資源簡介

第18章《平行四邊形》復習題--- 四邊形中的定值、最值、中點四邊形問題
【題型1 四邊形中的定值問題】
1．如圖所示，矩形中，，為上的一動點，過點作于點，于點，試問當點在上運動時，的值是否發生變化？若不變，請求出定值．
2．已知菱形中，，點E在邊上，作，與相交于點F．與對角線分別相交于點H，G．
(1)如圖1，當點E是中點時， ______；
(2)如圖2．
①求證：；
②的值是否為定值？如果是，請求出該定值；如果不是，請說明理由．
3．如圖，已知四邊形是正方形，點是邊上的動點（不與端點重合），點在線段上，，，，為線段的中點，點在線段上（不與點重合），且．
(1)求證：；
(2)隨著點的運動，試猜想的值是否是發生變化，若不變，請求出定值，若變化，請說明理由．
4．如圖，點是線段上一動點，，以，為對角線分別作出菱形和菱形且．
(1)求證：長度為定值．
(2)連接，若時，求的面積．
(3)若再連接DF，分別取六邊形ADFBEC各邊中點，當點P從點A運動到點B時，各邊中點運動路徑的總長度為________．
5．如圖，在矩形ABCD中，E，F分別是對角線AC上的兩點，且AE=EF=FC，連接BE，DE，BF，DF．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）求證：CD2+3DE2是定值．
6．如圖，在菱形中，，．過點作對角線的平行線與邊的延長線相交于點，為邊上的一個動點（不與端點，重合），連接，，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)求四邊形的周長和面積．
(3)記的周長和面積分別為和，的周長和面積分別為和，在點的運動過程中，試探究下列兩個式子的值或范圍：①，②，如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍．
7．如圖，四邊形是正方形，，點P是上一動點（不與點B，C重合），將PA繞點P按順時針方向旋轉，得到．
【初步感知】
（1）在點P的運動過程中，試探究與的數量關系．
【深入研究】
（2）連接，在點P的運動過程中，試探究的值．
【拓展延伸】
（3）與相交于點F，在點P的運動過程中，試探究的周長是否為定值，若是，求出的周長；若不是，請說明理由．
8．如圖所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，點E、F分別是邊BC、CD上的兩個動點，E點從點B向點C運動，F點從點D向點C運動，設點E、F運動的路徑長分別是a和b．
(1)猜想：如圖①，當a=b時，寫出線段AE與線段AF的數量關系；
(2)證明：如圖②，連接AC，若a+b=6，請證明△ABE≌△ACF；
(3)應用：在（2）的條件下，四邊形AECF的面積是否發生變化？如果不變，請直接寫出這個定值；如果變化，請直接寫出該四邊形面積的最大值．
9．如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將ABE沿BE折疊后得到GBE，且G點在矩形ABCD內部，延長BG交DC于點F．
(1)求證：GF＝DF；
(2)若DC＝9，DE＝2CF，求AD的長；
(3)若DC＝n DF，那么n 是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
10．綜合與實踐
問題情境：數學活動課上，同學們開展了以“矩形紙片折疊”為主題的探究活動（每個小組的矩形紙片規格相同），已知矩形紙片寬．
動手實踐：
（1）如圖1，夢想飛揚小組將矩形紙片折疊，點D落在邊上的點E處，折痕為，連接，然后將紙片展平，得到四邊形．試判斷四邊形的形狀，并加以證明；
深度探究：
（2）如圖2，智慧創新小組將圖1中的四邊形剪去，然后在邊，上取點G，H，將四邊形沿折疊，使A點的對應點始終落在邊上（點不與點D，F重合），點E落在點處，與交于點T．
①當時，可以求出的長度．請寫出解答過程；
②當在上運動時，的周長是否會變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值．
【題型2 四邊形中的最小值問題】
11．如圖，已知，點C在射線上，點D，E在射線上，其中，四邊形是平行四邊形．

(1)請只用無刻度的直尺畫出菱形，保留作圖痕跡，并說明理由．
(2)作出（1）中菱形后，若點P是邊上一動點，點Q是菱形對角線上一動點，則的最小值為 ．
12．如圖，，，平分．

(1)求證：四邊形是菱形；
(2)如圖，，，交于點，已知點是上一動點，連接，求周長的最小值．
13．如圖，在中，，點D為邊上一個動點（不與點A、B重合），過點D作，，分別交、于點E、F，連結．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求的最小值．
14．如圖，在平面直角坐標系中，正方形的兩鄰邊分別在坐標軸的正半軸上，E為x軸正半軸上一動點，連，過點B作交y軸于點F，連，以，為鄰邊構造平行四邊形，已知．
(1)求證：；
(2)當E為的中點時，求點F的坐標
(3)當點E在正方形邊上運動的過程中，求的最小值
15．綜合與實踐
把兩個邊長都等于的等邊三角形拼成菱形（如圖），有一個含角的三角尺，使三角尺的角的頂點與點重合，兩邊分別與，重合．
(1)將三角尺繞點按逆時針方向旋轉，當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊，相交于點，時（如圖①），通過觀察或測量，的長度，你能得出什么結論？證明你的結論；
(2)在旋轉過程中，四邊形的周長是否發生變化？如果沒有變化，請說明理由；如果有變化，請求出周長的最小值；
(3)若將（1）中三角尺的角的頂點在上移動且與點，都不重合，三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊，相交于點，時（如圖②），那么，之間的數量關系為__________．
16．在矩形中， E、F是直線上的兩個動點，分別從A，C同時出發相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒
(1)如圖1，M、N分別是中點，當 s時，四邊形是矩形．
(2)若在點E、F運動的同時，點G以每秒1個單位長度的速度從A出發，沿折線運動，點H以每秒1個單位長度的速度從C出發，沿折線運動．
①如圖2，作的垂直平分線交于點P、Q，當四邊形的面積是矩形面積的一半時，求t值；
②如圖3，在異于G、H所在矩形邊上取P、Q，使得，順次連接P、G、Q、H，則四邊形周長的最小值是 ．
17．如圖，點C在線段上，是等邊三角形，四邊形是正方形．
(1)求的度數；
(2)點P是線段上的一個動點，連接、．若，．求的最小值．
18．（1）如圖①，四個小矩形拼成一個大矩形，點P在線段上，試判斷矩形與矩形面積的大小關系，并簡單說明理由；
（2）如圖②，矩形的頂點P在直角三角形的斜邊上，若，利用第（1）小題的探究方法和結論，求矩形的面積．
（3）如圖③，在中，P是斜邊上一動點，作，交于點G，作，交于點F，若，求的最小值．

19．如圖1，在中，，，點是邊上一點，連接，沿折疊，使點落在點處，其中，設與相交于點．
(1)如圖2，當點，重合時，
①求證：四邊形是菱形；
②設點為線段上一點，求的最小值．
(2)求的面積的取值范圍．
20．如圖，在邊長為2的正方形中，點E在邊上，點F在邊上，連接，，與相交于點 P．

(1)【動手操作】在圖1中畫出線段，；
(2)【問題探究】若．
①利用圖2 探究的值；
②過點P作，垂足分別為M，N，連接，試求的最小值．
【題型3 四邊形中的最大值問題】
21．如圖1，已知：在菱形中，，E，F分別是上的動點，且．
(1)求證：；
(2)求四邊形的面積；
(3)如圖2，連接，求面積的最大值．
22．如圖1，將矩形放置于平面直角坐標系中的第一象限，使其頂點O位于原點，且點B，C分別位于x軸，y軸上．若滿足．
(1)求點A的坐標；
(2)取的中點M，連接，與關于所在直線對稱，連并延長交x軸于P點．求證：點P為的中點；
(3)如圖2，在（2）的條件下，點D位于線段上，且．點E為平面內一動點，滿足，連接．請你直接寫出線段長度的最大值__________．
23．閱讀下面材料：
我遇到這樣一個問題：如圖，在正方形中，點分別為邊上的點，，連接，求證：，我是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上，他先后嘗試了平移、翻折、旋轉的方法，發現通過旋轉可以解決此問題，他的方法是將繞點順時針旋轉得到（如圖），此時即是．
參考我得到的結論和思考問題的方法，解決下列問題：
(1)在圖中，的度數是___________；
(2)如圖，在直角梯形中，（），，，是上一點，若，，求的長度；
(3)如圖，中，，，以為邊作正方形，連接．當___________時，線段有最大值，并求出的最大值．
24．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分別是AD、CD上的動點（包含端點），且AE+CF=4，連接BE、EF、FB．
(1)試探究BE與BF的數量關系，并證明你的結論；
(2)求EF的最大值與最小值．
25．如圖，在矩形中，，，將矩形繞點A按逆時針方向旋轉得到矩形，連接、．
(1)如圖2，點E落在對角線上，與相交于點H，
①連接，求證：四邊形是平行四邊形；
②求線段的長度；
(2)在矩形繞點A旋轉一周的過程中，面積的最大值為 ．
26．已知，在平面直角坐標系中，正方形的頂點B，A，分別在x軸和y軸的正半軸上，頂點C的坐標為，且a，b滿足：，點D為邊上的一個動點，將沿翻折，得到．
(1)直接寫出正方形的邊長；
(2)如圖1，若點D為中點，延長交于點H．
①求的長；
②連并延長交于點F，求的長；
(3)如圖2，若點G為上一點，且，點M為中點，連接．當點D從點O開始沿y軸負半軸運動，到取得最大值時停止，請直接寫出點D運動的路徑長．
27．已知等邊三角形的邊長為12，D為射線上一動點（點不與，重合），以為邊作菱形，使，連接．
(1)如圖，當點在邊上時，求證：，
(2)在點的移動過程中，當時，求的長度
(3)設與菱形的面積分別為，，直接寫出的最大值．
28．如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，且頂點位于原點，頂點、分別位于軸、軸上．若滿足．
(1)求點的坐標；
(2)取的中點，連接，將沿翻折得到，連接并延長交軸于點．求證：點為的中點；
(3)如圖2，在（2）的條件下，點位于線段上，且．點為平面內一動點，且滿足，連接．請你直接寫出線段長度的最大值__________．
29．正方形的邊長為6，E，F分別為邊上的點，連接，將沿折疊，C對應的點為．
(1)當點F與點B重合時，
①如圖1，，M為的中點，連接，，
求證：四邊形為菱形；
②如圖2，延長交于點N，連接，，與分別交于點P，Q，猜想線段，，滿足的數量關系，并加以證明：
(2)當點F與點B不重合時，如圖3，E為的中點，連接，求四邊形面積的最大值．
30．在矩形中，．
(1)將矩形紙片沿折疊，使點A落在點F處（如圖①），設與相交于點G，求證： ；
(2)將矩形沿直線折疊，使點B的對應點落在邊上（如圖②），點A的對應點為，連接交于點．當時，求、的長；
(3)點M在線段上，點N在線段上，（如圖③）若按折疊后，點落在矩形的邊上點，請求的最大值和最小值．
【題型4 四邊形中的中點四邊形問題】
31．如圖，、、分別是各邊的中點．
(1)四邊形是怎樣的四邊形？證明你的結論．
(2)請你為添加一個條件，使得四邊形是矩形，證明你的結論．
32．D、E分別是不等邊三角形（即）的邊、的中點．O是所在平面上的動點，連接、，點G、F分別是、的中點，順次連接點D、G、F、E．

(1)如圖，當點O在的內部時，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若四邊形是菱形，則與應滿足怎樣的數量關系？（直接寫出答案，不需要說明理由．）
33．我們把依次連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形叫做“中點四邊形”．如圖，在四邊形中，E、F、G、H分別是邊、、、的中點，依次連接各邊中點得到“中點四邊形”．
(1)如圖，“中點四邊形”的形狀是 ；
(2)求證：矩形的“中點四邊形”是菱形．（畫圖，寫出已知、求證和證明）
34．如圖，點D，E分別是的邊的中點，點O是所在平面上一個動點，連接，點G，F分別是的中點，順次連接點D，G，F，E．

(1)如圖，當點O在的外部時，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)當點O在的內部時，要使四邊形是正方形，則與滿足的條件是：．
（直接寫出結果即可）
35．我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形，如圖，E、F、G、H分別是四邊形各邊的中點，可證中點四邊形是平行四邊形，如果我們對四邊形的對角線與添加一定的條件，則可使中點四邊形成為特殊的平行四邊形，請你經過探究后回答下面問題？
(1)當______時，四邊形為菱形；
(2)當______時，四邊形為矩形；
(3)當和滿足什么條件時，四邊形為正方形？請回答并證明你的結論．
36．【操作一】如圖①，作兩條互相垂直的直線m、n交于點O；以點O為圓心、適當長為半徑畫弧，交直線m于點A、C；再以點O為圓心、另一適當長為半徑畫弧，交直線n于點B、D；順次連接 A、B、C、D．求證：四邊形是菱形；

【操作二】如圖②，取圖①中菱形的各邊中點E、F、G、H，順次連接E、F、G、H得到四邊形，四邊形稱為四邊形的中點四邊形，若，，則四邊形的面積為 ．
37．如圖，在四邊形中，對角線，，且，垂足為O，順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形；再順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形，…如此下去得到四邊形．
(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．
(2)求四邊形的面積．
(3)直接寫出四邊形的面積（用含n的式子表示）．
38．問題情境：在數學活動課上，我們給出如下定義：順次連按任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．如圖（1），在四邊形中，點，，，分別為邊，，，的中點．試說明中點四邊形是平行四邊形．探究展示：勤奮小組的解題思路：

反思交流：
(1)①上述解題思路中的“依據1”、“依據2”分別是什么？
依據　 ；依據　 　 ；
②連接，若時，則中點四邊形的形狀為　 ；并說明理由；
創新小組受到勤奮小組的啟發，繼續探究：
(2)如圖（2），點是四邊形內一點，且滿足，，，點，，，分別為邊，，，的中點，猜想中點四邊形的形狀為 ，并說明理由；
(3)若改變（2）中的條件，使，其它條件不變，則中點四邊形的形狀為　 　．
39．我們定義：若E，F，G，H分別是四邊形各邊的中點，且四邊形是矩形，則四邊形是四邊形的中矩四邊形．
(1)如圖1，四邊形是菱形，E，F，G，H分別是四邊形各邊的中點，求證；四邊形是四邊形的中矩四邊形．

(2)如圖2，以銳角的兩邊，為邊，在外作等腰和等腰，其中，F，G，H，M分別為，，，的中點．

①求證：四邊形是四邊形的中矩四邊形．
②若四邊形的面積為8，，求的值．
40．（24-25九年級·廣東佛山·階段練習）定義：對于一個四邊形，我們把依次連接它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．
【概念理解】：
（1）下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是______．
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【性質探究】：
（2）如圖1，四邊形是“中方四邊形”，觀察圖形，直接寫出四邊形的對角線，的關系；
【問題解決】：
（3）如圖2．以銳角的兩邊，為邊長，分別向外側作正方形和正方形，連接，，．求證：四邊形是“中方四邊形”；
【拓展應用】：
如圖3，已知四邊形是“中方四邊形”，M，N分別是，的中點．
（4）試探索與的數量關系，并說明理由．
（5）若，求的最小值．

【題型5 四邊形中的新定義問題】
41．【理解新定義】若一個四邊形具備一組對角互補和一組鄰邊相等，則稱該四邊形為“補等四邊形”．如正方形和箏形，它們都具備這樣的特征，所以稱為補等四邊形．
【解決新問題】
(1)如圖Ⅰ，點E，F分別在菱形的邊上，．四邊形是否為補等四邊形？ （填“是”或“否”）
(2)如圖Ⅱ，在中，．的平分線和邊的中垂線交于點D，中垂線交邊于點G，連接．四邊形是否為補等四邊形？若是，進行證明；若不是，說明理由．
42．我們定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做“神奇四邊形”．
(1)在我們學過的下列四邊形①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四邊形”的是 （填序號）；
(2)如圖， 在正方形中， E為上一點， 連接， 過點B作于點H， 交于點G， 連，．
判斷四邊形是否為“神奇四邊形”，并說明理由；
如圖2， 點M，N，P，Q分別是，，，的中點． 判斷四邊形是否是“神奇四邊形”，并說明理由：
(3)如圖3， 點F，R分別在正方形的邊，上， 把正方形沿直線翻折，使得的對應邊恰好經過點A，過點A作于點O，若，正方形的邊長為6，求線段的長．
43．定義：我們把對角線相等的四邊形叫作偽矩形，對角線的交點稱作偽矩形的中心．
(1)①寫出一種你學過的偽矩形： ．
②順次連接偽矩形各邊中點所得的四邊形是 ．
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．無法確定
(2)如圖1，在偽矩形中，，，，求的長．
(3)如圖2，在偽矩形中，，，，，求這個偽矩形的面積．
44．定義：若一個四邊形有一組鄰邊相等，且這組鄰邊夾角所對的對角線平分一個內角，則稱這樣的四邊形為“近似菱形”．例如：如圖①，在四邊形中，，若平分，則四邊形是近似菱形．

(1)如圖②，在四邊形中，，，．
求證：四邊形是“近似菱形”，
(2)如圖③，已知線段BD，求作“近似菱形”，使得，平分，且與互補．
要求：①尺規作圖；②保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明．
(3)在（2）的條件下，“近似菱形”中的取值范圍是________________．
45．定義：若點P為四邊形內一點，且滿足，則稱點P為四邊形的一個“互補點”．
(1)如圖1，點P為四邊形的一個“互補點”，若，則 ；
(2)如圖2，點P是菱形對角線上的任意一點（不與點B，D重合），求證：點P為菱形的一個“互補點”．
46．定義：如果平行四邊形的一組對邊之和等于一條對角線的長時，我們稱這個四邊形為“沙漏四邊形”．
(1)當沙漏四邊形是矩形時，兩條對角線所夾銳角為______度；
(2)如圖，在沙漏四邊形中，對角線、相交于點O，滿足，且，過點B、D分別作，，垂足為E、F，連接、，所得四邊形也是沙漏四邊形．若，求的長以及的面積．
47．定義：有兩個相鄰的內角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形．鄰等四邊形中，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形中，，對角線平分，求證：四邊形是鄰等四邊形；
(2)如圖2，在的方格紙中，，，三點均在格點上，若四邊形是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點，并分別用，，，……表示；
(3)如圖3，四邊形是鄰等四邊形，，為鄰等角．若，，求鄰等四邊形的周長．
48．我們定義：對角線相等且互相垂直的四邊形叫做“寧美四邊形”．
(1)在我們學過的下列四邊形①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，是“寧美四邊形”的是　　（填序號）；
(2)如圖1，在正方形中，E為上一點，連接，過點B作于點H，交于點G，連、．求證：四邊形是“寧美四邊形”；
(3)如圖2，點F、R分別在正方形的邊、上，把正方形沿直線翻折，使得的對應邊恰好經過點A，過點A作于點O，若，正方形的邊長為6，求線段的長．
49．我們定義：有一組鄰邊相等且有一組對角互補的品四邊形叫得等補四邊形．
(1)如圖1，是等邊三角形，在上任取一點（不與，重合），連接，我們把繞點逆時針旋轉60°，則與重合，點的對應點為點．請根據給出的定義判斷，四邊形______（選擇“是”或“不是”）等補四邊形．
(2)如圖2，等補四邊形中，，，若，則的長為______．
(3)如圖3，四邊形中，，，，求四邊形面積的最大值．
50．定義：對多邊形進行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無重疊的四邊形，則這樣的四邊形稱為鑲嵌四邊形．
(1)如圖1，將紙片沿中位線折疊，使點落在邊上的處，再將紙片分別沿，折疊，使點和點都與點重合，得到雙層四邊形，則雙層四邊形為______形．
(2)紙片按圖2的方式折疊，折成雙層四邊形為矩形，若，，求的長．
(3)如圖3，四邊形紙片滿足，，，，．把該紙片折疊，得到雙層四邊形為正方形．請你畫出一種折疊的示意圖，并直接寫出此時的長．
參考答案
【題型1 四邊形中的定值問題】
1．解：當點在上運動時，的值不發生變化，
理由是：連接，
，
∵在矩形中，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即當點在上運動時，的值不發生變化，為24．
2．（1）解：如圖1，連接，
∵菱形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∵E是中點，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）①證明：如圖2，連接，
由（1）可知，是等邊三角形，
∴，，
∴，即，
∵菱形，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
②解：如圖3，連接，
∵菱形，
∴，，
由①可知，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
∴的值為定值，且定值為1．
3．（1）證明：點為的中點，
，
，
，
，，
，
，
即：，
，
即：；
（2）解：猜想的值不發生變化，，理由如下：
，，，
，，，
，
為直角三角形，即：，
由（1）可知：，
，
，
四邊形為正方形，
，，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
的值不發生變化，值為2．
4．（1）證明：在菱形和菱形，，，
又∵，
∴和都是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴：長度為定值，
（2）如圖，過點C作，垂足為H，
∵和都是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵在中，，
∴的面積
（3）解：延長、交與點，取中點，取中點，取中點，取中點，連接，如圖：
∵和都是等邊三角形，
∴，
∴是等邊三角形，
∴
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴當點P在起點A時，中點N與中點重合，當P在終點B時，中點N與中點重合，點N在線段上運動，故點運動路徑的長度為，
當點P在起點A時，M與點A重合，當P在終點B時，M與中點重合，故點運動路徑的長度為，
同理、、、的中點運動路徑的長度為4，
綜上所述：當點P從點A運動到點B時，各邊中點運動路徑的總長度為．
5．解：（1）∵四邊形ABCD是矩形
∴AB=CD，AB∥CD
∴∠BAE=∠DCF，
又∵AE=CF
∴△ABE≌CDF（SAS）
∴BE=DF
同理△ADE≌CBF（SAS）
∴ED=BF
∴四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）設，，，過E作EM⊥AD于M
∵EM⊥AD，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
由勾股定理得：
∴
∴的值為定值
（1）證明：∵四邊形是菱形，
∴，
即．
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）解：設對角線與相交于點．
∵四邊形是菱形，，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴的周長為：，
的面積為：；
（3）①∵，
∵和關于直線對稱，
∴當在處時，的值最小，最小值是，
當在點處時，的值最大，如圖，
過作，交的延長線于，
∵，
∴，
∵，
∴，
中，，
由勾股定理得：，
∴的最大值是：，
∵為邊上的一個動點（不與端點重合），
∴，
即；
②的值為定值，這個定值為；
理由是： ．
7．解：（1）四邊形是正方形，
，，
將繞點按順時針方向旋轉，得到．
，，
，
；
（2）如圖，在上截取，連接，
，，
，
，，
，
又，，
，
，
；
（3）的周長是定值，理由如下：
如圖，延長至，使，連接，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
的周長，
的周長是定值．
8．（1）解：結論：AE=AF．
理由：如圖①中，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；
（2）證明：如圖②中，
∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=DA=6，∠B=∠D=60°，
∴△ABC和△ACD為等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACD=60°=∠B，AC=AB，
∵a+b=6，即BE+DF=6=BC，
∴BE=CF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（3）解：不變，四邊形AECF的面積為，
理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，
則S△ABE=S△ACF，
故S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC=×62=9．
9．（1）證明：連接EF，
由折疊得AE=EG，∠EGB=∠A=90°，
∵E是AD的中點，
∴DE=AE=EG，
∵∠D=90°，
∴∠D=∠EGF=90°，
∵EF=EF，
∴△EGF≌△EDF，
∴GF=DF；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=BG=9，AD=BC，
設CF=x，則DF=9-x，DE=2CF=2x，BC=AD=2DE=4x，
∵GF=DF，
∴GF=9-x，
∴BF=BG+GF=9+9-x=18-x，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，
∴（4x）2+x2=（18-x）2，
解得x=或x=（舍去），
∴AD=4x=；
（3）n 是定值．
∵DC＝n DF，
∴，
∴FC=DC -DF=DC-=，
∵DF=GF，AB=BG=CD，
∴BF=BG+GF=，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，
∴BC2+()2=()2，
∴，
∴，
∴n =4．
10．解：（1）四邊形是正方形，理由如下：
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
由第一步折疊可知：，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
又∵，
∴四邊形是正方形；
（2）①設，則，
由勾股定理得，，
解得，
∴；
②的周長不變，為定值12．理由如下：
如圖，連接，，過點A作于點M，

由折疊可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的周長
，
∴的周長為12．
【題型2 四邊形中的最小值問題】
11．（1）連結，交于點G，作射線，交于點N，連結，則四邊形就是所求作的圖形；
四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形；
（2）連結，，過點D作于點H，
四邊形是菱形，
垂直平分，
，
，
當點P在點H處，且點Q在上時，取最小值，最小值為的長，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
即的最小值為．
故答案為：．

12．（1）證明：，，
四邊形是平行四邊形，，
平分．
，
，
，
四邊形是菱形；
（2）解：連接，，如圖：

由（1）知，四邊形是菱形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
菱形關于對角線所在直線對稱，
，
周長，
周長的最小值為，
在中，
，
周長的最小值為．
13．（1）證明：∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形；
（2）解：如圖所示，連接
∵四邊形是矩形
∴
∴當最小時，最小
∴當時，取得最小值
∵，，
∴
∴當時，
∴
∴
∴的最小值為，即的最小值為．
14．（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵E為的中點，，
∴，
∴，
∴；
（3）根據（2）可知：，
設，
∵E為x軸正半軸上一動點，
∴，
在中，，
∴，
由非負數的性質可得：的最小值為：18，
∵四邊形是平行四邊形，
∴．
15．（1），
證明：由旋轉知，，
和是邊長相等的等邊三角形，
，，
．
；
（2）解：四邊形的周長是變化的，
由（1）得，
，，
，
當、最短時，即、，四邊形的周長最小，
此時，
，
四邊形的周長最小值為；
（3）證明：過點作、，垂足分別為、．
，
在菱形中，平分，
，
，，
，
，
，
又 ，，
，
．
16．（1）解：如圖，連接，
四邊形是矩形，
，，
，
、分別是，中點，
，，
、是直線上的兩個動點，分別從，同時出發相向而行，速度均為每秒1個單位長度，
，
，
，，
，
，
四邊形為平行四邊形，
當時，四邊形為矩形，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
在中，，
或，
解得：或，
綜上所述，當或時，四邊形是矩形；
故答案為：或；
（2）解：①如圖2，連接，
垂直平分，
，
在中，
即，
解得：，
，
根據題意得：，，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形的面積是矩形面積的一半，
，，
，
，
解得：；
②如圖3，作點關于的對稱點，過點作于，連接，，則，，，
∵在點E、F運動的同時，點G以每秒1個單位長度的速度從A出發，沿折線運動，點H以每秒1個單位長度的速度從C出發，沿折線運動
∴
，
，
四邊形是矩形，
，，
∴
、是直線上的兩個動點，分別從，同時出發相向而行，速度均為每秒1個單位長度，
，
∵，
，
，，
，
，
四邊形是矩形，
∴
∵，
∴
∴
∵
四邊形為平行四邊形，
四邊形的周長為，
即當點，，三點共線時，四邊形的周長最小，最小值為．
故答案為：10．
17．（1）解：是等邊三角形，四邊形是正方形，
，，，，
，，
；
（2）解：如圖，作點關于的對稱點，連接與交于點，連接與交于點，連接，
由軸對稱的性質可知，，，
，
即當點、、三點共線時，有最小值，為的長．
是等邊三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
過點作于點，則是等腰直角三角形，
，
，
即點與點重合，
，
在中，，
即的最小值為．
18．解：（1）矩形與矩形面積相等，理由如下：
∵四邊形是矩形，
∴，
∴的面積與的面積相等，與的面積相等，與的面積相等，
∴剩下兩個長方形的面積也相等，即矩形與矩形面積相等．
(2)如圖：連接,
設，
則長方形的面積為，
由(1)中的結論可得，，解得：，即長方形的面積為3750．
（3）如圖：連接,
由題意可得：四邊形是矩形，
∴,
根據垂線段最短可得：當時，最小，即最小，
∵，
∴,
∴,即，解得：，
∴最小的最小值為．
19．（1）解：①當點，重合時，，
由折疊得，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
②連接
∵四邊形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴當A，C，Q三點共線時，最小，此時，
連接，
∵，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值為；
（2）當點，重合時，，
∴的面積最小，
過點D作于點H，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
當點P與點D重合時，過點M作于點G，
設，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，即，
∴
∴的面積的取值范圍是．
20．（1）解：如圖1，
（2）①解：如圖2，
四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值為2；
②解：如圖2，則四邊形是矩形，取的中點，連接，
∴，
∵，點是的中點，
∴，
點在以為直徑的上，
當三點共線時，最小，最小值為：，
∴的最小值為．
【題型3 四邊形中的最大值問題】
21．（1）連接，
∵四邊形是菱形，
∴
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）過點A作于點G，
∵是等邊三角形，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴四邊形的面積
（3）連接，要使的面積最大，則的面積最小，
∵
∴是等邊三角形，
∴
當時，最短，則的面積最小，
過點A作于點H，則．
由勾股定理得，，
∴的面積最大值=.
22．（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）如圖，連接，
∵與關于所在直線對稱，
∴，
∴，
∴，
又為中點，
∴，
∴，
∴，
又在中，，
即，
∴，
即，
∴
又
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴點P為的中點；
（3）如圖，連接，取的中點，
連接、．
由（2）知，點P坐標為
∵，，
∴，則，
∴點Q的坐標為，
又∵，
∴，
三角形兩邊之和大于第三邊，即，
∴當、、三點共線時，，此時的長度最大，
則的最大值．
23．（1）根據旋轉知: ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
故答案為：；
（2）過點作交的延長線于點，如圖，
∵，，
∴，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴，
根據上面結論可知，
設，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）如圖，過點作，取，連接，，如圖
∵，，∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴線段有最大值時，只需最大即可，
在中，，
當三點共線時，取最大值，此時，
在等腰直角三角形中，，，
∴，
∵，最大，即最大值為，
此時，
故答案為：．
24．
解：（1）BE=BF，證明如下：
∵四邊形ABCD是邊長為4的菱形，BD=4，
∴△ABD、△CBD都是邊長為4的正三角形，
∵AE+CF=4，
∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，
又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，
在△BDE和△BCF中，
DE=DF,∠BDE=∠C,BD=BC,
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴BE=BF；
（2）∵△BDE≌△BCF，
∴∠EBD=∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF=∠DBC=60°，
又∵BE=BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF=BE=BF，
當動點E運動到點D或點A時，BE的最大值為4，
當BE⊥AD，即E為AD的中點時，BE的最小值為，
∵EF=BE，
∴EF的最大值為4，最小值為．
25．（1）①證明： 如圖，
∵四邊形形是矩形，
，
∵旋轉，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形；
②設， 則，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
又 ，
，
，
．
（2）∵將矩形繞點按逆時針方向旋轉得到矩形，
∴旋轉過程中，是定值，
當三點共時， 三角形的面積最大，如圖，
此時
．
故答案為： ．
26．（1）解： ，
，，
，
，
，即，
正方形的邊長為6；
（2）由（1）知正方形達長為6，
∵是的中點，∴，
①由翻折得，，
，
連接，
則，
，
，
，
設，
則，
在中，
由，
即，
解得，
的長為2；
②由，，
得垂直平分，
，
又，
（同角的余有相等），
又，，
，
，
，
即的長為；
（3）由翻折知，
又是的中點，
，
由，
當、、共線時，最大，
如圖所示，
，
，
，
，
，
，
，
點運動的路徑長為．
27．（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，
∵四邊形是菱形，，
∴，，
即
在和中
∴
（2）解：∵等邊三角形的邊長為12，
∴，
∵
∴
當點在線段上時，如圖所示，
此時，
當點在線段的延長線上時，如圖所示，
此時，
綜上所述，當時，求的長度為或；
（3）如圖所示，連接，過點作于點，
∵四邊形是菱形，，
∴是等邊三角形，
，
設，則，
∵，
∴，
∴，
，
同理，
，
當取得最小值時，有最大值，
∴當時，取得最小值，
此時，
∴
即的最大值為
28．（1）解：∵滿足即．
∴，
∴，即
（2）與關于所在直線對稱，
，，
連接，
，
，，
設，，
在中，，即，
，
；
，，
，
同理，
，
，，
（），
，
點為的中點；
（3）取的中點，連接，．
，
∴
，點是的中點，
∴，
∵，則，
當點、、三點共線時，的長度最大，
則的最大值 ．
故答案為．
29．（1）①證明：由折疊性質知，
∵四邊形是正方形，
∴．
當點F與點B重合，時，，
∵為中點，
∴中，，
∴為等邊三角形，
∴，
∴四邊形為菱形；
②，
證明：如圖，∵四邊形是正方形，
∴．
結合折疊可得，，
，
，
，
，
，
過點作且，連接，
，
，
，
，
，
，
且，
，
，
在中，，
，
即；
（2）解：如圖，連接，
∵為中點．
∴，
，
在中，，
過作，
，
，
∴當時，最大，最大為3，
∴，
∵，
∴．
30．（1）證明：∵四邊形是矩形，
由折疊得，
（2）解：如圖②，連接、，
，
由折疊得點與點關于直線對稱，
垂直平分
解得，
解得，
∴的長是，的長是．
（3）解：如圖③，當點與點重合時，的值最小，
∵點與點關于直線對稱，
∴垂直平分，
；
如圖④，當點與點重合時，的值最大，
且
∴的最大值為6，最小值為．
【題型4 四邊形中的中點四邊形問題】
31．（1）解：四邊形為平行四邊形，理由如下：
∵，，分別是各邊的中點，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2），四邊形為矩形，
理由如下：由（1）得：四邊形為平行四邊形，
又∵°，
∴平行四邊形是矩形．
32．（1）證明: ∵分別是邊的中點,
且，
同理，且，
∴且
∴四邊形是平行四邊形；
（2）當時，平行四邊形是菱形.理由為：
分別是邊的中點,
∴，
又∵，，
∴，
∴平行四邊形是菱形．
33．（1）解：連接，如圖，
∵E、H分別是邊、的中點，
∴是的中位線
∴，，
同理，，，
∴, ,
∴“中點四邊形”的形狀是平行四邊形．
故答案為：平行四邊形．
（2）如圖，
已知：矩形中，E、F、G、H分別是邊、、、的中點
求證：四邊形是菱形
證明：連接、．
∵E、F分別是邊、的中點
∴是的中位線
∴，
同理，可得，，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形
∵四邊形是矩形
∴
∴
∴四邊形是菱形．
34．（1）證明：如圖1，
∵點、分別是、邊的中點，
，且，
同理，且，
∴且，
∴四邊形是平行四邊形．

（2）解：如圖2，當且時，平行四邊形是正方形，理由如下：
∵四邊形是平行四邊形，
，，，
當時，，
∵G、F為，的中點，
∴，
當時，，
∴，
∵D、G分別為、的中點，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形；

35．（1）解：∵、、、分別是四邊形各邊的中點，
∴、分別是和的中位線；
∴， ；
當時，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形；
故答案為：
（2）∵四邊形是矩形，
∴，
∵、、、分別是四邊形各邊的中點，
∴、分別是和的中位線；
∴，，
∴，
即：，
∴當時，四邊形為矩形．
（3）當時，由（1）得四邊形是菱形；
當時，由（2）四邊形是矩形；
∴四邊形是正方形；
故當且時，四邊形是正方形．
36．解：[操作一]
由作圖可知：，，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是菱形；
[操作二]
∵，
∴，
∴，即，
∵E、F分別是，中點，
∴，
同理：，，，，，
∴四邊形是平行四邊形，
又，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形的面積為．
37．（1）解：四邊形是矩形，理由如下：
在四邊形中，順次連接四邊形各邊中點，得到四邊形，
∴、分別為的中點，
∴是的中位線，
∴，，
同理可得：，，，，，；
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴平行多邊形是矩形，
（2）解：由（1）得四邊形是矩形，，是的中位線，
∴．
又∵，，
∴，，
∴．
（3）解：∵四邊形中，，，且，
∴；
由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，
即四邊形的面積是．
38．（1）解：①依據1：三角形的中位線定理；
依據2：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
②菱形；理由如下：
如圖1中，

根據題意可知，四邊形為平行四邊形，
，，
，
∵，，
，
∵，
，
四邊形是菱形．
（2）解：結論：四邊形是菱形．
理由：如圖，連接，，
，
，
即：，
，，
∴，
，
，
由問題情境可知：四邊形是平行四邊形
四邊形是菱形．
（3）解：結論：正方形．
理由：如圖，連接，，交于點O，交于點K，交于點J．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴四邊形是正方形．
39．（1）證明：如圖，連接，，

∵E，F，G，H分別是菱形各邊的中點，
∴，，，
∴，四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是矩形，
∴四邊形是四邊形的中矩四邊形．
（2）①如圖，連接，交于點，記與的交點為，

由題意得：，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵等腰和等腰，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，而，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴四邊形是四邊形的中矩四邊形．
②∵，
∴，
∵F，G，H，M分別為，，，的中點．
∴，，
∴，而四邊形是矩形，
∴四邊形是正方形，
∵四邊形的面積為8，
∴，
∴，（負根舍去）
∴，
∵，
∴，
∴．
40．解：（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四邊形”，
理由如下：因為正方形的對角線相等且互相垂直，所以其中點四邊形是正方形；
（2），．理由如下：
∵四邊形是“中方四邊形”，
∴四邊形是正方形，
∴，，
∵E，F，G，H分別是，，，的中點，
∴，，，，
∴，．
（3）如圖，設四邊形的邊的中點分別為M、N、R、L，連接交于P，連接交于K，

∵四邊形各邊中點分別為M、N、R、L，
∴、，，分別是、、、的中位線，
∴，，，，，，，，
∴，，，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵四邊形和四邊形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴平行四邊形是菱形，
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
∴菱形是正方形，即原四邊形是“中方四邊形”．
（4）如圖，記、的中點分別為E、F，

∵四邊形是“中方四邊形”，M，N分別是，的中點，
∴四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵M，F分別是，的中點，
∴，
∴；
（5）如圖， 連接交于O，連接、，

當點O在上（即M、O、N共線）時，最小，最小值為的長，
∴的最小值，
由性質探究（1）知：，
又∵M，N分別是，的中點，
∴，，
∴，
∴的最小值，
由拓展應用（4）知：；
又∵，
∴，
∴的最小值為．
【題型5 四邊形中的新定義問題】
41．（1）解：連接，如圖：
∵四邊形是菱形，
∴
∴
∵
∴是等邊三角形
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴四邊形是補等四邊形，
故答案為：是；
（2）解：四邊形是補等四邊形．
理由如下：作
∴．
∴
∵平分，
∴．
∵垂直平分，
∴
∴
∴．
∴
∴四邊形是補等四邊形．
42．（1）解：∵平行四邊形的對角線既不互相垂直，也不相等；矩形的對角線相等，但不垂直；菱形的對角線相互垂直，但不相等；正方形的對角線互相垂直且相等，
∴正方形是“神奇四邊形”，
故答案為：④．
（2）解：①四邊形是“神奇四邊形”，理由如下：
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是“神奇四邊形”．
②四邊形是“神奇四邊形”，理由如下：
∵點M，N，P，Q分別是，，，的中點，
∴，，，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由①可得，，
∴，
∴四邊形是正方形，
∴，且，
∴四邊形是“神奇四邊形”．
（3）解：延長交于點S，
由折疊的性質得，，，，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
設，則，
在中，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
43．（1）①寫出一種你學過的偽矩形：等腰梯形；
故答案為：等腰梯形．
②如圖所示，偽矩形中，，
分別為四邊中點，
∴
∴
∴四邊形是菱形；
∴順次連接偽矩形各邊中點所得的四邊形是菱形，
故選：C．
（2）在偽矩形中，
，，，
；
（3）解：作，垂足為，
偽矩形中，，，
，
，，，
，，
，
這個偽矩形的面積為
44．（1）證明：∵，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∵平分，
∴四邊形是“近似菱形”．
（2）解：作法：

①作菱形；
②以D為圓心，為半徑畫弧，交于點C；
③連接．
則四邊形為求作的“近似菱形”；
（3）解：∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當最小時，最小，當時，，
∴
當時，不符合“近似菱形”的定義，
∴ 且．
45．（1）解：∵點P為四邊形的一個“互補點”，
∴，
∵，，
∴，
故答案為：；
（2）證明：如圖，連接，
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，即
∴點P為菱形的一個“互補點” ．
46．（1）四邊形ABCD是沙漏四邊形，
，，，
四邊形ABCD是矩形，
，
，
為等邊三角形，
故答案為：60．
（2） ，
，
四邊形ABCD是沙漏四邊形，
，，，
，
，，
，，
，，，
∵四邊形BEDF是沙漏四邊形，
，
，
，
在中，
，
47．（1）證明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵對角線平分，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為鄰等四邊形．
（2）解：，，即為所求；

（3）解：∵四邊形是鄰等四邊形，，為鄰等角．
∴，
如圖，過作于，

∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，，
∴即
∴，
∴鄰等四邊形的周長為．
48．（1）平行四邊形的對角線互相平分，矩形的對角線互相平分且相等，菱形的對角線互相垂直平分，正方形的對角線互相垂直平分且相等，
正方形是“寧美四邊形”，
故答案為：；
（2）證明：四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
四邊形是“寧美四邊形”；
（3）圖，延長交于S，
由翻折的性質可知，，，，，
四邊形是正方形，邊長為，
，，
，，
，
設，則，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即線段的長為．
49．（1）解：由旋轉得：，，
，
，
四邊形是等補四邊形．
故答案為：是；
（2）解：如圖2，，，
將繞點順時針旋轉得，
，，，
，
，
，
，
、、三點共線，
，
，
，
（負值舍去）；
故答案為：4．
（3）解：，
將繞點逆時針旋轉的大小，得，如圖3，
，，，
，
，
、、三點共線，
，
當時，的面積最大，為．
則四邊形面積的最大值為．
50．（1）雙層四邊形為矩形，
理由如下：由折疊的性質可得，，
，
，
，
同理可得，
四邊形是矩形，
故答案為：矩；
（2）四邊形為矩形，
，，，
，，
又為平行四邊形，
，，
由折疊得，，
，
在與中，
，
，
，
由折疊得，，
，
又，
，
又，，
．
（3）有以下三種基本折法：
折法1中，如圖所示：
由折疊的性質得：，，，，，
四邊形是疊合正方形，
，
，
，；
折法2中，如圖所示：
由折疊的性質得：四邊形的面積梯形的面積，，，，，，
，
四邊形是疊合正方形，
，正方形的面積，
，
，
設，則，
梯形的面積，
，
，
，
，
，
解得：，
，．
折法3中，如圖所示，作于，
則，分別為，的中點，
則，，正方形的邊長，
，，
．
綜上所述：或11或．

展開更多......

收起↑