資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
《正比例和反比例》單元整體設計
單元主題解讀
課程標準要求分析
《正比例和反比例》單元是“數與代數”方面的重要內容。《義務教育數學課程標準(2022年版)》在“課程內容”的“第三學段”中提出：
在“內容要求”中指出：“通過具體情境，認識成正比的量；能探索規律或變化趨勢。”
在“學業要求”中指出：“能在具體情境中描述成正比的量，能找出生活中成正比的量的實例；能根據給出的成正比關系的數據在方格紙上畫圖，了解y=kx（k≠0）的形式，能根據其中一個量的值計算另一量的值。”
在“教學提示”中指出：“成正比的量教學要在具體情境中呈現兩個成正比的量的變化規律，引導學生理解可以把這個規律表示為=k(k≠0)的形式，也可以表示為y=kx(k≠0)的形式，感悟這兩個表達式的共性與差異；引導學生嘗試在方格紙上畫出給定的成正比的量的數據，建立幾何直觀，為初中學習函數積累經驗。”
單元教材內容分析
本單元主要安排了3個例題，第一課時教學例1“認識成正比例的量”，通過展示汽車行駛時間與路程的對應表格，引導學生發現“時間越長，路程越多”的直觀規律，汽車行駛的時間與路程關系的實例，通過表格數據引導學生觀察、計算并總結正比例的定義。第二課時教學例2“正比例的圖像”，通過表格和圖表結合的方式，表格中列舉了不同路程數值，從實際數據中抽象出比例關系，并進行數學建模，為學生提供了圖像是探究比例關系的有效工具。第三課時教學例3“反比例的意義”，以購買筆記本和生產零件兩個生活化場景為載體，通過表格數據引導學生觀察、計算并總結反比例的定義。購買筆記本和生產零件的案例貼近學生生活，降低抽象概念的接受難度。通過直觀的“單價與數量反向變化”現象，引發學生對反比例關系的興趣。第4課時是一節綜合實踐課，通過計算大樹的高度，引導學生發現正比例規律，并應用數學方法解決現實問題。
學生認知情況
本單元是在學生已學習了比和比例等知識的基礎上進行教學的，主要讓學生結合實際情境認識成正比例和反比例的量。正、反比例的知識在日常生活和工農業生產中有著廣泛的應用，而且還是今后進一步學習數學、物理、化學等知識的重要基礎，因而學好這部分知識是非常重要的。通過學習這部分知識，還可以幫助學生加深對過去學過的數量關系的認識，使學生初步學會從變量的角度來認識兩個量之間的關系，從而初步體會函數的思想。
學生已學習了比和比例等知識為本單元的學習奠定了知識基礎；正、反比例的知識在日常生活和工農業生產中有著廣泛的應用，學生接觸到較多的素材，這些為本單元的系統學習做了生活經驗方面的準備，但是缺乏細致、深入的了解。
單元目標擬定
1. 使學生結合實際情景認識成正比例和反比例的量，能根據正、反比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成正比例或反比例。
2. 使學生初步認識正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的直線，能根據具有正比例關系的一個量的數值看圖估計另一個量的數值。
3. 使學生在認識成正比例、反比例的量的過程中，初步體會數量之間的相互依存的關系，感受有效表示數量關系及其變化規律的不同數學模型，進一步提升思維水平。
4. 使學生進一步體會數學與日常生活的密切聯系，增強探索數學知識和規律的意識，養成積極主動的參與學習活動的習慣，提高學好數學的自信心。
三、關鍵內容確定
（一）教學重點
1.能根據正、反比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成正比例或反比例。能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的直線，能根據具有正比例關系的一個量的數值看圖估計另一個量的數值。
2.體會數量之間的相互依存的關系，感受有效表示數量關系及其變化規律的不同數學模型，進一步提升思維水平。
（二）教學難點
1．根據正、反比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成正比例或反比例。
2．能利用給出的具有正比例關系的數據在方格紙上畫出相應的直線。
四、單元整合框架及說明
整合指導思想定位：
會用數學的眼光觀察現實世界
會用數學的思維思考現實世界
會用數學的語言表達現實世界
這是數學課程的核心素養內涵。《數學課程標準》指出：“每一堂課都應該以學生為中心，以探究為手段，積極發展學生的求異思維，以培養學生各種能力為目的，最終讓學生形成一種新型的數學思想，養成數學能力，體驗數學與生活的關系。”
本單元教材的具體編排結構：
本單元教科書編寫的基本特點主要體現在以下幾個方面：*.1
1.生活情境導入，強化數學與現實的聯系
通過學生熟悉的現實情境用“購買文具的總價與數量”“汽車行駛路程與時間”等生活實例，引導學生觀察變量間的依存關系，建立正比例、反比例的表象認知。引入比例概念，幫助學生在具體問題中理解抽象的數學關系。注重對比辨析，突出概念本質，將正比例與反比例進行對比分析，引導學生通過觀察、計算、畫圖等方式，發現兩種比例關系的異同點。通過表格填寫、數據計算發現變量間的變化規律，從具體實例中提煉正比例、反比例的定義，用字母公式表示關系，借助坐標系繪制圖像，直觀理解比例關系。設置“動手做”“試一試”等欄目，鼓勵學生通過實驗、畫圖、舉例驗證等方式自主探究。
2. 圖表結合，發展數形結合思想
利用表格整理數據規律，通過坐標系繪制正比例直線和反比例曲線，幫助學生從“數”與“形”兩個角度理解比例關系。“根據表格數據判斷比例關系”“根據圖像寫出比例式”等，強化數形轉換能力。畫出圖像后，教材引導學生根據圖像判斷問題，幫助學生進一步理解圖像上的點所表示的實際含義，初步體會圖像的作用，為今后進一步學習函數及函數圖像打下一定的基礎。
3.分層練習設計，讓學生逐步提高判斷正、反比例的量的能力。
設計判斷比例關系、填寫表格、簡單應用題等，夯實概念，結合工程問題、圖形縮放、比例分配等實際情境，提升解決問題的能力，設置逆向思考題，深化邏輯思維。這種形式的練習，對學生來說比較具體，便于觀察，容易理解，有利于學生完整體驗判斷成正比例、反比例的量的思考過程，獲得對正、反比例意義的深刻理解。通過辨析題引導學生關注比例關系的本質，學生在練習中能夠進一步學會從結構上把握各種量之間的比例關系，提高判斷成正反比例的能力。
單元課時規劃
單元劃分依據 □課程標準 教材章節 □知識結構
課程內容模塊 數與代數 圖形與幾何 □統計與概率 綜合與實踐
單元數量 1
單元主題 單元名稱 主要內容 課時
數與代數 正比例和反比例 認識正比例的量 1
正比例的圖像 1
認識反比例的量 1
大樹有多高 1
重點滲透的數學思想方法 □抽象 符號化 分類 □集合 □對應 演繹 歸納 類比 轉化 數形結合 □極限 模型 方程 函數 □統計 分析 綜合 比較 假設 □其他
課時 學習目標 評價形式 評價標準
6.1《正比例的意義》 目標：使學生經歷從具體實例中認識成正比例的量的過程，初步理解正比例的意義，學會根據正比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成正比例。 任務一：正比例的意義。 表中有哪兩種量？這兩種量的數值是怎樣變化的？→ 任務二：判斷正比例關系？ 讓學生根據板書完整地說一說鉛筆的總價和數量成什么關系？→ 1.初步理解正比例的意義。 2.學會根據正比例的意義判斷兩種相關聯的量是否成正比例。
6.2《正比例的圖像》 目標：能用“描點法”畫出表示正比例關系的圖像，幫助學生初步認識正比例的圖像，進一步認識成正比例的量的變化規律。能根據具有正比例關系的一個量的數值看圖估計另一個量的數值。 任務一：認識正比例的圖像。 路程和時間的比值是否一定？ 如何用圖像表示這種關系？→ 任務二：畫正比例的圖像。 根據圖像判斷，這輛汽車2.5小時行駛多少千米？→ 1.能用“描點法”畫出表示正比例關系的圖像。 2.根據具有正比例關系的一個量的數值看圖估計另一個量的數值。
6.3《反比例的意義》 目標：理解反比例的意義，能根據反比例的定義判斷兩種相關聯的量是否成反比例。掌握反比例關系的數學表達式 x×y=k（一定）。 任務一：反比例的意義 從“用60元購買筆記本”這句話中，你懂得了什么？→ 任務二：反比例的應用 “工作總量如何保持不變？”“工作效率與工作時間的關系是否符合反比例？” 理解反比例的意義。 2.能根據反比例的定義判斷兩種相關聯的量是否成反比例。
6.4《大樹有多高》 目標：通過測量各種目標物影子長度的實踐活動，使學生主動探索掌握影子長度與目標物實際高度之間的比例關系，發現在同一時刻、同一地點，物體的高度與影長成正比例關系，并能運用這一規律解決一些簡單的實際問題。 任務一：提出問題 “如何不直接測量就能知道大樹的高度？”“影子的長度和物體的高度有什么關系？”→ 任務二：實驗操作 在太陽光下，竹竿直立在地面上，同時量出竹竿的影長。比較每次的測量結果，你發現了什么？→ 任務三：應用規律解決問題 一根1米長的竹竿，當時直立在地面上的影長是多少？ 發現在同一時刻、同一地點，物體的高度與影長成正比例關系。 能運用這一規律解決一些簡單的實際問題。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
《正比例的圖像》教學設計
課題 正比例的圖像 單元 第六單元 學科 數學 年級 六年級
教材分析 例2是以“路程”為研究對象，通過表格和圖表結合的方式，表格中列舉了不同路程數值，并提到這些數據可用圖表中的點表示，以橫軸為時間，縱軸為路程，通過點的分布直觀體現兩者之間的關系。通過結構化數據與圖表結合的方式，從實際數據中抽象出比例關系，并進行數學建模，為學生提供了圖像是探究比例關系的有效工具，同時運用圖像知識解決簡單實際問題。
學習 目標 1.學習目標描述：能用“描點法”畫出表示正比例關系的圖像，幫助學生初步認識正比例的圖像，進一步認識成正比例的量的變化規律。 2.學習內容分析：使學生能根據具有正比例關系的一個量的數值看圖估計另一個量的數值。初步體會正比例圖像的實際應用，進一步培養觀察能力和估計能力。 3.學科核心素養分析：感受正比例圖像在實際生活中的應用價值，增強數學學習興趣。 培養合作交流意識和嚴謹的科學態度。
重點 了解正比例圖像的制作過程以及正比例圖像的特點。
難點 利用正比例圖像，根據其中一種量的值估計另一種量的值。
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖
導入新課 一、談話引入，揭示課題 出示： 談話：三角形的高一定，三角形的面積和底成正比例嗎？為什么？ 小組討論：結合公式推導比值，得出結論。 通過已學知識引出正比例概念，建立新舊知識聯系。 培養邏輯推理能力，為后續圖像學習做鋪墊。
講授新課 任務一：認識正比例的圖像 PPT課件出示例1的表格。 觀察表格（時間與路程數據）。 回答問題：路程和時間的比值是否一定？如何用圖像表示這種關系？ 談話：我們上節課認識了成正比例的量，其實例1表中的數據，我們還可以在方格圖中繪制成一定的圖像來表示。 (1)PPT課件出示教材例2的方格圖。 提問：表中的橫軸表示什么？縱軸表示什么？每格表示多少千米？ (2)讓學生在圖中找一找“1小時行80千米”的這個點，并請學生在屏幕上指一指。 引導：表示1小時的豎線與表示80千米的橫線相交的點，就表示“1小時行80千米”。 (屏幕閃現A點)我們把它稱為A點。 想一想，圖中的A點表示什么？ 要求學生照樣子描出表示其他各組數據的點。 提問：你能再說出其他各點分別表示什么嗎？ （3）問題：根據圖像回答：汽車行駛2.5小時的路程是多少？行駛440千米需要多少小時？ 在圖像中找到橫軸2.5小時對應的縱軸值（約200千米）。 在縱軸440千米處畫水平線與圖像相交，估計對應時間（5.5小時）。 驗證：通過比值計算，確認結果合理性 (4)讓學生連接圖中各點，說說有什么發現。 根據學生的回答小結：我們發現圖中所描的點都在同一條直線上。這條直線就是正比例的圖像。從直線上的每個點中，我們既能知道汽車行駛的時間，又能知道行駛的路程。這兩個量緊密聯系，對應的時間和路程用同一個點，點不同，時間和路程也都發生變化，但是它們的比值卻是不變的，所以我們就說它是正比例圖像。(板書課題) 計算每組數據的比值，驗證正比例關系。 動手操作：用直尺連接各點，發現圖像是一條經過原點的直線。 通過數據計算和圖像繪制，直觀感受正比例圖像的特征。 滲透“數形結合”思想，培養觀察與分析能力。 強化圖像的實際應用能力，體會圖像在估算中的便捷性。 通過驗證培養嚴謹的科學態度。
任務二：畫正比例的圖像 1.（1）根據表格判斷，打字的數量和所用的時間成正比例嗎？請你計算各組數據的比值，確認正比例關系。 （2）描點連線：在坐標系中描出打字數量和時間對應的點，用直尺連接成射線。 （3）根據圖像，估算5分鐘打字數量（250個）； 求打750個字所需時間（15分鐘）。 小結：我們在根據圖像判斷時，必須找準對應的點，通過畫縱軸或者橫軸的垂線的方法找準點，讀準數。 2.拓展延伸。 活動：對比分析不同正比例圖像 任務：觀察汽車行駛圖像與打字數量圖像， 討論：兩幅圖像的共同特征是什么？ 如何從圖像中判斷兩種量是否成正比例？ 根據學生回答小結： （1）正比例關系的圖像是一條經過原點的射線。 （2）從圖像中可以直觀地看出兩種量的變化情況。 （3）借助圖像，可以由一個量的值找到對應的另一個量的值。 學生獨立計算比值。 學生動手描一描，畫一畫。 學生獨立完成，匯報交流。 學生小組內討論交流。 通過動手操作掌握描點法，強化圖像繪制技能。 培養從圖像中提取信息解決實際問題的能力。 通過對比分析，深化對正比例圖像共性的理解。能聯系生活實際，體會數學的廣泛應用性。
課堂練習 基礎題： 1. 購買柿子的質量和應付的錢數如下： （1）把下表填寫完整。 （2）圖像表示的是購買柿子的質量和應付錢數 的關系，橫軸表示( )，縱軸表示( )。（3）圖像中的圓點表示( )。 （4）9元能買( )千克柿子；買10千克柿子應付( )元。 2.燒煤的天數與燒煤總量如下圖： （1）燒煤總量和燒煤的天數成正比例嗎？為什么？ （2）3天需要燒煤多少噸？30噸煤可以燒多少天？ 3.一輛汽車行駛的時間和所行駛的路程如下表： （1）將表格補充完整。 （2）根據表格將各時刻對應的行駛的路程在圖上表示出來，它們成正比嗎？ 分層練習滿足不同學習需求，鞏固知識并提升思維深度。 通過合作學習培養團隊協作和表達能力。
提高題： 放假了，小明和小麗去蔬菜加工廠參加社會實踐活動，兩人同時工作了一段時間后，休息時小明對小麗說：“我已加工了28千克，你呢？”小麗思考了一會兒畫出了下面兩幅圖，說：“我來考考你。圖①和圖②分別表示你和我的工作量與工作時間的關系，你能算出我加工過了多少千克嗎？”
拓展題 5.完成表格，畫圖判斷哪一張表格的變化情況成正比例關系？為什么？
課堂小結 通過本節課的學習，你們有什么收獲？ 跟隨教師回顧本節課的主要內容，梳理知識結構。 課堂小結可以幫助學生理清所學知識的層次結構，掌握其外在的形式和內在聯系，形成知識系列及一定的結構框架。
板書 正比例的圖像 描點　　連線 正比例的圖像是一條直線。 利用簡潔的文字呈現本節課的新知，可以幫助學生理解掌握知識，形成完整的知識體系。
作業設計 【知識技能類作業】 1.下圖反映了汽車行駛的路程和時間之間的關系。 (1)汽車行駛的路程和時間成(　　　　)關系。 (2)推算一下，這輛汽車6小時行駛了(　　)千米，行駛420千米要用(　 　)小時。 2.訂閱《少年科普世界》的數量與總價的情況如下表。 (1)把上面的表格填寫完整。 (2)根據表中數據，在下圖中描出數量和總價所對應的點，再把這些點依次連接起來。 (3)訂閱《少年科普世界》的總價和數量成正比例嗎？為什么？ (4)從圖像中可以知道，訂閱4份《少年科普世界》需要多少錢？72元可以訂閱多少份《少年科普世界》？ 3.一根彈簧掛上物體（質量不超過20千克）后長度會伸長，物體的質量與伸長的長度如下： （1）在圖中描出物體的質量和彈簧伸長的長度所對應的點，再按順序連接起來。 （2）物體的質量與彈簧伸長的長度成正比例嗎？為什么？ （3）根據圖像判斷，如果掛上質量是5千克的物體，彈簧應伸長多少厘米？要使彈簧伸長4厘米，應掛上多少千克的物體？
【綜合實踐類作業】 調查一種商品的單價，完成下表，并在方格紙上畫圖表示出來。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑