資源簡介

18.2.3 正方形小節(jié)復習題
【題型1 正方形與矩形、菱形的性質(zhì)的區(qū)別與練習】
1.學習了四邊形之后，小穎同學用如下圖所示的方式表示了四邊形與特殊四邊形的關(guān)系，則圖中的“M”和“N”分別表示（ ）
平行四邊形，正方形 B．正方形，菱形
C．正方形，矩形 D．矩形，菱形
2.下列性質(zhì)中，矩形、正方形都具有，但是菱形卻不具有的性質(zhì)是（ ）
A．對角線長度相等 B．對角線互相垂直
C．對角線互相平分 D．一組對角線平分一組對角
3.用兩塊完全重合的等腰直角三角形紙片拼下列圖形：（1）平行四邊形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等邊三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的圖形是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（5）
C．（2）（3）（5） D．（1）（3）（4）（5）
4.如圖，在平行四邊形中，E、F是對角線上的兩點（不與點A、C重合），且，分別連接，則下列結(jié)論錯誤的是（　　）
A．四邊形是平行四邊形
B．若四邊形是菱形，那么四邊形也是菱形
C．若四邊形是正方形，那么四邊形是菱形
D．若四邊形是矩形，那么四邊形也是矩形
【題型2 由正方形的性質(zhì)求角度】
1.如圖，在正方形中，點、分別為邊、上的點，連接、，平分，若．當時，則的度數(shù)為（ ）
A． B．
C． D．
2.如圖，正方形中，點分別在上，，經(jīng)過對角線的中點O，若，則一定等于（ ）

A． B． C． D．
3.如圖，在正方形中，點在對角線上，且；延長交于點，連接，則的度數(shù)為 ．

4.如圖，正方形的對角線與交于點，點為邊上一點，連接，過點作于點，連接，若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【題型3 由正方形的性質(zhì)求線段長】
1.如圖，在邊長為4的正方形中，點是上一點，點是延長線上一點，連接，，平分．交于點．若，則的長度為（　　）
A．2 B． C． D．
2.如圖，將正方形放在平面直角坐標系中，是原點，的坐標為則點的坐標為 （ ）

A． B．
C． D．
3.如圖，正方形和正方形中，點在上，，，于點，那么的長是（ ）
A． B． C． D．
4.如圖，在邊長為6的正方形中，點E，F(xiàn)分別是邊上的動點，且滿足，與交于點O，點M是的中點，G是邊上的點，，則的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
【題型4 由正方形的性質(zhì)求面積】
1.如圖，有一塊邊長為4的正方形（四條邊相等，四個角是直角）塑料模板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在點，兩條直角邊分別與交于點，與的延長線交于點，則四邊形的面積是 ．

2.《九章算術(shù)》中有一問題：“今有勾三步，股四步，問勾中容方幾何？”意思是：如圖1，直角三角形中，，，，求內(nèi)接正方形的邊長．我國數(shù)學家劉徽用“出人相補”原理將直角三角形補成知形（如圖1），在該圖形中發(fā)現(xiàn)一個與正方形面積相等的圖形，從而求得這個正方形的邊長．若點在線段上平移至點，連接，與直線分別相交于點，點（如圖2），則平行四邊形的面積為（ ）

A．12 B． C．25 D．
3.如圖，一個正方形中有兩個小正方形，如果它們的面積分別為，，則 （填“”或“=”或“”）．
4.如圖，以直角的每一條邊為邊長，在AB的同側(cè)作三個正方形，各個涂色部分分別用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④兩部分的面積和為，則③、⑤兩部分的面積和為（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
【題型5 正方形中的折疊問題】
1.如圖，正方形紙片的邊長為12，是邊上一點，連接，點在上，沿折疊，使點落在上的點，若，則的長為 ．

2.如圖，將邊長為8的正方形紙片沿對折再展平，沿折痕剪開，得到矩形和矩形，再將矩形繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)．使點與點重合，點的對應點為，則圖②中陰影部分的周長為（　　）
A．9 B．10 C．16 D．20
3.如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，．若將四邊形沿折疊，點B恰好落在邊上，則的長度為（ ）
A．1 B． C． D．2
4.如圖，取一張矩形的紙片進行折疊，具體操作過程如下：
(1)【課本再現(xiàn)】
第一步：如圖1，對折矩形紙片，使與重合，折痕為，把紙片展平；
第二步：在上選一點P，沿折疊紙片，使點A落在矩形內(nèi)部的點M處，連接，根據(jù)以上操作，當點M在上時，___________；
(2)【類比應用】
如圖2，現(xiàn)將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長交于點Q，連接，當點M在上時，求的度數(shù)；
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形紙片的邊長為，改變點P在上的位置（點P不與點A，D重合），沿折疊紙片，使點A落在矩形內(nèi)部的點M處，連接，并延長交于點Q，連接．當時，請求出的長．
【題型6 正方形中的證明】
1.如圖，在正方形紙片中，P為正方形邊上的一點（不與點A，D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在點P處，點C落在點G處，交于點H，折痕為，連接，，交于點M，連接．
(1)求證：平分；
(2)求證：；
(3)探究，與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
2.已知；正方形的邊長是4，F(xiàn)是邊的中點，E是上的點，且，如圖，求證：．
3.正方形的邊長為6，正方形的頂點E、F分別在正方形的對角線和邊上，，連接．
(1)求證：；
(2)求的值．
4.【閱讀材料】
在學習正方形時，我們遇到過這樣的問題：如圖1，在正方形中，點E、F、G、H分別在、、、上，且，垂足為M，那么與相等嗎？
分別過點G、H作、，垂足分別為P、Q，通過證明，得到．
根據(jù)閱讀材料，完成下面探究1、探究2中的問題．
【探究1】
如圖2，在正方形中，點E在上，使用無刻度的直尺和圓規(guī)作，交于點F（要求直尺、圓規(guī)各使用一次），保留作圖痕跡，并標出點F，不要求寫作法；
【探究2】
如圖3，在正方形中，點E、F分別在、上，將正方形沿著翻折，點B、C分別落在、處，且經(jīng)過點D，將紙片展開，延長交于點G，連接交于點M．
（1）求證：；
（2）求證：．
【題型7 正方形與矩形、菱形的判定定理的區(qū)別】
1.甲，乙兩位同學采用折疊的方法，判斷兩張四邊形紙片是否為正方形．
甲：如圖①進行兩次折疊，每次折疊后折痕兩側(cè)部分能完全重合，故判斷原四邊形是正方形；
乙：如圖②進行兩次折疊，每次折疊后折痕兩側(cè)部分能完全重合，故判斷原四邊形是正方形．
下列判斷正確的是（ ）

A．僅甲正確 B．僅乙正確 C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯誤
2.下列命題：
①對角線相等的菱形是正方形；
②對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；
③對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；
④對角線互相垂直的矩形是正方形；
其中是真命題的個數(shù)是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
3.如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，連結(jié)AC、BD，回答問題
（1）對角線AC、BD滿足條件 時，四邊形EFGH是矩形．
（2）對角線AC、BD滿足條件 時，四邊形EFGH是菱形．
（3）對角線AC、BD滿足條件 時，四邊形EFGH是正方形．
4.如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．當時，它是菱形 B．當時，它是菱形
C．當時，它是矩形 D．當時，它是正方形
【題型8 證明四邊形是正方形】
1.如圖1，四邊形為正方形，為對角線上一點，連接，．
(1)求證：；
(2)如圖2，過點作，交邊于點，以，為鄰邊作矩形，連接．
求證：矩形是正方形；
若正方形的邊長為，，求正方形的邊長．
2.如圖，在矩形中，是邊上一點，是的延長線上一點，連接，，已知，．

(1)求證：四邊形是正方形．
(2)若，，求四邊形的面積．
3.問題情境：數(shù)學活動課上，同學們開展了以“矩形紙片折疊”為主題的探究活動（每個小組的矩形紙片規(guī)格相同），已知矩形紙片寬．

(1)如圖1，小組將矩形紙片折疊，點落在邊上的點處，折痕為，連接，然后將紙片展平，得到四邊形．求證：四邊形是正方形；
(2)如圖2，小組將矩形紙片對折使與重合，展平后得到折痕，再次過點折疊使點落在折痕上的點處，得到折痕，連結(jié)，展平后得到四邊形，求四邊形的面積；
4.綜合與實踐
問題解決：
（1）如圖1，在中，是邊上的中線，是的中點，過點作，交的延長線于點，連接．求證：四邊形是平行四邊形．
類比遷移：
（2）如圖2，在（1）的條件下，當時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
拓展應用：
（3）當滿足什么條件時，四邊形是正方形？請直接寫出結(jié)論，不必證明．
【題型9 由正方形性質(zhì)與判定求線段長度】
1.正方形工整、勻稱、美觀，設(shè)計方便，在人們的生活和生產(chǎn)實際中有著廣泛的應用．如圖1為某園林石窗，其外框為邊長為6的正方形（如圖2），點E，F(xiàn)，G，H分別為邊上的中點，以四邊形各邊的三等分點的連線為邊，分別向內(nèi)作等邊三角形（如），四個等邊三角形的頂點恰好是正方形MNPQ各邊的中點，則點H，M之間的距離是 ．
2.如圖，在四邊形中，，，，，則對角線的長為 ．
3.綜合與實踐
問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：如圖1，在中，，點O是邊的中點，連接．保持不動，將從圖1的位置開始，繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，點A，D，C的對應點分別為點E，F(xiàn)，G．當線段與線段相交于點M（點M不與點A，B，F(xiàn)，G重合）時，連接．老師要求各個小組結(jié)合所學的圖形變換的知識展開數(shù)學探究．
(1)初步思考：如圖2，連接，“勤學”小組在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，請你證明這一結(jié)論；
(2)操作探究：如圖3，連接，“善思”小組在旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)垂直平分，請你證明這一結(jié)論；
(3)拓展延伸：已知，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當以點F，C，D為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時線段的長度．
4.如圖，已知四邊形是正方形，，點E為對角線上一動點，連接，過點E作，交射線于點F，以，為鄰邊作矩形，連，的最小值為 ．
【題型10 由正方形性質(zhì)與判定求角度】
1.四邊形 ABCD 為正方形，點 E 為線段 AC 上一點，連接 DE，過點 E 作 EF ⊥DE，交射線 BC 于點 F，以 DE、EF 為鄰邊作矩形 DEFG，連接 CG．
(1)如圖，求證：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的長；
(3)當線段 DE 與正方形 ABCD 的某條邊的夾角是 40°時，直接寫出∠EFC 的度數(shù)．
2.已知：是的角平分線，點在邊上，，過點作，交于點，連接．
(1)如圖1，求證：四邊形是菱形；
(2)如圖2，當時，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中度數(shù)為的度數(shù)2倍的角．
3.如圖，用四個完全相同的矩形拼成了一個大正方形，AB是其中一個小矩形的對角線，請在大正方形中完成下列畫圖，要求：①僅用無刻度的直尺；②保留必要的畫圖痕跡．
(1)在圖中畫出一個以AB為邊的正方形；
(2)在圖中畫出一個以點A或點B為頂點，AB為一邊的45°角，并說明理由．
4.如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，點B的對應點為E，點A的對應點D落在線段上，與相交于點F，連接．
(1)求證：平分；
(2)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(3)若，求的大小．（直接寫出結(jié)果即可）
【題型11 由正方形性質(zhì)與判定求面積】
1.【問題一】如圖①，正方形的對角線相交于點O，點O又是正方形的一個頂點， 交于點E， 交于點F，則與的數(shù)量關(guān)系為______；
【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖②：直線m、n經(jīng)過正方形的對稱中心O，直線m分別與交于點E、F，直線n分別與交于點G、H，且 ，若正方形邊長為8，求四邊形的面積；
【問題三】在圖②中，連接E、G、F、H四點，請證明四邊形是正方形．
2.如圖，陰影部分是一個正方形廣場，規(guī)劃將正方形的四邊各延長一倍，即、、、，將M、N、P、Q四點連接，建成新的廣場，試問建成的新廣場是什么形狀，并且它的面積是原廣場的多少倍？
3.已知，如圖，在四邊形中，，，，垂足為點E．
(1)求證：；
(2)若，，求四邊形的面積．
4.我們知道：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．類似地，我們定義：至少有一組對角是直角的四邊形叫做對角直角四邊形．
(1)下列圖形：①有一個內(nèi)角為的平行四邊形；②矩形；③菱形；
④直角梯形，其中對角直角四邊形是 （只填序號）；
(2)如圖，菱形的對角線，相交于點，在菱形的外部以為斜邊作等腰直角，連接．
①求證：四邊形是對角直角四邊形；
②若點到的距離是2，求四邊形的面積．
【題型12 由正方形性質(zhì)與判定證明】
1.如圖①，在正方形中，點分別在上且．

(1)試探索線段的大小關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由；
(2)連接，分別取的中點，順次連接，得到四邊形：
①請在圖②中補全圖形；
②四邊形是什么特殊平行四邊形？請說明理由．
2.如圖，若點是正方形外一點，且，，，則 °．
3.如圖，E，F(xiàn)，M，N分別是正方形四條邊上的點，且．試判斷四邊形是什么圖形，并證明你的結(jié)論．
4.問題情境：通過對《平行四邊形》一章內(nèi)容的學習，我們認識到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們除了具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有各自的特殊性質(zhì)．根據(jù)它們的特殊性，得到了這些特殊的平行四邊形的判定定理．數(shù)學課上，老師給出了一道題：如圖①，矩形的對角線，交于點O，過點D作，且，連接．
初步探究：
（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由．
深入探究：
（2）如圖②，若四邊形是菱形，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
拓展延伸：
（3）如圖③，若四邊形是正方形，四邊形又是什么特殊的四邊形？請說明理由．
參考答案
【題型1 正方形與矩形、菱形的性質(zhì)的區(qū)別與練習】
1.B
【分析】本題考查了特殊的平行四邊形，正確理解矩形，菱形，正方形之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)特殊的平行四邊形的概念判斷即可．
【詳解】解：∵矩形和菱形是特殊的平行四邊形，正方形即是菱形也是矩形，
∴是正方形，是菱形，
故選：B
2.A
【分析】利用正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)依次判斷可求解．
【詳解】解：菱形具有的性質(zhì)是：兩組對邊分別平行，對角線互相平分，對角線互相垂直；
矩形具有的性質(zhì)是：兩組對邊分別平行，對角線互相平分，對角線相等；
正方形具有菱形和矩形的性質(zhì)，
故選項B，C，D不符合題意；
菱形不具有的性質(zhì)為：對角線長度相等，
故選項A符合題意．
故選：A．
3.B
【分析】通過不同的組合方法，得出不同的圖形．
【詳解】解：用兩塊完全重合的等腰直角三角形紙片可以拼成下列圖形：
（1）平行四邊形

（3）正方形

（5）等腰直角三角

故選B．
4.D
【分析】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)， 正方形的性質(zhì)，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．連接交于點O，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得， 再根據(jù)E、F是對角線上的兩點（不與點A、C重合），，可得，進一步即可判斷A選項； 根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進一步即可判斷選項； 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，進一步即可判斷選項；根據(jù)矩形的性質(zhì)可得， 再根據(jù)E、F是對角線上的兩點 （不與點A、C重合），可得，進一步可判斷選項．
【詳解】解：連接交于點O，如圖所示：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵E、F是對角線上的兩點（不與點A、C重合）， ，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，故A不符合題意；
當四邊形是菱形時， ，
∴，
又∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，
故不符合題意；
當四邊形是正方形時， ，
∴，
又∵四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，
故不符合題意；
當四邊形是矩形時， ，
∵E、F是對角線上的兩點（不與點A、C重合），
∴，
∴四邊形不是矩形，
故符合題意，
故選：．
【題型2 由正方形的性質(zhì)求角度】
1.C
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，由正方形的性質(zhì)可得，，，進而由可得，，再由角平分線的定義得，又證明可得，最后利用角的和差關(guān)系即可求解，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故選：．
2.B
【分析】證明，可得，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，則可得，利用三角形外角和定理，即可得到的值．
【詳解】解：四邊形是正方形，
，
經(jīng)過對角線的中點O，
，
在與中，
，
，
，
，
，
，
，
故選：B．
3.
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)又證得，得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，最后根據(jù)平角定義求得答案．
【詳解】解：正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
故答案為：．
4.C
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對等角以及三角形外角性質(zhì)等知識，取中點G，連接，，設(shè)與交于點，證明，得，證明，求出，根據(jù)可得，整理后可得結(jié)論
【詳解】解：取中點G，連接，，設(shè)與交于點，如圖，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，，
又，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴
在和中，
∴，
∵，且，
∴
∴
而
又
∴
∴．
故選：C．
【題型3 由正方形的性質(zhì)求線段長】
1.D
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到，再證明得到，進一步證明得到，設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故選：D．
2.D
【分析】過點作軸于，過點作的延長線于，交y軸于點，由可證，可得，，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：如圖，過點作軸于，過點作的延長線于，交y軸于點，
點的坐標為，
，，
∵軸軸，
∴四邊形是矩形，
∴
四邊形是正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
點的坐標為，
故選：D．
3.D
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的面積，連接，由正方形的性質(zhì)得到，，利用勾股定理可求得，，，再根據(jù)三角形的面積得到，代入已求計算即可求解，由正方形的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，
∵正方形和正方形，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
故選：．
4.B
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，先證明得到，進而得到，則由直角三角形的性質(zhì)可得，如圖所示，在延長線上截取，連接，易證明，則，可得當H、D、F三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的一半，求出，在中，由勾股定理得，責任的最小值為5．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵點M是的中點，
∴；
如圖所示，在延長線上截取，連接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴當H、D、F三點共線時，有最小值，即此時有最小值，最小值即為的長的一半，
∵，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值為5，
故選：B．
【題型4 由正方形的性質(zhì)求面積】
1.16
【分析】證明，得到，計算即可．
【詳解】∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：16．
2.B
【分析】本題考查了正方形和矩形的性質(zhì)，正確列出方程是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)正方形的邊長為x，證明，則，得到 解得，即可求出正方形的邊長為，即可得到答案．
【詳解】如圖1，設(shè)正方形的邊長為x，

根據(jù)題意得，四邊形都是矩形，
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴
解得，
∴正方形的邊長為，
∴正方形的邊長為，
∵平行四邊形的面積
故選：B．
3.
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理等等知識，設(shè)正方形的邊長為6，然后求出與的值，問題得解．
【詳解】解：如圖，設(shè)正方形的邊長為6，
∵是正方形的對角線，
，，
∴，
又∵四邊形與四邊形是正方形，
，，
，，
，，
∴．
故答案為：．
4.B
【分析】設(shè)序號為①，②，③，④，⑤圖形的面積分別為，，，，，利用正方形性質(zhì)，三角形全等證明即可，本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】如圖所示，
設(shè)序號為①，②，③，④，⑤圖形的面積分別為，，，，，，
根據(jù)題意，得，
四邊形是正方形，，
，
，，
，
，
．
∴
∵②、④兩部分的面積和為，
∴，
四邊形是正方形，四邊形是正方形，
，
，
．
∴，
根據(jù)題意，得
，
故選B．
【題型5 正方形中的折疊問題】
1.
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì) ，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，面積法求線段的長度等，解題關(guān)鍵是能夠靈活運用正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)．
由折疊及軸對稱的性質(zhì)可知， 垂直平分, 先證推出的長，再利用勾股定理求出的長, 最后在中利用面積法可求出的長，可進一步求出的長，的長.
【詳解】解：設(shè)與交于點M，
在正方形中,
，
在中,，
∵由折疊的性質(zhì)可得
，
∴垂直平分,
，
∵，
所以，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
故答案為：
2.D
【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及菱形的判定與性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是勾股定理以及菱形的判定．首先根據(jù)已知條件判斷出，得到，，然后可設(shè)的長度為x，則，根據(jù)勾股定理列方程可解出x，最后證明陰影部分是菱形后，即可求出其周長．
【詳解】解：如圖，設(shè)交于G，旋轉(zhuǎn)后交于點H，

由題意知，，，
又∵，
∴，
∴，，
設(shè)，則，
在中，，
解得：，
∴，
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
又∵，
∴為菱形，
∴陰影部分的周長為：，
故選：D．
3.D
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用以上性質(zhì)；根據(jù)可得根據(jù)折疊后對應角相等、對應邊相等，可得，進而可得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，列方程求解即可．
【詳解】解：四邊形是正方形，
將四邊形沿折疊，點B恰好落在邊上，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
故選：D．
4.（1）解：如圖，連接，
∵對折矩形紙片，使與重合，折痕為，
∴垂直平分,
∴，，
∵沿折疊紙片，使點落在矩形內(nèi)部的點處，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：如圖，
同（1）可證，
∴，
在正方形中，，，
由折疊知，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（3）解：當點Q在點F的下方時，如圖，
∵正方形中，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
設(shè)，由折疊知，
∴，，
在中，，
∴，
解得，即；
當點Q在點F的上方時，如圖，
則，
∴，
∴，
設(shè)，
則，，
在中，，
∴，
解得，即；
綜上可知，的長為或．
【題型6 正方形中的證明】
1.（1）證明：由題意，得，
∴．
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，即平分．
（2）證明：如圖1，過點F作于點K，設(shè)交于點O．
∵，
∴四邊形是矩形，
∴．
∵點B與點P關(guān)于對稱，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）解：．
理由：如圖，過點B作，垂足為Q．
由（1）知，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
2.證明：連接，延長交延長線于點G，如圖：
∵正方形，
，
，
，
∴設(shè)，則，
在中，，
∵點F是中點，
∴，
∵，
，
，
，
，
又∵
．
3.（1）證明：∵正方形和，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：連接和，
∵正方形的邊長為6，且，
∴，，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴．
4.解∶[探究1]
如圖，即為所求，

∵四邊形是正方形，
∴，，，
由作圖知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
[探究2]
（1）證明：∵翻折，
∴，，
又，
∴，
∴；
（2）連接，過F作于N，
則四邊形是矩形，
∴，，
又，
∴，
∵翻折，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
又，，
∴
【題型7 正方形與矩形、菱形的判定定理的區(qū)別與練習】
1.D
【分析】利用折疊的性質(zhì)和菱形、矩形、正方形的判定即可得出答案．
【詳解】解∶①按照圖①折疊，可得四邊形的四邊相等，原四邊形是菱形或正方形；
②按照圖②折疊，可得四邊形的四個角相等，不能得四條邊相等，原四邊形是矩形；
故選∶ D．
2.A
【分析】利用正方形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．
【詳解】解：對角線相等的菱形是正方形，正確，是真命題，符合題意；
對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，正確，是真命題，符合題意；
對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，正確，是真命題，符合題意；
對角線互相垂直的矩形是正方形，正確，是真命題，符合題意．
真命題有個，
故選A．
3. AC⊥BD AC＝BD AC⊥BD且AC＝BD
【分析】先證明四邊形EFGH是平行四邊形，
（1）在已證平行四邊形的基礎(chǔ)上，要使所得四邊形是矩形，則需要一個角是直角，故對角線應滿足互相垂直
（2）在已證平行四邊形的基礎(chǔ)上，要使所得四邊形是菱形，則需要一組鄰邊相等，故對角線應滿足相等
（3）聯(lián)立（1）（2），要使所得四邊形是正方形，則需要對角線垂直且相等
【詳解】解：連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，
∴EF∥AC，EF＝AC，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G＝BD，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，EH＝BD．
∴EF∥HG，EF＝GH，F(xiàn)G∥EH，F(xiàn)G＝EH．
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
（1）要使四邊形EFGH是矩形，則需EF⊥FG，
由（1）得，只需AC⊥BD；
（2）要使四邊形EFGH是菱形，則需EF＝FG，
由（1）得，只需AC＝BD；
（3）要使四邊形EFGH是正方形，綜合（1）和（2），
則需AC⊥BD且AC＝BD．
故答案是：AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD
4.D
【分析】此題主要考查學生對正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，學生答題時容易出錯．
根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形．
【詳解】解：A、根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形是平行四邊形，當時，它是菱形，故A選項正確，不符合題意；
B、四邊形是平行四邊形，，
四邊形是菱形，故B選項正確，不符合題意；
C、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項正確，不符合題意；
D、根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可知當時，它是矩形，不是正方形，故D選項錯誤，符合題意．
故選：D．
【題型8 證明四邊形是正方形】
1.（1）證明：∵四邊形為正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①證明：如圖，作于，于，則四邊形為矩形，
∴，
∵點是正方形對角線上的點，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴矩形是正方形；
②解：正方形和正方形中，，，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
連接，
∴，
∴，
即正方形的邊長為．
2.（1）證明：四邊形是矩形，
，
，．
，
，
，
，
，
．
矩形是正方形．
（2）解：，，
，
．
．
3.（1）四邊形是正方形，理由如下：
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
由第一步折疊可知：，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形，
又∵，
∴四邊形是正方形；
（2）連接，

由折疊得，
∴
∴
∴是等邊三角形，
∴
∴
設(shè)則，
由勾股定理得，
∴
解得，（負值舍去）
∴
由折疊得，，
∴．
4.證明：（1），
，
是的中點，
，
在和中，
，
，
，
是邊上的中線，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形；
（2）四邊形是矩形，理由如下：
，是邊上的中線，
，即，
又四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形；
（3）當滿足，時，四邊形是正方形，
由（2）可知，當時，四邊形是矩形，
在中，是邊上的中線，
，
四邊形是正方形，．
【題型9 由正方形性質(zhì)與判定求線段長度】
1.
【分析】先利用勾股定理得到，進而證明四邊形是正方形，則可得到，過點K作，延長分別交于L、S，則，利用勾股定理得到；證明四邊形是矩形，得到，由對稱性可知，則；證明四邊形是矩形，得到，；如圖所示，過點M作于W，則四邊形是矩形，可得，再證明，得到，則，即點H，M之間的距離是．
【詳解】解：∵點E，F(xiàn)是正方形邊，
∴，
∴，，
同理可得，
∴，
∴四邊形是正方形，
∵四邊形各邊的三等分點的連線為邊，分別向內(nèi)作等邊三角形，
∴，
如圖所示，過點K作，延長分別交于L、S，
∴，
∴；
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
由對稱性可知，
∴；
∵K、L分別為正方形邊的中點，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，；
如圖所示，過點M作于W，則四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點H，M之間的距離是，
故答案為：．
2.
【分析】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
如圖，作于，于，則四邊形是矩形，證明，則，，可得四邊形是正方形，則，設(shè)，則，，由，可求，則，由勾股定理得，，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，作于，于，則四邊形是矩形，
∴，即，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴四邊形是正方形，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
故答案為：．
3.（1）證明：連接交于點，
由題意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是線段的垂直平分線，
∴點是線段的中點，
∵點O是邊的中點，
∴是的中位線，
∴；
（2）證明：延長交于點，
由（1），是線段的垂直平分線，
∴，
由題意得，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分；
（3）解；當時，則點在線段的垂直平分線上，作于點，如圖，
由題意得，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
當時，如圖，
由題意得，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴四邊形是正方形，
∴；
當時，如圖，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴在同一直線上，
設(shè)，
∴，，
在中，，即，
解得，
∴；
綜上，線段的長度為1或或．
4.
【分析】過點作于點，作于點，利用定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得；連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)、利用定理證出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)垂線段最短求出的最小值，由此即可得．
【詳解】解：如圖，過點作于點，作于點，
四邊形為正方形，
，，
，且，
四邊形為正方形，
，，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
在和中，，
，
，
矩形為正方形．
如圖，連接，
四邊形為正方形，，
，
，
矩形為正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
由垂線段最短可知，當時，取得最小值，最小值為，
的最小值為．
故答案為：
【題型10 由正方形性質(zhì)與判定求角度】
1.（1）證明：如下圖所示：
作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如圖2：
在Rt△ABC中AC＝AB＝，
∵EC＝2，
∴AE＝CE，
∴點F與C重合，此時△DCG是等腰直角三角形，
∴；
（3）①如圖3：
當DE與AD的夾角為40°時，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如圖4：
當DE與DC的夾角為40°時，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
綜上所述，∠EFC＝130°或40°．
2.（1）證明：在和中，
，
∴；
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：由（1）知四邊形是菱形，
又∵，
∴四邊形是正方形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
由三角形的外角性質(zhì)得：，
∴度數(shù)為的度數(shù)2倍的角有：,，，．
3.（1）解：如圖，四邊形ABCD為所求；
連接AD、DC、BC，所得四邊形即為所作正方形；
（2）解：如圖，∠BAC即為所求．
理由如下：
∵四個全等的矩形被對角線分成的直角三角形全等，
∴．
∴四邊形ABCD是菱形．
又∵(SAS)，
∴．
∵，
∴．
∴四邊形ABCD是正方形，連接AC．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴．
4.（1）證明：∵是由旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：結(jié)論：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：如圖，連接，過點B作交的延長線于H，作于T，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形為正方形，
∴，
∵，
∴，
，，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴．
【題型11 由正方形性質(zhì)與判定求面積】
1.問題一： ，
證明如下：在 和 中，
因為 ，
且 ，
所以 ，又因為 ， ，
所以 ，所以 ；
問題二：
如圖，連接，
因為點O是正方形的中心，所以，
又由問題一可知，，所以，
所以；
問題三：四邊形是正方形，
證明如下：由問題一知，，所以，
所以由勾股定理知，所以四邊形是菱形，
又因為在和中，對應邊均相等，所以兩個三角形全等，所以，
所以，所以，所以四邊形是正方形．
2.解：新建的四邊形為正方形．新廣場的面積是原廣場面積的5倍．
理由：四邊形為正方形，
，，
．
，，，，
，
，
．
在和中
，
，
，，．
，
，
即，
同理可得，，
，
，
四邊形為菱形．
，
菱形為正方形．
設(shè)原來正方形邊長為，則新建的正方形邊長為：．
新建的面積是原廣場面積的5倍．
3.（1）證明：過點D作，交的延長線于點M，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴矩形是正方形
∵，
∴，
∴
∴
，
∴四邊形的面積為．
4.（1）解：①有一個內(nèi)角為45°的平行四邊形，沒有的內(nèi)角，不是對角直角四邊形；②矩形的對角為，是對角直角四邊形；③菱形的對角不一定為，不是對角直角四邊形；④直角梯形，的鄰角為，但對角不一定為，不是對角直角四邊形．
故答案為：②．
（2）①證明:∵.四邊形是菱形，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴四邊形是對角直角四邊形；
②如圖：過N作于H，于G，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴四邊形是正方形，
∴四邊形的面積=正方形的面積.
【題型12 由正方形性質(zhì)與判定證明】
1.（1）解：．
∵是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①補全圖形如圖，

②四邊形是正方形．
∵H、I、J、K分別是的中點，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形．
2.
【分析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，由等腰直角三角形性質(zhì)可得，利用勾股定理得到，進而得到，由勾股定理逆定理可知，，最后根據(jù)，即可求得．
【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，
，
，，
，，，
，
，
，
，，
，
是直角三角形，且，
，
故答案為：．
3.證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴，，
∵，
∴，
在與中，
，
∴，
同理可證：，
∴，
∴四邊形EFMN為菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形EFMN為正方形．
4.解：（1）四邊形是菱形
理由如下：
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
所以四邊形是菱形 ；
（2）（1）中的結(jié)論不成立；
理由如下：
同（1），得四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形
（3）四邊形是正方形；
理由如下：
同（1），得四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴四邊形是正方形．

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