資源簡介

2024-2025學年八年級數學下冊期中測試卷（考試范圍：第1~3章）
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．不等式組的解集是，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，的平分線，與的外角的平分線相交于點F，過點F作交于點D，交于點E，若，，則的長為（ ）
A．4 B．2.5 C．2 D．1.5
3．如圖，，把繞點B順時針旋轉一個角度得到，點在邊上，若的度數為，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
4．如圖，在中，，，，沿過點的直線折疊，再次折疊，使點與點重合，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，在平面直角坐標系中，點在軸上，點的坐標為.將先繞點順時針旋轉90°，再向右平移3個單位長度，則變換后點的對應點坐標是( )
A． B． C．(3,2) D．(2,2)
6．對于正整數數x，符號表示不大于x的最大整數．若有正整數解，則正數a的取值范圍是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
7．如圖，在中，，，為的角平分線，為邊上的中點，為邊上一點，將沿翻折，使點的對應點恰好落在角平分線上，連接并延長交于點，若，則點到的距離為（ ）
A． B． C． D．
8．已知非負數 x，y，z 滿足..，設 ，則 W 的最大值與最小值的和為（ ）
A． B． C． D．
9．如圖,在4×4的正方形網格中,每個小正方形的頂點稱為格點,左上角陰影部分是一個以格點為頂點的正方形(簡稱格點正方形).若再作一個格點正方形,并涂上陰影,使這兩個格點正方形無重疊,且組成的圖形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,則這個格點正方形的作法共有 ( )
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
10．如圖，在和中，，點C，D，E在同一條直線上，連接B、D和B，E，下列四個結論：①；②；③④，其中，正確的個數是（　 　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．如圖，，，將繞點B逆時針旋轉，得到，設與交于點F，連接，當為等腰三角形時， ．
12．已知直線與直線相交于點A，兩直線分別與x軸交于B，C兩點，若點D落在內部（不含邊界），則：
（1）點A的坐標是 ；
（2）a的取值范圍是 ．
13．如圖，在銳角三角形中，，，分別為的角平分線．，相交于點F，平分，已知，，的面積，求的面積 ．
14．如圖，，，，，，則 ．
15．一個四位正整數M，如果千位數字與十位數字之和的兩倍等于百位數字與個位數字之和，則稱M為“共進退數”，并規定等于M的前兩位數所組成的數字與后兩位數所組成的數字之和，等于M的前兩位數所組成的數字與后兩位數所組成的數字之差，如果，那么M各數位上的數字之和為 ；有一個四位正整數（，且為整數）是一個“共進退數”，且是一個平方數，是一個整數，則滿足條件的數N是 ．
16．如圖，在中，，，F為的中點，C為延長線上一點，D為延長線上一點，且．則 ，四邊形的面積是 ．
三．解答題（共9小題，滿分72分）
17．（6分）如圖所示，點，的坐標分別為，，直線與坐標軸交于，兩點．
(1)求直線與交點的坐標．
(2)請直接寫出當時，的取值范圍．
(3)求四邊形的面積．
18．（6分）圖1，圖2均為正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，各個小正方形的頂點叫做格點，請在下面的網格中按要求分別畫圖，使得每個圖形的頂點均在格點上．
（1）畫一個邊長均為整數的等腰三角形，且面積等于12；
（2）畫一個直角三角形，且三邊長為，，5，并直接寫出這個三角形的面積．
19．【綜合與實踐】根據以下信息，探索完成設計購買方案的任務．
信息1：某校初一舉辦了科技比賽，學校為獲獎的40名同學每人購買一份獎品，獎品分為，，三類．
信息2：若購買2份A獎品和3份B獎品共需220元；購買3份A獎品和2份B獎品共需230元．單獨購買一份C獎品需要15元．
信息3：計劃獲A獎品的人數要少于獲B獎品的人數．購買時有優惠活動：每購買1份A獎品就贈送一份C獎品．
任務1：求A獎品和B獎品的單價；
任務2：若獲A獎品的人數等于獲C獎品的人數，且獲得A獎品的人數超過10人，求此次購買A獎品有幾種方案；
任務3：若購買獎品的總預算不超過1150元，要讓獲A獎品的人數盡量多，請你直接寫出符合條件的購買方案．
20．（8分）如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，A、B兩點都在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網格中按要求畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示）．
(1)在圖1中，為格點．
①先將線段繞點逆時針旋轉得到線段；
②再畫線段，使線段與線段關于點成中心對稱（其中點對應點，點對應點）；
(2)在圖2中，以格點為坐標原點建立平面直角坐標系，其中點坐標為．
①先畫格點，使，且；
②已知線段繞平面內的點旋轉一個特定的度數可與線段重合，請在圖中畫出旋轉中心；
③請直接寫出點的坐標為_____________．
21．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交A、B兩點，與直線相交于點．
(1)求m和b的值；
(2)若直線與x軸相交于點D，動點P從點D開始，以每秒1個單位的速度向x軸負方向運動，設點P的運動時間為t秒．
①若點P在線段上，且的面積為10，求t的值；
②當為等腰三角形時，直接寫出t的值．
22．（10分）（1）如圖①．在中，，為邊上一點（不與點，重合），將線段繞點逆時針旋轉得到，連接，試探索線段，，之間滿足的等量關系，并證明你的結論；
（2）如圖②，在與中，，，將繞點旋轉，使點落在邊上，試探索線段，，之間滿足的等量關系，并證明你的結論；
（3）聯想：如圖③，在四邊形中，，若，，則的長為______．
23．（10分）如圖1，已知長方形，，點P是射線上的動點，連接，是由沿翻折所得到的圖形．
(1)當點Q落在邊上時， _____；
(2)當直線經過點D時，求的長；
(3)如圖2，點M是的中點，連接．
①的最小值為_____；
②當是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出的長．
24．（12分）【概念引入】對于給定的一次函數（其中，為常數，且），則稱函數為一次函數的伴隨函數．
例如：一次函數，它的伴隨函數為
【理解運用】（1）對于一次函數，寫出它的伴隨函數的表達式．
（2）為了研究函數的伴隨函數的圖象某位同學制作了如下表格：
x … 0 1 2 …
y … _________ 2 0 _________ …
①補全表格中橫線部分的數據并根據表中的結果在圖所給的坐標系中畫出函數的伴隨函數的圖象；
②已知直線與的伴隨函數的圖象交于，兩點（點在點的下方），點在軸上，當的面積為時，求的值．
【拓展提升】（3）在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為，，連接，當一次函數的伴隨函數的圖象與線段的交點有且只有個時，直接寫出的取值范圍．
25．（12分）若和均為等腰三角形，且，當和互余時，稱與互為“底余等腰三角形”， 的邊上的高叫做的“余高”．
(1)如圖1，與互為“底余等腰三角形”．若連接，，判斷與是否互為“底余等腰三角形”： （填“是”或“否”）；
(2)如圖1，與互為“底余等腰三角形”．當時，若的“余高”是．
①請用直尺和圓規作出（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；
②求證：．
(3)如圖2，當時，與互為“底余等腰三角形”，連接、，若，，請直接寫出的長．
參考答案
一．選擇題
1．C
【分析】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練掌握解不等式組的方法和步驟．
先求解不等式，結合原不等式組的解集是，得出關于的不等式，求解即可．
【詳解】解：解不等式，
可得：，
∵原不等式組的解集是，
∴，
解得：，
故答案為：C．
2．C
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質以及平行線的性質，根據已知條件，、分別平分、，且，可得，，根據等角對等邊得出，，根據即可求得．利用邊角關系并結合等量代換來推導證明是本題的特點．
【詳解】解：∵、分別平分、，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故選：C．
3．B
【分析】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵在于確定角度之間的數量關系．
由旋轉性質得，，在中由三角形內角和求得，便可求得結果．
【詳解】解：∵，
∴
∵繞點B順時針旋轉一個角度得到，
∴，，
∴，
∴，
∴ ．
故選：B．
4．B
【分析】此題重點考查直角三角形的兩個銳角互余、軸對稱的性質、勾股定理等知識，證明是解題的關鍵．由折疊得，，，，則，所以，由勾股定理得，求得的長度即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
由折疊得，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故選：B．
5．D
【分析】先求出A點繞點順時針旋轉90°后所得到的坐標，再求出向右平移3個單位長度后得到的坐標，即為變換后點的對應點坐標.
【詳解】將先繞點順時針旋轉90°，得到點坐標為(-1,2),再向右平移3個單位長度，則點的縱坐標不變，橫坐標加上3個單位長度，故變換后點的對應點坐標是(2,2).
6．（3分）（24-25八年級·浙江·期中）對于正整數數x，符號表示不大于x的最大整數．若有正整數解，則正數a的取值范圍是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根據所表示的含義，結合題意可得出，繼而可解出的正整數解，分別代入所得不等式，可得出的范圍．
【詳解】解：有正整數解，
，
即，，
，
是正整數，為正數，
，即可取1、2；
①當取1時，
，，
；
②當取2時，
，，
；
綜上可得的范圍是：或．
故選：D．
7．B
【分析】本題考查了折疊的性質，等腰三角形的判定及性質，全等三角形的判定及性質，直角三角形的特征等. 掌握這些判定方法及性質，能根據題意作出恰當的輔助線是解題的關鍵．
解法一：過作于，連接；由折疊的性質及等腰三角形的性質證明 ，再由可判定，由全等三角形的性質得，是的垂直平分線，進而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性質得，，在中由直角三角形性質求出，由即可求解；
解法二：過作于，過作于，連接，在上截取，由等邊三角形的定義得是等邊三角形，從而可得，由由折疊的性質及等腰三角形的判定方法得和是等腰三角形，由可判定，由全等三角形的性質得，由等腰三角形的性質得，即可求解.
【詳解】解：解法一：如圖，過作交于，連接，
，
，
為的角平分線，
，
由翻折得：，
，
，
是的中點，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的垂直平分線，
∴，
∵ ，
，，
∴，，，
和是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，
∵，，
，
，
故選B；
解法二：如圖，過作于，過作于，連接，在上截取，
，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
為的角平分線，
，
由翻折得：，
，
，
是的中點，
，
，
，
，
，
，，
和是等腰直角三角形，
，，
在和中
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
故選：B．
8．C
【分析】首先設，求得，，，又由，，均為非負實數，即可求得的取值范圍，則可求得的取值范圍．
【詳解】解：設，
則，，，
，，均為非負實數，
，
解得，
于是，
，
即．
的最大值是，最小值是，
的最大值與最小值的和為，
故選：C．
9．C
【詳解】試題分析：利用軸對稱圖形的性質以及中心對稱圖形的性質分析得出符合題意的圖形即可．
解：如圖所示：組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，
則這個格點正方形的作法共有4種．
故選C．
10．C
【分析】根據“邊角邊”，得出，再根據全等三角形的性質，得出，即可判斷結論②；再根據全等三角形的性質，得出，再根據等腰直角三角形的性質，得出，進而得出，再根據等量代換，得出，再根據角之間的數量關系，得出，再根據三角形的內角和定理，得出，即可判斷結論①；再根據等腰直角三角形的性質，得出，再根據，得出，即可判斷結論③；根據勾股定理，得出，再根據等腰直角三角形的性質，得出，再根據等量代換，得出，同理得出，然后把代入，得出，即可判斷結論④，綜合即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴，即．
∵在和中，
，
，
∴．故結論②正確；
，
，
∵為等腰直角三角形，
，
，
，
，
，故結論①正確．
∵為等腰直角三角形，
，
，
，
∴，故結論③錯誤．
∵，即，
∴在中，利用勾股定理得：．
∵為等腰直角三角形，
，
，
，
∴在中，利用勾股定理得：．
∵為等腰直角三角形，
∴，
，
∴，故結論④正確．
綜上所述，正確的結論為①②④．
故選：C．
二．填空題
11．或
【分析】本題考查了旋轉的性質，等邊對等角的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．
根據旋轉的性質可得，根據等腰三角形的兩底角相等求出，再表示出，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出，然后分①，②，③三種情況討論求解．
【詳解】解：∵將繞點逆時針旋轉 ，得到，
，
，
，
根據三角形的外角性質，，
是等腰三角形，分三種情況討論，
①時，，無解，
②時，，
解得：，
③時，，
解得：，
綜上所述，旋轉角度數為或．
故答案為：或．
12．
【分析】本題是考查一次函數圖象的性質，一次函數圖象交點，利用圖象求解的問題，根據題意得出圖形示意圖對于解題有幫助，能將其轉化為不等式組來解是本題的關鍵．
聯立兩函數解析式，求出方程組的解，即可得到兩函數圖象交點坐標；利用一次函數函數圖象的性質可以得兩個函數的圖象示意圖，從而得到的位置，若點落在內，則點在兩條直線的下方同時在軸上方，可列出不等式組求解．
【詳解】解：聯立得，
解得：，
∴．
一次函數圖象的性質，可以得到示意圖，如圖．
對于直線，令，則，解得，
∴
對于直線，令，則，解得，
∴，
點落在內部（不含邊界）
列不等式組
解得：
故答案為：；．
13．4
【分析】本題主要考查了三角形面積計算，三角形全等的判定和性質，角平分線的性質，三角形內角和定理應用，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．過點F作于點N，于點M，證明，得出，同理可得，得出，求出，得出，根據的面積，得出，求出，即可得出答案．
【詳解】解：如圖，過點F作于點N，于點M，
，，分別為的角平分線，
，，
∴，
，
∵平分，
，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵的面積，
，
∴，
∴，
，
∴的面積，
故答案為：4．
14．30
【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的外角與內角，在上取一點，使，連接，得到，再由垂直得到，推出，再結合得到是等邊三角形，則，，由外角及等邊對等角得到，最后根據求解即可．
【詳解】解：在上取一點，使，連接，如圖，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
15． 15 3105
【分析】由四位正整數M為“共進退數”推出，由推出，從而解得，，繼而得解；由推出N的各位數字，繼而表示出與，由N是一個“共進退數”推出，利用是一個平方數推出，從而得到z的值和，從而利用是整數求出x，從而得解．
【詳解】解：設M的千位數字是a，百位數字是b，十位數字是c，個位數字是d，則，
∵四位正整數M為“共進退數”，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，即M各數位上的數字之和為15．
∵，
即N的千位數字是，百位數字是1，十位數字是y，個位數字是，
∴，
，
又∵N是一個“共進退數”，
∴，
化簡得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵是一個平方數，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，，
解得：，
∴，
∴，
又∵是整數，
∴是13的倍數，
∴，，
∴．
故答案為：15；3105
16．
【分析】本題考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質，勾股定理，構造全等三角形是解題關鍵．過A作，由，，得，由，F為的中點，得為的垂直平分線，設，換算得，由，換算出，故為等邊三角形，證明，得它們面積相等.故四邊形的面積=四邊形的面積面積面積，再計算即可．
【詳解】解：過A作，交延長線于，
∵，，
∴，.
∵，F為的中點，
∴為的垂直平分線，
∴.
∵，
∴，
∴設，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴面積面積，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形的面積面積+四邊形的面積
面積+四邊形的面積
=四邊形的面積
面積面積
，
故答案為：，．
三．解答題
17．（1）解：∵直線：過點，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式是，
解方程組，
得：，
∴點的坐標是；
（2）由圖象可知：當時，的圖象在的圖象的上方，
∴不等式的解集；
（3）對于直線，
當時，；當時，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，點到軸的距離為，
∴，
∴四邊形的面積為．
18．解：（1）如圖1所示，即為所求：
（2）如圖2所示，即為所求：
∵，
∴△DEF是直角三角形，
∴.
19．任務1：設A獎品單價為x元，B獎品單價為y元，得：
解得：
答：A獎品單價為50元，B獎品單價為40元．
任務2：設購買A獎品a份，則購買B獎品份，得
解得：，
a為正整數，
a可取的值有11，12，13．
答：此次購買A獎品共有3種購買方案．
任務3： 設購買A獎品m份，C獎品n份，
則B獎品份數為：，依題意得：
，
解得：，即，
m、n均為正整數，
可以取的值有：，，，，，，，，，，，
當時，，即，無解
當時，，即，所以
，，此時獎品人數最多
方案為：購買A獎品11份，C獎品6份，B獎品12份，此時預算為（元），符合題意．
故答案為：購買11份A獎品，12份B獎品，6份C獎品．
20．（1）解：所求圖形，如圖所示；
（2）解：①如圖，點G為所求，
將線段繞點B順時針旋轉得到線段，則，，
作平行四邊形，則，，
∴，且，
即點G為所求．
②如圖，點P為所求．
作線段的垂直平分線，作線段的垂直平分線，與交于點P，則，，
∴點P為所求的旋轉中心．
③由題可得，點P的坐標為．
故答案為：
21．（1）解：在中，當時，；
當時，；
∴；
∵點在直線上，
，
又∵點也在直線上，
，
解得：；
（2）解：①在中，當時，，
，
，
，
，
，
設，則，過C作于E，如圖1所示：
則，
∵的面積為10，
，
解得：；
②存在，理由如下：
過作于，如圖1所示：
則，
，
；
當時，，
，
；
當時，如圖2所示：
則，
，
或；
當時，如圖3所示：
設，則，
，
解得：，
∴與重合，，
，
；
綜上，的值為或或或．
22．解：（1），
理由如下：連接，
由題意得：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
（2），
理由如下：連接，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
在中，，又，
∴；
（3）過點A作，使，連接，
∵，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．（1）解：當點Q落在邊上時，如圖所示，
∵長方形，，，
∴，，
∵翻折，
∴，
∴，
在中，；
故答案為：；
（2）當直線經過點D時，分兩種情況：
當點在線段上時，如圖：
∵翻折，
∴，，，
∴，
∴，
設，則：，，
在中，，即：，
∴；
∴；
②當在線段的延長線上時：
∵翻折，
∴，，
∴，
設，則：，，
在中，，即：，
∴；
∴；
綜上：或；
（3）①連接，
∵是的中點，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∵，
∴當三點共線時，的值最小，
即：；
故答案為：；
②當時，如圖：
∵翻折，
∴，
設，則：，
在中，，即：，
解得：，
即：；
當，點在線段上時，如圖：
∵，，
∴，
∴，點在上，
由（1）知：，
∴，
∴；
當點在的延長線上時：如圖：此時點在上，連接，
∵翻折，
∴，
∵，
∴；
綜上：或或．
24．解：（1）∵函數為一次函數的伴隨函數．
的伴隨函數為；
故答案為：；
（2）①當時，，當時，，
∴補全表格如下：
x … 0 1 2 …
y … 0 2 0 …
作圖如下，
②聯立和得
，解得，
∴
聯立和得，
解得，
∴
當時，，
∴與軸的交點為，
∵點
∴，
∵的面積為
∴，即，
解得或
（3）如圖，
設直線為，
∵點、的坐標分別為，，
∴，
解得，
∴直線為，
令，則，
∴直線:與軸的交點為，
由題意得，一次函數的伴隨函數為．
當軸右側部分與有交點時，把和代入，得，
當軸左側部分與有交點時，把和，代入，得，
當時，，
∴或者，
∴伴隨函數與有個交點時，的取值范圍為：或者，
故答案為：或者．
25．（1）解： 與互為“底余等腰三角形”，
，
，
，
，
四邊形內角和是，
，
，
與互為“底余等腰三角形”；
故答案為：是；
（2）①解：用直尺和圓規作出，如圖1.1，
；
②證明：過點作，如圖2，
，
，
，
又，，
，
，
又，
；
（3）解：過點作，如圖2，
根據等腰三角形的性質可得：，
根據（2）可知，
根據勾股定理可得．

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