資源簡介

第十章　二元一次方程組
10.3《實際問題與二元一次方程組》
第2課時
本節內容是在學習和掌握了二元一次方程組及二元一次方程組解法的基礎上，來探究實際問題與二元一次方程組，通過學生在實際問題中進行分析，從而提高將實際問題轉化為數學模型的能力；在解決實際問題的過程中，使學生感受到數學與現實生活的緊密聯系，體會數學在生活中的應用價值，增強學生的數學應用意識.
在教學中，通過小組合作、討論交流的方式，探索二元一次方程組的解法，提高學生的團隊協作能力和解決問題的能力.培養學生嚴謹、細致的學習態度，為后續學習打下良好的基礎.
七年級下冊的學生已經具備了一定的數學基礎，掌握了一元一次方程的解法，能夠解決一些簡單的一元一次方程問題.然而，對于二元一次方程組的認識和解題能力尚需加強.在學習本章節時，學生可能會在以下幾個方面遇到困難:首先，對于二元一次方程組的概念理解不夠深入，難以將其與實際問題相結合；其次，消元求解過程中，可能會對符號處理不當，導致解題錯誤；最后，學生在將實際問題抽象為數學模型時，可能會感到困惑，難以找到等量關系.
為此，在教學過程中，教師應關注學生的這些難點，通過設置貼近生活的實際問題，引導學生逐步建立方程組模型，并在解題過程中給予適當的提示和指導.此外，教師要注重激發學生的學習興趣，鼓勵他們積極參與課堂討論，發揮學生的主體作用，幫助他們克服困難，提高解題能力時，針對學生的個體差異，教師應制定有針對性的教學策略，使每個學生都能在本章節的學習中取得進步.
1.掌握二元一次方程組的建立與求解方法，提高將實際問題轉化為數學模型的能力；
2.理解并識別二元一次方程組中的等量關系，將其轉化為方程組，體會數形結合的數學思想，初步感知數學的建模思想；
3.在解決實際問題的過程中，感受數學與現實生活的緊密聯系，體會數學在生活中的應用價值，增強數學應用意識；
4.通過合作交流，探索二元一次方程組的應用，養成嚴謹、細致的學習態度.掌握二元一次方程組的建立與求解方法，提高將實際問題轉化為數學模型的能力.
重點：掌握二元一次方程組的建立與求解方法，提高將實際問題轉化為數學模型的能力；
難點: 理解并識別二元一次方程組中的等量關系，將其轉化為方程組，體會數形結合的數學思想，初步感知數學的建模思想.
復習回顧
問題1：請你說一說解二元一次方程的數學思想有哪些？解法有幾種？
答：解二元一次方程組的數學思想有轉化、消元和整體的數學思想.
解法有代入消元法、加減消元法.
問題2：什么叫作代入消元法
答：把二元一次方程組中一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解．這種解二元一次方程組的方法叫作代入消元法，簡稱代入法．
什么叫作加減消元法，其解法中應注意的事項有哪些
答：當二元一次方程組的兩個方程中某個未知數的系數互為相反數或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，進而求得二元一次方程組的解，這種法叫作加減消元法，簡稱加減法．
解法中應注意的事項：①將原方程組中某個未知數的系數化成相等或相反數的形式；②將變形后的兩個方程相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出未知數的值；④將求得的未知數的值代入原方程組中的任何一個方程中，求出另一個未知數的值回代；⑤寫出方程組的解.
師生活動：教師提問，學生舉手回答.
設計意圖：復習舊知，喚起學生已有的知識經驗，通過提問，激發學生的學習興趣和求知欲，為新知識的學習做好鋪墊.
探究新知
活動一：探究用二元一次方程組解決實際問題
問題3：前面我們討論了二元一次方程組的解法，并用二元一次方程組解決了一些簡單的實際問題．本節我們繼續探究如何用二元一次方程組解決實際問題．
探究1：據統計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產量的比是現要把一塊長200m 、寬100m的長方形土地劃分為兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物．怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產量的比是？
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，直接作答填空.然后小組討論，選代表回答問題，教師補充總結學生的結論.
分析：如圖，一種劃分方案為：甲、乙兩種作物的種植區域分別為長方形AEFD和長方形EBCF．此時設AE=x m, EB=y m，根據問題中涉及長度、產量的相等關系，列方程組,解答即可．
解：設AE=x m, EB=y m.
根據題意得
解得
故劃分方法為：過長方形土地的長邊上離一端120m處，作這條邊的垂線，把這塊土地分為兩塊長方形土地．較大一塊土地種植甲種作物，較小一塊土地種植乙種作物．
設計意圖：通過分析，初步感知數學的建模思想.
探究2：對于探究1中的問題，如果按照如圖的方式劃分土地，分別在長方形
DMNC和MABN土地中種植甲、乙兩種作物，那么AM的長度是多少？
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，然后小組討論，選代表解答，教師補充總結.
解：設AM=x m, DM =y m.
根據題意得
解得
答： AM的長度是40 m.
應用新知
【經典例題】
例1 如圖所示為邊長分別為、的兩個正方形，其面積之差為．
根據題意，請列出一個關于、的方程組： ；
請將中的方程組，轉化為一個二元一次方程組；
分別求兩個正方形的面積．
師生活動:學生獨立完成解題過程，教師點評，規范格式.
解：(1)
(2)因為，，
所以，所以轉化為一個二元一次方程組為
(3) 解方程組 得
所以兩個正方形的面積分別為、.
設計意圖：通過例題，更好的理解并識別二元一次方程組中的等量關系，將其轉化為方程組，掌握消元法求解方程組的步驟，從而找到解決問題的突破口.
【經典例題】
例2 如圖，學校規劃在一塊長18m、寬13m 的長方形場地ABCD上，分別設計與AD，AB平行的橫向和縱向通道，其余部分鋪上草皮．如果通道的寬度相等，六塊草坪的形狀、大小相同，其中一塊草坪的兩邊，那么通道的寬是多少？
提示：本題圖形中包含下面的信息:長AD包含3個AM長和2個通道寬,寬AB包含2個AN長和1個通道寬.
解：設通道寬的寬為x m, M =8ym， 9y m.
根據題意得 解得
答：通道寬的寬為1m.
總結：二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組．
設計意圖：通過例題，更好在解決實際問題的過程中，使學生感受到數學與現實生活的緊密聯系，體會數學在生活中的應用價值，增強學生的數學應用意識.
例3.如圖，小明家客廳的電視背景墻是由10塊形狀、大小都相同的長方形墻磚砌成的．
求一塊長方形墻磚的長和寬；
求電視背景墻的面積．
解：(1)設一塊長方形墻磚的長為x m，寬為y m．
由題意，得
解得 所以一塊長方形墻磚的長為1.2 m，寬為0.3 m．
(2)由（1）得一塊長方形墻磚的長為1.2 m，寬為0.3 m，所以10塊長方形墻
磚的面積為. （m2）則電視背景墻的面積為m2
課堂練習
1.如圖，的格子內填寫了一些數和代數式．為了使格子的各行、各列及對角線上的三個數之和均相等，x，y各應取什么值？
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
提示：格子中已知的各行三個數之和:,
各列的三個數之和:,
各對角線上的三個數之和:,
則滿足的相等關系為:
解：根據題意得
解得
答：x，y各應取-1,1.
2.某地為打造運河風光帶，雇用A，B兩個工程隊共同完成一段長為180 m的河道的清理任務．已知Ａ工程隊每天清理12 m ， B工程隊每天清理80m，兩個工程隊工作天數之和為20 天， A，B工程隊分別清理了多長的河道？
提示:本題相等關系如下:①工作量:;②工作時間:天.
工作時間=工作量÷工作效率.
解：設A,B工程隊分別清理了xm和ym的河道.
根據題意得.
解得
答:A，B工程隊分別清理了60m和120m的河道.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.如圖，用四個長和寬分別為，的長方形拼成面積是的大正方形，中間圍成的小正方形的面積是．下面說法正確的是( )
A. 若， 則 B. 若， 則
C. 若，則 D. 若，則
解：根據大正方形的面積求得該正方形的邊長是，則，
若，則根據小正方形的面積可以求得該正方形的邊長是，
則，解得，，則，故選項A、D錯誤；
若，則根據小正方形的面積可以求得該正方形的邊長是，
則，解得，，，故選項B錯誤，選項C正確．
2. 用大小完全相同的長方形紙片在直角坐標系中擺成如圖所示圖案，已知，則點的坐標是( ) A. B. C. D.
解析：設長方形的長為，寬為，
則，解得
則，，
點在第二象限，，
故選D
3.同型號的甲、乙兩輛車加滿氣體燃料后均可行駛它們各自單獨行駛并返回的最遠距離
是現在它們都從A 地出發，行駛途中停下來從甲車的氣體燃料桶抽一些氣體燃料注入乙車的氣體燃料桶，然后甲車再行駛返回A 地，而乙車繼續行駛，到B地后再行駛返回A地．則B地最遠可距離A 地( )
A. B. C. D.
解：設甲行駛到C地時返回，到達A地燃料用完，乙行駛到B地再返回A地時燃料用完.
設，，
根據題意得：， 解得：．
A和B的最遠距離是．故選B．
4.為了提倡節約用水，某市根據居民每月的用水量實行階梯水價：每戶每月用水量不超過時，按一級單價收費；超過時，超過部分按二級單價收費．五月份張華家用水，繳費元；李明家用水，繳費元．那么這個市一級水費、二級水費的單價分別是多少？
解：設這個市一級水費的單價為x元，二級水費的單價為元．
根據題意，得
解這個方程組，得
答：這個市一級水費的單價為元，二級水費的單價為元．
5.在某體育用品商店，購買根跳繩和個毽子共用元，購買根跳繩和個毽子共用元．跳繩、毽子的單價各是多少元？該店在“五四”青年節期間開展促銷活動，所有商品按同樣的折數打折銷售．節日期間購買根跳繩和個毽子只需元，該店的商品按原價的幾折銷售？
解：(1)設跳繩的單價為x元，毽子的單價為y元，
根據題意得
解得
答：跳繩的單價為16元，毽子的單價為4元．
(2)設該店的商品按原價的a折銷售，可得
，
解得 ．
答：該店的商品按原價的9折銷售．
6.放學后，小賢和小藝來到學校附近的地攤上購買一種特殊型號的筆芯和卡通 筆記本，這種筆芯每盒支，整盒買比單支買每支可優惠元．小賢要買支筆芯、本筆記本需花費元；小藝要買支筆芯、本筆記本需花費元．
求一本筆記本的價格和單獨購買一支筆芯的價格；
小賢和小藝都還想再買一件價格為元的小工藝品，如果他們各自為要買的文具付款后，只有小賢還剩元錢．他們怎樣做才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品？請通過運算明．
解：(1)設一本筆記本的價格為x元，單獨購買一支筆芯的價格元．
由題意得 解得
答：一本筆記本的價格為5元，單獨購買一支筆芯的價格為3元．
(2)由（1）得一本筆記本的價格為5元，單獨購買一支筆芯的價格為3元.
由題意得小賢和小藝帶的總錢數為（元），兩人合在一起購買整盒筆芯所需的費用為（元）．
因為，，且，所以他們合在一起購買整盒筆芯，才能既買到各自的文具，又都買到小工藝品．
設計意圖：加深學生對知識進一步理解的同時，擴展學生的思維．
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.請你說一說列二元一次方程組解應用題的關鍵是什么？
3.列二元一次方程組解應用題的一般步驟有哪些？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
請你以實際生活為背景：編一道二元一次方程組應用題，在小組內與大家分享.
本節課利用二元一次方程組解實際問題是在了解二元一次方程的基礎上，開展的教學，通過這一節知識的學習進一步培養學生分析問題、解決問題的能力，培養學生的方程思想，養成仔細讀題、認真審題、細心解答的良好習慣.
1.強調讀題的重要性，反復讀題，直到讀懂為止，找出題有已知條件和所求問題.
2.找準等量關系式.
3.解設未知數時根據題意設兩個未知數，根據等量關系式表示出相關的量并列方程組解答.
4.解完題后用大括號表示結果，檢驗時，一看方程解答是否正確，二看結果是否符合題意.
總之:學生在解題過程中出錯很正常，做的題多了，就會知道自己容易在什么地方出錯，改正即可，作為老師要有訓練意識，培養學生嚴謹的思路和方法，同時提供足夠的練習時間和練習量.

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