資源簡介

2024-2025學年八下數學下冊第一次月考知識點復習題
【類型1 基礎題篇·24題】
【必考點1 二次根式的定義】
1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式中、、、、、，二次根式的個數是（　　）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
3．已知為整數，則正整數n的最小值為（　　）
A．3 B．9 C．18 D．21
【必考點2 最簡二次根式的定義】
4．下列二次根式：中，是最簡二次根式的有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
5．關于下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥．小紅說：“最簡二次根式只有①④．”小亮說：“我認為最簡二次根式只有③⑥．”則（　　）
A．小紅說得對
B．小亮說得對
C．小紅和小亮合在一起對
D．小紅和小亮合在一起也不對
6．在，，，，中，最簡二次根式的個數為（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【必考點3 同類二次根式的定義】
7．根式中，與是同類二次根式的有（　　）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列二次根式中，是同類二次根式的是（　　）
A．與 B．與
C．與 D．與
9．如果最簡二次根式和是同類二次根式，那么a，b的值為（　　）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝1 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2
【必考點4 二次根式有意義條件】
10．使代數式有意義的自變量x的取值范圍是（　　）
A．x≥1 B．x＞1且x≠2 C．x≥1且x≠2 D．x＞1
11．使得式子有意義的x的取值范圍是（　　）
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
12．如果，那么（　　）
A．x≥0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1
【必考點5 根據二次根式的性質化簡】
13．已知1＜p＜2，化簡（）2＝（　　）
A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p
14．若3﹣b，則b的值為（　　）
A．0 B．0或1 C．b≤3 D．b≥3
15．化簡的結果是（　　）
A．6﹣3a B．2﹣a C．﹣a D．a﹣4
【必考點6 勾股數】
16．下列各組數為勾股數的是（　　）
A．7，12，13 B．3，3，4
C．0.3，0.4，0.5 D．18，24，30
17．下列四組數中，勾股數是（　　）
A．2，3，5 B．6，8，10
C．0.3，0.4，0.5 D．，，3
18．在學習“勾股數”的知識時，愛動腦的小明發現了一組有規律的勾股數，并將它們記錄在如下的表格中：
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
則當a＝20時，b+c的值為（　　）
A．162 B．200 C．242 D．288
【必考點7 直角三角形的判定】
19．在下列由線段a，b，c的長為三邊的△ABC中，不能構成直角三角形的是（　　）
A．a2＝c2﹣b2
B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．，b＝1，c
D．a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0）
20．若△ABC的三邊長分別是a，b，c，則下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝5：12：13；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④b2＝（a+c）（a﹣c）中不能判定△ABC是直角三角形的個數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
21．△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，下列各組條件：
①∠B＝∠A﹣∠C；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
③；
④a2＝（b+c）（b﹣c）．
其中能判斷△ABC是直角三角形的組數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【必考點8 判斷命題的逆命題真假】
22．下列命題的逆命題成立的是（　　）
A．兩直線平行同位角相等
B．如果兩個實數都是正數，那么它們的積是正數
C．全等三角形的對應角相等
D．對頂角相等
23．下列命題的逆命題成立的是（　　）
A．全等三角形的對應角相等
B．如果兩個實數相等，那么它們的平方相等
C．等邊三角形是銳角三角形
D．如果兩個實數的積是正數，那么它們都是正數
24．下列各命題中，其逆命題為真命題的是（　　）
A．若α＝b，則|a|＝|b|
B．如果兩個實數相等，那么它們的平方相等
C．對頂角相等
D．如果三角形的三邊長a，b，c，滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形
【類型2 計算題篇·25題】
【必考點9 二次根式的混合運算】
1．計算：
（1）； （2）．
2．計算
（1） （2）
3．計算：
（1）； （2）．
4．計算：
（1）； （2）．
5．化簡：
（1）； （2）．
6．（1）2（） （2）（）2+23．
7．計算
（1）； （2）．
8．計算：
9．計算
（1）； （2）．
10．計算：
（1）； （2）．
【必考點10 先化簡再求值】
11．先化簡，后求值：，當代入求值．
12．先化簡，再求（）的值，且a、b滿足|a|0．
13．先化簡，再求值：，其中x1．
14．先化簡，再求值：，其中，．
15．先化簡，再求值：，其中．
16．先化簡，再求值：，其中．
17．先化簡，再求值：（x﹣1），其中x2．
18．先化簡，再求值：，其中，y＝27．
19．先化簡，再求值：xy2（x25x），其中．
20．先化簡：，再求當，時的值．
【必考點11 求代數式的值】
21．已知，，求下列代數式的值：
（1）x2﹣xy+y2； （2）．
22．已知實數x，y滿足關系式，求的值．
23．已知a＝3，b＝3，分別求下列代數式的值：
（1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2．
24．已知x2，y2，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2； （2）x2﹣y2．
25．已知x+1，y﹣1，試求下列代數式的值．
（1）（x﹣1）2+4（x﹣1）+4； （2）x2﹣y2．
【類型3 作圖題篇·8題】
【必考點12 利用勾股定理構三角形】
1．在如圖所示的4×4方格中，每個小方格的邊長都為1．
（1）在圖1中畫出一個三條邊長分別為，3，的三角形，使它的頂點都在格點上；
（2）在圖2中畫一個面積為5的直角三角形，使它的頂點都在格點上．
2．設正方形網格的每個小正方形的邊長為1．
（1）請在圖1的正方形網格中畫出長度為的線段；
（2）請在圖2中畫出格點△ABC，使．
（3）在第（2）的條件下，請直接寫出點B到AC的距離是 　 　．
3．圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1．線段AB的端點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．
（1）在圖①中以AB為邊畫一個等腰三角形，使它的三邊長均是無理數；
（2）在圖②中以AB為邊畫一個直角三角形，使它的直角邊之比為1：2；
（3）在圖③中以AB為邊畫一個鈍角三角形，使它的鈍角為135°．
4．如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都為1，每個小格的頂點叫做格點，其中格點A已在網格中標出，以格點為頂點按下列要求畫圖（不需要寫畫法）．
（1）在圖中畫一個△ABC，使其三邊長分別為AB，AC＝2，BC；
（2）在（1）的條件下，計算：S△ABC＝ ；BC邊上的高為　 　（直接寫出結果）；
（3）設直角三角形的兩條直角邊及斜邊上的高分別為a，b及h，
求證：．
5．如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都為1，每個小格的頂點叫格點，分別按下列要求畫圖．（要求用無刻度直尺畫圖，不需要寫畫法）
（1）在圖1中，畫一個頂點都在格點上的正方形，使它的面積是10；
（2）在圖2中，畫一個頂點都在格點上的△ABC，使它的三邊長分別為AB，BC＝5，AC，并計算BC邊上的高為 　 　；（直接寫出計算結果）
（3）若三角形有兩條邊分別為，，面積為3.5，請直接寫出第三邊的長度．
6．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B、C均在格點上．
（1）如圖1，直接寫出AC的長為 　 　，△ABC的面積為 　 　；
（2）請在圖1中，用無刻度的直尺作出AC邊上的高BD，并保留作圖痕跡，BD＝　 　．
（3）如圖2，在BC上找一點P，使∠BAP＝45°．
7．如圖，每個小正方形的邊長為1，四邊形ABCD的每個頂點都在網格的格點上，且AB，AD．
（1）請在圖中標出點A位置，補全四邊形ABCD，并求其面積；
（2）判斷∠BCD是直角嗎？請說明理由．
8．如圖，每個小正方形的邊長都是1，請按下列要求作圖．
（1）在圖1中，作出三角形，使它的三邊長分別為、、；
（2）在圖2中，畫△ABC的角平分線BF；
（3）在圖2中，點M在BC上，在AB上找點N，使BN＝BM；
（4）在圖3中，過點M畫線段MH，使MH⊥AC．
【類型4 中檔題篇·30題】
【必考點13 化簡含字母的二次根式】
1．把中根號外面的因式移到根號內的結果是（　　）
A． B． C． D．
2．化簡二次根式的正確結果是（　　）
A． B． C． D．
3．把根號外面的因式移到根號內得（　　）
A． B． C． D．
【必考點14 根據趙爽弦圖求值】
4．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．2002年8月在北京召開的國際數學家大會會微取材于我國古代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊為b，那么（a+b）2的值為（　　）
A．169 B．25 C．19 D．13
6．如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案．已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結論：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49．其中正確的結論是（　　）
A．①② B．② C．①②③ D．①③
【必考點15 利用勾股定理求面積】
7．在直線l上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+2S2+2S3+S4＝（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形，若S1+S4＝100，S2﹣S3＝28，則S2＝（　　）
A．128 B．72 C．64 D．59
9．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以直角三角形的三條邊為邊，在直線AB同側分別作正三角形，已知S甲＝8，S乙＝6，S丙＝3，則△ABC的面積是（　　）
A．5 B．11 C．17 D．22
【必考點16 勾股定理與網格】
10．如圖，△ABD和△ABC的頂點均在邊長為1的小正方形網格格點上，則∠BAC的度數為（　　）
A．120° B．135° C．150° D．165°
11．如圖是由邊長相等的小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點，A、B、C、D四點均在格點上，則∠ABC+∠ADC的度數為（　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
12．如圖，在3×3的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，AD為△ABC的高，則AD的長為（　　）
A． B． C． D．
【必考點17 規律問題】
13．小強根據學習“數與式”積累的經驗，對下面二次根式的運算規律進行探究，并寫出了一些相應的等式如下；，；；，b均為正整數），則（a2﹣b）2024的值為（　　）
A．2024 B．﹣1 C．1572024 D．1
14．通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運算規律：特例1：；特例2：；特例3：應用發現的運算規律求值　 　．
15．如圖，細心觀察圖形，認真分析下列各式，然后解題，
，；
，；
，；
（1）請用含有n（n是正整數）的等式表示上述各式的變化規律；
（2）求OA2024的長；
（3）求的值．
【必考點18 求立體圖形的最短路徑問題】
16．如圖，長方體的高為9cm，底面是邊長為6cm的正方形，一只螞蟻從頂點A開始，爬向頂點B，那么它爬行的最短路程為 　 　cm．
17．如圖，透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為15cm，底面周長為8cm，在容器內壁離容器底部6cm的A處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在與點A處相對的玻璃杯外壁，且距離容器頂部1cm的點B處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長度是　 　cm．
18．如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B在棱CD上，CB＝5cm．一只螞蟻要沿長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短路程為 　 　cm．
【必考點19 勾股定理逆定理的應用】
19．如圖，四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝2，CD＝3，，∠B＝90°．
（1）求∠BCD的度數；
（2）求四邊形ABCD的面積．
20．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，DE是△ABD的邊AB上的高，E為垂足，且AD＝2，BD＝4．
（1）試判斷△ABD的形狀，并說明理由；
（2）求DE的長．
21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，D為AB上一點，CD＝8，BD＝6．
（1）求證：∠CDB＝90°；
（2）求AC的長．
【必考點20 勾股定理的實際應用】
22．如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男子拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動到E，同時小船從A移動到B，繩子始終繃緊且繩長保持不變．
（1）若CF＝7米，AF＝24米，AB＝18米，求男子需向右移動的距離．（結果保留根號）
（2）在（1）的條件下，此人以0.5米每秒的速度收繩，請通過計算回答，該男子能否在30秒內將船從A處移動到岸邊點F的位置？
23．如圖，臺風中心沿監測點B與監測點A所在的直線由東向西移動，已知點C為一海港，且點C與A，B兩點的距離分別為300km、400km，且∠ACB＝90°，過點C作CE⊥AB于點E，以臺風中心為圓心，半徑為260km的圓形區域內為受影響區域，臺風的速度為25km/h．
（1）求監測點A與監測點B之間的距離；
（2）請判斷海港C是否會受此次臺風的影響，若受影響，則臺風影響該海港多長時間？若不受影響，請說明理由．
24．校車安全是社會關注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載．某校八年級數學活動小組設計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗：先在公路旁邊選取一點C，再在筆直的車道l上確定點D，使CD與l垂直，測得CD長為15米，在l上點D的同側取點A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．
（1）求AB的長（精確到0.1米，參考數據：，）；
（2）已知本路段對校車限速30千米/小時，若測得某輛校車從A到B用時2秒，這輛校車是否超速？說明理由．
25．“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鳶”．又到了放風箏的最佳時節．某校八年級（1）班的小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度CE，他們進行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為25米；③牽線放風箏的小明的身高為1.6米．
（1）求風箏的垂直高度CE；
（2）如果小明想風箏沿CD方向下降12米，則他應該往回收線多少米？
26．綜合與實踐
問題情境：某消防隊在一次應急演練中，消防員架起一架長25m的云梯AB，如圖，云梯斜靠在一面墻上，這時云梯底端距墻腳的距離BC＝7m，∠DCE＝90°．
獨立思考：
（1）這架云梯頂端距地面的距離AC有多高？
深入探究：
（2）消防員接到命令，按要求將云梯從頂端A下滑到A′位置上（云梯長度不改變），AA′＝4m，那么它的底部B在水平方向滑動到B′的距離BB′也是4m嗎？若是，請說明理由；若不是，請求出BB′的長度．
問題解決：
（3）在演練中，高24.3m的墻頭有求救聲，消防員需調整云梯去救援被困人員．經驗表明，云梯靠墻擺放時，如果云梯底端離墻的距離不小于云梯長度的，則云梯和消防員相對安全．在相對安全的前提下，云梯的頂端能否到達24.3m高的墻頭去救援被困人員？
【必考點21 二次根式相關閱讀材料題】
27．閱讀材料：像，……這樣兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式．例如與，1與1，2與2等都是互為有理化因式．
在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．
例如：；．
解答下列問題：
（1）3與 　 　互為有理化因式；
（2）計算：；
（3）已知有理數a，b滿足，求a，b的值．
28．在課外學習活動中，小明遇到一道題：已知，求2a2﹣8a+1的值．
他是這樣解答的：，所以．
所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
所以a2﹣4a＝﹣1
所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
小明的解題過程運用了二次根式化簡的方法和整體思想，請你參考他的解題過程，解決如下問題：
（1）　 　；
（2）化簡：；
（3）若，求a4﹣4a3﹣4a+4的值．
29．定義：我們將與稱為一對“對偶式”．因為，可以有效的去掉根號，所以有一些題可以通過構造“對偶式”來解決．
例如：已知，求的值，可以這樣解答：
因為，
所以．
根據以上材料，理解并運用材料提供的方法，解答下列問題：
（1）已知：，則　 　；
（2）化簡：　 　；
（3）計算：．
30．閱讀下列材料，然后回答問題．
學習數學，最重要的是學習數學思想，其中一種數學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2我們可以把a+b和ab看成是一個整體，令x＝a+b，y＝ab，則a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結果．
（1）計算： 　 　．
（2）m是正整數，，，且3a2+1711ab+3b2＝2005，求m．
（3）已知，求的值．
【類型5 壓軸題篇·20題】
【必考點22 幾何求最值問題】
1．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B的橫坐標為3，且∠AOB＝30°，C點坐標為，點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為（　　）
A． B． C． D．
2．如圖，在直角坐標系中，A（1，0），B（16，0），OC＝20，且點C的縱坐標為5，P為線段OC上一動點，連接AP、PB；則PA+PB的最小值為（　　）
A． B． C．16 D．
3．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，以BC為斜邊在BC上方作等腰直角△BDC，連接AD，則AD的最大值為 　 　．
4．如圖，△ABC中，AB＝AC＝8，∠ABC＝75°．BD是△ABC的邊AC上的高，點P是BD上動點，則的最小值是 　 　．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，BC＝10，D、E分別是AB、BC上的動點，且CE＝BD，連接AE、CD，則AE+CD的最小值為 　 　．
【必考點23 幾何多結論問題】
6．在 Rt△ABC中，AC＝BC，點D為AB中點．∠GDH＝90°，∠GDH繞點D旋轉，DG，DH分別與邊AC，BC交于E，F兩點．下列結論①AE+BFAB，②AE2+BF2＝EF2，③S四邊形CEDFS△ABC，④△DEF始終為等腰直角三角形．其中正確的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
7．如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，AC＝BC，EC＝CD，△ABC的頂點A在△ECD的斜邊DE上．下列結論：①∠ACD＝∠ABD；②AC2+AD2＝CD2；③；④BC2﹣AE2＝AD2﹣AC2．其中一定正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
8．如圖，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中點，點D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分別為E，F，連接EM．則下列結論中：
①BF＝CE；
②∠AEM＝∠DEM；
③AE﹣CEME；
④DE2+DF2＝2DM2；
⑤若AE平分∠BAC，則EF：BF：1；
正確的有　 　．（只填序號）
【必考點24 構造輔助線求線段長】
9．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若AD＝4，CD＝2，則BD的長為（　　）
A．6 B．2 C．5 D．2
10．如圖，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一動點，過點Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，則QM+QN的長是（　　）
A．4 B．3 C．4 D．2
11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D為BC中點，BE＝3，DE⊥DF，，則EF＝（　　）
A．4 B． C． D．
12．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC，則CD的長為（　　）
A．4 B．2 C．5 D．
13．如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝45°，BC＝1，，將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，點B與點D對應，點C與點E對應，且C，D，E三點恰好在同一條直線上，則CE的長為 　　．
【必考點25 勾股定理與幾何綜合題】
14．已知，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一點，連接AD，在直線AD右側作等腰△ADE，AD＝AE．
（1）如圖1，AB⊥AC，AD⊥AE，連接CE，求證：BC⊥CE；
（2）如圖2，，取AC邊中點F，連接EF．當D點從B點運動到C點過程中，求線段EF長度的最小值；
（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，DC＝1，連接AC，已知，求AB的長．
15．如圖1，在平面直角坐標系中，已知A（4，0）、B（0，4）．
（1）如圖1，若點C在第一象限，∠BCO＝45°，求證：CB⊥CA；
（2）如圖2，若點C在第二象限，∠BCO＝75°，CO＝m，CB＝n，則CA2＝　 　；
（3）如圖3，若點C（﹣1，0），點D在y軸的負半軸上，滿足∠ADO＝2∠CDO，求點D的坐標．
16．我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．
（1）性質探究：如圖1，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，求證：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解決問題：如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，分別以△ABC的邊BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△BAD，連接DE，求DE的長．
17．已知在△ABC中，AB＝AC，點D在線段BC上，點F在射線AD上，連接CF，作BE∥CF交射線AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α．
（1）如圖1，當α＝70°時，∠ABE＝15°時，求∠BAE的大小；
（2）當α＝90°，AB＝AC＝16時，
①如圖2．連接BF，當BF＝BA，求CF的長；
②若，求CF的長．
18．我們把一組共用頂點，且頂角相等的兩個等腰三角形稱為頭頂頭對三角．
【探索一】如圖1，布丁在作業中遇到這樣一道思考題：在四邊形ABCD中，AB＝BC＝4，∠ABC＝45°，連結AC、BD，若∠DAC＝90°，AC＝AD，求BD的長．
（1）布丁思考后，如圖2，以AB以邊向外作等腰直角△ABE，并連結CE，他認為：△ABD≌△AEC．你同意他的觀點嗎？請說明理由．
（2）請你幫布丁求出BD的長．
【探索二】如圖3，在四邊形ABCD中，AC＝AD，∠DAC＝100°，∠ABD＝10°，∠DBC＝70°，若BC＝4，求BD的長．
19．如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，a）在y軸上，點B（b，0）、C在x軸上，OB＝OC，且a，b滿足．
（1）如圖1，則點A坐標 　 　，點B坐標 　 　，∠ABC＝　 　；
（2）如圖2，若點D在第一象限且滿足AD＝AC，∠DAC＝90°，線段BD交y軸于點G，求線段BG的長；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若在第四象限有一點E，滿足∠BEC＝∠BDC．請探究BE、CE、AE之間的數量關系，并證明．
20．如圖，等腰△ABC和等腰△ADE，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α．
（1）如圖1，α＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，CD＝8，求線段BD的長度；
（2）如圖2，α＝120°，點M、N在線段BC上，∠MAN＝60°，BM＝MN，求證：MN＝CN；
（3）如圖3，a＝90°，連接BE和CD，若AC＝6，AD＝4，BE＝5，直接寫出CD的長為 　 　．
參考答案
【類型1 基礎題篇·24題】
【必考點1 二次根式的定義】
1．
【分析】根據二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
【解答】解：A．當a＜0時，無意義，故此選項不合題意；
B．是二次根式，故此選項符合題意；
C．是三次根式，故此選項不合題意；
D．的被開方數是負數，該式子無意義，故此選項不合題意；
故選：B．
2．
【分析】二次根式的被開方數應為非負數，找到根號內為非負數的根式即可．
【解答】解：3a，b2﹣1，都有可能是負數，﹣144是負數，不能作為二次根式的被開方數，
∴二次根式有、、，共3個．
故選：B．
3．
【分析】根據被開方數是整數，可得被開方數能開盡方，可得答案．
【解答】解：是整數，則正整數n的最小值是21，
故選：D．
【必考點2 最簡二次根式的定義】
4．
【分析】根據最簡二次根式的定義分別判斷解答即可．
【解答】解：中是最簡二次根式的有，，
故選：A．
5．
【分析】直接利用最簡二次根式的定義分析判斷即可解答．
【解答】解：①，③，④，⑥是最簡二次根式；②，⑤不是最簡二次根式．
故小紅和小亮合在一起對．
故選：C．
6．
【分析】根據最簡二次根式的定義，逐一判斷即可解答．
【解答】解：2，被開方數中含有分母，|a﹣1|，
在，，，，中，
最簡二次根式有，，共有2個，
故選：B．
【必考點3 同類二次根式的定義】
7．
【分析】根據二次根式的性質把各個二次根式化簡，根據同類二次根式的定義判斷即可．
【解答】解：，，，，，
∴與是同類二次根的有，共1個，
故選：A．
8．
【分析】把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式，由此判斷即可．
【解答】解：A、，，所以與不是同類二次根式，故此選項不符合題意；
B、，，所以與是同類二次根式，故此選項符合題意；
C、，所以與不是同類二次根式，故此選項不符合題意；
D、，，所以與不是同類二次根式，故此選項不符合題意；
故選：B．
9．
【分析】根據同類二次根式的定義得到b﹣a＝2，3b＝2b﹣a+2，然后解兩個方程組成的方程組即可．
【解答】解：根據題意得b﹣a＝2，3b＝2b﹣a+2，
解得a＝0，b＝2．
故選：D．
【必考點4 二次根式有意義條件】
10．
【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根據二次根式有意義，分式有意義得：x﹣1≥0且2﹣x≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故選：C．
11．
【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．
【解答】解：使得式子有意義，則：4﹣x＞0，
解得：x＜4，
即x的取值范圍是：x＜4．
故選：D．
12．
【分析】二次根式的被開方數是非負數，且分式的分母不等于零．
【解答】解：因為二次根式的被開方數是非負數，分式的分母不等于零，則
，
解得，0≤x＜1．
故選：C．
【必考點5 根據二次根式的性質化簡】
13．
【分析】根據二次根式的性質進行化簡即可．
【解答】解：∵1＜p＜2，
∴1﹣p＜0，2﹣p＞0，
∴原式＝|1﹣p|+2﹣p
＝p﹣1+2﹣p
＝1．
故選：A．
14．
【分析】根據二次根式的運算法則即可求出答案．
【解答】解：|b﹣3|＝3﹣b，
∴3﹣b≥0，
∴b≤3，
故選：C．
15．
【分析】先根據二次根式的性質把原式化為（1﹣a）﹣|a﹣2|+|3﹣a|，再根據絕對值的性質進行化簡即可．
【解答】解：∵，
∴
＝（1﹣a）﹣|a﹣2|+|3﹣a|，
∵1﹣a≥0，
∴a≤1，
∴原式＝1﹣a﹣2+a+3﹣a＝2﹣a，
故選：B．
【必考點6 勾股數】
16．
【分析】利用勾股定理進行計算分析即可．
【解答】解：A、72+122≠132，不是勾股數，故此選項不合題意；
B、32+32≠42，不是勾股數，故此選項不合題意；
C、0.3、0.4、0.5不是正整數，則不是勾股數，故此選項不合題意；
D、182+242＝302，是勾股數，故此選項符合題意；
故選：D．
17．
【分析】根據勾股數是滿足勾股定理的一組正整數，據此逐項分析即可作答．
【解答】解：A、22+32≠52，故該選項是錯誤的；
B、62+82＝102，故該選項是正確的；
C、0.3，0.4，0.5不是正整數，故該選項是錯誤的；
D、，不是正整數，故該選項是錯誤的；
故選：B．
18．
【分析】根據表格中數據確定a、b、c的關系，然后再代入a＝20求出b、c的值，進而可得答案．
【解答】解：根據表格中數據可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，
則a2+b2＝（b+2）2，
當a＝20時，202+b2＝（b+2）2，
解得：b＝99，
則c＝99+2＝101，
∴b+c＝200，
故選：B．
【必考點7 直角三角形的判定】
19．
【分析】根據三角形的內角和定理和勾股定理的逆定理對各選項進行逐一判斷即可．
【解答】解：A、∵a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，故能構成直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C180°＝75°，
∴△ABC是銳角三角形，故不能構成直角三角形，
C、（）2+12＝（）2，故能構成直角三角形；
D、（3k）2+（4k）2＝（5k）2，故能構成直角三角形．
故選：B．
20．
【分析】根據直角三角形的定義，三角形內角和定理、勾股定理的逆定理一一判斷即可．
【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
故△ABC是直角三角形；
②a：b：c＝5：12：13，可得：a2+b2＝c2，
故△ABC是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，最大角∠C，
故△ABC不是直角三角形；
④b2＝（a﹣c）（a+c）＝a2﹣c2，
即b2＝a2﹣c2，
故△ABC是直角三角形；
∴不能判定△ABC是直角三角形的有1個．
故選：A．
21．
【分析】根據三角形內角和定理、勾股定理的逆定理逐項判定即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C，
∴∠A+∠B+∠C＝180°；
①∵∠B＝∠A﹣∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大角，即△ABC不是直角三角形；
③∵，
∴△ABC不是直角三角形；
④∵a2＝（b+c）（b﹣c）＝b2﹣c2，
∴b2＝a2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
綜上分析可知，能判斷△ABC是直角三角形的組數為2組．
故選：B．
【必考點8 判斷命題的逆命題真假】
22．
【分析】根據已學知識進行判斷即可．
【解答】解：根據已學知識進行判斷如下：
A．兩直線平行同位角相等，逆命題是同位角相等兩直線平行，逆命題成立，故選項符合題意；
B．如果兩個實數都是正數，那么它們的積是正數，逆命題是如果兩個實數的積是正數，那么這兩個實數都是正數，逆命題不成立，故選項不符合題意；
C．全等三角形的對應角相等，逆命題是如果兩個三角形的三個角分別對應相等，那么這兩個三角形全等，逆命題不成立，故選項不符合題意；
D．對頂角相等，逆命題是如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角，逆命題不成立，故選項不符合題意．
故選：A．
23．
【分析】利用全等三角形的性質、實數的性質、等邊三角形的性質等知識分別判斷后即可確定正確的選項．
【解答】解：A、逆命題為對應角相等的三角形全等，不成立，不符合題意；
B、逆命題為如果兩個數的平方相等，那么這兩個數相等，不成立，不符合題意；
C、逆命題為銳角三角形是等邊三角形，不成立，不符合題意；
D、逆命題為如果兩個數都是正數，那么它們的積也是正數，成立，符合題意．
故選：D．
24．
【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．再分析逆命題是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、若α＝b，則|a|＝|b|的逆命題是若|a|＝|b|則，α＝b，是假命題；
B、如果兩個實數相等，那么它們的平方相等的逆命題是如果兩個實數的平方相等，那么這兩個實數相等，是假命題；
C、對頂角相等的逆命題是相等的兩個角是對頂角，是假命題；
D、如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形的逆命題是如果這個三角形是直角三角形，那么這三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2＝c2，是真命題．
故選：D．
【類型2 計算題篇·25題】
【必考點9 二次根式的混合運算】
1．解：（1）
＝3；
（2）
．
2．解：（1）
；
（2）
．
3．解：（1）原式＝364
；
（2）原式＝3﹣2
＝1+2．
4．解：（1）
；
（2）
．
5．解：（1）
；
（2）
．
6．解：（1）原式＝223
＝3；
（2）原式＝5﹣22
＝5．
7．解：（1）
原式
（2）
原式
＝9﹣8﹣3
＝﹣2
8．解：原式，
，
．
9．解：（1）
；
（2）
．
10．解：（1）
；
（2）
．
【必考點10 先化簡再求值】
11．解：
，
當時，原式．
12．解：原式
∵
∴，b＝﹣1
∴原式
13．解：當x1時，
原式
14．解：原式
，
∵，，
∴，xy＝1，
∴原式．
15．解：
，
.當時，
原式．
16．解：
；
當時，原式．
17．解：原式（）

，
把x2 代入得：
原式
＝21．
18．解：∵x0，y＝27＞0，
∴原式＝54
，
當x，y＝27時，原式3．
19．解：原式＝2xx5
＝x6，
當x，y＝4時，原式66．
20．解：原式
＝ab，
當，時，原式
【必考點11 求代數式的值】
21．解：（1）∵，，
∴，，
∴x2﹣xy+y2
＝（x﹣y）2+xy
＝12+1
＝13；
（2）
＝12+2
＝14．
22．解：∵2x﹣6≥0，3﹣x≥0，
∴x≥3且x≤3，
∴x＝3，
∴y＝﹣2，
∴原式
，
．
23．解：（1）∵a＝3，b＝3，
∴a+b＝336，a﹣b＝332，ab＝（3）（3）＝7，
則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝6
＝12；
（2）由（1）知a﹣b＝2，ab＝（3）（3）＝7，
∴a2﹣3ab+b2
＝（a﹣b）2﹣ab，
＝8﹣7
＝1．
24．解：（1）原式＝（x+y）2
＝（22）2
＝12；
（2）原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（22）（22）
＝24
．
25．解：（1）（x﹣1）2+4（x﹣1）+4
＝（x﹣1+2）2
＝（x+1）2，
∵，
∴原式＝（）2＝3；
（2）x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y），
∵，，
∴原式
【類型3 作圖題篇·8題】
【必考點12 利用勾股定理構三角形】
1．解：（1）如圖所示，
，AC＝3，，
∴△ABC為所求；
（2）如圖所示，
∵DE2＝12+22＝5，DF2＝22+42＝20，EF2＝32+42＝25，
∴DE2+DF2＝EF2，
∴∠EDF＝90°，
∴△DEF是直角三角形，
∴△DEF的面積為，
∴△DEF為所求．
2．解：（1）由勾股定理得：
圖中線段的長度為：，
如圖1所示，即為所求（答案不唯一）．
（2）如圖2所示，△ABC即為所求（答案不唯一）．
（3）設點B到AC的距離為h，
依題意得：，
解得：，
∴點B到AC的距離是，
故答案為：．
3．解：（1）如圖所示：△ABC即為所求；
（2）如圖所示：△ABD即為所求；
（3）如圖所示：△ABE即為所求；
4．（1）解：如圖，△ABC即為所求作．
（2）解：過點A作AH⊥BC于H．
∵AB，AC＝2，BC，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴S△ABC AB AC22，
∵ BC AH＝2，
∴AH，
故答案為：2，．
（3）證明：設斜邊為c，根據勾股定理即可得出c，
∵abch，
∴abh，即a2b2＝a2h2+b2h2，
∴，
∴．
5．解：（1）如圖1中，正方形ABCD即為所求（答案不唯一）；
（2）如圖2中，△ABC即為所求（答案不唯一），設BC邊上的高為h．
∵△ABC的面積＝3×41×21×3﹣1×1＝2.5，
∴5×h＝2.5，
∴h＝1．
故答案為：1；
（3）如圖3中，△ABC即為所求，第三邊BC的長．
6．解：（1）由網格的特點和勾股定理可得；
，
故答案為：；9；
（2）如圖所示，取格點E，連接BE交AC于D，BD即為所求；
∴，
∴；
（3）如圖所示，取格點H，連接AH交BC于P，點P即為所求，
易證明△BAH是等腰直角三角形，則∠BAH＝45°．
7．解：（1）如圖所示：
S四邊形ABCD＝5×55×14×24×1（1+3）×1
＝25﹣2.5﹣4﹣2﹣2
＝14.5；
（2）是，理由：
∵BC2＝42+22＝20，CD2＝12+22＝5，BD2＝42+32＝25，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°．
8．解：（1）如圖所示，
∵，，，
∴△MNP是所求圖形；
（2）解：∵，，，
∴AB2＝18，BC2＝50，AC2＝32，
∴AB2+AC2＝BC2，即△ABC是直角三角形，
根據角平分線的線到角兩邊的距離相等，作圖如下，
∴線段BF即為所求線段；
（3）如圖所示，
∴點N即為所求點的位置；
（4）如果所示，
∴點H即為所求點的位置．
【類型4 中檔題篇·30題】
【必考點13 化簡含字母的二次根式】
1．
【分析】先根據被開方數大于等于0判斷出a是負數，然后平方后移到根號內約分即可得解．
【解答】解：根據被開方數非負數得，0，
解得a＜0，
﹣a．
故選：A．
2．
【分析】根據分母不等于0和被開方數大于等于0，得到x是負數，然后化簡即可．
【解答】解：根據代數式有意義得：x≠0，﹣x3≥0，
∴x＜0，
∴原式
|x|
（﹣x）
．
故選：D．
3．
【分析】根據二次根式有意義，可知x﹣1＞0，則1﹣x＜0，再根據二次根式的性質解答即可．
【解答】解：∵二次根式有意義，
∴1﹣1＞0，則1﹣x＜0，
∴原式＝﹣（x﹣1）
．
故選：D．
【必考點14 根據趙爽弦圖求值】
4．
【分析】根據大正方形的面積＝4a2+b2，結合ab＝24即可求解
【解答】解：∵直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，
∴小正方形的邊長為a﹣b，
∵大正方形的面積為129，
∴a2+b2＝129，
∵大正方形的面積＝4，
∴4129，
∴（a﹣b）2＝129﹣2ab＝129﹣2×24＝81，
∵a﹣b＞0，
∴a﹣b＝9，
即小正方形的邊長為9．
故選：C．
5．
【分析】根據大正方形的面積即可求得c2，利用勾股定理可以得到a2+b2＝c2，然后求得直角三角形的面積即可求得ab的值，根據（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab即可求解．
【解答】解：如圖，∵大正方形的面積是13，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面積是（13﹣1）÷4＝3，
又∵直角三角形的面積是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．
故選：B．
6．
【分析】根據正方形的性質、直角三角形的性質、直角三角形面積的計算公式及勾股定理解答．
【解答】解：①∵△ABC為直角三角形，
∴根據勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，
故本選項正確；
②由圖可知，x﹣y＝CE2，
故本選項正確；
③由圖可知，四個直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，
列出等式為4xy+4＝49，
即2xy+4＝49；
故本選項正確．
∴正確結論有①②③．
故選：C．
【必考點15 利用勾股定理求面積】
7．
【分析】利用正方形的性質，易證△ACB≌△BDE（AAS），得到BC＝ED，再利用勾股定理，得到S1+S2＝1，同理可得，S2+S3＝2，S3+S4＝3，即可得到答案．
【解答】解：由正方形的性質可知，AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
，
∴△ACB≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，
∴S1+S2＝1，
同理可得，S2+S3＝2，S3+S4＝3，
∴S1+2S2+2S3+S4＝1+2+3＝6，
故選：A．
8.接BD，即可利用勾股定理的幾何意義解答．
【解答】解：由題意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
如圖，連接BD，在Rt△ABD和Rt△BCD中，
BD2＝AB2+AD2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
∵S2﹣S3＝28，
∴2S2＝100+28，
∴S2＝64，
故選：C．
9．
【分析】由圖形得到S△ABC＝S△ABD﹣S丙﹣（S△ACE﹣S甲）﹣（S△BCF﹣S乙），設直角三角形的三邊長為a、b、c，由等邊三角形面積公式代入求解即可．
【解答】解：由圖可知：
S△ABC＝S△ABD﹣S丙﹣（S△ACE﹣S甲）﹣（S△BCF﹣S乙），
過點D作DH⊥AB于點H，
∵△ABD是等邊三角形，
∴AD＝AB＝BD，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，
∴，
∴，
同理可得，
設AB＝c，AC＝b，BC＝a，則有a2+b2＝c2，，
∴；
故選：B．
【必考點16 勾股定理與網格】
10．
【解答】解：如圖，延長BA到點E，連接CE，
由圖可知，CE2＝12+22＝5，AE2＝22+12＝5，AC2＝12+32＝10，
∵5+5＝10，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴△AEC是直角三角形，
∴∠AEC＝90°，
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴，
∴∠BAC＝180°﹣∠EAC＝135°，
故選：B．
11．
【分析】取格點E，可證△ABC≌△DAE（SAS），得到∠ABC＝∠DAE，又由等腰直角三角形可得∠DCE＝45°，即得∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝45°，進而即可求解．
【解答】解：如圖，取格點E，
由條件可知△ABC≌△DAE（SAS），
∴∠ABC＝∠DAE，
∵DE＝CE，∠CED＝90°，
∴∠DCE＝45°．
∴∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝45°，
∴∠ABC+∠ADC＝45°，
故選：C．
12．
【分析】根據題意利用割補法求得△ABC的面積，利用勾股定理算出BC的長，再利用等面積法即可求得AD的長．
【解答】解：由題可得：
，
，
∴，
解得：，
故選：D．
【必考點17 規律問題】
13．
【分析】觀察規律求出a，b的值，再代入計算即可．
【解答】解：觀察規律可得，，b均為正整數），則a＝13，b＝170，
∴（a2﹣b）2024＝（132﹣170）2024＝（169﹣170）2024＝（﹣1）2024＝1；
故選：D．
14．解：特例1：；
特例2：；
特例3：；
……，
以此類推，可知，
∴，
故答案為：．
15．解：（1）由題意可知，，
∴（n是正整數）．
（2）∵，
，
，
，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
（3）由題可知，，
∴
．
【必考點18 求立體圖形的最短路徑問題】
16．解：如圖，
（1）AB3；
（2）AB15，
由于15＜3；
則螞蟻爬行的最短路程為15cm．
故答案為：15．
17．
【分析】將圓柱側面展開再進行點標注，此時長方形的長為圓柱底面周長的一半，如圖，作A關于EF的對稱點A′，連接A′B，根據兩點之間，線段最短可知A′B的長度即為所求；接下來結合已知數據，根據勾股定理相信你可以求出A′B的長了．
【解答】解：如圖：∵高為15cm，底面周長為8cm，在容器內壁離容器底部6cm的A處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且距離容器上沿1cm的點B處，
∴底部7厘米，所以AE＝9cm，BD＝9+1＝10厘米，
∴將容器側面展開，作A關于EF的對稱點A′，
連接A′B，則A′B即為最短距離，
A′B（cm）．
故答案為：2．
18．
【分析】將長方體按三種方案展開，畫出圖形，求出結果，然后進行比較即可．
【解答】解：將長方體按下列三種方案展開：
如圖3，一直角邊為10cm，另外一條直角邊為20+5＝25（cm），
根據勾股定理得AB（cm）．
如圖4，一直角邊為20cm，另外一條直角邊為10+5＝15（cm），
根據勾股定理得AB25（cm）．
如圖5，AC＝20+10＝30（cm），BC＝5cm，
根據勾股定理得AB（cm）．
因為25，
所以一只螞蟻要沿長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短路程是25cm，
故答案為：25．
【必考點19 勾股定理逆定理的應用】
19．解：（1）連接AC，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝2，
根據勾股定理得：，∠ACB＝45°，
∵CD＝3，，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴△ACD為直角三角形，即∠ACD＝90°，
則∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°；
（2）根據題意得：．
20．解：（1）△ABD是直角三角形，理由如下：
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB，
∵AD2+BD2＝（2）2+（4）2＝100＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
（2）∵△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴△ABD的面積AB DEAD BD，
∴DE．
21．解：（1）∵BC＝10，CD＝8，BD＝6，
∴BD2+DC2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠CDB＝90°；
（2）∵AB＝AC，
∴設AC＝x，則AD＝x﹣6，
∴x2＝（x﹣6）2+82，
解得：x，
故AB＝AC．
【必考點20 勾股定理的實際應用】
22．解：（1）∵∠AFC＝90°，AF＝24米，CF＝7米，
∴（米），
∵BF＝AF﹣AB＝24﹣18＝6（米），
∴（米），
∴CE＝AC﹣BC＝（25）米，
答：此人需向右移動的距離為（）米．
（2）∵需收繩繩長AC﹣CF＝25﹣7＝18（米），
且此人以0.5米每秒的速度收繩，
∴收繩時間，
答：該男子不能在30秒內將船從A處移動到岸邊點F的位置．
23．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km，
∴AB500（km），
答：監測點A與監測點B之間的距離為500km；
（2）海港C受臺風影響，
理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴S△ABCAC BCCE AB，
∴300×400＝500CE，
∴CE＝240（km），
∵以臺風中心為圓心周圍260km以內為受影響區域，
∴海港C會受到此次臺風的影響．
以C為圓心，260km長為半徑畫弧，交AB于D，F，
則CD＝CF＝260km時，正好影響C港口，
在Rt△CDE中，
∵ED100（km），
∴DF＝200km，
∵臺風的速度為25千米/小時，
∴200÷25＝8（小時）．
答：海港C會受到此次臺風的影響，臺風影響該海港8小時．
24.解：（1）由題意得，∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，
∴AB＝BC，BC＝2BD，
在Rt△BCD中，根據勾股定理，BD2+CD2＝BC2，即BD2+152＝（2BD）2，
解得，，
∴（米），
即AB的長為17.3米；
（2）超速了，理由如下：
∵汽車從A到B用時2秒，
∴速度為17.3÷2＝8.65（米/秒），
∵30千米/小時米/秒＜8.65（米/秒），
∴這輛校車在本路段超速了．
25．“解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（負值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：風箏的高度CE為21.6米；
（2）由題意得，CM＝12，
∴DM＝8，
∴BM（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
∴他應該往回收線8米．
26．解：（1）在Rt△ACB中，
∴AC24m，
答：這架云梯頂端距地面的距離AC有24m．
（2）云梯的底部B在水平方向滑動到B′的距離BB′不是4m．理由如下：
由（1）可知AC＝24m，
∴A′C＝AC﹣AA′＝24﹣4＝20m．
在Rt△A′CB′中，
∴，
∴BB′＝CB′﹣BC＝15﹣7＝8m．
（3）若云梯底端離墻的距離剛好為云梯長度的，
則能夠到達墻面的最大高度為．
∵24.32＝590.49＜600，
∴，
∴在相對安全的前提下，云梯的頂端能到達24.3m高的墻頭去救援被困人員．
【必考點21 二次根式相關閱讀材料題】
27．解：（1）∵，
∴與互為有理化因式，
故答案為：；
（2）
；
（3）∵
a+a
＝a+（a）
＝3，
∴a＝3，，
∴a＝3，b＝8．
28．解：（1），
故答案為：；
（2）
；
（3）∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a＝1，
∴a4﹣4a3﹣4a+4
＝（a2﹣4a）2+4a3﹣16a2﹣4a+4
＝1+4a3﹣16a2﹣4a+4
＝4a（a2﹣4a）﹣4a+5
＝4a﹣4a+5
＝5．
19.解：（1）∵，
∴．
故答案為：2；
（2）原式，
故答案為：；
（3）原式22．
30．解：（1）原式
＝26；
（2）
，
，
∴，
，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝（4m+2）2﹣2×1
＝16m2+16m+4﹣2
＝16m2+16m+2，
∵3a2+1711ab+3b2＝2005，
∴3a2+3b2+1711ab＝2005，
3（a2+b2）+1711ab＝2005，
3[（4m+2）2﹣2]+1711×1＝2005，
3（4m+2）2﹣6+1711＝2005，
3（4m+2）2＝300，
（4m+2）2＝100，
4m+2＝±10，
解得：m＝2或﹣3（舍去）；
（3）設，
∵，
∴a﹣b＝4，
∵，
，
，
，
∴ab＝11，
∴a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝42+2×11
＝16+22
＝38，
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝38+2×11
＝38+22
＝60，
∴，
∵，
∴．
【類型5 壓軸題篇·20題】
【必考點22 幾何求最值問題】
1．
【分析】作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM，進而得到AD，求出DN、CN，根據勾股定理求出CD即可．
【解答】解：如圖，作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，
∵PA＝PD，
∴PA+PC＝PD+PC＝CD，
∵頂點B的橫坐標為3，
∴OA＝3，
∵在Rt△OAB中，∠AOB＝30°，
∴OB＝2AB，∠B＝60°，
設AB＝x，則OB＝2x，
在Rt△OAB中，根據勾股定理得：OB2﹣AB2＝OA2，即（2x）2﹣x2＝32，
解得：（負值已舍去），
則，，
由三角形的面積公式得：，
即，
∴，
∴，
∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAM＝60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA＝30°，
∴，由勾股定理得：，
∵C點坐標為，
∴，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：，
即PA+PC的最小值為，
故選：B．
2．
【分析】作點B關于OC的對稱點B′，連接BB′交OC于點E，過點B′作B′D⊥x軸于點D，過點C作CF⊥x軸于點F，利用等面積法得到BE＝4，然后求出BB′＝8，設OD＝x，則BD＝16﹣x，利用勾股定理求出OD＝14，，進而求解即可．
【解答】解：如圖所示，作點B關于OC的對稱點B′，連接BB′交OC于點E，過點B′作B′D⊥x軸于點D，過點C作CF⊥x軸于點F，
∴PA+PB＝PA+PB′≤AB′，
∴當A，P，B′三點共線時，PA+PB有最小值，即AB′的長度，
∵點C的縱坐標為5，
∴CF＝5，B（16，0），
∴，即，
解得BE＝4，
∵點B關于OC的對稱點B′，
∴B′E＝BE＝4，OB′＝OB＝16，
∴BB′＝8，
∴設OD＝x，則BD＝16﹣x，
∵B′D⊥x，
∴OB′2﹣OD2＝BB′2﹣BD2＝B′D2，
∴162﹣x2＝82﹣（16﹣x）2，
解得x＝14，
∴OD＝14，
∴B′D2＝AB′2﹣OD2＝60，
∴AD＝OD﹣OA＝13，
∴．
∴PA+PB的最小值為．
故選：D．
3．
【分析】以AD為直角邊構造等腰直角三角形ADE，∠ADE＝90°，連接BE，證明△DAC≌△DEB，得到BE＝AC＝3，根據AE≤BE+AB，求出AE的最大值，進而得到AD的最大值即可．
【解答】解：以AD為直角邊構造等腰直角三角形ADE，∠ADE＝90°，AD＝DE，連接BE，
∵以BC為斜邊在BC上方作等腰直角△BDC，
∴CD＝BD，∠CDB＝90°＝∠ADE，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°﹣∠ADB，
又∵CD＝BD，AD＝DE，
∴△DAC≌△DEB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
∴AE≤BE+AB＝8，
∴AE的最大值為8，
∵，
∴AD的最大值為；
故答案為：．
4．
【分析】過點P作PE⊥AB于點E，由勾股定理得，繼而證明當C、P、E三點共線，且CE⊥AB時，的值最小為CE．由等腰三角形腰上的高相等，解出BD的長，即為CE的長．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝60°．
過點P作PE⊥AB于點E，由勾股定理得．
∴．
當C、P、E三點共線，且CE⊥AB時，的值最小為CE．
∵△ABC中，AB＝AC＝8，BD⊥AC，CE⊥AB，
由等腰三角形腰上的高相等，
∴BD＝CE，
在Rt△ABD中，．
故．
故答案為：4．
5．解：過點C作CN∥AB且使CN＝BC，連接EN，AN，
∵CN∥AB，
∴∠ECN＝∠ABC，ACN＝180°﹣∠BAC＝90°，
在△CEN和△BDC中，
，
∴△CEN≌△BDC（SAS），
∴EN＝DC，
∴AE+CD＝AE+EN，
由兩點之間線段最短可得：AE+EN≥AN，
當點E在AN上時，AE+EN有最小值，即AE+CD有最小值為AN，
∵AC＝6，BC＝CN＝10，
∴Rt△ACN中，AN，
∴AE+CD最小值為：．
故答案為：2．
【必考點23 幾何多結論問題】
6．解：連接CD，∵AC＝BC，點D為AB中點，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BDAB．∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°．
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵∠EDC+∠FDC＝∠GDH＝90°，
∴∠ADE＝CDF．
在△ADE和△CDF中，，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE＝S△CDF．
∵AC＝BC，
∴AC﹣AE＝BC﹣CF，
∴CE＝BF．
∵AC＝AE+CE，
∴AC＝AE+BF．
∵AC2+BC2＝AB2，
∴ACAB，
∴AE+BFAB．
∵DE＝DF，∠GDH＝90°，
∴△DEF始終為等腰直角三角形．
∵CE2+CF2＝EF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
∵S四邊形CEDF＝S△EDC+S△EDF，
∴S四邊形CEDF＝S△EDC+S△ADES△ABC．
∴正確的有①②③④．
故選D．
7．
【分析】根據SAS證明△ACE≌△BCD得∠CDB＝∠E＝45°，AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，結合三角形外角的性質可判斷①；根據勾股定理逆定理可判斷②；根據AD+BD＝AD+AE＝DE可判斷③；根據勾股定理可判斷④．
【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠CDE＝∠ABC＝45°，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，即：∠ECA＝∠DCB，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CDB＝∠E＝45°，AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠ACD＝∠CAE﹣∠CDE，∠ABD＝∠CBD﹣∠ABC
∴∠ACD＝∠ABD，故①正確；
若AC2+AD2＝CD2，則∠CAD＝90°，而∠CAD＝90°不一定成立，故②不正確；
，故③正確；
∵∠CDE＝∠BDC＝45°，
∴∠ADB＝90°．
∵BC2+AC2＝AB2，AD2+AE2＝AD2+BD2＝AB2，
∴BC2+AC2＝AD2+AE2，
∴BC2﹣AE2＝AD2﹣AC2，故④正確．
故選：C．
8．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，
∴△BCF≌△CAE （AAS），
∴BF＝CE，故①正確；
由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，
∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，
連接FM，CM，
∵點M是AB中點，
∴CMAB＝BM＝AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，
∴∠DBF＝∠DCM，
又BM＝CM，BF＝CE，
∴△BFM≌△CEM （SAS），
∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，
∵∠BMC＝90°，
∴∠EMF＝90°，即△EMF為等腰直角三角形，
∴EFEM＝AE﹣CE，故③正確，∠MEF＝∠MFE＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正確，
設AE與CM交于點N，連接DN，
∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，
∴△DFM≌△NEM （ASA），
∴DF＝EN，DM＝MN，
∴△DMN為等腰直角三角形，
∴DNDM，而∠DEA＝90°，
∴DE2+DF2＝DN＝2DM2，故④正確；
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠CAE＝22.5°，∠ADE＝67.5°，
∵∠DEM＝45°，
∴∠EMD＝67.5°，即DE＝EM，
∵AE＝AE，∠AED＝∠AEC，∠DAE＝∠CAE，
∴△ADE≌△ACE （ASA），
∴DE＝CE，
∴△MEF為等腰直角三角形，
∴EFEM，
∴，故⑤正確．
故答案為：①②③④⑤．
【必考點24 構造輔助線求線段長】
9．
【分析】根據等式的性質，可得∠BAD與∠CAD′的關系，根據SAS，可得△BAD與△CAD′的關系，根據全等三角形的性質，可得BD與CD′的關系，根據勾股定理，可得答案．
【解答】解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，連接CD′，DD′，如圖：
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，
∴∠BAC＝∠DAD'＝90°，AC＝AB，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD＝CD′，
∵AD＝AD'＝4，∠DAD'＝90°，
∴DD'4，∠ADD'＝45°，且∠ADC＝45°
∴∠D'DC＝90°，
∴CD'6，
∴BD＝6
故選：A．
10．
A．4 B．3 C．4 D．2
【分析】連接QG．解直角三角形求出DF，再證明QM+QN＝DF，即可解決問題．
【解答】解：連接QG．
∵DG：GE＝1：3，
∴可以假設DG＝k，EG＝3k，
∵GF＝EG，∠D＝90°，
∴FG＝3k，DF2k，
∵EF＝4，EF2＝DE2+DF2，
∴48＝16k2+8k2，
∴k或（舍棄），
∴DF＝4，
∵S△EFG EG DF EG QM GF QN，
∴QM+QN＝DF＝4，
故選：C．
11．
【分析】如圖，延長FD到G，使DG＝DF，連接BG，EG，證明△BDG≌△CDF（SAS），則，∠BGD＝∠CFD，由四邊形內角和，鄰補角可求∠EBG＝90°，由勾股定理得，，證明△EDG≌△EDF（SAS），則EF＝EG，然后作答即可．
【解答】解：如圖，延長FD到G，使DG＝DF，連接BG，EG，
∵DG＝DF，∠BDG＝∠CDF，BD＝CD，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴，∠BGD＝∠CFD，
∵∠AED+∠AFD＝360°﹣∠BAC﹣∠EDF＝180°，∠CFD＝180°﹣∠AFD，∠BED＝180°﹣∠AED，
∴∠BED+∠BGD＝180°，
∴∠EBG+∠EDG＝360°﹣（∠BED+∠BGD）＝180°，
∵∠EDG＝90°，
∴∠EBG＝90°，
由勾股定理得，，
∵ED＝ED，∠EDG＝∠EDF＝90°，DG＝DF，
∴△EDG≌△EDF（SAS），
∴EF＝EG＝4，
故選：A．
12．
【分析】把△ABC繞點A逆時針旋轉90°得到△ADE，連接CE，作EF⊥CD于F，則AC＝AE，結合旋轉的性質求得∠ADE+∠ADC＝240°，在Rt△EDF中，∠DEF＝30°，然后利用含30°角的直角三角形性質及勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如圖，把△ABC繞點A逆時針旋轉90度，得到△ADE，連接CE，過點E作EF⊥CD延長線于點F，
根據旋轉可知：AE＝AC，ED＝BC＝2，∠ABC＝∠ADE，
根據四邊形ABCD的內角和＝360°，
∴∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，
∵∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，
∴∠ABC+∠ADC＝240°，
∴∠ADE+∠ADC＝240°，
∴∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
在Rt△EDF中，DE＝2，
∴DF＝1，EF，
在Rt△AEC中，CEAC＝2
∴CF5，
∴CD＝CF﹣DF＝5﹣1＝4．
故選：A．
13．
【分析】首先根據旋轉的性質得到△ABC≌△ADE，然后根據全等三角形的性質得到△BAD是等腰直角三角形，進而可求出BD的長度，然后根據勾股定理求出CE的長度，即可求出CE的長度．
【解答】解：連接BD，
∵將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，則△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，
∴∠E＝∠ACB＝45°，DE＝BC＝1，
∵C，D，E三點恰好在同一條直線上，AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴△BAD是等腰直角三角形，
∴，
∵∠ACB＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴，
∴CE＝CD+DE＝4．
故答案為：4．
【必考點25 勾股定理與幾何綜合題】
14．（1）證明：∵AB⊥AC，AB＝AC，
∴∠BAC＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，
∵AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BC⊥CE；
（2）解：取AB中點G，連接DG、CE，如圖2，
由①可得△ABD≌△ACE，
∵點F是AC中點，
∴GD＝EF，
∴當DG⊥BC時，DG最短，即此時EF最短，
∵AB⊥AC，AB＝AC，
∴，
∴∠BGD＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，
∴BD＝DG，
在Rt△BDG中，，設BD＝DG＝x，
∴，
解得x＝1，
∴DG＝1，即EF的最小值為1；
（3）解：過點A作AE⊥AC交CB的延長線于點E，過點A作AF⊥BC交CB于點F，如圖3，
∴∠EAC＝∠BAD＝90°，即∠BAE+∠BAC＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AE⊥AC，∠BCD＝90°，
∴∠E+∠ACB＝∠ACB+∠ACD＝90°，
∴∠E＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴，
∴，
∵AF⊥BC，
∴∠EAF＝90°﹣∠E＝45°，
∴∠EAF＝∠E＝45°，
∴AF＝EF，
在Rt△EAF中，，設AF＝EF＝x，
∴，
解得x＝4，
∴BF＝EF﹣BE＝4﹣1＝3，
∴．
15．（1）證明：如圖1，過點O作OD⊥OC，交CB的延長線于D，
∴∠COD＝90°＝∠AOB，
∴∠COD﹣∠COB＝∠AOB﹣∠COB，
∴∠BOD＝∠AOC，
在Rt△COD中，∠COD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BCO＝45°，
∴∠D＝∠BCO，BCO
∴OD＝OC，
∵A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB，
在 △BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴∠D＝∠ACO＝45°，
∴∠BCA＝90°，
∴CB⊥CA；
（2）如圖2，過點O作OD⊥OC，且使OD＝OC，過點B作BE⊥CD，交DC的延長線于點E，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，
又∵OA＝OB，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC，
∵OC＝m，
∴CDOCm，
∵∠BCO＝75°，∠DCO＝45°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠BCE＝60°，
∵BC＝n，
∴CEn，BEn，
∵BD2＝DE2+BE2，
∴2m2．
故答案為：2m2；
（3）如圖3，在x軸上取點C關于y軸對稱點E（1，0），連接DE．
∴∠CDO＝∠EDO，
∵∠ADO＝2∠CDO，
∴∠EDO＝∠EDF，
作EF⊥DA于F，
∴OE＝OC＝1，AE＝4﹣1＝3，
∴AF2，
∵∠DOE＝∠EFD＝90°，ED＝ED，
∴△EDO≌△EDF（AAS），
∴OD＝DF，
設OD＝DF＝x，
在Rt△ADO中，∠AOD＝90°，
∴OD2+OA2＝AD2，
∴，
解得x，
∴點D（0，）．
16．（1）證明：∵AC⊥BD，垂足為O，如圖1，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2＝OA2+OB2+OC2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解：如圖2，過點D作DM⊥BE，交EB的延長線于點M，
則∠BMD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC3，
∵△BCE和△ABD都是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝∠ABD＝90°，BE＝BC＝4，BD＝BA，
∴∠CBM＝180°﹣∠CBE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABC+∠ABM＝90°，
∵∠DBM+∠ABM＝90°，
∴∠ABC＝∠DBM，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，
∴△ABC≌△DBM（AAS），
∴MD＝AC＝3，BM＝BC＝4，
∴ME＝BE+BM＝448，
在Rt△BMD中，DE．
17．已知在△ABC中，AB＝AC，點D在線段BC上，點F在射線AD上，連接CF，作BE∥CF交射線AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α．
解：（1）∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝70°，
∴∠BED＝70°，
∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠ABE＝15°，
∴∠BAE＝70°﹣15°＝55°；
（2）①∵BF＝BA，AB＝AC，
∴BF＝AC，
∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝90°，
∴BE⊥AF，AE＝EF，∠ABE＝∠FBE，∠BEF＝∠AFC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FBE，
∴△BEF≌△AFC（AAS），
∴EF＝FC，
∴，
∵AB＝AC＝16，
∴CF2+（2CF）2＝256，
解得：（負根舍去）；
②如圖，過A作AM⊥BC于M，當D在M的右邊時，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝16，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：∠ABE＝∠CAF，
而∠AEB＝∠AFC＝90°，AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF（AAS），
∴，
當D在M的左邊時，如圖，
同理可得：，，，
∴；
綜上：或．
18．解：【探索一】（1）同意．
理由：∵以AB為邊向外作等腰直角三角形ABE，AE＝AB，∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵BEAB＝4，
∵∠ABC＝45°，
∴∠EBC＝90°，
∴CE4，
∴BD＝4；
【探索二】作∠BAE＝100°，且使AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝40°，
∵∠CAD＝100°，
∴∠BAD＝∠EAC，
又∵AE＝AB，AC＝AD，
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠AEC＝10°，
∴∠BEC＝∠BEA﹣∠AEC＝40°﹣10°＝30°，
∵∠ABD＝10°，∠DBC＝70°，∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝120°，
∴∠BCE＝30°，
∴BC＝BE＝4，
過點B作BF⊥EC于點F，則EF＝CF，
∴BF2，
∴CF2，
∴CE＝2CF＝4，
∴BD＝4．
19．解：（1）∵有意義，
∴，
∴a2＝1，
解得：a＝±1，
∵點A在y軸的正半軸上，
∴a＝1，
∴A（0，1），
∴，
∴點，
∴，
∴，
∴，
取AB的中點M，連接OM，如圖1所示：
，，
則，
∴OM＝AM＝OA，
∴△OAM為等邊三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°．
（2）∵，AO＝1，
∴在Rt△ACO中，，即AB＝AC，
∵AD＝AC，
∴AD＝2，
∴AD＝2＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝60°，即∠BAG＝120°，
∵OB＝OC，AB＝AC＝2，AO＝AO，
∴△BAO≌△CAO（SSS），
∴∠BAO＝60°＝∠CAO，
∵∠DAC＝90°，
∴∠GAD＝180°﹣∠DAC﹣∠OAC＝30°，
∵∠BAG＝120°，
∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝150°，
∴∠ABD＝∠ADB＝15°，
∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，
∴∠GBO＝∠ABD+∠ABO＝45°，
∴∠GBO＝∠BGO＝45°，
∴BO＝OG，
∵，
∴，
∴在△BOG中，；
（3），理由如下：
由（2）可知：∠ADB＝15°，
∵AD＝AC，∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝∠ACD＝45°，
∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°，
∴∠BEC＝∠BDC＝60°，
延長EB至F，使BF＝CE，連接AF，過A點作AM⊥EF于M點，如圖3，
∵∠OAB＝∠OAC＝60°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠BAC+∠BEC＝180°，
∴∠ACE+∠ABE＝180°，
∵∠ABF+∠ABE＝180°，
∴∠ABF＝∠ACE，
又∵AB＝AC，BF＝CE，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，
∴∠FAE＝∠BAC＝120°，
∴∠F＝∠AEF＝30°，
∵AM⊥EF，AF＝AE，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即．
20．（1）解：∵α＝60°，AD＝AE，
∴△ADE為等邊三角形，
∴DE＝AD＝6，∠EDA＝60°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠EDC＝60°+30°＝90°，
根據勾股定理得：，
∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，
即∠CAE＝∠BAD，
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴BD＝CE＝10；
（2）證明：∵∠BAC＝α＝120°，AB＝AC，
∴，
∵∠MAN＝60°，
∴∠BAM+∠CAN＝60°，
將△ACN繞點A順時針旋轉120°得到△ABP，連接PM，如圖所示：
則BP＝CN，∠ABP＝∠ACB＝30°，
∠BAP＝∠CAN，AP＝AN，
∴∠PBM＝∠ABP+∠ABC＝60°，
∠MAP＝∠BAM+∠BAP＝∠BAM+∠CAN＝60°＝∠MAN，
∵AM＝AM，
∴△APM≌△ANM（SAS），
∴MP＝MN，
∵BM＝MN，
∴MP＝BM，
∵∠PBM＝60°，
∴△PBM為等邊三角形，
∴BM＝BP＝CN，
∴MN＝CN．
（3）解：∵α＝90°，AD＝4，AC＝6，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝6，AE＝AD＝4，
∴BC2＝AB2+AC2＝72，DE2＝AD2+AE2＝32，
∠ABC+∠ACB＝90°，
連接BD，CE交于點O，如圖所示：
則與解析（1）同理可證△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD，
∴∠OBC+∠OCB＝∠OBA+∠ABC+∠OCB
＝∠ABC+∠ACE+∠OCB
＝∠ABC+∠ACB
＝90°，
∴∠COD＝∠DOE＝∠BOE＝∠BOC＝90°，
∴OB2+OC2＝BC2＝72，OE2+OD2＝DE2＝32，
OB2+OE2＝BE2＝52＝25，CD2＝OC2+OD2，
∴OC2+OD2＝BC2+DE2﹣（OE2+OB2）
＝BC2+DE2﹣BE2
＝72+32﹣25
＝79，
∴CD2＝79，
∴（負值舍去）．

展開更多......

收起↑