資源簡介

人教A版高二(下)數學選擇性必修第三冊7.3.2離散型隨機變量的方差
本節課選自《2019人教A版高中數學選擇性必修第三冊》，第七章《隨機變量及其分布列》，本節課主本節課主要學習離散型隨機變量的方差
本節本部分內容主要包括隨機變量的均值和方差。本節課是前面學習完隨機變量分布列的基礎上進行研究的，知識上具有著承前啟后的作用。隨機變量的均值和方差是概率論和數理統計的重要概念，節課是從實際出發，通過抽象思維，建立數學模型，進而認知數學理論，應用于實際的過程。
課程目標 學科素養
A. 通過實例,理解取有限個值的離散型隨機變量的方差、標準差的概念和意義. B.會求離散型隨機變量的方差、標準差. C.會利用離散型隨機變量的方差、標準差解決一些實際問題. 1.數學抽象：離散型隨機變量的方差的概念 2.邏輯推理：離散型隨機變量的方差的性質 3.數學運算：求離散型隨機變量的方差 4.數學建模：模型化思想
重點：理解離散型隨機變量的方差、標準差的概念及其求解
難點：利用離散型隨機變量的方差、標準差解決一些實際問題.
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教學過程 教學設計意圖 核心素養目標
問題導學 隨機變量的均值是一個重要的數字特征，它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢” .因為隨機變量的取值圍繞其均值波動，而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小，所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數字特征. 探究新知 探究1：從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽。根據以往的成績記錄，甲、乙兩名同學擊中目標靶的環數X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何評價這兩名同學的射擊水平？ E(X)= 8 ;E(Y)=8 因為兩個均值相等，所以均值不能區分這兩名同學的射擊水平。 表1 X678910P0.090.240.320.280.07
表2 X678910P0.070.220.380.30.03
射擊水平除了要考慮擊中環數的均值外，還要考慮穩定性，即擊中環數的離散程度，圖一和圖二分別是X和Y的概率分布圖： 發現乙同學的射擊成績更集中于8環，即乙同學的設計成績更穩定。 探究2：怎樣定量到留離散型隨機變量取值的離散程度 我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數據的離散程度,它是通過計算所有數據與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現的,一個自然的想法是,隨機變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢 問題1.某人射擊10次，所得環數分別是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環數是多少？ X1234P
問題2.某人射擊10次,所得環數分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則這組數據的方差是多少？ 反映這組數據相對于平均值的集中程度的量 一般地，若離散型隨機變量X的概率分布列為： 則稱 為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X). 稱為隨機變量X的標準差。 Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn
離散型隨機變量取值的方差 隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度，方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中；方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散。 因此，問題1中兩名同學射擊成績的方差和標準差來刻畫它們成績的穩定性。兩名同學射擊成績的方差和標準差分別為: 因為D(Y)解:(1)∵E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16, D(η)=(0-16)2×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2× +(60-16)2×=384, ∴=8. (2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1 536. 例2：投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表二所示： 收益X/元-102概率0.10.30.6
表1 收益X/元012概率0.30.40.3
表2 （1）投資哪種股票的期望收益大？ （2）投資哪種股票的風險較高？ 解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1. 因為E(X)>E(Y),所以投資股票A的期望收益較大。 （2)股票A和股票B投資收益的方差分別為 D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29, D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6. 因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以資股票A比投資股票B的風險高。 利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟 1.比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高. 2.在均值相等或接近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發揮相對穩定. 3.下結論.依據均值和方差做出結論. 跟蹤訓練2. A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2，根據市場分析， X1和X2的分布列分別為 X12%8%12%X25%10%P0.20.50.3P0.80.2
求：(1)在A、B兩個項目上各投資100萬元， Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)和D(Y2)； (2)根據得到的結論，對于投資者有什么建議？ 解：(1)題目可知，投資項目A和B所獲得的利潤Y1和Y2的分布列為： Y12812Y2510P0.20.50.3P0.80.2
所以; ; 解：(2) 由(1)可知，說明投資A項目比投資B項目期望收益要高；同時，說明投資A項目比投資B項目的實際收益相對于期望收益的平均波動要更大. 因此，對于追求穩定的投資者，投資B項目更合適;而對于更看重利潤并且愿意為了高利潤承擔風險的投資者，投資A項目更合適. 通過知識回顧，提出問題. 通過具體的問題情境，引發學生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入離散型隨機變量分布列方差的概念，發展學生邏輯推理、數學運算、數學抽象和數學建模的核心素養。 通過典例解析，提升對概念精細化的理解。讓學生掌握方差的算法。發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。 通過典例解析，在具體的問題情境中，深化概率的理解。發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。
三、達標檢測 1．給出下列四個命題： ①離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值； ②離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平； ③離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平； ④離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度． 則正確命題應該是(　　) A．①④　 B．②③ C．①② D．③④ D 2．把下面X的分布列填寫完整：并完成問題 其中p∈(0,1)，則E(X)＝________，D(X)＝________. X01PP
解析：而由已知分布列的性質有p＋x＝1，x=1-p E(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p， ∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p). 答案：1-p； p； p(1-p) 3.已知離散型隨機變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=　　　　　,b=　　　　　. X-1012Pabc
解析:由題知a+b+c=,-a+c+=0,12×a+12×c+22×=1, 解得a=,b=. 答案: 4.甲、乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境,且野生動物的種類和數量也大致相等,而兩個保護區內每個季度發現違反保護條例的事件次數的分布列分別如下, 甲保護區: X0123P0.30.30.20.2
乙保護區: Y012P0.10.50.4
試評定這兩個保護區的管理水平. 解:甲保護區違規次數X的數學期望和方差為 E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3, D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21. 乙保護區的違規次數Y的數學期望和方差為 E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3, D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41. 因為E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以兩個保護區內每個季度發生的違規事件的平均次數相同,但甲保護區的違規事件次數相對分散和波動,乙保護區內的違規事件次數更加集中和穩定,所以乙保護區的管理水平比甲高. 通過練習鞏固本節所學知識，通過學生解決問題，發展學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模的核心素養。
四、小結 五、課時練 通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力。
課后通過對教學過程的反思與研究, 才能不斷完善教學設計中的不足, 才能提升教材分析的能力和課堂教學實效.
1. 多元展示, 多方評價. 在教學過程中我借問題牽引，保證了課堂教學的順利實施；而在整個過程中，我對學生所作練習、疑問及時解析評價；學生之間、小組之間的互相評價補充，使學生共享成果分享喜悅，堅定了學好數學的信念，實現了預期目標.
2. 創造性的使用教材. 有別于教材，我在教學中,讓學生考察了分別考察了兩類題型之后再引導學生進行歸納, 這樣更貼近學生的認知水平， 學生課后反饋，效果較為理想.
更多免費資源加微信ABCYZXT,或加Q群575131346
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