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第18章《平行四邊形》復習題--四邊形中的動點問題
【題型1 與平行四邊形有關的動點問題】
1.如圖，在中，，，P為邊上的一動點，以、為鄰邊作，則對角線長度的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．
2.如圖，等腰中，，點是底邊上的一動點（不與點重合），過點分別作的平行線，交于點，則下列數量關系一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3.如圖，點D是的邊的延長線上一點，點F是邊上的一個動點（不與點B重合），以為鄰邊作平行四邊形，又（點P、E在直線的同側），如果，那么的面積與面積之比為（　　）
A． B． C． D．
4.如圖，在中，，動點從點出發，以1個單位長度的速度沿線段向終點運動，同時動點從點出發以3個單位長度的速度在間往返運動，當點到達點時，動點同時停止運動，連結．設運動時間為秒．當平分的面積時，則 ．
5.如圖，在 中，，，點、分別是、上的動點，，連結，作關于的對稱線段，當與 的某邊平行時， ．
6.如圖, 四邊形是平行四邊形，，，點在上， ，動點從點出發，沿折線的方向以的速度運動，動點從點出發，沿折線的方向以的速度運動，若動點同時出發，相遇時停止運動，在第 時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形．

7.如圖1，在中，，．動點P沿邊以每秒個單位長度的速度從點A向點D運動．設點P運動的時間為t（）秒．
(1)當平分時，求t的值．
(2)如圖2，另一動點Q以每秒2個單位長度的速度從點C出發，在上往返運動．P、Q兩點同時出發．
①當點P到達點D停止運動，點Q也隨之停止運動．若以P、D、Q、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出t的值．
②若點P在上往返運動，當以P、D、Q、B為頂點的四邊形第次成為平行四邊形時，直接寫出此時t的值為______．
8.如圖，在平行四邊形中，，，．動點P從點A出發沿以速度向終點D運動，同時點Q從點C出發，以速度沿射線運動，當點P到達終點時，點Q也隨之停止運動，設點P的運動時間為t秒．

(1)當點Q在線段延長線上時，用含t的代數式表示線段的長；
(2)連結，是否存在t的值，使得與互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
(3)若點P關于直線對稱的點恰好落在直線上，請求出t的值．
9.如圖，在中，，，．動點從點出發沿以速度向終點運動，同時點從點出發，以速度沿射線運動，當點到達終點時，點也隨之停止運動，設點的運動時間為秒．
(1)的長為______．
(2)當時，用含的代數式表示線段的長______．
(3)連接．是否存在的值，使得與互相平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
(4)若點關于直線對稱的點恰好落在直線上，請直接寫出的值．
10.如圖，在平行四邊形中，對角線，相交于點O，M，N分別為射線，上的兩個動點（點M，N始終在平行四邊形的外面），連接，，，．
(1)若，，求證：四邊形為平行四邊形；
(2)若，，
①四邊形為平行四邊形嗎？請說明理由；
②當時，，直接寫出四邊形的面積．
【題型2 與矩形有關的動點問題】
11.如圖，在矩形中，動點，分別從點，同時出發，沿，向終點，移動．要使四邊形為平行四邊形，甲、乙分別給出了一個條件，下列判斷正確的是（ ）
甲：點，的運動速度相同；
乙：
A．甲、乙都可行 B．甲、乙都不可行
C．甲可行，乙不可行 D．甲不可行，乙可行
12.如圖，在矩形中，，點E在線段上，且，動點P在線段上，從點A出發以的速度向點B運動，同時點Q在線段上．以的速度由點B向點C運動，當與全等時，v的值為（ ）
A．2 B．4 C．4或 D．2或
13.如圖，點E是矩形邊上一點，連接，將沿翻折，點落在點處，的角平分線與的延長線交于點，若，，當點從點運動到點時，則點運動的路徑長是（ ）

A． B． C． D．
14.如圖，在四邊形中，相交于點O，且，點E從點B開始，沿四邊形的邊運動至點D停止，與相交于點N，點F是線段的中點．連接，下列選項不正確的是（　　）

A．四邊形是矩形
B．當點E是的中點時，
C．當時，線段長度的最大值為4
D．當點E在邊上，且時，是等邊三角形
15.如圖，在矩形中，，．點P從點A出發沿以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，點Q從點C出發沿以每秒2個單位長度的速度向終點A運動．連接，當時間是1秒時，的長度是（ ）

A． B．6 C． D．4
16.如圖，在矩形中，，，點E是邊延長線上一點，，點M從點E出發，先以每秒2個單位長的速度向點B運動，點到達點B后，再以每秒6個單位長的速度沿射線方向運動，同時點N從點D出發，沿射線方向以每秒4個單位長的速度運動，設運動時間為t（s），若以E，M，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形，則t的值為（ ）
A．1或3 B．3或13 C．1或13 D．1或3或13
17.如圖．在四邊形中， ，，，．．點從點出發，以的速度向點運動，點從點同時出發，以的速度在線段上來回運動，當點當到達點時，、兩點停止運動．在此運動過程中，出現 和的次數分別是（ ）
A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7
18.如圖，在四邊形中，，，，，點P從點D出發，以每秒1個單位長度的速度向點A運動，點Q從點B同時出發，以每秒2個單位長度的速度向點C運動．規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設點P運動時間為t秒．
(1)當點P運動停止時，______，線段的長為______；
(2)①用含t的式子填空：______，______，______；
② t為何值時，四邊形為矩形，求出t的值；
(3)在運動的過程中，是否存在某一時刻t，使以P，D，C，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出t的值，若不存在，請說明理由．
19.如圖，在矩形中，，，延長到點，使．連接．動點從點出發，以每秒2個單位的速度沿折線向終點運動，設點運動的時間為秒．
(1)求的長；
(2)連接，當四邊形是平行四邊形時，求的值；
(3)連接、，設四邊形的面積為，求與之間的函數關系式．
20.如圖，在四邊形中，，，，．
(1)求的長；
(2)點從點開始沿著邊向點以的速度移動，點從點開始沿著邊向點以的速度移動，如果，分別從，同時出發，當點運動到點時，點也隨之停止運動．若設運動的時間為秒，當與四邊形的其中一邊平行時，求此時的值．
(3)如圖，點，分別在邊，上，將沿折疊，點恰好落在邊上的點處．若，則長度為 ．
【題型3 與菱形形有關的動點問題】
21.在菱形中，，動點在直線上運動，作，且直線與直線相交于點點到直線的距離為．
(1)證明：；
(2)若在線段上運動，求證：；
(3)若P在線段上運動，探求線段的一個數量關系，并證明你的結論．
22.如圖，在菱形中，對角線與相交于點，，，點E從點A 出發，沿以每秒4個單位長度的速度向終點B運動，當點E與點A不重合時，過點E作于點F，作交于點G，過點G作射線垂線段，垂足為點H，得到矩形，設點E的運動時間為t秒．
(1)當點H與點D重合時，　　；
(2)設矩形與菱形重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
(3)設矩形的對角線與相交于點，
①當時，t的值為　　；
②當時，求出t的值．
23.如圖，在四邊形中，，，，，，動點從點出發，以的速度向終點運動，同時動點從點出發，以的速度沿折線向終點運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時間為秒.

(1)當為何值時，直線把四邊形分成兩個部分，且其中的一部分是平行四邊形？
(2)只改變點的運動速度，使運動過程中某一時刻四邊形為菱形，則點的運動速度應為多少？
24.如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，對角線AC、BD交于點O，P從B點出發，沿B→D→C方向勻速運動，P點運動速度為1 cm/s．圖2是點P運動時，△APC的面積y（cm2）隨P點運動時間x（s）變化的函數圖像．
(1)AB = cm，a = ；
(2)P點在BD上運動時，x為何值時，四邊形ADCP的面積為；
(3)在P點運動過程中，是否存在某一時刻使得△APB為直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．
25.已知點P，Q分別在菱形的邊上運動（點P不與B，C重合），且．
(1)如圖①，若，求證：；
(2)如圖②，若與不垂直，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
26.已知菱形中，，點P為菱形內部或邊上一點．
(1)如圖1，若點P在對角線上運動，以為邊向右側作等邊，點E在菱形內部或邊上，連接，求證：．
(2)如圖2，若點P在對角線上運動，以為邊向右側作等邊，點E在菱形的外部，若，，求；
(3)如圖3，若，點E，F分別在，上，且，連接，，，求證：．
27.如圖，四邊形為平行四邊形，延長到點E，使，且．
(1)求證：四邊形為菱形；
(2)若是邊長為1的等邊三角形，點P、M、N分別在線段、、上運動，求的最小值．
28.如圖，在菱形中，，E，F分別是邊、上的點，且．
(1)若點E是的中點，則與之間的數量關系為______；
(2)若點E不是的中點，判斷與之間的數量關系并說明理由；
(3)若，直接寫出周長的最小值；
(4)當點在邊上運動時，小亮發現，四邊形的面積保持不變，請你幫助小亮驗證他的發現．
29.如圖1，已知，點從點出發，沿的方向以的速度勻速運動到點． 圖2是點運動時的面積隨時間變化的關系圖象．
(1)__________；
(2)求的值．
30.如圖，在菱形中，．點P，Q分別以每秒2個單位長度的速度同時從點A出發，點P沿折線方向勻速運動，點Q沿折線方向勻速運動，當兩者相遇時停止運動．設運動時間為x秒，點P，Q的距離為y．
(1)請直接寫出y關于x的函數表達式，并注明自變量x的取值范圍；
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質；
(3)結合函數圖象，直接寫出當時x的取值范圍．
【題型4 與正方形有關的動點問題】
31.在正方形中，E是邊上一點（點E不與點B，C重合），，垂足為點E，與正方形的外角的平分線交于點F．
(1)如圖1，若點E是的中點，猜想與的數量關系是_________；證明此猜想時，可取的中點P，連接，根據此圖形易證，則判斷的依據是_______．
(2)點E在邊上運動，如圖2，（1）中的猜想是否仍然成立？請說明理由．
32.如圖，在正方形ABCD中，點M在CD邊上，點N在正方形ABCD外部，且滿足，，連接AN，CN，取AN的中點E，連接BE，AC，交于F點．
(1)依題意補全圖形；
(2)求的度數；
(3)設，若點M沿著線段CD從點C運動到點D，則在該運動過程中，線段EN所掃過的面積為多少？
33.正方形的邊長為，點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿向點運動．交于點，于點，的平分線分別交，于點，，連接，．設點的運動時間為．
（1）在點的運動過程中，與有什么數量關系？請證明你的結論；
（2）當把正方形的面積分成兩部分時，請直接寫出的值．
34.綜合與實踐
問題情境
在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“大小不等的兩個正方形”為主題開展數學活動，如圖1，現有一個邊長為的正方形，點從對角線的點出發向點運動，連接并延長至點，使，以為邊在右側作正方形，邊與射線交于點.
操作發現
（1）點在運動過程中，判斷線段與線段之間的數量關系，并說明理由；
實踐探究
（2）在點的運動過程中，某時刻正方形與正方形重疊的四邊形的面積是，求此時的長；
探究拓廣
（3）請借助備用圖2，探究當點不與點，重合時，線段，與之間存在的數量關系，請直接寫出.
35.如圖，正方形ABCD中，對角線AC＝8cm．射線AF⊥AC，垂足為A．動點P從點C出發在CA上運動，動點Q從點A出發在射線AF上運動，兩點的運動速度都是2cm/s．若兩點同時出發，多少時間后，四邊形AQBP是特殊四邊形？請說明特殊四邊形的名稱及理由．
36.【問題情境】數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖，在正方形中，是邊上一動點（點與點，不重合），連接，作，與正方形的外角的平分線交于點．
【思考嘗試】（1）如圖1，當是邊的中點時，觀察并猜想與的數量關系：________；
【實踐探究】（2）小王同學受問題（1）的啟發，提出了新的問題：如圖2，在正方形中，若是邊上一動點（點與點，不重合），那么問題（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由；
【拓展遷移】（3）小李同學深入研究了小王同學提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3，在正方形中，當在邊上運動時（點與點，不重合），連接，．若知道正方形的邊長，則可以求出周長的最小值．當時，請你直接寫出周長的最小值：________．（說明：備用圖中CJ是外角∠DCG的平分線）
37.如圖1，在中，，．動點從點出發，以每秒1個單位的速度沿線段向終點運動，過點作交于點．以為一邊向右作正方形．設點的運動時間為秒．正方形與重疊部分圖形的面積為．
(1)當時，________；
(2)當點落在上時，________；
(3)當時，在圖2中畫出圖形，并求出的值；
(4)連接，當是等腰三角形時，直接寫出的值．
38.已知四邊形是邊長為的正方形，，是正方形邊上的兩個動點，點從點出發，以的速度沿方向運動，點同時從點出發以速度沿方向運動．設點運動的時間為．
(1)如圖1，點在邊上，，相交于點，當，互相平分時，求的值；
(2)如圖2，點在邊上，，相交于點，當時，求的值．
39.如圖，已知正方形的邊長為16，，點為正方形邊上的動點，動點從點出發，沿著運動到點時停止，設點經過的路程為的面積為．
(1)當時，______；
(2)當點在邊上運動時，______；
(3)若點是邊上一點且，連接，是否存在一點，使得與全等？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
40.如圖， 為正方形的對角線，．動點P、Q分別從點A、C同時出發，均以每秒2個單位長度的速度分別沿、向終點B、D運動．連接交于點O，過點O作交邊于點E．設點P運動的時間為t秒．
(1)當點P運動到邊的中點時，四邊形的面積為__________；
(2)連接、，求證：四邊形是平行四邊形；
(3)求四邊形的面積；
(4)當將四邊形分成面積比為兩部分時，直接寫出t的值．
【題型5 與梯形形有關的動點問題】
41.如圖，在四邊形中，，．點P從點A出發，以的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以的速度向點B運動．規定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設點Q的運動時間為．

(1)當時，P，Q兩點之間的距離為__________；
(2)線段與互相平分時，求t的值；
(3)t為何值時，四邊形的面積為梯形面積的？
42.如圖，在梯形中，，，，E是的中點． 動點P從點A出發沿向終點D運動，動點P平均每秒運動1 cm；同時動點Q從點C出發沿向終點B運動，動點Q平均每秒運動2 cm，當動點P停止運動時，動點Q也隨之停止運動．
(1)當動點P運動t()秒時，則________；(用含t的代數式直接表示)
(2)當動點Q運動t秒時，
① 若，則________；(用含t的代數式直接表示)
② 若，則________；(用含t的代數式直接表示)
(3)當運動時間t為多少秒時，以點P，Q，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形？
43.如圖①，在中，已知分別是上的兩點，且．．
（1）求梯形的面積；
（2）如圖②，有一梯形與梯形重合，固定，將梯形向右運動，當點D與點C重合時梯形停止運動；
①若某時段運動后形成的四邊形中，，求運動路程的長，并求此時的值；
②設運動中的長度為，試用含的代數式表示梯形與重合部分面積．
44.如圖，在梯形 中，，，，，，動點從點開始沿邊向以1cm/秒的速度運動，動點從點開始沿邊向以3cm/秒的速度運動，分別從同時出發，當其中一點到端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為秒．問：

(1)的長度為 ，的長度為 ，（用的式子表示），其中的取值范圍為 ．
(2)當為何值時，四邊形是平行四邊形，請說明理由；
(3)朱華同學研究發現：按以上變化，四邊形在變化過程中不可能為菱形，除非改變動點的運動速度．請探究如何改變點的速度（勻速運動），使四邊形在某一時刻為菱形，求此時點的速度．
45.如圖，已知，，點、在射線上（點、不與點重合且點在點的左側），連接、，為的中點，過點作，交的延長線于點，連接．
(1)求證：四邊形是梯形；
(2)如果，當為等腰三角形時，求的長．
46.如圖，梯形中，，，，，，點E為上一點，且，點F為上一動點，以為邊作菱形，且點H落在邊上，點G在梯形的內部或邊上，設．

(1)直接寫出的長與的度數．
(2)在點F運動過程中，是否存在某個x的值，使得四邊形為正方形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．
(3)若菱形的頂點G恰好在邊上，則求出此時x的值．

47.如圖1，梯形中，，，，．點P從點A出發沿以每秒1個單位的速度向點D勻速運動，點Q從點C沿以每秒2個單位的速度向點B勻速運動．點P、Q同時出發，其中一個點到達終點時兩點停止運動，設運動的時間為t秒．
(1)當時，設A、B、Q、P四點構成的圖形的面積為S，求S關于t的函數關系式，并寫出定義域；
(2)設E、F為、的中點，求四邊形是平行四邊形時t的值．
48.如圖，在直角梯形中，，，，，，動點P從點A開始沿AD邊向點D以速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以的速度運動．點P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點隨之停止運動．設運動時間為t秒．求：
(1)t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？
(2)t為何值時，四邊形ABQP為矩形？
(3)是否存在，使梯形ABQP的面積為？若存在請求出，若不存在請說明理由．
49.如圖，梯形中，，，，，，點為上一點，且；點為上一動點，以為邊作菱形，且點落在邊上，點在梯形的內部或邊上，設.
（1）直接寫出的長與的度數：______，______；
（2）在點運動過程中，是否存在某個的值，使得四邊形為正方形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；
（3）若菱形的頂點恰好在邊上，則求出點在上的位置和此時的值．
50.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AD = 6，BC = 8，，點M是BC的中點．點P從點M出發沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，到達點B后立刻以原速度沿BM返回；點Q從點M出發以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運動．在點P，Q的運動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側．點P，Q同時出發，當點P返回到點M時停止運動，點Q也隨之停止．
設點P，Q運動的時間是t秒(t＞0)．
（1）設PQ的長為y，在點P從點M向點B運動的過程中，寫出y與t之間的函數關系式（不必寫t的取值范圍）．
（2）當BP = 1時，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積．
（3）隨著時間t的變化，線段AD會有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個時刻會達到最大值，請回答：該最大值能否持續一個時段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能
【題型6 平面直角坐標系中與特殊四邊形有關的動點問題】
51.如圖，平行四邊形的頂點O為坐標原點，A點在軸正半軸上，，，點P從C點出發沿方向，以的速度向點B運動；點Q從A點同時出發沿方向，以的速度向原點運動，其中一個動點達到終點時，另一個動點也隨之停止運動．
(1)求點C，B的坐標（結果用根號表示）
(2)從運動開始，經過多少時間，四邊形是平行四邊形；
(3)在點P、Q運動過程中，四邊形有可能成為菱形嗎？若能，求出運動時間；若不能，請說明理由．
52.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點的坐標分別為，點為對角線中點，點在軸上運動，連接，把沿翻折，點的對應點為點，連接．
(1)當點在第四象限時（如圖1），求證：．
(2)當點落在矩形的某條邊上時，求的長．
(3)是否存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．
53.已知，如圖，為坐標原點，四邊形為矩形，，，點是的中點，動點在線段上以每秒2個單位長的速度由點向運動. 設動點的運動時間為秒．

(1)當為何值時，四邊形是平行四邊形；
(2)在直線上是否存在一點，使得四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求的值，并求出點的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)在線段上有一點且，直接寫出四邊形的周長的最小值 ，并在圖上畫圖標出點的位置，
54.如圖，在菱形中，O為坐標原點，點A的坐標為， ．動點P從點A出發，沿著射線以每秒3個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發，沿著射線以每秒1個單位長度的速度運動．點 P，Q同時出發，設運動時間為秒．
(1)求點C的坐標．
(2)當時，求的面積．
(3)試探究在點 P，Q運動的過程中，是否存在某一時刻，使得以C，O，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形 若存在，請求出此時t的值與點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
55.如圖，正方形的頂點O在坐標原點，定點A的坐標為．

(1)求正方形頂點C的坐標為（ ， ）頂點B的坐標為（ ， ）；
(2)現有一動點P從C點出發，沿線段向終點B運動，P的速度為每秒1個單位長度，同時另一動點Q從點A出發沿A→O→C向終點C運動，速度為每秒k個單位長度．設運動時間為2秒時，將三角形沿它的一邊翻折，若翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，求k的值．
56.如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點B坐標為，點D在邊上從點C運動到點B，以為邊作正方形，連、，在點D運動過程中，請探究以下問題：
(1)若為直角三角形，求此時正方形的邊長；
(2)的面積是否改變，如果不變，求出該定值；如果改變，請說明理由；
(3)設，直接寫出y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍．
57.如圖，正方形的頂點B的坐標為，為x軸上的一個動點，以為邊作正方形，點E在第四象限．
(1)線段的長為_______（用m的代數式表示）．
(2)試判斷線段與的數量關系，并說明理由；
(3)設正方形的對稱中心為M，直線交y軸于點G．隨著點D的運動，點G的位置是否會發生變化？若保持不變，請求出點G的坐標；若發生變化，請說明理由．
58.如圖①所示，以正方形的點O為坐標原點建立平面直角坐標系，其中線段在y軸上，線段在x軸上，其中正方形的周長為16．
(1)直接寫出B、C兩點坐標；
(2)如圖②，連接，若點P在y軸上，且，求P點坐標．
(3)如圖③，若OB//DE，點P從點O出發，沿x軸正方向運動，連接．則，，三個角之間具有怎樣的數量關系（不考慮點P與點O，D，C重合的情況）？并說明理由．
59.如圖，正方形的邊，在坐標軸上，點的坐標為．點從點出發，以每秒1個單位長度的速度沿軸的正方向運動；點從點同時出發，以相同的速度沿軸的正方向運動，連接，過點作的垂線，與過點平行于軸的直線相交于點．與軸交于點，連接，設點運動的時間為．
(1)的度數為______，點D的坐標為______（用含t的代數式表示）；
(2)當時，平面內是否存在點M，使以點P、D、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)在整個運動過程中，判斷線段、與之間的數量關系，并證明你的結論．
60.(1)點A坐標為 ，四邊形的面積為 ；
(2)如圖2，點E在線段上運動，為等邊三角形．
①求證：，并求的最小值；
②點E在線段上運動時，點F的橫坐標是否發生變化？若不變，請求出點F的橫坐標．若變化，請說明理由．
參考答案
【題型1 與平行四邊形有關的動點問題】
1.C
【分析】記、相交于點，過點做于點，以，為鄰邊作平行四邊形，由平行四邊形的性質可知是中點，最短也就是最短，當時最短，即與重合，然后根據等腰三角形和含角的直角三角形的性質即可求出的最小值．
【詳解】解：記、相交于點，過點做于點，
四邊形是平行四邊形，
，，
要最短就是最短，當時最短，
即與重合，
，，
是等腰三角形，
，
，
根據直角三角形中角對應的邊等于斜邊的一半，
，
最小值，
故選：C．
2.C
【分析】本題考查了平行線的性質，平行四邊形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，由等腰三角形的性質可得，由平行線的性質可得，，進而得到，，即得，，由平行四邊形的性質可得，即可得到，，，據此可判斷求解，掌握等腰三角形和平行四邊形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，，，
∴一定正確的是，
故選：．
3.D
【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質，數來你掌握知識點并作出適當的輔助線是解題的關鍵．過點P作交于H，連接，可證得四邊形，是平行四邊形，再根據四邊形是平行四邊形，設，可得，再根據，即可求解．
【詳解】過點P作交于H，連接，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴P，E，F共線，
設，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
∴，
∵，
∴．
故選：D．
4.或或
【分析】本題考查平行四邊形的性質，中心對稱：由平行四邊形的性質，中心對稱的性質得到，分三種情況討論即可解決問題．
【詳解】如圖，連接交于點O，
∵平分的面積，是中心對稱圖形，
∴經過的中心，即，
在中，，
∴，
∴，
∴，
當時，
∵，
∴，
∴；
當時，
∵，
∴，
∴；
當時，
∵，
∴，
∴．
∴當平分的面積時，或或．
故答案為：或或．
5.或或
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，角平分線的定義，折疊問題；分三種情況討論，①當時，如圖所示，作的角平分線交于點，②當時，如圖所示，作的外角平分線，同理可得，四邊形是平行四邊形，③當時，為的中點，分別畫出圖形，即可求解．
【詳解】①當時，如圖所示，作的角平分線交于點，
∵作關于的對稱線段，
∴
∴四邊形是平行四邊形，
如圖所示，設，則
∴
又∵，
∴
∴
∴
∵，即
解得：
∴
②當時，如圖所示，作的外角平分線，
同理可得，四邊形是平行四邊形
設，則，
∵，即
解得：
∴，
③當時，為的中點，
∴，
綜上所述， 或1或6
故答案為：或或．
6.或
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，一元一次方程的應用，分兩種情況：點在上，且在點的右邊，點在上，四邊形為平行四邊形；點在上，且在點的左邊，點在上，四邊形為平行四邊形；畫出圖形進行解答即可求解，正確畫出圖形并運用分類討論思想解答是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
設運動時，有兩種情況：
如圖，點在上，且在點的右邊，點在上，四邊形為平行四邊形，
則，
∴，
解得；
如圖，點在上，且在點的左邊，點在上，四邊形為平行四邊形，
則，
∴，
解得；

綜上，當或時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形，
故答案為：或．
7.（1）解：由題意可得，
∴．
在中，，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵以P、D、Q、B為頂點的四邊形是平行四邊形，，
∴，
當點Q沒有到達點B時，
，
∴（不合題意舍去），
當點Q到達點B后，返回時，
，
∴，
當點Q到達點C后，返回時，
，
∴，
當點Q第二次到達點B后，
，
∴．
綜上所述：t的值為或8或 ．
②由①可知，點P從點A運動到點D，以P、D、Q、B為頂點的四邊形可構成3次平行四邊形，
當秒時，P到達點D，此時Q也第2次返回點C，
當P從D返回A時，
當時，由得到，
解得，
當時，由得到，
解得，
當時，由得到，
解得，
當時，由得到，
解得，
∴P從A運動到點D，再返回A，以P、D、Q、B為頂點的四邊形可構成7次平行四邊形，
∵，
∴以P、D、Q、B為頂點的四邊形第次成為平行四邊形時，
，
故答案為：
8.（1）解： 四邊形是平行四邊形，
，
，
，
當點在線段延長線上時，
（2）存在，理由如下：
如圖1，連接、，

與互相平分，則四邊形是平行四邊形，
，
，
解得：，
當t的值為時；與互相平分；
（3）分兩種情況：
①當點P關于直線對稱的點恰好落在點A下方時，如圖2，

由對稱的性質得：，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
即，解得：；
②當點P關于直線對稱的點恰好落在點A上方時，如圖3，

由對稱的性質得：，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
即，解得：；
綜上所述，t的值為2或8．
9.（1）解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴；
（2）在中，，，
由題意得，，
當點Q與點B重合時，，
∴，
當時，點Q在線段的延長線上，，
故答案為：；
（3）存在，理由如下：
如圖，連接，,

若與互相平分，則四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴當時，與互相平分；
（4）當點P關于直線對稱的點落在點A下方時，如圖，

由對稱得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得；
當點P關于直線對稱的點落在點A上方時，如圖，

由對稱得，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
綜上所述，t的值為或2．
10.證明：四邊形是平行四邊形，
，．
，，
，
，即，
四邊形為平行四邊形．
（2）解：①若，，四邊形為平行四邊形，
理由如下：
，，．
，
，
即，
，
四邊形為平行四邊形；
②當時，，，
，
，
∴，
∴，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
∴，
∴，
．
【題型2 與矩形有關的動點問題】
11.A
【分析】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的性質與判定，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．添加甲，根據題意可知，從而推出，，然后根據平行四邊形的判定定理進行判斷即可；添加乙，根據可證，知道，從而推出，然后結合矩形對邊平行，即可判斷．
【詳解】若添加甲條件，可證四邊形為平行四邊形，理由如下：
四邊形是矩形
，
又點，分別從點，同時出發且運動速度相同
即
四邊形為平行四邊形；
若添加乙條件，可證四邊形為平行四邊形，理由如下：
四邊形是矩形
，，，
在和中
即
四邊形為平行四邊形．
故選A．
12.D
【分析】本題考查了矩形的性質及全等三角形的判定與性質等知識點，數形結合、分類討論并熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．
當與全等時，有兩種情況：①當時，，②當時，，分別按照全等三角形的性質及行程問題的基本數量關系求解即可．
【詳解】解：當與全等時，有兩種情況：
①當時，，
，，
，，
；
動點在線段上，從點出發以的速度向點運動，
點和點的運動時間為：，
∴；
②當時，，
，，
，，
，
，
綜上，v的值為2或．
故選：D．
13.C
【分析】本題考查了矩形的性質和翻折變換，全等三角形的判定和性質，勾股定理，過點作，交的延長線于點，延長交的延長線于點，則四邊形為矩形，由折疊可得，得到，，進而可得，從而判斷出點在上運動，又由全等三角形的性質可得，，設 ，則，，由勾股定理得，即得，解方程求出，得到的長度，即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于點，延長交的延長線于點，則四邊形為矩形，

∴，，，
由折疊得，，
∴，，
∴，
∵為的平分線，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵點在上，
∴點到的距離等于，即點在上運動，
∴點與點重合時，點與點重合，
當點與點重合時，如圖，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵ 四邊形為矩形，
∴，
設，則，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴當點從點運動到點時，點運動的路徑長為線段的長，等于，
故選：．
14.D
【分析】本題考查矩形的判定和性質，三角形中位線的性質，等邊三角形的判定等．根據矩形的判定得出A選項，根據中位線定理判斷B選項，根據當點E與點D重合時的值最大得出C選項，進而根據等邊三角形的判定判斷D選項即可．
【詳解】解：∵，
∴四邊形是矩形，
故A正確，不符合題意．
∵點O，F分別是的中點，
∴是的中位線．
∴
又∵點E是的中點，
∴．
∴，即 ，
故B正確，不符合題意．
當點E與點D重合時，的值最大．
∵，
∴的最大值是8．
∴，即線段長度的最大值是4，
故C正確，不符合題意．
當時，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不是等邊三角形，
故D錯誤，符合題意；
故選D．
15.C
【分析】本題主要考查了矩形的性質，含的直角三角形的性質，作，根據題意得，，進而可得，，，根據題意知，得，即可得．解題關鍵是勾股定理的正確應用．
【詳解】解：作，由矩形中，，，

則，，
則，，，
由題意知，，則，
得．
故選：C．
16.D
【分析】本題考查了矩形、平行四邊形的性質及判定的應用．由題得出共四種情況，當從向運動時，在上時；當點在射線上的點右側時；當點從點向點運動且點在上時；當點從點向點方向運動且點在點右側時，根據每種情況，分別求出和，令，再求出即可．
【詳解】解：由題得，，
四邊形是矩形，
∴，
若，則以、、，為頂點的四邊形是平行四邊形，
，
，
當從向運動時，，
當在上時，即時，
得，
；
當點在射線上的點右側時，即時，，
，
；
當點從點向點運動且點在上時，即時，
，
，
（舍去）；
當點從點向點方向運動且點在點右側時，即時，
，
，
；
綜上的值為1或3或13．
故選：D．
17.A
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的性質，動點問題，勾股定理，根據題意分別求得 和的情形，分類討論，即可求解．
【詳解】解：設點的運動時間為，
∵，點從點出發，以的速度向點運動，，當點當到達點時，、兩點停止運動．
∴秒，，則
∵，點從點同時出發，以的速度在線段上來回運動，
∴，
當時，則四邊形是平行四邊形，
∴
當時，點從到運動，
∴，解得：
當時，點從到運動，
∴，解得：
當時，點從到運動，
∴，解得：
當，點從到運動，
∴，解得：（舍去）
∴能出現三次，
如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，
∵ ，，
∴四邊形是矩形，
∴，，,
∴中，,
當時，
在中，
∴
當時，點從到運動，
∴，解得：或
當時，點從到運動，
∴，解得：或
當時，點從到運動，
∴，解得：或
當，點從到運動，，
∴，解得：（舍去）或（舍去）
∴能出現6次，
故選：A．
18.（1）解：∵，
∴點P運動9秒后停止，即，
∴，
故答案為：；；
（2）解：①由題意得，，
∵，
∴，
故答案為：；；；
②∵，
∴當四邊形是平行四邊形時，四邊形是矩形，
∴此時有，
∴，
解得；
（3）解：∵以P，D，C，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，且，
∴此時四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
解得．
19.（1）解：四邊形是矩形，
，，
在Rt中，由勾股定理得，，
（2）解：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
當四邊形是平行四邊形時，的值為4；
（3）解：∵，且動點從點出發，以每秒2個單位的速度沿折線向終點運動，
∴當時，
由題意知，，
，
當時，則，
，
綜上．
20.（1）解：過作于點，過點作于點，如圖，
，，
．
，，，
四邊形為矩形，
，，
．
．
（2）由題意得： ， ，
，．
①當時，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
．
②當時，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
．
綜上，當與四邊形的其中一邊平行時，此時的值為或．
（3）過作于點，過點作于點，過點作于點，如圖，
，，
， ，
，，
，
同理可求．
由題意得： ，，
設 ，
，
，
，，，
四邊形為矩形，
，，
．
，
，
．
長度為．
故答案為：．
【題型3 與菱形形有關的動點問題】
21.（1）證明：∵為菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）過點作交于點，連接
∵為菱形，，
∴．
∵，
∴．
∴是等邊三角形．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴是等邊三角形．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
∴．
（3），理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
22.（1）解：四邊形是菱形，，
，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
在中，，，
，
當點與點重合時，，
，
；
（2）解：①當在邊上，即時，如圖：

矩形與菱形重疊部分圖形的面積即是矩形的面積，
，
②當在邊延長線上，即時，
設交于，如圖：

在中，，，
，，
，
矩形與菱形重疊部分圖形的面積，
綜上所述，矩形與菱形重疊部分圖形的面積，
（3）解：①當時，如圖：
過點A作，交延長線于點T，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
四邊形是矩形，
是的中點，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
又是中點，，
與重合，此時，與重合，
；
故答案為：4；
②當時，延長交于，如圖：
，
，
是的中點，
是的中位線，
是的中點，
，
，
，
在中，，，
，，
在中，，
，，
，
．
23.（1）解：如圖所示，過點B作于H，
∵，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
Q在上運動時間為，
，
運動時間最長為，
當點Q在上時，直線把四邊形分成兩個部分，不可能存在其中的一部分是平行四邊形，
當時，在邊上，
此時，直線把四邊形分成兩個部分，且其中的一部分是平行四邊形，分兩種情況：
①四邊形是平行四邊形，如圖所示：
即
只需即可，
由題意得，，
，
解得：；
②四邊形是平行四邊形，如圖所示：

同理
只需，四邊形是平行四邊形
∵，
解得：
綜上所述：當或時，直線把四邊形分成兩個部分，且其中的一部分是平行四邊形；
（2）解：設Q的速度為，由（2）可知，Q在邊上，此時四邊形可為菱形
只需滿足即可
由題意得，，，
，，
解得：，
當Q點的速度為時，四邊形為菱形．
24.（1）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，則△ABC、△ACD為全等的兩個等邊三角形，
設△ABC的邊長為，則其面積為，
由圖2知，當點P在點A時，y=△ABC的面積=，
解得（負值已舍去），
即菱形的邊長為2，則AB=2（cm），
由題意知，點P與點O重合時，對于圖2的a所在的位置，
則AO=1，故．
故答案為2；．
（2）解：由（1）知點在段運動時，對于圖2第一段直線，
而該直線過點、，，
設其對應的函數表達式為，則，解得，
故該段函數的表達式為，
當點在上運動時，四邊形的面積為，則點只能在上，
則四邊形的面積，即，
解得．
（3）解：存在，理由：
由（1）知，菱形的邊長為2，則，，
過點作于點交于點，
、均為等邊三角形，則，
①當點和點重合時，為直角，則；
②當為直角時，則同理可得：，則；
③當為直角時，則，
綜上，的值為或或．
25.（1）證明：四邊形是菱形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
；
（2）（1）中的結論還成立，理由如下：
如圖，作，，垂足分別為，．
由（1）可得，，，
，
在和中，
，
；
26.（1）證明：如圖1，連接
四邊形是菱形
是等邊三角形
，
是等邊三角形
，
；
（2）解：如圖2，連接，交于點M
四邊形是菱形
，，，
，
是等邊三角形，
，，
是等邊三角形
，
，
又 ，
；
；
（3）證明：如圖3，連接交于點G，連接，
四邊形是菱形
是等邊三角形
，
，
又，
，
是等邊三角形
，
即．
27.（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵，
∴，
∵E在的延長線上，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是菱形；
（2）解：作N關于DC的對稱點，過D作于H，
由菱形的對稱性知，點N關于的對稱點在上，
∴，
∴當P、M、共線時，，
∵，
∴的最小值為平行線間距離的長，
即的最小值為的長，
∵是邊長為1的等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴的最小值為．
28.（1）解：連接，如圖所示：
∵四邊形為菱形，
∴，，，，
∴為等邊三角形，
∴，
∵點E是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：連接，如圖所示：
∵四邊形為菱形，
∴，，，，
∴為等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴為等邊三角形，
∴當最小時，的周長最小，
∵垂線段最短，
∴當時，最小，
根據解析（2）可知，為等邊三角形，
∴當時，，
∴，
∴周長的最小值為；
（4）解：根據解析（2）可知，，
∴，
∴
．
29.（1）解：∵，
∴，
∴四邊形為菱形，
∴，
∴當點E在上時，點E到的距離不變，
由圖2可知，當時，y的值不變，
∵點E的速度為，
∴，
∵當時，y隨x的增大而減小，
∴當時，點E與點B重合，
∴，
故答案為：；
（2）解：過點D作于點H，
∵，，
∴，即，
解得：，
在中，根據勾股定理可得：，
∴，
在中，根據勾股定理可得：，
即，
解得：．
30.（1）解：∵菱形
∴
∴總的運動時間為：（秒），
當點P在，點Q在上運動時，即時，連接，
由題意得，
∴是等邊三角形，
∴；
當點P在，點Q在上運動時，即時，如圖所示：是等邊三角形，
∴，
∴；
綜上可得：；
（2）解：當時，，當時，，當時，，依次描點再連接
該函數圖象如圖所示：
當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小
（答案不唯一）；
（3）解：從圖象看，當時x的取值范圍為：或．
【題型4 與正方形有關的動點問題】
31.（1）∵在正方形中，，點E是的中點，點P是的中點
，
，
∵在正方形中，
是等腰直角三角形
平分
在和中
（ASA）
故答案為：，ASA．
（2）①成立，理由如下：
如圖，在上取一點P，使，連接，則，
由（1）得：
，
∴是等腰直角三角形
∴
在和中
∴
；
32.（1）解∶依題意補全圖形，如圖1所示．
（2）證明：連接CE，如圖2所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵在中，點E是AN中點，
∴．
∵，，，
∴≌，
∴．
∴．
（3）解∶ 連接DE，
∵由（2）得：AE=CE，
∴點E在AC的垂直平分線上，
在正方形ABCD中，BD垂直平分AC，∠ACD=45°，△BCD為等腰直角三角形，
∴點E在BD上，
∴BF=DF=CF，
∴在點M沿著線段CD從點C運動到點D的過程中，線段EN所掃過的圖形為四邊形DFCN．此時DN=CD=2，∠CDN=90°，
∴
∵，
∴∠ACN=90°，即CN⊥AC，
∴，
∴四邊形DFCN為梯形．
∵，
∴BC=CD=AB=2，
∴，
∴，
∴．
33.解：（1）．
證明如下：∵四邊形是正方形，
∴BD是∠ADC的角平分線，
=45°，AD=CD，
又∵DF=DF，
∴△FAD≌△FCD（SAS），
∴
∵，
90°
∵平分，
45°
∵，
．
（2）連接AC，
∵把正方形的面積分成兩部分，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵BC=4，
，
.
34.（1）.
理由如下：如圖，連接.
∵是正方形的對角線，
∴，，.
在和中，
∴.
∴，.
∵四邊形是正方形，
∴.
在四邊形中，.
∵，
∴.
∴.
∴.
（2）如圖，過點作于點，作于點.
∴.
∵點是正方形的對角線上的點，
∴，.
∴四邊形是正方形.
在和中，
∴.
∴.
∴ .
∵正方形與正方形重疊的面積是，
∴.解得.
∵正方形的邊長為6，
∴.
∴.
∴此時的長為.
（3）分三種情況：
①當時，；
②當時，且點與點重合；
③當時，.
35.解：當P、Q運動2s后，四邊形AQBP是正方形，
理由如下：∵四邊形ABCD是正方形
∴AB＝BC
當P、Q運動2s后，CP＝AQ＝4cm，
∵AC＝8cm，
∴AP＝CP＝4cm，且AB＝BC，
∴BP⊥AC，且AF⊥AC
∴AF∥BP，且AQ＝BP＝4cm，
∴四邊形APBQ是平行四邊形，且BP⊥AC，AP＝BP
∴四邊形AQBP是正方形
36.解：（1），理由如下：
取的中點，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵分別是的中點，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．

（2）成立，理由如下：
在上截取，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

（3）連接，作，交的延長線于，交于，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是垂直平分線，
∴點與關于對稱，
∴，當A、P、G共線時取等號，故最小值為的長，
∵，
∴，
∴在中，，
∴的周長的最小值為．
37.（1）解：∵，
是等腰直角三角形，
∵，
是等腰直角三角形，
∴，
∵點從點出發，以每秒1個單位的速度沿線段向終點運動，
∴當時，
∴四邊形是邊長為的正方形，
此時正方形與重疊部分圖形就是正方形，
，
故答案為：．
（2）解：由題意得，當點落在上時，點恰好與點重合，如圖：
是等腰直角三角形，四邊形是正方形，
，
故答案為：．
（3）解：當時，如圖：
由題意得：四邊形是矩形，，
∴．
（4）解：①如圖：
當時， ，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，即此時點落在上，
由（2）得， 此時；
②當時，如圖：
∵，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
在中， ，
在中， 即
在中，
解得
③當時，如圖：
解得：
綜上，當是等腰三角形時，的值為1，或．
38.（1）解：由題意得：，，
∵四邊形是邊長為的正方形，
∴，
當，互相平分時，四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
解得：，
即的值為；
（2）解：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，即的值為．
39.（1）解： ，，，
；
故答案為：32；
（2）解：點在邊上運動，
；
故答案為：128；
（3）解：當點在邊或邊上運動時，存在一點，使得與全等．
如圖4，當點在上時，，
，
，
．
如圖5，當點在上時，，
，
．
綜上所述，或38時，使得與全等．
40.（1）解：四邊形是正方形，為對角線，
，，，
由題中運動情況可知，，
，
，
，是的中點，
當點P運動到邊的中點時，則點Q運動到邊的中點，
，，
，
，
四邊形是正方形，
四邊形的面積為，
故答案為：．
（2）證明：連接、，
由（1）可知，，，
四邊形是平行四邊形；
（3）解：作于點，作于點，
，與（1）中相等為，
四邊形是正方形，為對角線，
，，
四邊形是矩形，
，
，
；
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
四邊形的面積，
四邊形的面積為．
（4）解： 將四邊形分成面積比為兩部分，
①，
，
，
解得；
②，
，
，
解得；
綜上所述，或．
【題型5 與梯形形有關的動點問題】
41.（1）解：當時，
∴，
過點P作于點H，

則是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案為：10．
（2）當與互相平分時，
則四邊形是平行四邊形．
∴．
即
解得，
（3）∵四邊形的面積為梯形面積的
根據題意，得
解得
42.（1）解：根據題意得：，，
∴，
故答案為：；
（2）解：①若，，，
∴，
故答案為：；
② 若，，，
∴，
故答案為：；
（3）解：如圖所示：
∵E是的中點，
∴，
① 當Q運動到E和C之間時，設運動時間為t，則：
，
解得：，
② 當Q運動到E和B之間時，設運動時間為t，則：
，
解得：，
∴運動時間為3秒或7秒時，以點P，Q，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形．
43.解：（1）∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵GF∥BC，
∴∠AGF＝∠AFG＝45°，
∴AG＝AF＝2，AB＝AC＝6，
∴S梯形BCFG＝S△ABC S△AGF＝×6×6 ×2×2＝16；
（2）①∵在運動過程中有DG′∥BG且DG′＝BG，
∴BDG′G是平行四邊形，
當DG⊥BG′時，BDG′G是菱形，
∴BD＝BG＝4，
如圖③，當BDG′G為菱形時，過點G′作G′M⊥BC于點M，
在Rt△G′DM中，∠G′DM＝45°，DG′＝4，
∴DM＝G′M且DM2＋G'M2＝DG'2，
∴DM＝G′M＝，
∴BM＝，
連接G′B．
在Rt△G′BM中，G′B2＝BM2＋G′M2＝；
②在Rt△AGF與Rt△ABC中，GF＝，BC＝，
當0≤x＜時，其重合部分為梯形，如圖②，
過G點作GH垂直BC于點H，則GH＝，
∵BD＝GG′＝x，
∴DC＝，G′F′＝，
∴S＝；
當≤x≤時，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③，
∵斜邊DC＝，
∴斜邊上的高為，
∴S＝．
44.（1）解：動點從點開始沿邊向以1cm/秒的速度運動，
，
，
分別從同時出發，當其中一點到端點時，另一點也隨之停止運動，動點從點開始沿邊向以3cm/秒的速度運動，，
，
故答案為：，，；
（2）解： ，
，
要使四邊形是平行四邊形，則，
動點從點開始沿邊向以3cm/秒的速度運動，
，
，
由（1）得，
，
解得：，
當時，四邊形是平行四邊形；
（3）解：設點的速度為cm/秒，
則，
由（1）得：，，
，
，
，
，
要使四邊形是菱形，則，
即，
解得：，
使四邊形在某一時刻為菱形，此時點的速度為 cm/秒．
45.（1）證明： ，
，
為的中點，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，即，
，與相交，
與不平行，
四邊形是梯形；
（2）解： 為等腰三角形，
如圖，當時，
為的中點，
，
，，
；
如圖，當時，過點F作，垂足為H，
由（1）知四邊形是平行四邊形，
，即，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
，
；
如圖，當時，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
此時，點與點B重合，不符合題意，
綜上，當為等腰三角形時，的長為6或16．
46.（1）解：（1）如圖，過點作于，

，，
四邊形是矩形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，；
（2）解：如圖，

四邊形為正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
解得（cm）；
（3）解：如圖，過點作于，

在菱形中，，，
，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，，，
在中，，
在中，，
，
，
解得．
．
47.（1）由題意可得：，，
則；
（2）過點D作于H，取的中點G，則四邊形是矩形．
∵F是的中點，G是的中點，
∴，，
∵，，，，
∴，，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
解得：，
即當四邊形是平行四邊形時，t的值為．
48.（1）解：由題意得：AP=t cm，CQ=3t cm，
則PD=（24-t）cm，
∵PD∥CQ，
∴PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，
此時，24-t=3t，
解得：t=6，
∴t=6時，四邊形PQCD為平行四邊形；
（2）由題意得：AP=t，BQ=26-3t，
∵AP∥BQ，∠B=90°，
∴當AP=BQ時，四邊形ABQP為矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=，
∴當t=時，四邊形ABQP為矩形．
（3）∵由題意得：AP=t，BQ=26-3t，
，
解得，
此時BQ=26-3t=-4，
∴不存在，使梯形的面積為．
49.解：（1）如圖，過點D作DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，AB⊥CB，
∴四邊形ABMD是矩形，
∴DM=AB=6cm，BM=AD=8cm，
∴CM=BC -BM=14-8=6cm，
∴DM=CM，
∴△CDM是等腰直角三角形，
CD=CM=cm，∠DCB=45°；
（2）∵四邊形EFGH為正方形，
∴EF=EH，∠FEH=90°，
∴∠AEF+∠BEH=90°，
∵AB⊥CB，
∴∠BEH+∠BHE=90°，
∴∠AEF=∠BHE，
在△AEF和△BHE中，
，
∴△AEF≌△BHE（AAS），
∴BE=AF=x，
∵AB=AE+BE=6cm，
∴2+x=6，
解得x=4cm；
（3）如圖，過點G作GP⊥BC于P，
則AB∥GP，
∴∠AEG=∠PGE，
在菱形EFGH中，EF∥GH，EF=EH=GH，
∴∠FEG=∠HGE，
∴∠AEF=∠PGH，
在△AEF和△PGH中，
，
∴△AEF≌△PGH（AAS），
∴PG=AE=2，HP=AF=x，
∵∠C=45°，
∴CP=PG=2，BH=14-x-2=12-x，CG=PG=，
在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2=22+x2，
在Rt△BEH中，EH2=BE2+BH2=（6-2）2+（12-x）2，
∵EF=EH，
∴22+x2=（6-2）2+（12-x）2，
解得x=6.5．
∴CG=，x=6.5．
50.解：（1）；
（2）當BP = 1時，有兩種情形：
①如圖1，若點P從點M向點B運動，有 MB == 4，MP =MQ= 3，
∴PQ = 6．連接EM，
∵△EPQ是等邊三角形，
∴EM⊥PQ．
∴
∵AB =，
∴點E在AD上．
∴△EPQ與梯形ABCD重疊部分就是△EPQ，其面積為．
②若點P從點B向點M運動，由題意得．
PQ = BM + MQBP = 8，PC = 7．
設PE與AD交于點F，QE與AD或AD的延長線交于點G，過點P作PH⊥AD于點H，則HP =，AH = 1．
在Rt△HPF中，∠HPF = 30°，
∴HF = 3，PF = 6．
∴FG = FE = 2．
又∵FD = 2，
∴點G與點D重合，如圖2．
此時△EPQ與梯形ABCD 的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為．
（3）能．此時，4≤t≤5．過程如下：
當時，P點與B點重合，Q點運動到C點，此時被覆蓋線段的長度達到最大值
為等邊三角形
Q向右還可以運動1秒，FG的長度不變
【題型6 平面直角坐標系中與特殊四邊形有關的動點問題】
51.（1）解：如圖，過C作于E，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∵平行四邊形，
∴，，
∴；
（2）解：設從運動開始，經過x秒，四邊形是平行四邊形，
由題意知，，，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，即，
解得：，
∴運動開始，經過秒，四邊形是平行四邊形；
（3）解：不能成為菱形，理由如下；
由（2）可知，經過秒，四邊形是平行四邊形，此時，
∵，
∴平行四邊形不能是菱形．
52.（1）證明：由折疊可知，，
點為中點，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①當時，如圖所示：
，此時點與點重合，
，
，四邊形是矩形，
，
；
②當點與點重合時，如圖所示：
，，
在中，，即，解得，
；
綜上所述：的長為4或；
（3）解：在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下：
當四邊形為平行四邊形時，如圖所示：
，且，
，，
，
是的中點，，
，
，
；
當四邊形為平行四邊形時，如圖所示：
，且，
是的中點，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
由折疊性質可得，則四邊形為菱形，
，
是的中點，，
，
，
；
當四邊形為平行四邊形時，如圖所示：
，
，
，
，
在中，，，則由勾股定理可得，
，
；
當四邊形為平行四邊形時，如圖所示：
，
，
，
在中，，則由勾股定理可得，
，
；
綜上所述：點或或或．
53.（1）解：四邊形為矩形，，，
，，
點是的中點，
，
由運動知，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
；
（2）解：①當點在的右邊時，如圖1，
四邊形為菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
∵，
；
②當點在的左邊且在線段上時，如圖2，
四邊形為菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∵，
；
③當點在的左邊且在的延長線上時，如圖3，
四邊形為菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∵，
；
綜上所述，時，；時，；時，；
（3）解：如圖，由知，，
，
，
∵，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形的周長為
，
最小時，四邊形的周長最小，
作點A關于的對稱點，連接交于，
∴，
∴，
∵兩點之間線段最短，
∴此時最小，即最小，
∵，
∴的最小值為，
∴四邊形的周長最小值為．
54.（1）解：由題意知，，
∵菱形，
∴，，
如圖，延長交軸于，則軸，即，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
（2）解：由題意知，時，，則，，
∴，
∴的面積為；
（3）解：∵，
∴當以C，O，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，，
由題意知，，，
當時，；此時，
解得，；
∴；
當時，；此時，
解得，；
∴；
綜上所述，存在，當時，，當時，．
55.（1）過點A作軸于D，過點B作交的延長線于E，過點C作軸于點F，
∴，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∵點A的坐標為，
∴，，
∴點C的坐標為；
∴，點B到y軸的距離為，
∴點B的坐標為；
故答案為：，4，1，7；
（2）由題意，得，
當 時，．
將三角形沿它的一邊翻折，若翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，
只需三角形是等腰三角形即可．
①當點Q在上時，
∵，
∴只存在一點Q，使．
過點Q作于點D，如圖，
則，
∵，
∴，
∴；
②當點Q在上時，
∵，
∴只存在一點Q，使C，
∴，
∴．
綜上所述，k的值為2或4．
56.（1）解：∵為直角三角形，
∴正方形的對稱中心為點B，點A、B、E在同一直線上，點D、B、F在同一直線上，
∵，
∴正方形邊長．
（2）解：的面積不會改變，
如圖，過點F作，交的延長線于H，
∵矩形的頂點B坐標為，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，且，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：當時，如圖，過點E作于H，
同理（2）可知
∴，，且，
∴，，
∴，
當時，如圖，過點F作于H，連接，
同理可得：，，
∴，
綜上所述：當時，．
57.（1）解：∵，，
∴，，
∴，
故答案為：；
（2）解：．
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：點G的位置保持不變，
理由：過點F作交的延長線于點H，過點M作軸，垂足為N，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
又，M是的中點，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴，
∴．
58.（1）解：∵正方形ABCO的周長為16
∴正方形邊長為4，
∴點B坐標為（4,4）點C坐標為（4,0）．
（2）解：由題意可知OA=OB=4，
∴，
則
，
設點P的坐標為（0，m），
則OP=，
，
解得，
∴m=8或m=-8，
∴點P坐標為（0,8）或（0，-8）．
（3）解：，理由如下：
如圖，過點P作交BC于點Q，
則，
∴，，
∵，
∴．
59.（1）解：由題意知，
，
四邊形是正方形，
，，
，
軸，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案為：，；
（2）解：當時， ，
，四邊形為正方形，
，，
由（1）知，
，
，
若為平行四邊形的對角線，，，
可得點P向右平移3個單位，向上平移1個單位得到點D，
∴點向右平移3個單位，向上平移1個單位得到，
∴
若為平行四邊形的對角線，，，同理可求
，
若為平行四邊形的對角線，，，同理可求
，
綜上所述，點的坐標為或或；
（3）解：．
證明：延長至，使，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
60.（1）解：∵，，，
∴，，
∵四邊形為菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：，；
（2）①證明：如圖，設交于J．
∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴，都是等邊三角形，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴當時，的值最小．
∵，
∴，
∴
∴AF的最小值為．
②點F的橫坐標不變，理由如下：
如圖，過點F作于H．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴點F的橫坐標為，不變．

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