢？ 由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P（A）>0，則 P（AB）=P（A）P（B|A）. 我們稱上式為概率的乘法公式（multiplication formula）. 條件概率的性質(zhì) 條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì). 設(shè)P（A）>0，則 （1）P（Ω|A）=1； （2）如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）； （3）設(shè)B和互為對(duì)立事件，則P（ |A）=1 P（B|A）. 三、典例解析 例1.在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.求: (1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率； (2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率. 分析:如果把“第1次抽到代數(shù)題”和“第2次抽到幾何題”作為兩個(gè)事件，那么問(wèn)題(1)就是積事件的概率，問(wèn)題(2)就是條件概率.可以先求積事件的概率，再用條件概率公式求條件概率;也可以先求條件概率，再用乘法公式求積事件的概率. 解法1：設(shè)A=“第1次抽到代數(shù)題”，B=“第2次抽到幾何題”。 （1）“第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題”就是事件AB.從5道試題中每次不放回地隨機(jī)抽取2道，試驗(yàn)的樣本空間Ω包含20個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，即。 因?yàn)閚(AB)= P（AB） （2）“在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題”的概率就是事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。顯然P（A）=.利用條件概率公式，得P（B|A） 解法2：在縮小的樣本空間A上求P（B|A）.已知第1次抽到代數(shù)題，這時(shí)還余下4道試題，其中代數(shù)題和幾何題各2道.因此，事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為P（B|A）= 又P（A）= ，利用乘法公式可得 P（AB）=P（A） P（B|A）= = 從例1可知，求條件概率有兩種方法： 方法一：基于樣本空間Ω，先計(jì)算P（A）和P（AB），再利用條件概率公式求P（B|A）； 方法二：根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”的條件后，樣本空間縮小為A，求P（B|A）就是以A為樣本空間計(jì)算AB的概率。 例2：已知3張獎(jiǎng)券中只有1張有獎(jiǎng)，甲、乙、丙3名同學(xué)依次不放回地各隨機(jī)抽取1張.他們中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序有關(guān)嗎？ ：用A,B,C分別表示甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件，則B=. 因?yàn)镻(A)= P(B)= P(C),所以中獎(jiǎng)的概率與抽獎(jiǎng)的次序無(wú)關(guān)。 例3: 銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機(jī)上取錢(qián)時(shí)，忘記了碼的最后1位數(shù)字.求： （1）任意按最后1位數(shù)字，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率； （2）如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率。 解：（1）設(shè)Ai=“第i次按對(duì)密碼”（i=1，2），則事件“不超過(guò)2次就按對(duì)密碼”可表示為A=A1UA2. 事件A1與事件A2互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得 P（A）=P（A1）+P（ A2 ）= P（A1） +P ） P（ A2 | ） = 因此，任意按最后1位數(shù)字，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率為. （2）設(shè)B=“最后1位密碼為偶數(shù)”，則 P（A|B）=P（A1|B）+P（A2|B）== ； 因此，如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率為. 跟蹤訓(xùn)練1.一個(gè)盒子中有6只好晶體管,4只壞晶體管,任取兩次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率. 解:方法一(定義法) 設(shè)Ai={第i只是好的}(i=1,2).由題意知要求出P(A2|A1).因?yàn)镻(A1)=,P(A1A2)=, 所以P(A2|A1)=. 方法二(直接法) 因?yàn)槭录嗀1已發(fā)生(已知),故我們只研究事件A2發(fā)生便可,在A1發(fā)生的條件下,盒中僅剩9只晶體管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A2|A1)=. 開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，提出問(wèn)題. 通過(guò)生活中的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見(jiàn)解。從而建立條件概率的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 讓學(xué)生親身經(jīng)歷了從特殊到一般，獲得條件概率概念的過(guò)程。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 通過(guò)概念辨析，讓學(xué)生深化對(duì)條件概率的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 通過(guò)典例解析，讓學(xué)生體會(huì)利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，感受數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)應(yīng)用中的價(jià)值。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
三、達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1.已知P(AB)=,P(A)=,則P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 解析:P(B|A)=. 答案:A 2.下列說(shuō)法正確的是(　　) A.P(A|B)=P(B|A) B.P(B|A)>1 C.P(A∩B)=P(A)·P(B|A) D.P((A∩B)|A)=P(B) 解析:由P(B|A)=知,P(A∩B)=P(A)·P(B|A). 答案:C 3.設(shè)A,B為兩個(gè)事件,若事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率為,在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率為,則事件A發(fā)生的概率為　　　　　. 解析:由題意知,P(A∩B)=,P(B|A)=.由P(B|A)=,得P(A)=. 答案: 4.某氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì),該地區(qū)下雨的概率為,刮四級(jí)以上風(fēng)的概率為,既刮四級(jí)以上的風(fēng)又下雨的概率為.設(shè)A為下雨,B為刮四級(jí)以上的風(fēng),求P(B|A). 解:由題意知P(A)=,P(A∩B)=, 故P(B|A)=. 5.在100件產(chǎn)品中,有95件合格品,5件不合格品,現(xiàn)從中不放回地取兩次,每次任取1件產(chǎn)品.試求: (1)第一次取到不合格品的概率; (2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率. 分析:由題意可知,100件產(chǎn)品中共有5件不合格品,不合格率為 .在第一次取到不合格品的條件下,第二次又取到不合格品的概率為條件概率. 解:設(shè)第一次取到不合格品為事件A,第二次取到不合格品為事件B,則有: (1)P(A)==0.05. (2)方法一:第一次取到一件不合格品,還剩下99件產(chǎn)品,其中有4件不合格品,95件合格品,于是第二次又取到不合格品的概率為,由于這是一個(gè)條件概率,所以P(B|A)=. 方法二:根據(jù)條件概率的定義,先求出事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)=, 所以P(B|A)=. 6.在某次考試中,要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題,若考生至少答對(duì)其中的4道題即可通過(guò);若至少答對(duì)其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對(duì)其中10道題,并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過(guò),求他獲得優(yōu)秀成績(jī)的概率. 解:設(shè)事件A為“該考生6道題全答對(duì)”,事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題而另一道答錯(cuò)”,事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題而另2道題答錯(cuò)”,事件D為“該考生在這次考試中通過(guò)”,事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”,則A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) =,P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D) =,即所求概率為. 通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
四、小結(jié) 五、課時(shí)練 通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。
本節(jié)課需要學(xué)生探究的內(nèi)容比較多，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，所以在教學(xué)過(guò)程中教師不僅要耐心的指導(dǎo)，還要努力創(chuàng)設(shè)一個(gè)輕松和諧的課堂氛圍，讓每個(gè)學(xué)生都能大膽的說(shuō)出自己的想法，保證每個(gè)學(xué)生都能學(xué)有所得。為了讓每個(gè)學(xué)生在課上都能有話說(shuō)，還需要學(xué)生做到課前預(yù)習(xí)，并且教師要給學(xué)生提出明確的預(yù)習(xí)目標(biāo)。進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
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