資源簡介

(共26張PPT)
第八章立體幾何初步
人教A版2019必修第二冊
8.6.2 直線與平面垂直(第1課時)
理解直線與平面垂直的判定定理，并會對其進行簡單的應(yīng) 用，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)
理解直線與平面所成的角的概念，并能解決簡單的線面角 問題，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng)
會求點到平面的距離，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
學習目標
1
a//a
直線與平面平行
aNa=A
直線與平面相交
垂直 斜交
aCa
a a 直線在平面內(nèi)
a
空間中直線與平面有幾種位置關(guān)系
直線在平面外
afα
y 復(fù)習回顧
線面位 置關(guān)系
a
b
a
a
觀察1 在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認識.比如，旗 桿與底面的位置關(guān)系，教室里相鄰墻面的交線與地面的位置關(guān)系，都給我 們以直線與平面垂直的形象.
y 新課導(dǎo)入
觀察2 如圖示，在陽光下觀察直立于
底面的旗桿AB及它在地面的影子BC.
隨著時間的變化，影子BC 的位置在不
斷地變化，旗桿所在直線AB 與其影子
BC 所在直線是否保持垂直
直線AB與其影子BC所在直線始終保持垂直.
旗桿AB 所在直線于地面上任意一條過點B 的直線垂直.
追 問 旗 桿AB 與地面上任意一條不過旗
桿底部B的直線的位置關(guān)系又是什么
與地面內(nèi)任意一條不過
點B的直線B'D'也垂直. B'
y
直線AB垂直 于平面內(nèi)的任 意一條直線。
新課導(dǎo)入
C'
直線與平面垂直的定義
一般地，如果直線與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與
平面α互相垂直，記作l⊥a.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面. 直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.
平面α的垂線
l
垂足 直線l的垂面
P
a
y
畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.
概念生成
反思：“若lLa, 則直線l與平面α內(nèi)任意一條直線都垂直”,對嗎
|L
lLα l⊥a
a lP aCC
a
線面垂直 線線垂直
線面垂直的最基本的性質(zhì)。
y
新知探究
問題1在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，將這一結(jié) 論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條 為什么
過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.
證 明 ：
如圖，若過平面α外一點可以作平面的兩條垂線a,b,
則兩相交直線 a,b 確定一個平面，設(shè)為β,
設(shè)α∩β=l, 因為a⊥a,b⊥a, 所 以a⊥l,b⊥l,
又 acβ,bcβ, 所以 a//b,
與 a∩b=P 相矛盾，所以過平面外 一點作平面的垂線
有且只有一條
y
新知探究
點到平面的距離
過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點 到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.
h=|AB|
在錐體的體積公式中，錐體的高度就是錐體的頂點到底面的距離.
下面我們研究直線與平面垂直的判定，就是直線與平面垂直的充分條件 .
y
概念生成
問題2 怎么來判定直線與平面垂直 由定義判定直線與平面垂直，簡便嗎
能否只需驗證直線與平面內(nèi)部分直線垂直就能判定直線與平面垂直呢
探究準備一塊三角形的紙片ABC, 過△ABC 的頂點A翻折紙片，得到折痕
AD, 將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC 與桌面接觸).觀察：
(1)折痕AD 與桌面垂直嗎 不一定 當AD⊥BC時
(2)如何翻折才能使折痕AD 與桌面垂直 為什么 折痕AD 與桌面垂直.
y
新知探究
直線與平面垂直的判定定理：
如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面
反思 定理中的兩條相交直線能否改成平行直線，
如果改成“無數(shù)條直線”呢
不能
垂 直.
符號語言：垂直
內(nèi)
相交
圖形語言：
→ l⊥α
線線垂直→線面垂直
lLa
l⊥b
a C α
bcα
a∩b=A
概念生成
例 3 求 證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直 線也垂直于這個平面.
已知：如 圖 ，allb,a⊥a, 求 證 ：b⊥a. 可作定理使用
證明：如圖，在平面α內(nèi)取兩條相交直線m,n.
∵a⊥a,∴aLm,aLn.
又∵allb, ∴b⊥m,b⊥n.
又mca,nca, 且m,n是兩條相交直線.
∴b⊥a.
結(jié)論：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平 面，那么另一條直
線也垂直于這個平面. (證明線面垂直的另一方法)
典例分析
2. 如圖，四棱錐 S-ABCD 的底面ABCD 是正方形， SD⊥平 面ABCD.
求證：AC⊥平 面SDB.
證 明 ：∵SD⊥平面ABCD,ACc 平面ABCD.
∴SD⊥AC.
又∵底面ABCD是正方形，BD⊥AC,
而SDNBD=D
∴AC⊥平面SDB.
學以致用 教材P152
件時， A'C⊥B'D'
解：連接AC,BD, 當AC⊥BD時，A'C⊥B'D'.理由如下：
∵在直四棱柱A'B'C'D'-ABCD 中 ，AA'⊥底 面ABCD. BDC 底面ABCD,∴AA'⊥BD .
若AC⊥BD, 而AA'NAC=A.
則BD⊥平 面AA'C, 而A'C 平面AA'C,
∴則BD⊥A'C.
又∵ BB'//DD', 且BB'=DD',∴ 四邊形BB'D'D 是平行四邊形， ∴BD//B'D', 因此B'D'⊥A'C.
學以致用 教材P152
3. 如圖，在直四棱柱A'B'C'D'-ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條
y 新知講解
直線和平面所成角
1)斜線：和平面相交，但不垂直的直線叫做平面的斜線
2)斜足： 斜線和平面相交的交點
3)斜線在平面內(nèi)的射影：
過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，
過垂足和斜足的直線稱為斜線在平面內(nèi)
的射影.
☆平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角，叫做直線和平面所成的角.
規(guī)定：①若直線垂直平面，則直線和平面所成的角為90°
( 2 ) 若 直 線 與 平 面平 行或 在 平 面 內(nèi). 則 直 線 和 平 面 所 成 的 角 為 0
☆直線和平面所成角的取值范圍為
直線與平面所成的角是 直線與平面內(nèi)任意一條 直線所成角的最小角.
P
學以致用 教材P152
1.如果兩條直線和一個平面所成的角相等，那么這兩條直線一定平行嗎
不一定
典例分析
例6如圖，正方體ABCD-A B C D 中，求：
(1A C 與 面ABCD 所成的角
(2)A B 與 面AB C D 所成的角
例 6 如圖，正方體ABCD-A B C D 中，求：
(3)A C 與 面BB C C 所成的角
(4)A B 與 面A DCB 所成的角
(3)45° (4)30°
典例分析
例 6 ( 4 )A B 與面A DCB 所成的角
解 ：連接BC 交B C 于點0,連接A O. 1.構(gòu)造( 作 )
設(shè)正方體的棱長為a.
正方體ABCD-A B C D 中 ，A B ⊥ 平 面BCC B ,
∴A B ⊥BC , 又 B C⊥BC ,∴BC ⊥ 平 面A DCB . ∴A O 是A B 在平面A DCB 內(nèi)的射影 .
∴∠BA O 為A B 和平面A DCB 所成的角。
: ·
在Rt△A BO 中 ，A B=√2a,
, ∠BA O=30°.
∴A B 和平面A DCB 所成的角為30° .
3.計算( 求 )
4.結(jié)論
典例分析
求直線和平面所成角的步驟
1.構(gòu)造：作垂線 →作射影 →作平面角
2.證明： 證明某平面角就是斜線與平面所成角 (關(guān)鍵證垂直)
3.計算：求所成角，通常在垂線段、斜線和射影所構(gòu)成的直角 三角形中計算.
4.下結(jié)論
方法歸納
4.過△ABC 所在平面α外一點P, 作PO⊥a, 垂足為0,連接PA,PB,PC.
(1)若PA=PB=PC, 則點0是△ABC的_外_ 心 .
(2)若PA=PB= PC,∠C=90°, 則點O是AB邊的_中 _ 點 .
(3) 若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA, 垂足都為P, 則點是△ABC的_垂_心。
學以致用 教材P152
(1)BC1 平 面PAB;(2)AE1 平面PBC;(3)PC1 平面AEF.
證明(1)∵ PA⊥ 平面ABC,BC c平面ABC,∴PA⊥BC. ∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC.
又AB,PA c平面PAB,AB∩PA=A,
∴BC⊥ 平 面PAB.
(2):BC⊥ 平面PAB,AE c平面PAB, ∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE,BC∩PB=B,BC,PB c平面PBC,
∴AE⊥平面PBC.
(3):AE1 平面PBC,PCc 平面PBC,∴AE⊥PC. ∵AF⊥PC,AE∩AF=A,AE,AF c平面AEF, ∴PC1平面AEF.
y 能力提升
1 . 如圖，P 為△ABC 所在平面外一點，PA1 平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB 于點E,AF⊥PC 于點F, 求證：
直線與平面垂直
題型一
例題
例 題 2.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A B C D 中 ， 點E是 D C 的 中 點 ，F(xiàn) 是 側(cè)
面 ADD A 的中心，則點F到 平 面EB C 的距離為( A
B. C. D.√3
[解析]連接A D,DE,DB , 因為F是側(cè)面ADD A 的中心，所以F∈A D,
因為 ,所以四邊形A B CD 是平行四邊形，所以A D//CB ,
因為A D 女平面EB C,CB c 平面EB C, 所 以A D// 平面EB C, 所以點F到平面EB C 的距離與點D到平面EB C 的距離相等，
設(shè)點D到平面EB C的距離為h, 在△EB C中 ，EB =CE=√5,B C=2√2,
所以S
y 能力提升
.所以點F到平面EB C 的距離為
題 型 二
點到平面的距離
例題 3.如果P是等邊△ABC 所在平面外一點，且 △ABC的 邊
長為1,那么PA與底面ABC所成的角是( A )
A. 30° B. 45° C.60° D. 90°
y
[解析] 如圖，作PO1 平面ABC 于點0,連接AO,
易知P-ABC 為正三棱錐，PA 與底面ABC 所成的角即為∠PAO,
直線與平面所成的角
能力提升
,故∠PAO=30° .
題型三
故選A.
(1)利用定義； 垂直于平面內(nèi)任意一條直線
(2)利用判定定理.線線垂直 > 線面垂直
4. 數(shù)學思想方法：轉(zhuǎn)化的思想
空間問題 > 平面問題
1. 直線與平面垂直的定義
定義的運用：線面垂直 > 線線垂直
l⊥α,acα=l⊥a
2.直線與平面所成角的概念及范圍
3. 直線與平面垂直的判定
y 課堂小結(jié)
范 圍 ：
人教A 版2019必修第二冊
感謝聆聽
主 講 ：

展開更多......

收起↑