資源簡介

第十章　二元一次方程組
10.3《實際問題與二元一次方程組》
第1課時
本節內容是在學習和掌握了二元一次方程組及二元一次方程組解法的基礎上，來探究實際問題與二元一次方程組，通過學生在實際問題中進行分析，從而提高將實際問題轉化為數學模型的能力；在解決實際問題的過程中，使學生感受到數學與現實生活的緊密聯系，體會數學在生活中的應用價值，增強學生的數學應用意識.
在教學中，通過小組合作、討論交流的方式，探索二元一次方程組的解法，提高學生的團隊協作能力和解決問題的能力.培養學生嚴謹、細致的學習態度，為后續學習打下良好的基礎.
七年級下冊的學生已經具備了一定的數學基礎，掌握了線性方程的解法，能夠解決一些簡單的一元一次方程問題。然而，對于二元一次方程組的認識和解題能力尚需加強。在學習本章節時，學生可能會在以下幾個方面遇到困難:首先，對于二元一次方程組的概念理解不夠深入，難以將其與實
際問題相結合;其次，消元求解過程中，可能會對符號處理不當，導致解題錯誤;最后，學生在將實際問題抽象為數學模型時，可能會感到困惑，難以找到等量關系。
為此，在教學過程中，教師應關注學生的這些難點，通過設置貼近生活的實際問題，引導學生逐步建立方程組模型，并在解題過程中給予適當的提示和指導。此外，教師要注重激發學生的學習興趣，鼓勵他們積極參與課堂討論，發揮學生的主體作用，幫助他們克服困難，提高解題能力時，針對學生的個體差異，教師應制定有針對性的教學策略，使每都能在本章節的學習中取得進步。
1..掌握二元一次方程組的建立與求解方法，提高將實際問題轉化為數學模型的能力;
2. 理解并識別二元一次方程組中的等量關系，將其轉化為方程組，掌握消元法求解方程組的步驟，從而找到解決問題的突破口，初步感知數學的建模思想;
3.在解決實際問題的過程中，使學生感受到數學與現實生活的緊密聯系，體會數學在生活中的應用價值，增強學生的數學應用意識;
重點：掌握二元一次方程組的建立與求解方法，提高將實際問題轉化為數學模型的能力;
難點: .理解并識別二元一次方程組中的等量關系，將其轉化為方程組，掌握消元法求解方程組的步驟，從而找到解決問題的突破口，初步感知數學的建模思想;
復習回顧
問題1：請你說一說二元一次方程的概念，二元一次方程組呢？
答：含有兩個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1 ，像這樣的方程叫作二元一次方程.
方程組中含有兩個未知數，且含有未知數的式子都是整式，含有未知數的項的次數都是1 ，一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組.
問題2：什么叫作代入消元法，其解法步驟呢
答：把二元一次方程組中一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解．這種解二元一次方程組的方法叫作代入消元法，簡稱代入法．
代入消元法解法步驟：①變形；②代入；③求解；④回代；⑤寫出方程組的解
問題3：什么叫作加減消元法
答：當二元一次方程組的兩個方程中某個未知數的系數互為相反數或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，進而求得二元一次方程組的解，這種法叫作加減消元法，簡稱加減法．
問題4：加減消元法的解法步驟是什么
答：加減消元法解法步驟：①將原方程組中某個未知數的系數化成相等或相反數的形式；②將變形后的兩個方程相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出未知數的值；④將求得的未知數的值代入原方程組中的任何一個方程中，求出另一個未知數的值回代；⑤寫出方程組的解.
問題5：解二元一次方程組的基本數學思想有哪些？
答：解二元一次方程組的基本數學思想有轉化和消元.
設計意圖：復習舊知，喚起學生已有的知識經驗，通過提問，激發學生的學習興趣和求知欲，為新知識的學習做好鋪墊.
探究新知
活動一：探究用二元一次方程組解決實際問題
問題6：前面我們討論了二元一次方程組的解法，并用二元一次方程組解決了一些簡單的實際問題．本節我們繼續探究如何用二元一次方程組解決實際問題．
探究1：養牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時1天約用飼料940kg．飼養員李大叔估計每頭大牛1天需飼料，每頭小牛1天需飼料．你能通過計算檢驗他的估計嗎？
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，直接作答填空.然后小組討論，選代表回答問題，教師補充總結學生的結論.
分析：設每頭大牛和每頭小牛1 天各約用飼料xkg，ykg
根據兩種情況的飼料用量，找出相等關系，根據題意列出方程組，求出方程組的解得到x與y的值即可.
解：設每頭大牛1天約需飼料xkg，每頭小牛1 天約需飼料ykg.
根據題意得，，
解得.
答：每頭大牛1天約需飼料20，每頭小牛1 天約需飼料5 .
故每頭大牛需要的飼料估計正確，每頭小牛需要的飼料估計不正確
設計意圖：通過分析，初步感知數學的建模思想.
探究新知
活動二：探究用方向角和距離表示平面內物體的位置
問題7：探究2：為了節能減排，一家工廠將照明燈換成了節能燈． A車間購買了3 盞甲型節能燈和5盞乙型節能燈，共花費50元； B車間購買了12盞甲型節能燈和4盞乙型節能燈，共花費88元． 1盞甲型節能燈和1盞乙型節能燈的售價各是多少元？
師生活動:教師提出問題，學生獨立思考，然后小組討論，選代表解答，教師補充總結.
解析：本題等量關系如下:
3盞甲型節能燈的費用+5 盞乙型節能燈的費用=50 元;
12盞甲型節能燈的費用+4 盞乙型節能燈的費用=88元.
解:設1盞甲型節能燈和1盞乙型節能燈的售價各是x元和y元.
根據題意,列得方程組，
解這個方程組，得
答:1盞甲型節能燈和1盞乙型節能燈的售價各是5元和7元.
應用新知
例1 “冰墩墩”和“雪容融”分別是北京2022年冬奧會和冬殘奧會的吉祥物．一家商店連續兩個月銷售規格為“10cm”的“冰墩墩”和“雪容融”擺件，銷售情況如下表所示．
銷售量件 銷售額元
冰墩墩 雪容融
第個月
第個月
分別求“冰墩墩”和“雪容融”擺件的零售價格．
師生活動:學生獨立完成解題過程，教師點評，規范格式.
提示：從表格獲取信息的能力,根據2個月的銷售額列方程組求解.
解：設冰墩墩擺件的零售價格為每個x元，雪容融擺件的零售價格為每個y元．
根據題意，得解這個方程組，得
答：“冰墩墩”和“雪容融”擺件的零售價格都是每個88元．
設計意圖：通過例題，更好的理解并識別二元一次方程組中的等量關系，將其轉化為方程組，掌握消元法求解方程組的步驟，從而找到解決問題的突破口.
【經典例題】
例2 隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據了解2輛A型汽車、3輛B型汽車的進價共計80萬元； 3 輛A 型汽車、 2 輛B型汽車的進價共計95萬元．(1)求A、 B兩種型號的汽車每輛進價分別為多少萬元？
若該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車兩種型號的汽車均購買，請你幫助該公司設計購買方案．
【解析】
（1）設A型汽車每輛的進價為x萬元， B 型汽車每輛的進價為y萬元，
根據“2輛A 型汽車、 3 輛B 型汽車的進價共計80 萬元； 3 輛A型汽車、 2輛B 型汽車的進價共計95萬元”，即可得出關于x ， y 的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）設購進A 型汽車m輛，購進B 型汽車n輛，根據總價單價數量，即可得出關于m ，n 的二元一次方程，結合m ，n 均為正整數即可得出購買方案
解：（1）設A 型汽車每輛的進價為x萬元， B 型汽車每輛的進價為y萬元，
依題意，得：，
解得：．
答： A 型汽車每輛的進價為25萬元， B 型汽車每輛的進價為10萬元．
（2）設購進A 型汽車m輛，購進B 型汽車n輛，
依題意，得：，所以
因為m ， n 均為正整數，所以n 為5的倍數，所以，，，
所以共3種購買方案，方案一：購進A 型車6輛， B 型車5輛；方案二：購進A 型車4輛， B型車10輛；方案三：購進A型車2輛， B 型車15輛．
總結：二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出二元一次方程組．
設計意圖：通過例題，更好在解決實際問題的過程中，使學生感受到數學與現實生活的緊密聯系，體會數學在生活中的應用價值，增強學生的數學應用意識.
課堂練習
1. 學校圖書館分兩次購買了相同版本的《西游記》和《水滸傳》供學生借閱．第一次買了2 套《西游記》和3套《水滸傳》，共花費155元；第二次買了4套《西游記》和2 套《水滸傳》，共花費170 元．每套《西游記》和《水滸傳》的價格分別是多少元？
解：設每套《西游記》的價格是x元,每套《水滸傳》的價格是y元.
根據題意,得,
解得
答:每套《西游記》的價格是25元,每套《水滸傳》的價格是35元.
2. 某公司前兩年產生的餐廚垃圾、建筑垃圾的質量都基本沒變，但支付的餐廚垃圾處理費和建筑垃圾清運費的總和由7020 元上升為8520元，原因是餐廚垃圾處理費的收費標準由240/t上調為300/t ，建筑垃圾清運費的收費標準由150/t 上調為180/t ．這家公司去年的餐廚垃圾和建筑垃圾各有多少噸？
師生活動：學生先獨立作答，再隨機選擇學生回答.
列表分析：
餐廚垃圾處理費(元/t) 建筑垃圾清運費(元/t) 總費用/元
調價前 240 150 7020
調價后 300 180 8520
解：設這家公司去年的餐廚垃圾和建筑垃圾各有xt和yt.
根據題意得
解得
答:這家公司去年的餐廚垃圾和建筑垃圾各有8t和34t.
設計意圖：讓學生進一步鞏固所學知識，加強學生對本節知識的掌握，培養應用意識，鍛煉運用能力和解題能力.
【限時訓練】
1.陳老師打算購買氣球裝扮學校“六一”兒童節活動會場，氣球的種類有笑臉和愛心兩種，兩種氣球的價格不同，但同一種氣球的價格相同．由于會場布置需要，購買時以一束（4個氣球為單位，已知第一、二束氣球的價格如圖，則第三束氣球的價格為（ ）．
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
答案：C
解析：此題考查二元一次方程組解實際問題的運用和數學整體思想的運用，解答本題時根據單價數量總價的數量關系建立方程是關鍵．
要求出第三束氣球的價格，先求出笑臉形和愛心形的氣球的單價就可以求出結論．
2.如我國古代數學著作《孫子算經》有“多人共車”問題：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步問：人與車各幾何？”其大意如下：有若干人要坐車，如果每3人坐一輛車，那么有輛空車；如果每人坐一輛車，那么有人需要步行，問人與車各多少？設共有x人，y輛車，則可列方程組為( )
A. B. C. D.
答案：C
3.為了保護環境，某市公交公司決定購買一批共10臺全新的混合動力公交車，現有A、B兩種型號，其中每臺的價格，年省油量如表：

價格萬元臺
節省的油量萬升年臺
（1）請求出a和b的值；
（2）若購買這批混合動力公交車每年能節省萬升汽油，求購買這批混合動力公交車需要多少萬元？
解：根據題意得：，
解得：．
答： a和b的值分別為120，100.
設購買A 型車x臺， B 型車y臺，根據題意得
解得：
萬元
答：購買這批混合動力公交車需要萬元．
4 .為拓展學生視野，某中學組織八年級師生開展研學活動，原計劃租用座客車若干輛，但有人沒有座位；若租用同樣數量的座客車，則多出三輛車，且其余客車恰好坐滿．現有甲、乙兩種客車，它們的載客量和租金如下表所示：
甲型客車 乙型客車
載客量人輛
租金元輛
參加此次研學活動的師生人數是多少？原計劃租用多少輛座客車？
若租用同一種客車，且使每位師生都有座位，應該怎樣租用才合算？
解：(1)設參加此次研學活動的師生人數是x人，原計劃租用y輛45座客車．
根據題意，得解得
答：參加此次研學活動的師生人數是600人，原計劃租用13輛45座客車；
(2)租45座客車：，所以需租14輛，租金為（元）
租60座客車：，所以需租10輛，租金為（元），
∵，∴租用14輛45座客車更合算．
5.在某體育用品商店，購買根跳繩和個毽子共用元，購買根跳繩和個毽子共用元．跳繩、毽子的單價各是多少元？
該商店在“元旦”期間開展促銷活動，所有商品按同樣的折數打折銷售，節日期間購買根跳繩和個毽子只需元，則該商店的商品按原價的幾折銷售？
解：(1)設跳繩的單價為x元，毽子的單價為y元．
依題意，得 解得
答：跳繩的單價為16元，毽子的單價為4元
(2)設該商店的商品按原價的m折銷售．
由題意，得，解得 ．
答：該商店的商品按原價的八五折銷售.
總結：此題考查二元一次方程組解實際問題的運用，解題的關鍵是：
設計意圖：加深學生對知識進一步理解的同時，擴展學生的思維．
課堂總結
師生活動：教師和學生一起回顧本節課所講的內容.
1.本節課你學到了什么？
2.請你說一說列二元一次方程組解應用題的關鍵是什么？
3.列二元一次方程組解應用題的一般步驟有哪些？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.
實踐作業
請你以實際生活為背景：編一道二元一次方程組應用題，在小組內與大家分享.
本節課利用二元一次方程組解實際問題是在教學了解二元一次方程的基礎上，開展的教學，通過這一節知識的學習進一步培養學生分析問題、解決問題的能力，培養學生的方程思想，養成仔細讀題、認真審題、細心解答的良好習慣。
1.強調讀題的重要性，反復讀題，直到讀懂為止，找出題有已知條件和所求問題。
2.根據題意，找準兩個等量關系式。
3.解設未知數時根據題意設兩個未知數，根據等量關系式表示出相關的量并列方程組解答。
4.解完題后用大括號表示結果，并在稿紙上檢驗，一看方程解答是否正確，二看結果是否符合題意。
總之:學生在解題過程中出錯很正常，做的題多了，就會知道自己容易在什么地方出錯，改正即可，作為老師必須要有訓練意識，培養學生嚴謹的思路和方法，同時提供足夠的練習時間和練習量。

展開更多......

收起↑