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浦東新區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)期中
2025.4
一、填空題（本大題共有12題，滿分36分）
1． 弧度.
2．已知，則角屬于第 象限．
3．半徑為1，圓心角為的扇形的面積為 ．
4．已知，則的值為 ．
5．已知，則的值為 ．
6．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，則的值為 ．
7．已知函數(shù)．則函數(shù)所有零點(diǎn)組成的集合為 ．
8．代數(shù)式可化為的形式，則的值為 ．
9．函數(shù)的最小值為 ．
10．已知，且，則的值為 ．
11．一根長(zhǎng)為的材料（材料粗細(xì)忽略不計(jì)）欲水平通過(guò)如圖所示的直角走廊，已知走廊的寬，則能夠通過(guò)這個(gè)直角走廊的材料的最大長(zhǎng)度（即求的最小值）為 ．
12．已知，且函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．若（其中，則的最小值為 ．
二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）每小題都給出四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選對(duì)得3分，否則一律得零分．
13．下列函數(shù)中，最小正周期為的是（ ）.
A． B． C． D．
14．下列誘導(dǎo)公式中錯(cuò)誤的是（ ）.
A． B．
C． D．
15．在中，角所對(duì)的邊分別為．若，則該三角形一定是（ ）.
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
16．關(guān)于的方程在區(qū)間上解的情況，下列說(shuō)法不正確的是（ ）.
A．存在實(shí)數(shù)使得方程無(wú)解 B．存在實(shí)數(shù)使得方程有無(wú)數(shù)個(gè)解
C．存在唯一的實(shí)數(shù)使得方程只有1個(gè)解 D．存在唯一的實(shí)數(shù)使得方程只有2個(gè)解
三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須寫出必要的步驟。
17．（本題滿分8分．第（1）問(wèn)4分，第（2）問(wèn)4分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊恰好與單位圓相交于點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（本題滿分10分．第（1）問(wèn)4分，第（2）問(wèn)6分）
在中，已知．
（1）求；
（2）求的面積及外接圓半徑．
19．（本題滿分10分．第（1）問(wèn)5分，第（2）問(wèn)5分）
已知．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
20．（本題滿分12分．第（1）問(wèn)3分，第（2）問(wèn)4分，第（3）問(wèn)5分）
在月亮和太陽(yáng)的引力作用下，海水水面發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)象叫做潮汐．通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下面是某天在某港口記錄的水面深度與時(shí)間的關(guān)系表：
（時(shí)） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）請(qǐng)從這3個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)函數(shù)近似描述某天這個(gè)港口的水面深度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，不需要說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)根據(jù)你對(duì)（1）的判斷以及所給信息，寫出你選擇的函數(shù)模型的解析式；
（3）依照（2）中的函數(shù)模型，若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有2.25米的安全間隙（船底與海底的距離），則該貨船在某天什么時(shí)間段能安全進(jìn)出港口？要使該貨船能在某天卸完貨并安全離港，卸貨最多只能用多少時(shí)間？
21．（本題滿分12分．第（1）問(wèn)3分，第（2）問(wèn)5分，第（3）問(wèn)4分）
已知函數(shù)的定義域.若實(shí)數(shù)，且滿足，則稱和是＂相關(guān)＂的．
（1）若，求所有滿足和是＂相關(guān)＂的實(shí)數(shù)；
（2）若，求所有滿足和是＂相關(guān)＂的實(shí)數(shù)；
（3）若，求所有滿足和是＂相關(guān)＂的實(shí)數(shù)的取值范圍．
浦東新區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)期中
2025.4
一、填空題（本大題共有12題，滿分36分）
1． 弧度.
【答案】
2．已知，則角屬于第 象限．
【答案】二
3．半徑為1，圓心角為的扇形的面積為 ．
【答案】
4．已知，則的值為 ．
【答案】
5．已知，則的值為 ．
【答案】
6．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，則的值為 ．
【答案】
7．已知函數(shù)．則函數(shù)所有零點(diǎn)組成的集合為 ．
【答案】
8．代數(shù)式可化為的形式，則的值為 ．
【答案】（或或）；
9．函數(shù)的最小值為 ．
【答案】-1
10．已知，且，則的值為 ．
【答案】
11．一根長(zhǎng)為的材料（材料粗細(xì)忽略不計(jì)）欲水平通過(guò)如圖所示的直角走廊，已知走廊的寬，則能夠通過(guò)這個(gè)直角走廊的材料的最大長(zhǎng)度（即求的最小值）為 ．
【答案】
12．已知，且函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．若（其中，則的最小值為 ．
【答案】
二、選擇題（本大題共有4題，滿分12分）每小題都給出四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選對(duì)得3分，否則一律得零分．
13．下列函數(shù)中，最小正周期為的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
14．下列誘導(dǎo)公式中錯(cuò)誤的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
15．在中，角所對(duì)的邊分別為．若，則該三角形一定是（ ）.
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
16．關(guān)于的方程在區(qū)間上解的情況，下列說(shuō)法不正確的是（ ）.
A．存在實(shí)數(shù)使得方程無(wú)解 B．存在實(shí)數(shù)使得方程有無(wú)數(shù)個(gè)解
C．存在唯一的實(shí)數(shù)使得方程只有1個(gè)解 D．存在唯一的實(shí)數(shù)使得方程只有2個(gè)解
【答案】C
三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須寫出必要的步驟。
17．（本題滿分8分．第（1）問(wèn)4分，第（2）問(wèn)4分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊恰好與單位圓相交于點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）（2）見(jiàn)解析
【解析】（1）由題，
（2）
18．（本題滿分10分．第（1）問(wèn)4分，第（2）問(wèn)6分）
在中，已知．
（1）求；
（2）求的面積及外接圓半徑．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由題
（2）則
又因此
19．（本題滿分10分．第（1）問(wèn)5分，第（2）問(wèn)5分）
已知．
（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）若關(guān)于的方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為 （2）
【解析】（1）由題，
由得
因此函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為
（2）由題得，原題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域
當(dāng)時(shí)，
因此，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為
20．（本題滿分12分．第（1）問(wèn)3分，第（2）問(wèn)4分，第（3）問(wèn)5分）
在月亮和太陽(yáng)的引力作用下，海水水面發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)象叫做潮汐．通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下面是某天在某港口記錄的水面深度與時(shí)間的關(guān)系表：
（時(shí)） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）請(qǐng)從這3個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)函數(shù)近似描述某天這個(gè)港口的水面深度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，不需要說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)根據(jù)你對(duì)（1）的判斷以及所給信息，寫出你選擇的函數(shù)模型的解析式；
（3）依照（2）中的函數(shù)模型，若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有2.25米的安全間隙（船底與海底的距離），則該貨船在某天什么時(shí)間段能安全進(jìn)出港口？要使該貨船能在某天卸完貨并安全離港，卸貨最多只能用多少時(shí)間？【答案】（1）應(yīng)選 （2）
（3）在某天時(shí)，時(shí)能安全進(jìn)出港口；卸貨最多只能用16小時(shí)．
【解析】（1）由本題文字材料和圖表可知，應(yīng)選擇函數(shù)模型
（2）由題，
將代入，得，故．
因此，選擇的函數(shù)模型的解析式為
（3）由題意可得，，
即即
故該貨船在某天時(shí)，時(shí)能安全進(jìn)出港口．要使該貨船能在某天卸完貨并安全離港，卸貨最多只能用16小時(shí)．
21．（本題滿分12分．第（1）問(wèn)3分，第（2）問(wèn)5分，第（3）問(wèn)4分）
已知函數(shù)的定義域.若實(shí)數(shù)，且滿足，則稱和是＂相關(guān)＂的．
（1）若，求所有滿足和是＂相關(guān)＂的實(shí)數(shù)；
（2）若，求所有滿足和是＂相關(guān)＂的實(shí)數(shù)；
（3）若，求所有滿足和是＂相關(guān)＂的實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1） （2）或
（3）
【解析】（1）由題，即，即
故
（2）由題，即
整理得即故或
因此，或
（3）由題，整理得
轉(zhuǎn)化為即
由正弦函數(shù)的有界性，可知即
因此，的取值范圍為

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