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第18章《平行四邊形》復習題--四邊形中的五大折疊問題
【題型1 平行四邊形中的折疊問題】
1．如圖，中，點在邊上，以為折痕，將向上翻折，點正好落在上的點處，若的周長為，的周長為，則的長為（ ）
A． B． C． D．
2．已知中，，，將沿翻折，點的對應點為，交于，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，將沿對角線翻折，點B落在點E處，交于點F，若，，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在中，E是邊上一點，將沿翻折得到，延長交的延長線于點F，連接CE．若，，則 度．
5．如圖，將的兩邊與分別沿翻折，點A，C恰好與點B重合，則的大小為 ．

6．如圖，中，把沿翻折得到，相交于點．
(1)求證：；
(2)連接交于點，連接，在不添加輔助線的條件下請直接寫出圖中所有等腰三角形．
7．在中，點E是邊上一點，延長交的延長線于點F，將沿翻折得到，延長交于點M．
(1)如圖1，若E為的中點．
①求證：；
②連接，求證：．
(2)如圖2，連接交于點H，若G是的中點，．請判斷與的數量關系，并說明理由．
8．在ABCD中，點E為AB邊的中點，連接CE，將△BCE沿著CE翻折，點B落在點G處，連接AG并延長，交CD于F．
(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；
(2)若CF＝5，△GCE的周長為20，求四邊形ABCF的周長．
9．如圖1，已知點A、B、C、D在一條直線上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．
（1）求證：△ACE≌△DBF；
（2）如果把△DBF沿AD折翻折使點F落在點G，如圖2,連接BE和CG． 求證：四邊形BGCE是平行四邊形．
10．已知：在四邊形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°，點P在BC邊上，連接AP和PD，點E在DC邊上，連接BE與DP和AP分別交于點F和點G，若AB=PC，BP=DC，∠DFE=45°.
（1）如圖1，求證：四邊形ABED為平行四邊形；
（2）如圖2，把△PFG沿FG翻折，得到△QFG（點P與點Q為對應點），點Q在AD上，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有的平行四邊形（不包括平行四邊形ABED，但包括特殊的平行四邊形）．
【題型2 菱形中的折疊問題】
1．如圖，菱形紙片中，，將紙片沿著直線折疊，使點A與點B重合，若，那么菱形的面積為（ ）
A． B． C． D．8
2．如圖，在一張菱形紙片中，，點E在邊上(不與B、C重合)，將沿直線折疊得到，連接．以下選項中正確的是（ ）
A． B．
C．當平分時， D．以上都不對
3．圖1是一張菱形紙片，點是邊上的點．將該菱形紙片沿折疊得到圖2，的對應邊恰好落在直線上．已知，則四邊形的周長為（ ）
A．24 B．21 C．15 D．12
4．如圖，在菱形中，為邊上的一點，將菱形沿折疊后，點恰好落在邊上的處．若垂直對角線，則 度．
5．如圖，在邊長為2的菱形中，，將菱形折疊，使點B落在的延長線上的點處，折痕為，交于點F，則的長為 ．
6．如圖所示菱形為邊上一點，將沿邊折疊，恰好邊與所在直線重合，A點落到延長線上F點，過點F作的垂線，垂足為G，若，則 ．
7．綜合與探究
【問題情境】圓圓與方方運用折疊紙片研究平行四邊形．
【操作判斷】如圖1，將沿著對角線折疊，若此時點A與點C恰好重合，證明：．
【類比探究】如圖2，在的一邊上取一點E，沿著折疊，點A的對稱點恰好落在對角線上，若點與點C，E共線，，求的長．
【問題解決】如圖3，在的一邊上取一點E，沿著折疊，點A的對稱點恰好落在的中點處，若，求的長．
8．在矩形紙片中，，，現將矩形紙片折疊，使點與點重合，折痕交于點
(1)尺規作圖，畫出折痕；
(2)判斷四邊形是什么特殊四邊形？并證明；
(3)求折痕的長度？
9．如圖①，在中，，，是斜邊上的中線，點E為射線上一點，將沿折疊，點A的對應點為點F．

(1)若，直接寫出的長（用含a的代數式表示）；
(2)若點E與點C重合，連接，如圖②，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
(3)若，直接寫出的度數．
10．【感知】如圖①，將平行四邊形紙片沿過點的直線折疊，使點的對應點落在邊上的點處，得到折痕，點在邊上，將紙片還原，連結，若，則四邊形的周長為______．
【探究】如圖②，點、分別是平行四邊形紙片的邊、上的點，將四邊形沿折疊，點、的對應點分別為、，點恰好落在邊上的點處，將紙片還原，連結、．
（1）求證：四邊形為菱形；
（2）若，，，，則的面積為______．
【題型3 矩形中的折疊問題】
1．如圖，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕，同時得到線段．若與交點為，，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．如圖，在矩形中，，，點E為射線上一動點，沿折疊，得到，若，則的長為（ ）．
A． B． C． D．
3．矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長是（ ）
A． B． C． D．3
4．如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，使A點與C點重合，則折痕的長度為 ．

5．如圖是一張矩形紙片，點為中點，點在上，把該紙片沿折疊，點，的對應點分別為，，與相交于點，的延長線過點．若，則的值為 ．
6．在以 “矩形的折疊” 為主題的數學活動課上， 某位同學進行了如下操作：

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形 ．然后將紙片展平∶
第二步：連結 ，將 沿 折疊，得到 ，延長 交邊 于點 ，如圖②．根據以上操作，若 求 的長．
7．如圖，將矩形紙片沿折疊，使得點與重合．

(1)連接，試問四邊形是否是特殊的四邊形？請說明理由．
(2)若，，求四邊形的周長與面積．
8．如圖1，在矩形中，，，點，分別在，上，將矩形沿直線折疊．使點落在邊上的處，點落在處，連接，若
(1)求的長；
(2)證明；
(3)如圖2，為中點，連接．求的長．
9．綜合與實踐
折紙是同學們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著豐富的數學知識．
矩形中，，，點在邊上，且不與點重合，直線與的延長線交于點．
(1)如圖①，當點是的中點時，猜想與的關系為__________，證明你的結論；
(2)如圖②，將沿直線折疊得到，點落在矩形的內部，延長交直線于點．
①猜想與的數量關系為__________，在（1）條件下可求__________；
②連接，周長的最小值為__________．
10．如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：
第一：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平．
第二：再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕和線段．
(1)請問圖中，和有什么關系？證明你的結論．
(2)在第（1）題圖中，延長交于點，延長交于點，連接，判斷四邊形的形狀并證明．
(3)在第（2）題圖中，過點作于點，得出一個以為寬的黃金矩形（黃金矩形就是符合黃金比例的矩形，即寬與長的比值為）．若已知，求的長．
【題型4 正方形中的折疊問題】
1．如圖，將正方形紙片對折，得到折痕，把紙片展平，再沿折疊使點A落在折痕上的處，則等于（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，正方形的邊長為4，點M，N分別在上，將正方形沿折疊，使點D落在邊上的點E處，折痕與相交于點Q，點G為中點，連接，隨著折痕位置的變化，的最小值為（ ）
A．3 B． C．4 D．
3．如圖，在正方形中，是邊上一點，，，將正方形邊沿折疊到，延長交于，連接，現在有如下四個結論：①；②；③；④．其中結論正確的選項是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
4．如圖，正方形紙片的邊長為12，是邊上一點，連接，折疊該紙片，使點落在上的點，并使折痕經過點，得到折痕，點在上．若，則的長為 ．
5．如圖1，一張矩形紙片，將紙片沿過點的直線折疊，使點落到邊上點處，折痕為，再將紙片沿過點的直線折疊，使點與點重合，折痕為，如圖2，已知的面積與的面積之和為，，則的長為 ．
6．如圖，正方形的邊長為，點E是邊的中點，點F是邊上不與點A、D重合的一個動點，將沿直線折疊，使點A落在點處．當為等腰三角形時，的長為 ．
7．如圖，在正方形紙片中，是邊上一點，連接，折疊該紙片，使點落在上的點，并使折痕經過點，得到折痕，點在上．
(1)試判斷與的數量關系并證明你的結論；
(2)若，，則的長為________．
8．操作與探究：
數學活動課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展操作與探究活動．
操作一：對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；
操作二：在上選一點，沿折疊，使點落在正方形內部點處，連接．
(1)操作發現：
根據以上操作，當點落在折痕上時，如圖1所示，此時______；
(2)遷移探究：
當點落在對角線上時，如圖2所示，連接，與分別交于點，試判斷線段與的數量關系，并說明理由；
(3)拓展應用：
如圖3，連接，若正方形的邊長為4，且，連接，則______．
9．如圖，點分別是正方形的邊上的點，將正方形沿折疊，使得點的對應點恰好落在邊上，交于點，作于點，交于點，連接．
(1)求證：．
(2)問四邊形是什么特殊四邊形？請說明理由．
(3)①若三點在一條直線上，求證：．
②若為的中點，求的值．
10．【問題情境】如圖，在矩形中，，．點F是射線上的一點，將矩形沿直線折疊，點B的對應點為點E．
【猜想證明】（1）當點E落在邊上時，四邊形的形狀為 ．
（2）當平分時，連接，求．
【能力提升】（3）在【問題情境】的條件下，是否存在點F，使點F，E，D三點共線．若存在，請直接寫出 的長；若不存在，請說明理由．
【題型5 坐標系中的折疊問題】
1．如圖，菱形的頂點O為坐標原點，頂點A在x軸正半軸上，頂點B、C在第一象限，，，點D在邊上，將四邊形沿直線翻折，使點B和點C分別落在這個坐標平面內的和處，且，某正比例函數圖象經過，則這個正比例函數的解析式為（　　）
A． B． C． D．
2．如圖在平面直角坐標系中，矩形的邊在軸上，在軸上，頂點的坐標是，將矩形沿對角線進行翻折，點落在點的位置，交軸于點，則點的坐標是（　　）
A． B． C． D．
3．將矩形紙片放置在如圖所示的平面直角坐標系中，P為邊上一動點（不與點B，C重合），連接，將折疊，得到．經過點P再次折疊紙片，使點B的對應點落在直線上，折痕交于點E．已知點，當四邊形是正方形時，點E的坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊在x軸上，點A的坐標為，點E在邊上．將沿折疊，點C落在點F處．若點F的坐標為，則點E的坐標為 ．
5．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊分別在x軸、y軸正半軸上，點D在邊上，將矩形沿折疊，點C恰好落在邊上的點E處．若，則 ，點D的坐標是 ．
6．如圖，在菱形中，點C在x軸上，，，M為邊的中點，N為邊上一動點（不與點O重合），將沿直線折疊，使點O落在點E處，連接，，當為等腰三角形時，直線的解析式是 ．

7．如圖，四邊形為矩形，其中O為原點，A、C兩點分別在x軸和y軸上，B點的坐標是． 點D，E分別在，邊上，且，將矩形沿直線折疊，使點落在邊上點F處
(1)F點的坐標是________，D點的坐標是________．
(2)若點P在第二象限，且四邊形是矩形，則P點的坐標是________
(3)若M是坐標系內的點，點N在y軸上，若以點M，N，D，F為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出所有滿足條件的點N的坐標．
8．長方形紙片中，，，把這張長方形紙片如圖放置在平面直角坐標系中，在邊上取一點，將沿折疊，使點恰好落在邊上的點處．
(1)點的坐標是______，點的坐標是______；
(2)在上找一點，使最小，求點坐標．
9．在如圖所示的平面直角坐標系中，正方形邊長為2，點C的坐標為．
(1)如圖1，動點D在邊上，將沿直線折疊，點B落在點處，連接并延長，交于點E．
①當時，點D的坐標是______；
②若點E是線段的中點，求此時點D與點的坐標；
(2)如圖2，動點D，G分別在邊上，將四邊形沿直線折疊，使點B的對應點始終落在邊上（點不與點O，A重合），點C落在點處，交于點E．設，四邊形的面積為S，直接寫出S與t的關系式．
10．平面直角坐標系內如圖放矩形已知點，．將矩形沿折疊，使點與點重合．折痕交于點，交于點．
(1)求點的坐標；
(2)若動點，同時從點出發，點以每秒個單位長度的速度向點運動，點以每秒個單位長度的速度沿射線方向運動，當點運動到點時停止運動，點也同時停止運動．設的面積為，點，的運動時間為秒，求與的函數關系式并直接寫出自變量的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，是射線上的一點，點為平面內一點，是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是正方形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
參考答案
【題型1 平行四邊形中的折疊問題】
1．C
【分析】本題考查翻折性質，平行四邊形性質，根據題意可得，，繼而得到本題答案．
【詳解】解：∵，
∴，
由題意得：，
∵將向上翻折，點正好落在上的點處，的周長為，的周長為，
∴，，
∴，即，
∴，即，
∴，
故選：C．
2．C
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，折疊的性質等；由平行四邊形的性質得，，從而可得，由由翻折得：，即可求解；掌握相關的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，
，，
由翻折得：
，
，
；
故選：C
3．B
【分析】證明，得出，則，設，則，，，平行得到，求出的值，推出，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，
∵沿翻折得到，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
設，則，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的周長，
故選：B．
4．30
【分析】根據平行四邊形的性質得出，由折疊可知，，進而推出，，則，以為邊構造等邊三角形，連接， 通過證明，得出，進而得出，最后根據，即可解答．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
由折疊可知，，
∴，
∴，
∴，
以為邊構造等邊三角形，連接，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：30．
5．
【分析】本題考查的是翻轉變換的性質、平行四邊形的性質及等邊三角形的判定與性質，翻轉變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．先證明和是等邊三角形，可得，再由折疊性質求解即可．
【詳解】解：由翻轉變換的性質可知，，，
四邊形是平行四邊形，
和是等邊三角形，
，
，
故答案為：
6．（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：，
是等腰三角形，
∵四邊形是平行四邊形，
，
，
∵把沿翻折得到，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形．
7．（1）解：①∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，，
∵E為的中點，
∴，
∴；
②如圖，連接，
由折疊的性質得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
由①可得，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
過點作交于點K，
由（1）②得，，，
由折疊的性質得，，
∴，
∵，
∴，
由折疊的性質得，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∵點E是AB邊的中點，
∴AE＝BE，
∵將△BCE沿著CE翻折，點B落在點G處，
∴BE＝GE，∠CEB＝∠CEG，
∴AE＝GE，
∴∠FAE＝∠AGE，
∵∠CEB＝∠CEG＝ ∠BEG，∠BEG＝∠FAE＋∠AGE，
∴∠FAE＝ ∠BEG，
∴∠FAE＝∠CEB，
∴，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
（2）解：由折疊的性質得：GE＝BE，GC＝BC，
∵△GCE的周長為20，
∴GE＋CE＋GC＝20，
∴BE＋CE＋BC＝20，
∵四邊形AECF是平行四邊形，
∴AF＝CE，AE＝CF＝5，
∴四邊形ABCF的周長＝AB＋BC＋CF＋AF＝AE＋BE＋BC＋CE＋CF＝5＋20＋5＝30．
9．（1）如圖1，
∵OB＝OC，
∴∠ACE＝∠DBF，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS）；
（2）如圖2，
∵∠ACE＝∠DBF，∠DBG＝∠DBF，
∴∠ACE＝∠DBG，
∴CE∥BG，
∵CE＝BF，BG＝BF，
∴CE＝BG，
∴四邊形BGCE是平行四邊形．
10．解：（1）∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴AB∥CD，
∵AB=PC，BP=DC，
∴△ABP≌△PCD，
∴PA=PD，
∠APD=∠PDC，
∵∠PDC+∠DPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠APD=90°，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠ADP=45°，
∵∠DFE=45°，
∴∠ADP=∠DFE，
∴AD∥BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形．
（2）∵∠PGF=∠PAD=45°，∠PFG=∠ADP=45°，
∴△PFG，△FGQ都是等腰直角三角形，
∴四邊形PFQG是正方形，
∵∠AGF=135°，∠QFG=∠PFG=45°，
∴∠AGF+∠QFG=180°，
∴AG∥QF，
∵AQ∥FG，
∴四邊形AGFQ是平行四邊形，
同法可證，四邊形QGFD是平行四邊形，
【題型2 菱形中的折疊問題】
1．A
【分析】此題考查了菱形的折疊問題、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質等知識，求出菱形的邊長是解題的關鍵．利用折疊的性質和菱形的性質求出菱形的邊長為，過點D作于點H，則，進一步求出，即可求出菱形的面積．
【詳解】解：∵菱形紙片中，，
∴，
∵將紙片沿著直線折疊，使點A與點B重合，
∴，
∴，，
設菱形的邊長為，則，
∴，
∴，
解得，
即菱形的邊長為，
過點D作于點H，則，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴菱形的面積為．
故選：A．
2．C
【分析】根據折疊的性質即可判斷A選項；由折疊的性質，菱形的性質、三角形內角和定理、等邊對等角等知識得到，即可判斷B選項；證明是等邊三角形，進一步得到，證明是等腰直角三角形，由勾股定理求出，即可判斷C選項，即可得到答案．
【詳解】解：A.∵將沿直線折疊得到，
，
只有時，才成立，
故選項不正確；
B.由折疊得：，
四邊形是菱形，
，，
∴，
，
，，
，
故選項不正確；
C．如圖，由折疊得：，，
平分，
，
、分別平分、，
∵三角形三條內角平分線交于一點，
平分，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故選項正確，
故選：C．
3．C
【分析】由的對應邊恰好落在直線上可知，再證明是等邊三角形即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，，．
∵的對應邊恰好落在直線上，
∴到、的距離相等，
∴，點是邊的中點，
∴四邊形、四邊形是平行四邊形，，
∴．
由折疊知，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴四邊形的周長為∶．
故選C．
4．72
【分析】本題考查了菱形的性質，折疊的性質，等邊對等角．利用菱形的性質設，求得，，，利用平角的性質計算即可求解．
【詳解】解：連接，
∵菱形，
∴，，，
設，
∵垂直對角線，
∴，
∴，
由折疊的性質知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
故答案為：72．
5．
【分析】由菱形，可得，，則，由折疊的性質可知， ，，，則，，，可得，由勾股定理得，，可求，則，，由勾股定理得，，計算求解即可．
【詳解】解：∵菱形，
∴，，
∴，
由折疊的性質可知， ，，，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，，
由勾股定理得，，
解得，，
故答案為：．
6．1
【分析】題目主要考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，理解題意，作出輔助線，熟練掌握運用菱形的性質是解題關鍵．
連接，交于點O，根據折疊的性質及菱形的性質得出，，再由等量代換確定，利用全等三角形的判定和性質即可求解．
【詳解】解：連接，交于點O，如圖所示：
將沿邊折疊，恰好邊與所在直線重合，A點落到延長線上F點，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
∴，
故答案為：1．
7．解： [操作判斷]∵將沿著對角線折疊，若此時點A與點C恰好重合，
∴，
又∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，
∴．
[類比探究]∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵沿著折疊點A的對稱點恰好落在對角線上，
∴，，
∴，
∴，
∵點與點C，E共線，
∴，
即，
[問題解決]延長交的延長線于點，
由（2）得，
∵沿著折疊，點A的對稱點恰好落在的中點處，
設，
∵四邊形是平行四邊形
∴，
∴，
∵恰好落在的中點處，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，解得，
∴．
8．（1）解：如圖，即為所求．
（2）解：四邊形是菱形．理由如下：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴．
設與交于點，
由題意可得，，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
由折疊可知，，
∴四邊形是菱形
（3）解：∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴．
設，則，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴．
由（2）知，四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∴．
9．（1）在中，，
是斜邊上的中線，即點D是的中點，，
；
（2）（2）四邊形是菱形；
理由如下：
如圖②，，，
，
，
∵點D是的中點，即，
，，
是等邊三角形，
，
由折疊得， ，，
，
四邊形是菱形，
，，
∴四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
（3）如圖③，點E在線段上時，
，
，
由折疊得，
，
，
；
如圖④，點E在線段的延長線上時，
，
，
由折疊得，
，
，
；
綜上所述，或．

10．【感知】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
由折疊可知，，，，
，
，
，
四邊形的周長為；
故答案為：．
【探究】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
將四邊形沿折疊，點、的對應點分別為、，點恰好落在邊上，
，，，
，
，
，
四邊形為菱形．
（2）解：過點作交于點，則，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，，
∴，
，
由折疊可知，，，
設，則，
由勾股定理得，
，
解得，
即，
，
故答案為：．
【題型3 矩形中的折疊問題】
1．B
【分析】本題考查矩形與折疊，根據折疊的性質，推出，得到，進而證明，得即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
由折疊可知：直線是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∴，
又∵對折至，折痕為，
∴，
∴，
故選：．
2．A
【分析】本題考查軸對稱的性質，矩形的性質，勾股定理，綜合應用這些知識點是解題關鍵．
設，根據矩形的性質和軸對稱的性質求出，，，的長度，根據勾股定理和線段的和差關系求出和的長度，再根據勾股定理列出方程求解即可．
【詳解】解：∵
∴點F在上，如圖所示，
四邊形是矩形，，，
，，，
設，則，
將沿折疊，點C恰好落在邊上的點F處，
，，
∴，
∴，
∵，
∴．
解得．
故選：A．
3．A
【分析】連接，交于點，根據翻折的性質知，，，垂直平分，說明，利用等積法求出的長，再利用勾股定理可得答案．
【詳解】解：連接，交于點，
在矩形中，，，
∴，
∵將沿折疊得到，
∴，，，
∴垂直平分，
∴，，
∵點為的中點，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故選：A．
4．
【分析】連接，由勾股定理求出，由折疊的性質可得，由垂直平分線的性質可得，設，則，由勾股定理可得，求出的值即可得到的長，再由勾股定理求出的長，再證明即可得到答案．
【詳解】解：連接，記的交點為，
四邊形是矩形，，，
，，，
，
由折疊的性質得：，
垂直平分，
，
設，則，
，
，
解得：，
，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
故答案為：．
5．
【分析】設，連接，，則，由四邊形是矩形，點為中點，得，，， ，所以，由折疊得，，，，所以，，，則，再證明，得，，可證明，則，所以，，則，由勾股定理得，則得到問題的答案．
【詳解】解：設，連接，
∵，
∴，
∵四邊形是矩形，點為中點，
∴，，，，
∴，
由折疊得，，，，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故答案為：．
6．解：由題意可知：四邊形是正方形，四邊形和四邊形都是矩形，
，，，
是由折疊得到的，
，
在中，，即，
在中，，即，
聯立解得：，
7．（1）解：四邊形是菱形，理由如下：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
由折疊的性質可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵四邊形是矩形，
∴，，
由折疊的性質可得：，
設，則，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴四邊形的周長，
四邊形的面積．
8．（1）解：四邊形為矩形，
，
由折疊可知，，
設，則，
在中，
，即，
解得：，
則；
（2）證明：由折疊可知，
在矩形中，，
，
；
（3）如圖，過點B作于點H，
由矩形折疊可知，，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
在與中，
，
，
，
，
，
．
9．（1）證明：四邊形是矩形，
，
，，
點是的中點，
，
；
（2）解：①四邊形是矩形，
，
，
由折疊得，
，
，
矩形中，，，
，
點是的中點，
，
由折疊得，，，
設，則，
，
在中，，
，解得，即；
②由折疊得，，
的周長，
連接，，
，
當點恰好位于對角線上時，最小，
在中，，，
，
的最小值，
周長的最小值；
10．（1）解：如圖，連接，
由折疊可得：，，垂直平分，
，
，
為等邊三角形，
，
．
四邊形為矩形，
，
，
．
（2）解：由折疊知，
，
，
又，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形．
（3）解：如圖：
是矩形紙片，，
，
黃金矩形以為寬，，
，
，
，
，
由勾股定理得，
．
【題型4 正方形中的折疊問題】
1．D
【分析】本題考查了折疊的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握它們的性質是解題的關鍵；
根據正方形的性質和折疊的性質得，，，再根據直角三角形的性質定理得，，即可求出答案．
【詳解】四邊形是正方形，
，
將正方形紙片對折，得到折痕，
，，
沿折疊使點A落在折痕上的處，
，，
，
連接，
在和中
，
，
，
是等邊三角形，
，
故選：D．
2．D
【分析】本題考查了折疊的性質、正方形的性質、勾股定理、軸對稱的性質以及直角三角形斜邊中線的性質，解題的關鍵是取中點，利用軸對稱的性質得出．
取中點P，連接、、，可得，根據直角三角形斜邊中線的性質可得，進而求出，然后利用勾股定理求出即可得出答案．
【詳解】如圖，取中點P，連接、，

∵正方形的邊長為4，
∴，
∴
由折疊的性質可知，，Q為中點，
∵為直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值為，
故選：D．
3．A
【分析】根據折疊的性質，利用證明，得出，，即可判斷①．根據全等三角形的性質得出，利用勾股定理得出，可得不是等邊三角形，可得判斷②．證明垂直平分，利用三角形內角和及等邊對等角得出即可判斷③．根據得出，求出即可判斷④．綜上即可得答案．
【詳解】解：連接，
∵將正方形邊沿折疊到，
∴，，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，即，故①正確，
∵，，
∴，
設，則，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，，
∴不是等邊三角形，
∴，故②錯誤，
∵，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴垂直平分，
∴，故③正確，
∵，，
∴，故④正確，
綜上所述，正確的選項是①③④，
故選：A．
4．
【分析】本題考查了正方形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，令與交于點，由折疊的性質可得：，垂直平分，證明，得出，由勾股定理得出，再由三角形面積公式得出，即可得解．
【詳解】解：如圖，令與交于點，
，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴
由折疊的性質可得：，垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
5．3.2
【分析】本題考查矩形的折疊問題，正方形的判定，利用完全平方公式變形求值，根據題意可知四邊形是正方形，四邊形是正方形，四邊形是矩形，設，，結合題意可得，，根據，得，再結合，求得（負值舍去），即可求解．利用完全平方公式變形等式是解決問題的關鍵．
【詳解】解：在矩形中，，，，
由折疊可知，，，，，
∴四邊形是正方形，四邊形是正方形，四邊形是矩形，
∴設，，
∴，，則，
∴，則，
則，
∴（負值舍去），
則，
故答案為：3.2．
6．或
【分析】本題考查翻折變換、正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解答本題的關鍵是學會用分類討論的首先思考問題．首先證明，只要分兩種情形討論即可：當時，連接．構建方程即可；當點F在中點時，滿足條件．
【詳解】解：如圖，連接，
∵正方形的邊長為，點E是邊的中點，
∴，
由折疊的性質得：，
∵，
∴，
∴，
當時，連接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴點三點共線，
設，則，，
在中，，
∴，
解得：，
即；
如圖，當點F為的中點時，
由折疊的性質得：．
∴四邊形是菱形，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴，
即垂直平分，
∵四邊形是正方形，
∴垂直平分，
∴，此時為等腰三角形，滿足條件，
此時；
綜上所述，的長為或．
故答案為：或
7．（1）解：，證明如下：
根據折疊性質得：、關于對稱，
即，且平分，
，
，
正方形中，，，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：平分，
，
中，，
，
，，，
，
，
．
故答案為：．
8．（1）解：根據折疊可知：，，，，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
取的中點，連接，如圖所示：
∴，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
連接，如圖所示：
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
根據折疊可知：，，，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形的邊長為4，
∴根據折疊可知：，
即與間的距離為2，
設點N到的距離為h，
∵，
∴，
∴，
∴點N在上，如圖所示：
根據折疊可知：，，，，，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴根據勾股定理得：，
∴，
設，則，
根據勾股定理得：，
即，
解得：，
∴
．
9．（1）證明：∵四邊形為正方形
∴，
由折疊可知，，
∵，
∴；
（2）解：四邊形為菱形．理由如下：
由折疊知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為菱形．
（3）解：①連接
∵四邊形為菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵三點在同一直線上，，
∴，
∴，
②設，，則，，，，，
在中，，
即，
解得，
∴．
．
10．解：（1）如圖：
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴此時，
∵翻折，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，
∵，
∴四邊形是正方形，
故答案為：正方形；
（2）過點E作于點G，則
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
設
∵翻折，
∴，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即，
∴；
（3）①點F在線段上，當F、E、D三點共線時，如圖：
∵翻折
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴中，由勾股定理得，
∴，
②點F在線段延長線上，當F、E、D三點共線時，如圖：
同理可求：，
∴，
綜上：或．
【題型5 坐標系中的折疊問題】
1．B
【分析】本題考查了折疊性質，菱形性質，等邊三角形的性質和判定的應用，勾股定理，含的直角三角形，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．
連接，求出是等邊三角形，推出，根據且點D在邊上，推出A和D重合，連接交x軸于E，根據勾股定理求出的坐標，即可求得正比例函數的解析式．
【詳解】解： 連接，如圖，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵將四邊形沿直線翻折，使點B和點C分別落在這個坐標平面內的和處，
∴
又∵點D在邊上，
即點D與點A重合，
連接交x軸于E，
則，
∵
∴，
在中，，，
∴，
由勾股定理得，
則，
即的坐標是，
設正比例函數的解析式為，
∵正比例函數圖象經過，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
2．C
【分析】本題考查了坐標系中的點，折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
證明出，設，則，對運用勾股定理建立方程求解即可．
【詳解】解：如圖，
由翻折得，，
∵四邊形是矩形，頂點的坐標是，
∴，，
∴，
∴，
∴，
設，則，
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
故選：C．
3．C
【分析】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，正方形的性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握以上性質；根據正方形的性質和等腰三角形的性質可得，再由正方形的性質求解即可；
【詳解】由題意可得，當四邊形是正方形時，，
∴，
由折疊的性質，可得，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴點E的坐標為，
故選C；
4．
【分析】設正方形的邊長為a，與y軸相交于G，先判斷四邊形是矩形，得出，，，根據折疊的性質得出，，在中，利用勾股定理構建關于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理構建關于的方程，求出的值，即可求解．
【詳解】解∶設正方形的邊長為a，與y軸相交于G，
則四邊形是矩形，
∴，，，
∵折疊，
∴，，
∵點A的坐標為，點F的坐標為，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴點E的坐標為，
故答案為：．
5． 6
【分析】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質，坐標與圖形的性質，勾股定理等知識，利用勾股定理列方程是解題的關鍵．根據矩形的性質可知，，再利用折疊的性質得，，由勾股定理求得，設，則，在中，利用勾股定理列方程可得答案．
【詳解】解：，，
，，
四邊形是矩形，
，，
將該長方形沿折疊，點恰好落在邊上的處．
，，
由勾股定理得，，
，
設，則，
在 中，
，
解得，
，
故答案為：6，．
6．或
【分析】分、和，分類討論即可．
【詳解】①當時，連接，作于H，于H，

∵四邊形是菱形，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴， ，
∴，
∵M為邊的中點，
∴，，
∵折疊，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴D、E、N三點共線，
設，則，，
在中，由勾股定理得，
解得，即，
∴，
設直線解析式為，
則，解得，
∴；
②當時，，此時E和A重合，N和C重合，是等腰三角形，，
∴，
把M，N坐標代入，得
，解得，
∴；
③當時， 此時E在的垂直平分線上
∵，，
∴是等邊三角形，
∴的垂直平分線過點A，
∴
又，
∴
又，
∴E和A重合，
∴此種情況和②一樣．
綜上，直線解析式為或．
故答案為：或．
7．（1）解：（1）如圖1，矩形的邊、分別在軸、軸上，且，
，，
，且，
，，
由折疊得，，
，
根據勾股定理得，
，
．
過點D作于G ，
∵矩形，
∴
∵
∴
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
由折疊得，，
由勾股定理，得
即
∴
∴．
（2）解：連接交于點，如圖，
四邊形是矩形，
點分別為、的中點，
由（1）得，，，，
，
設，則，，
，，
．
（3）解：由（1）得，，由（2）得，，由折疊得，，
①當四邊形是菱形，如圖，
點與點重合，則，
∴
∴；
②當四邊形是菱形，與點重合，如圖，
∴；
③當四邊形是菱形，如圖，
設，
作于點，則，，，
，
由，得，
解得，，
，
∴，
④當四邊形是菱形，如圖，
連結，交y軸于，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴
，
綜上所述，的坐標為或或或．
8．（1）解：由折疊可得，，，
∵四邊形是長方形紙，
∴，，，
∴，
∴，
∴點的坐標是，
設，則，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴點的坐標是，
故答案為：，；
（2）解：作點關于的對稱點，連接，交于點，則 ，
∴，由兩點之間線段最短，可得此時最小，
∵點和點關于對稱，
∴點，
設直線的解析式為，把、代入得，
，
解得，
∴直線的解析式為，
把代入得，，
解得，
∴點坐標為．
9．（1）解：①正方形邊長為2，點C的坐標為，
，
由折疊的性質可得，
又 ，
，
，
點D的坐標是，
故答案為：；
如圖，連接，
點E是線段的中點，
，
由折疊的性質可得，，
又 ，
，
在和中，，
，
，
設點D的坐標為，則，
，
，
在中，，
，
解得，
點D的坐標為，
設直線的解析式為，
將和代入，得，
解得，
直線的解析式為，
設點的坐標為，
，，
，
解得或（舍去），
點的坐標為；
（2）解：如圖，連接，，，
設，則．
設，則，
在中，，
，
解得，
；
設，則，
在中，，
在中，，
由折疊可知垂直平分，
，
，即，
解得，
；
，
即．
10．（1）解：由折疊可得，
∵點，點，四邊形為矩形，
∴，，，，
設，則，
∴在中，由勾股定理可得，
即，解得，
∴，
∴點的坐標為；
（2）①如下圖，當點在點右側時，

根據題意，， ，
∴，
∴；
②如下圖，當點在點左側時，

根據題意，， ，
∴，
∴．
綜上所述，；
（3）解：若以，，，為頂點的四邊形是正方形時，則點三點圍成的三角形為等腰直角三角形，
可分情況討論：
①如下圖，

∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴即；
②如下圖，過點作于點，則四邊形、均為矩形，

∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴ ，
∴，
∴即，，
∴即，
∵四邊形是正方形，
∴即；
③如下圖，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴， ，
∴
∵四邊形是正方形，
∴即．
綜上所述，存在或或時，，，，為頂點的四邊形是正方形．

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