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數列求和的運算
1．等比數列的公比為2，且成等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
2．正項數列的前n項和為，已知．
(1)求證：數列為等差數列，并求出，；
(2)若，求數列的前2023項和．
3．已知數列為：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接著復制該項粘貼在后面作為，并添加后繼數2作為；再復制所有項1，1，2并粘貼在后面作為，，，并添加后繼數3作為，…依次繼續下去.記表示數列中首次出現時對應的項數.
(1)求數列的通項公式；
(2)求.
4．已知等差數列的前項和為，
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
5．已知是首項為2，公差為3的等差數列，數列滿足.
(1)證明是等比數列，并求的通項公式；
(2)若數列與中有公共項，即存在，使得成立.按照從小到大的順序將這些公共項排列，得到一個新的數列，記作，求.
6．設數列的前n項和為，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設且，求數列的前n項和為．
7．已知數列滿足：，且對任意的，
(1)求，的值，并證明數列是等比數列；
(2)設，求數列的前項和.
8．已知正項數列的前項和為，且對任意，成等差數列，又正項等比數列的前項和為，.
(1)求數列和的通項公式；
(2)若數列滿足，是否存在正整數，使.若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.
9．已知各項均為正數的等比數列，其前項和為，滿足，
(1)求數列的通項公式；
(2)記為數列在區間中最大的項，求數列的前項和．
10．已知等差數列的公差，且滿足，，，成等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足求數列的前2n項的和．
11．設是數列的前n項和，已知，.
(1)求，；
(2)令，求.
12．已知是遞增的等差數列，是等比數列，且，，，．
(1)求數列與的通項公式；
(2)，數列滿足，求的前項和．
13．已知數列的前項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前項和．
14．已知為數列的前n項和，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
15．已知函數的首項，且滿足．
(1)求證為等比數列，并求．
(2)對于實數，表示不超過的最大整數，求的值．
16．已知各項均為正數的數列{}滿足（正整數
(1)求證：數列是等比數列；
(2)求數列{}的前n項和.
17．已知在數列中，，且是公差為1的等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前n項和為，求使得的最大整數m的值；
(3)設，求數列的前n項和
18．已知數列各項都不為，前項和為，且，數列滿足，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)令，求數列的前項和為
19．已知等比數列的公比為2，數列滿足，，．
(1)求和的通項公式；
(2)記為數列的前n項和，證明：．
20．在數列中，，.
(1)求證：數列為等比數列，并求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
21．記為數列的前項和，已知是公差為2的等差數列.
(1)求的通項公式；
(2)證明：.
22．已知數列滿足（n≥2，），．
(1)求證：數列為等比數列，并求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
23．已知數列是公差為的等差數列，且滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前10項和.
24．已知數列的前n項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
25．已知等比數列的各項均為正數，且，.
(1)求的通項公式；
(2)數列滿足，求的前項和.
26．已知數列中，，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前n項和，求證：．
27．數列滿足.
(1)求證：是等比數列；
(2)若，求的前項和為.
28．已知正數數列，，且滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
29．已知數列、，滿足，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
30．已知數列中，，是數列的前項和，數列是公差為1的等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：．
31．已知在等差數列中，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
32．記數列的前n項和為，已知，，．
(1)求，t；
(2)求數列的通項公式；
(3)求數列的前n項和．
33．數列中，，且．
(1)證明：數列為等比數列，并求出；
(2)記數列的前n項和為．若，求．
34．已知數列滿足，．
(1)記求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和．
35．已知等比數列的前項和為，且，，成等差數列．
(1)求的值及數列的通項公式；
(2)若求數列的前項和
36．已知數列和，，，.
(1)求數列和的通項公式；
(2)求數列的前項和.
37．等比數列的前n項和為，已知，且成等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)若，數列的前n項和．
38．已知數列的前n項和為，，且滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)設的前n項和為，求．
39．已知數列滿足：.
(1)證明：數列是等比數列；
(2)設，求數列的前項和.
40．已知正項等差數列的前n項和為，其中，.
(1)求數列的通項公式及；
(2)若，求數列的前n項和.
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數列求和的運算
1．等比數列的公比為2，且成等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）已知等比數列的公比為2，且成等差數列，
，
,解得，
（2），
.
2．正項數列的前n項和為，已知．
(1)求證：數列為等差數列，并求出，；
(2)若，求數列的前2023項和．
【答案】(1)；；(2).
【詳解】（1）由可得，，
又因為為正項數列的前n項和，所以，
因為，所以，
所以，數列為等差數列，
所以 ，，，所以.
（2），
.
3．已知數列為：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取，接著復制該項粘貼在后面作為，并添加后繼數2作為；再復制所有項1，1，2并粘貼在后面作為，，，并添加后繼數3作為，…依次繼續下去.記表示數列中首次出現時對應的項數.
(1)求數列的通項公式；
(2)求.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由題意知：，即，且，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，則.
（2）由（1）可知，，所以在前項中出現1次，
5在前項中出現2次，4在前項中出現次，3在前項中出現次，2在前項中出現次，1在前項中出現次，
所以.
4．已知等差數列的前項和為，
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）設公差為，由，，得，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
，
故數列的前項和為.
5．已知是首項為2，公差為3的等差數列，數列滿足.
(1)證明是等比數列，并求的通項公式；
(2)若數列與中有公共項，即存在，使得成立.按照從小到大的順序將這些公共項排列，得到一個新的數列，記作，求.
【答案】(1)證明見解析，，
(2)
【詳解】（1）由題意可得：，
而，變形可得：，
故是首項為3，公比為3的等比數列.
從而，即.
（2）由題意可得：，，令，
則，此時滿足條件，
即時為公共項，
所以
.
6．設數列的前n項和為，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設且，求數列的前n項和為．
【答案】(1)
(2)，
【詳解】（1）當時，，
當時，，
所以是首項為1，公比為2的等比數列，則.
（2）由題設知：，，
當為偶數時，；
當為奇數時，；
綜上，，.
7．已知數列滿足：，且對任意的，
(1)求，的值，并證明數列是等比數列；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)，，證明見解析(2)
【詳解】（1），.
由題意得，
又，所以數列是等比數列.
（2）由（1）知.
運用分組求和，可得
.
8．已知正項數列的前項和為，且對任意，成等差數列，又正項等比數列的前項和為，.
(1)求數列和的通項公式；
(2)若數列滿足，是否存在正整數，使.若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)，(2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）設的公比為，顯然，
由，可得，
解得或（舍去），又，所以，
又對任意，成等差數列，，
所以.
因為，
所以，所以，
故是以為首項，公差的等差數列，
所以，又，
所以，所以.
當時，，
時，滿足上式，
故.
（2），
設，
①，
②，
①-②，得
，
所以，
故不存在正整數，使.
9．已知各項均為正數的等比數列，其前項和為，滿足，
(1)求數列的通項公式；
(2)記為數列在區間中最大的項，求數列的前項和．
【答案】(1)；(2).
【詳解】（1）設的公比為，則，又，
當時，，當時，，
兩式相減可得，，所以，
所以或(舍去)，
所以，即，
所以等比數列的通項公式為；
（2）由，，可得，
所以，又，
所以，當且僅當時等號成立，
所以，
所以，
所以.
即.
10．已知等差數列的公差，且滿足，，，成等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足求數列的前2n項的和．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因為，，成等比數列，所以，
即，
解得或．
因為，所以，
所以．
（2）由（1）得
所以，
所以
，
，
所以數列的前2n項的和．
11．設是數列的前n項和，已知，.
(1)求，；
(2)令，求.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由得即
，即，又，所以，
（2）當時，，
當時，，
兩式相加可得，得，
由于，所以
12．已知是遞增的等差數列，是等比數列，且，，，．
(1)求數列與的通項公式；
(2)，數列滿足，求的前項和．
【答案】(1)，(2)
【詳解】（1）解：由題意，設等差數列的公差為，
則，，，
因為數列為等比數列，則，即，
因為，解得，.
又因為，，所以，等比數列的公比為，
因此，.
（2）解：由，①
可得，所以，，
當時，，②
①②得，所以，，
不滿足，所以，.
當時，，
當時，，
也滿足，
綜上所述，對任意的，.
13．已知數列的前項和為，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前項和．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）當時，，解得，
當時，．
可得，
整理得：，
從而，
又，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列；
所以，
所以，經檢驗，滿足，
綜上，數列的通項公式為；
（2）由（1）得，所以，所以，
，
所以
14．已知為數列的前n項和，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因為，
所以，
兩式相減得，
化簡得，
所以數列是以1為首項，2為公差的等差數列，
所以．
（2），
所以
所以．
15．已知函數的首項，且滿足．
(1)求證為等比數列，并求．
(2)對于實數，表示不超過的最大整數，求的值．
【答案】(1)證明見解析，(2)
【詳解】（1）因為，，
所以，
所以，
所以.
又因為，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，
所以，所以.
（2）因為，
所以
.
設，
所以，
所以
，
所以，
所以.
因為，
所以，
所以，
所以.
16．已知各項均為正數的數列{}滿足（正整數
(1)求證：數列是等比數列；
(2)求數列{}的前n項和.
【答案】(1)證明見解析(2)
【詳解】（1）證明：已知遞推公式，兩邊同時加上3，
得：，
因為，
所以，
又，
所以數列是以為首項、以2為公比的等比數列.
（2）由（1），則，
所以
.
17．已知在數列中，，且是公差為1的等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前n項和為，求使得的最大整數m的值；
(3)設，求數列的前n項和
【答案】(1)(2)8(3)
【詳解】（1）由可知，又是公差為1的等差數列，
所以，故．
（2），
，
則，整理得，
解得，故滿足條件的最大整數m的值為8．
（3）由題得，
則，
，
兩式相減得，
所以.
18．已知數列各項都不為，前項和為，且，數列滿足，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)令，求數列的前項和為
【答案】(1);;(2)
【詳解】（1）由，可得，兩式相減得，整理得，因為數列各項都不為，所以數列是以為公比的等比數列．令，則，解得，故．
由題知，
所以
（2）由（1）得，所以，
，
兩式相減得，
所以．
19．已知等比數列的公比為2，數列滿足，，．
(1)求和的通項公式；
(2)記為數列的前n項和，證明：．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【詳解】（1）當時，，
又，解得．
所以是以2為首項，2為公比的等比數列，故．
則，即．
所以是以2為首項，1為公差的等差數列，故．
（2）由（1）可得，，所以．
則①，
②，
①-②可得，
所以．
因為，所以是遞增數列．
則，故．
20．在數列中，，.
(1)求證：數列為等比數列，并求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)證明見解析；；(2)
【詳解】（1），
當時，，
數列是首項為，公比為的等比數列，
，；
（2）
數列的前項和
．
21．記為數列的前項和，已知是公差為2的等差數列.
(1)求的通項公式；
(2)證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【詳解】（1）因為，所以，
因為是公差為2的等差數列，所以，
所以.
（2），①
所以，②
① -②則，
所以.
22．已知數列滿足（n≥2，），．
(1)求證：數列為等比數列，并求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【詳解】（1）∵，
∴，
所以，又，
∴是首項為2，公比為2的等比數列，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
當n為偶數時，
．
當n為奇數時，
．
綜上．
23．已知數列是公差為的等差數列，且滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前10項和.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因為是公差為的等差數列，，
所以當時，，
當時，，
因為，即，
解得，所以或（舍去），
所以；
（2）由（1）得，
.
所以.
24．已知數列的前n項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因為，所以當時，，
兩式相減，得，整理得，
即時，，又當時，，解得，
所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，
所以.
（2）由（1）知，所以，
令，易知，，
設數列的前項和為，則①，②，
由①-②，得，
即，
所以，
所以.
25．已知等比數列的各項均為正數，且，.
(1)求的通項公式；
(2)數列滿足，求的前項和.
【答案】(1)；(2).
【詳解】（1）設數列的公比為，
則，，解得，
所以，即的通項公式為；
（2）由題可知，
則，
，
兩式相減得：
，
.
26．已知數列中，，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前n項和，求證：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【詳解】（1）解：因為，，
所以，
所以
當時， 滿足條件，
所以；
（2）因為，
所以，
所以，
所以 .
27．數列滿足.
(1)求證：是等比數列；
(2)若，求的前項和為.
【答案】(1)證明見解析(2)
【詳解】（1）
所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列.
（2）由（1）可得，，所以，
設設其前項和為，
則①
②
減②得
所以
所以
28．已知正數數列，，且滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）∵，
∴，
又，∴，即．
又，
且，∴
（2），∴，，
又，
∴.
29．已知數列、，滿足，，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：因為，，則，，，
以此類推可知，對任意的，，所以，
即，，
又因為，所以是首項為，公比為的等比數列，
所以的通項公式為.
（2）解：，則，
所以，，
故.
30．已知數列中，，是數列的前項和，數列是公差為1的等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【詳解】（1）因為數列是首項為2，公差為的等差數列，
所以，則，得（），
兩式相減得：，則，
（），
又適合上式，故．
另解：由得（），
故為常數列，
則，故．
（2）由（1）得，
所以，
則.
31．已知在等差數列中，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)且
【詳解】（1）若等差數列公差為，則，即，
由，則，
所以的通項公式.
（2）由題設，
當為偶數，則；
當為奇數，則；
所以且.
32．記數列的前n項和為，已知，，．
(1)求，t；
(2)求數列的通項公式；
(3)求數列的前n項和．
【答案】(1)，t＝2
(2)
(3)
【詳解】（1）由（）可得，，，，
又，，則解得，t＝2．
（2）由（）可得，
當n為奇數時，，所以數列的奇數項是一個公差為3的等差數列，又，則；
當n為偶數時，，所以數列的偶數項是一個公差為3的等差數列，又，則，
則．
（3）
．
，則，
即．
33．數列中，，且．
(1)證明：數列為等比數列，并求出；
(2)記數列的前n項和為．若，求．
【答案】(1)證明見詳解，(2)1360
【詳解】（1）因為，
則，且，
所以數列是以首項為2，公比為2的等比數列，
故，可得.
（2）因為，即，
當時，則，解得；
當時，則，
兩式相減得：，整理得；
所以
，
即.
34．已知數列滿足，．
(1)記求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1），，
又，，
又，
所以數列是以為首項，為公差的等差數列，
所以數列的通項公式為.
（2）由（1）得，
所以數列的前n項和為
=
.
35．已知等比數列的前項和為，且，，成等差數列．
(1)求的值及數列的通項公式；
(2)若求數列的前項和
【答案】(1)，，；(2)
【詳解】（1），，成等差數列，
，即，
當時，，即，
當時，，
是等比數列，
，則，得，
數列的通項公式為，；
（2），
則前項和，
，
兩式相減可得
，
化簡可得．
36．已知數列和，，，.
(1)求數列和的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)，(2)
【詳解】（1）由，，得，
整理得，而，
所以數列是以為首項，公比為的等比數列，
所以，
，
.
（2），
設，
則，
兩式相減得，從而
.
37．等比數列的前n項和為，已知，且成等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)若，數列的前n項和．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）設等比數列的公比為，因為成等差數列，
所以，
因為，所以，即，
所以.
（2）由（1）得，因為，所以，
所以，即；
，
，
兩式相減可得
；
所以.
38．已知數列的前n項和為，，且滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)設的前n項和為，求．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因為，當時，，兩式作差得，
即，又，所以，當時，，
又當時，，解得，
可知數列是以首項為1，公差為2的等差數列，
所以，即
（2）由（1）知，所以，
.
39．已知數列滿足：.
(1)證明：數列是等比數列；
(2)設，求數列的前項和.
【答案】(1)證明見解析(2)
【詳解】（1）設，則，且，
因為，所以，
即是以4為首項，2為公比的等比數列，
則數列是等比數列.
（2）由（1）知，則，即，
則，
，
兩式相減得：，
所以.
40．已知正項等差數列的前n項和為，其中，.
(1)求數列的通項公式及；
(2)若，求數列的前n項和.
【答案】(1)，；
(2)
【詳解】（1）設等差數列的首項為，公差為，
則，則，
因為，所以，
化簡為，解得：或（舍），
所以，；
（2），

兩式相減得，
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