資源簡介

2024-2025學年八年級下冊期中數學試卷（考試范圍：第1~3章）
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．若，則在下列式子中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐標系中，線段是由線段經過平移得到的，已知點的對應點為，點的對應點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在等腰中，頂角，過點作的平行線，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
5．已知的，和的對邊分別是a，b和c，那么下列四個條件中能獨立推出是直角三角形的有（ ）個
①；②；③；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如圖，平面直角坐標系中有一個“飛鏢”，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限，點C在第四象限，，．將此飛鏢繞點O順時針旋轉，每次旋轉，則第2025次旋轉結束時，點B的坐標為（ ）
A． B． C． D．
7．已知點在一次函數的圖象上，且，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．若關于x的不等式組在實數范圍內有解，則a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，點為等邊外一點，且，．則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
10．如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，箏形的對角線，相交于點O．已知，，小嬋同學得到如下結論：①是等邊三角形；②；③；④動點M，N分別在線段，上，則的周長的最小值為，其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．如圖，將繞點旋轉到的位置，若，，則的度數為 ．
12．若關于x的不等式組有3個整數解，則a的取值范圍是 ．
13．如圖，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°．若BC＝3cm，則AD＝ cm．
14．小明同學提出：用一把直尺就可以畫出一個角的平分線．具體操作如下：首先把直尺的一邊與的一邊貼合，沿著直尺的另一邊畫直線l（如圖1）；隨后移動該直尺，把直尺的一邊與的一邊貼合，沿著直尺的另一邊畫直線m（如圖2），直線l與直線m交于點P，則射線就是的平分線．請指出這種畫法的依據是（請寫本學期所學的數學知識）： ．

15．在平面直角坐標系中，函數與的圖象交于點．
（1）的值為 ；
（2）當時，對于x的每一個值，函數的值既大于函數的值，也大于函數的值，則k的取值范圍為 ．
16．在一次數學探究活動中，陳老師給出了一道題．如圖，已知中，，，是內的一點，且，，，則的度數為 ．
三．解答題（共9小題，滿分72分）
17．（6分）解下列不等式（組）
(1) (2)
18．（6分）如圖，，垂足分別是E，F，求證：
(1)；
(2)．
19．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標為，，．
(1)畫出繞點逆時針旋轉后的圖形，并寫出的坐標；
(2)將先向左平移4個單位，再向上平移4個單位得到，畫出，并寫出的坐標；
(3)若可以看作繞某點旋轉得到，直接寫出旋轉中心的坐標．
20．（8分）在直角坐標平面內，已知點A(3，0)、點B(0，4)，，在坐標軸上找點，使構成等腰三角形．
(1)這樣的等腰三角形有______個；
(2)直接寫出分別以、為頂角時所有符合條件的點的坐標．
21．（8分）已知關于的方程滿足方程組．
(1)若，求的值；
(2)若均為非負數，求的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，求的最大值和最小值．
22．（10分）如圖，有一塊三角形菜園，其中，，．
(1)判斷菜園的邊與是否垂直，并說明理由；
(2)現要擴大菜園，在邊的延長上找一點D，使邊的長為，求菜園的面積大了多少．
23．（10分）臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心，在周圍上千米的范圍內形成極端氣候，有極強的破壞力．如圖，有一臺風中心沿方向由點向點移動，已知點為一海港，且點與直線上兩點A，B的距離分別為和，，以臺風中心為圓心周圍以內為受影響區域．
(1)海港受臺風影響嗎？為什么？
(2)若臺風的速度為，則臺風影響該海港持續的時間有多長？
24．（12分）如圖，在中，，，點是直線上一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，．
(1)如圖①，當，且點在線段上時，線段和之間的數量關系是 ；
(2)如圖②，當，且點在線段上時，猜想線段、、之間的數量關系，并加以證明；
(3)當，，時，請求出的長．
25．（12分）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關聯方程．例如：方程的解為，不等式組的解集為，因為，所以稱方程為不等式組的關聯方程．
(1)在方程①；②；③中，不等式組的關聯方程是______；（填序號）
(2)若不等式組的一個關聯方程的解是整數，且這個關聯方程是，求常數的值；
(3)①解兩個方程：和；②是否存在整數，使得方程和都是關于的不等式組的關聯方程？若存在，直接寫出所有符合條件的整數的值；若不存在，請說明理由．
參考答案
一．選擇題
1．B
【分析】此題主要考查中心對稱圖形的定義，熟練掌握中心對稱圖形的定義是解答本題的關鍵．
根據中心對稱圖形的定義旋轉后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形即可判斷出．
【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故A選項不符合題意；
B、是中心對稱圖形，故B選項符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故C選項不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，故D選項不符合題意；
故選：B．
2．D
【分析】本題考查了不等式的性質，根據不等式的性質逐項判斷即可求解，掌握不等式的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：、∵，
∴，該選項錯誤，不合題意；
、∵，
∴，該選項錯誤，不合題意；
、∵，
∴，該選項錯誤，不合題意；
、∵，
∴，
∴，該選項正確，符合題意；
故選：．
3．A
【分析】本題考查了圖形的平移變換，注意左右移動改變點的橫坐標，左減，右加；上下移動改變點的縱坐標，下減，上加．直接利用點的平移變化規律求解即可．
【詳解】解：∵點橫坐標從到，說明是向右移動了，縱坐標從2到，說明是向下移動了，
故線段是由線段經過向右移動4個單位，向下移動5個單位得到的，
∵點B的對應點的坐標為，
∴點的坐標為，即．
故選：A．
4．C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質、平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題關鍵．先根據等腰三角形的性質可得，再根據平行線的性質求解即可得．
【詳解】解：∵在等腰中，頂角，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
5．C
【分析】本題考查勾股定理的逆定理、三角形內角和、直角三角形的性質、三角形三邊關系，根據三角形內角和可以判斷①和④；根據三角形三邊關系可以判斷②；根據勾股定理的逆定理可以判斷③．
【詳解】解：∵
∴最大的，故①不符合題意；
∵，
∴，該a、b、c三條線段構不成三角形，故②不符合題意；
∵，
∴，
∴，則該是直角三角形，故③符合題意；
∵，
∴，則該是直角三角形，故④符合題意；
故選：C．
6．A
【分析】本題考查的是旋轉的旋轉，坐標規律的探究，勾股定理的應用，如圖，過作軸于，求解，旋轉1次后，再結合每旋轉4次為一個循環可得答案．
【詳解】解：如圖，過作軸于，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
由旋轉的性質可得：，
由，可知每旋轉4次為一個循環，
，
故第2025次旋轉結束時點B的位置與第1次旋轉結束時點B（即）的位置相同，
故選A．
7．C
【分析】本題主要考查了一次函數的增減性，解一元一次不等式，熟練掌握一次函數的性質是解題的關鍵．
由題目條件可判斷出一次函數的增減性，則可得到關于的不等式，可求得的取值范圍．
【詳解】解：∵點在一次函數的圖象上，且，
∴隨的增大而增大，
∴，解得：，
故選：C．
8．B
【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的解、解不等式組等知識點，根據在實數范圍內有解列出關于a的不等式是解題的關鍵．
先解關于x的不等式，再根據不等式在實數范圍內有解，即兩個不等式的解集有公共部分，據此列出關于a的不等式，進而求得a的范圍即可．
【詳解】解，
解不等式①得：，
解不等式②得：．
因為關于x的不等式組在實數范圍內有解，
∴，解得：．
故選：B．
9．C
【分析】本題考查旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，如圖，將繞點順時針旋轉至，連接、，根據旋轉的性質得是等邊三角形，得，根據等邊三角形的性質得，，證明，得，繼而得到，當點在上時取“”，此時取得最大值，即可得出結論．確定是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，將繞點順時針旋轉至，連接、，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵是等邊三角形，，
∴，，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴，即，
當點在上時取“”，此時取得最大值，
∴的最大值為．
故選：C．
10．C
【分析】由“箏形”的性質可得，可證是等邊三角形，故①正確；由“”可證，可得，由直角三角形的性質可得，故②正確；由面積關系可求，故③錯誤；作點D關于的對稱點，連接，交于點，連接，根據軸對稱的性質得出此時的周長的最小，最小值為，證明，等腰三角形的性質得出，再根據直角三角形的性質和勾股定理求出，得出，根據，即可得出，可判斷結論④．
【詳解】解：∵四邊形是“箏形”，
∴，，
∵，
∴是等邊三角形，故結論①正確；
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
，
∴，故結論②正確；
∵，
∴，
∵，故結論③錯誤；
作點D關于的對稱點，連接，交于點，連接，如圖：
此時四點共線，
故，則的周長的最小值為，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
則的周長的最小值為，結論④正確，
∴正確的結論有3個．
故選：C．
二．填空題
11．
【分析】本題考查旋轉的性質等腰三角形的性質與判定，三角形內角和定理的應用，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵；由題意易得，則有，然后根據直角三角形的兩個銳角互余可進行求解．
【詳解】解：由旋轉的性質可知：，，
∴，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：．
12．
【分析】本題考查根據不等式組的解集求參數的范圍，先求出不等式組的解集，根據解集的情況得到關于的不等式組，進行求解即可．
【詳解】解：解，得：，
∵不等式組有3個整數解，
∴，且三個整數解為：，
∴，
解得：；
故答案為：．
13．6
【分析】由已知條件可知：BD=2CB=6，根據角度關系得到AD=BD，即可得到結果．
【詳解】解：在Rt△BCD中，∠CDB=30°，
∴BD=2BC=6.
∵∠C＝90°，∠ABC＝75°，
∴∠A=180°-∠C-∠ABC＝15°．
又∵∠CDB=30°，
∴∠ABD=∠A=15°．
∴AD=BD=6．
14．
【分析】本題考查角平分線的判定以及全等三角形的判定定理，解題的關鍵是利用直尺寬度相等構造全等直角三角形，進而得出角平分線．
過點作于點于點．因為直尺的寬度相等，所以，同時（公共邊），，證明，
可得，即平分，因此這種畫法的依據是．
【詳解】解：如圖2中，過點P作于點M，于點N．

∵尺的寬度相等，
，
∵PM⊥OA,PN⊥OB,
，
在和中，
，
∴，
，
∴平分，
畫法的依據是：．
故答案為：．
15．
【分析】本題考查了兩條直線相交或平行的問題，涉及待定系數法求函數解析式，掌握數形結合法是解題的關鍵．
先將點分別代入函數解析式即可求出，則，此時兩條直線的函數解析式分別為與，數形結合找出平行的臨界狀態即可求解．
【詳解】解：（1）∵函數與的圖象交于點，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：；
（2）∵當時，對于x的每一個值，函數的值既大于函數的值，也大于函數的值，如圖：
∵直線與交于點，
由圖可知當時，函數的值大于函數的值，
∴要滿足題意，只需函數的值大于函數的值即可，
∵當直線平行于直線時，符合題意，此時
∴滿足題意，，
故答案為：．
16．
【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理的逆定理，將繞點旋轉到，連接，可得，即得，，，進而得，得到是等腰直角三角形， 即得到，，再利用勾股定理的逆定理得是直角三角形， 得到，最后根據角的和差關系即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，將繞點旋轉到，連接，
∴，
∴，，，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
故答案為：．
三．解答題
17．（1）解：
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
系數化為1得：；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為．
18．（1）證明：，，
，
在和中，
，
∴．
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：如圖所示：
的坐標為；
（2）解：如圖所示，
的坐標為；
（3）解：如圖，
若可以看作繞某點旋轉得到，作和的垂直平分線，它們的交點P即為旋轉中心的坐標，由圖可得．
20．（1）分類討論：①當AB=BC時，如圖，和；
②當AB=AC時，如圖，和；
③當BC=AC時，如圖和．
綜上可知滿足條件的點C有個，
故答案為：；
（2）當為頂角時，即AB=AC=5，此時點C的位置即上圖中，，．
∴，，，
∴(8，0)，(0，-4)，(-2，0)；
當為頂角時，即AB=BC=5，此時點C的位置即上圖中，，．
∴，，，
∴(-3，0)，(0，-1)，(0，9)．
21．（1）解：，
①②得，
∵，
∴，
解得；
（2）解：，
解得，
∵均為非負數，
∴，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值為9，最小值為．
22．（1）解：垂直，理由如下：
，，，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，，
，
，
即菜園的面積擴大了．
23．（1）解：海港受臺風影響，理由如下：
如圖，過點作于點，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，
∴海港受臺風影響．
（2）解：如圖，當時，臺風正好影響海港，
∴，
∴，
∵臺風的速度為，
∴，
答：臺風影響該海港持續的時間為．
24．（1）解：，理由如下：
如圖：
∵將線段繞點逆時針旋轉得到線段，
，，
，
在與中，，
，
；
（2）解：線段、、之間的數量關系為，證明如下：
如圖：
，
，
同（1）可證，
，
，
，
；
（3）解，
∴，
①當在線段上時，如圖：
∵，
，
由（2）知
；
②當在延長線上時，如圖：
∵，
，
；
綜上所述，的長度為或．
25．（1）解：方程①的解為；
方程②的解為；
方程③的解為；
不等式組的解集為，
∵，
∴不等式組的關聯方程是方程③，
故答案為：③；
（2）解：解不等式組，得，
因此不等式組的整數解為．
將代入關聯方程0，
得；
（3）解：①，
解得；
，
解得；
②不存在．理由如下：
解不等式組，
得，
假如方程和都是關于的不等式組的關聯方程，
則且．
解得：且
∴不等式組無解，
不存在整數，使得方程和都是關于的不等式組的關聯方程．

展開更多......

收起↑