資源簡介

2025 年四川省成都市崇州市中考數(shù)學(xué)一診試卷
A 卷（共 100 分）
一、單選題：本大題共 8 小題，共 32 分。
1.實(shí)數(shù) ， 在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是( )
A. | | > | | B. + > 0 C. > 0 D. < 0
2. 1 是幻方量化旗下 公司深度求索( )研發(fā)的推理型. 1 擁有卓越的
性能，在數(shù)學(xué)、代碼和推理任務(wù)上可與 1 媲美.其采用的大規(guī)模強(qiáng)化學(xué)習(xí)技術(shù)，僅需少量標(biāo)注數(shù)據(jù)
即可顯著提升模型性能.此外， 1 構(gòu)建了智能訓(xùn)練場，通過動態(tài)生成題目和實(shí)時(shí)驗(yàn)證解題過程
等方式，提升模型推理能力. 2025 年 1 月 20 日， 1 模型正式發(fā)布，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，截至 2 月
5 日， 的下載量已接近 4000 萬.將 4000 萬用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 4 × 106 B. 40 × 106 C. 4 × 107 D. 0.4 × 108
3.下列運(yùn)算正確的是( )
A. ( 2 3)2 = 4 5 B. 2 = 3
C. 4 = 4 D. (3 + 1)2 = 9 2 + 6 + 1
4.學(xué)校組織各班開展“減少近視，守護(hù)光明”主題班會活動，九年級一班班長小穎隨即組織本班 42 名同學(xué)
進(jìn)行視力檢查，小穎根據(jù)視力檢查數(shù)據(jù)制作了如下統(tǒng)計(jì)表，則九年級一班同學(xué)視力檢查數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位
數(shù)分別是( )
視力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2
人數(shù) 2 3 4 6 5 8 5 4 3 2
A. 4.8，4.8 B. 4.8，4.7 C. 4.8，4.75 D. 4.8，4.6
5.如圖，將兩張相同的矩形紙片互相重疊得到四邊形 ，連接 ，測得∠1 = 38°
則∠ 的度數(shù)為( )
A. 18°
B. 19°
C. 38°
D. 42°
6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) (2, 3)關(guān)于 軸對稱的點(diǎn) ′的坐標(biāo)是( )
A. ( 2, 3) B. ( 2,3) C. (2, 3) D. (2,3)
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7.如圖，在⊙ 中，弦 // ，∠ = 42°，則∠ 的度數(shù)為( )
A. 84°
B. 86°
C. 88°
D. 90°
8.二次函數(shù) = 2 + + 的圖象如圖所示，則下列說法不正確的是( )
A.對稱軸為直線 = 1
B. 的最小值為 4
C. = 2 對應(yīng)的函數(shù)值為 = 5
D.當(dāng) 0 < < 2 時(shí)，則 4 < < 2
二、填空題：本大題共 5 小題，共 20 分。
9.已知 + 3 = 2，則 = ______．
10.若關(guān)于 的一元二次方程 2 + 2 = 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)
的取值范圍為______．
11.如圖，四邊形 是平行四邊形， 為對角線， ⊥ 于點(diǎn) ， // ，

=
1
2，則 △ ： △ 的值為______．
12.《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，成書于公元一世紀(jì)左右.小紅閱讀《九章算術(shù)》中有趣的方程問題
后，隨即對某個(gè)題目進(jìn)行改編，修改后的題目為：“今有 5 頭牛、7 只羊，值錢 920 金；將牛與羊互換其
中一只(頭)，值金相同.”設(shè)每頭牛、每只羊的價(jià)格各為 金， 金，根據(jù)題意列出方程組為______．
13.如圖，在△ 中，∠ = 90°，分別以點(diǎn) 1， 為圓心，大于2 的長為半徑
畫弧，兩弧分別交于點(diǎn) 和點(diǎn) ；作直線 分別交線段 ， 于點(diǎn) ， .若 = 1，
= 3，則 的值為______．
三、解答題：本題共 5 小題，共 48 分。
14.（本小題 12 分）
(1) 1計(jì)算：( ) 12 12 + ( 2025)
0 + | 3 3|；
2( 3) < 3 2
(2)解不等式組： +4
2 ≥ 1
．
15.（本小題 8 分）
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2025 年 1 月，中共中央、國務(wù)院印發(fā)《教育強(qiáng)國建設(shè)規(guī)劃綱要(2024 2035 年)》.《綱要》指出：促進(jìn)學(xué)
生健康成長、全面發(fā)展.深入實(shí)施素質(zhì)教育，健全德智體美勞全面培養(yǎng)體系，加快補(bǔ)齊體育、美育、勞動教
育短板.落實(shí)健康第一教育理念，實(shí)施學(xué)生體質(zhì)強(qiáng)健計(jì)劃.某校為落實(shí)文件精神，隨即調(diào)整完善學(xué)生體育訓(xùn)練
計(jì)劃，保證學(xué)生每天在校綜合體育活動時(shí)間不低于 2 小時(shí).學(xué)校通過增加體育課程和各類比賽等不斷豐富體
育項(xiàng)目，讓學(xué)生健康快樂成長.為了解同學(xué)們對比賽項(xiàng)目的喜愛情況，體育組老師對部分同學(xué)進(jìn)行了項(xiàng)目喜
好情況調(diào)查(每位同學(xué)只能選一種)，特制定如下統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖．
比賽項(xiàng)目 人數(shù)
籃球比賽 60
足球比賽 50
排球比賽
乒乓球比賽
羽毛球比賽 25
空竹比賽
根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有______人，表中 = ______， = ______；
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求“ ”“ ”比賽項(xiàng)目對應(yīng)的圓心角度數(shù)；
(3)若學(xué)校共有 1600 名學(xué)生，請你根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)選擇“ ”比賽項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)．
16.（本小題 8 分）
寒假中，小張和家人到某景點(diǎn)旅游.小張是攝影愛好者，他操控?zé)o人機(jī)對景點(diǎn)的建筑物進(jìn)行拍攝游覽.某景點(diǎn)
的游覽階梯 與水平地面 的夾角為 度，無人機(jī)位于點(diǎn) 處，測得階梯同側(cè)建筑物 ， 的俯角分別為 58°
和 39°(點(diǎn) ， 在直線 上，∠ = 58°，∠ = 39°)，若無人機(jī)離建筑物 ， 的豎直距離分別為 110
和 64.8 ，求點(diǎn) 與點(diǎn) 的水平距離. (參考數(shù)據(jù)： 58° ≈ 0.85， 58° ≈ 0.53， 58° ≈ 1.6， 39° ≈ 0.63，
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39° ≈ 0.78， 39° ≈ 0.81)
17.（本小題 10 分）
如圖，在△ 中，∠ = 90°，以邊 為直徑的⊙ 與 交于點(diǎn) ，點(diǎn) 為弧 的中點(diǎn)，直線 ，
分別交 ， 于點(diǎn) ， ．
(1)求證：△ ∽△ ；
(2)若 = 4 4， = 5，求 的長．
18.（本小題 10 分）
3
如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，直線 1： = 2 + 與反比例函數(shù) = 的圖象分別交于點(diǎn) ( 1, )和點(diǎn) ．
(1)求直線 1的表達(dá)式；
(2) 3如圖 2，直線 2經(jīng)過點(diǎn) 與反比例函數(shù) = ( < 0)的圖象交于點(diǎn) ，與 軸交于點(diǎn) ，點(diǎn) 將線段 分成 ，
兩條線段，且 =
1
2，連接 ，求△ 的面積；
(3)在(2)的條件下，坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn) ，使△ 是以 為斜邊的直角三角形，若存在，請求出點(diǎn) 的
坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
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B 卷（共 50 分）
一、填空題：本大題共 5 小題，共 20 分。
19.已知 ， 是關(guān)于 的一元二次方程 2 5 2 = 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則
( 2)2 (1 )的值為______．
20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，直線 = + 2 與直線 = 2 的
圖象交于點(diǎn) ，點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 2，則 = ______．
21.如圖，四邊形 是平行四邊形，點(diǎn) 為邊 上的中點(diǎn)，點(diǎn) 為對角
3
線 上一點(diǎn)，且 = 5，現(xiàn)假設(shè)可以隨意在圖中取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率為______．
22.如圖，在△ 中，∠ = 90°，sin∠ = 5，點(diǎn) 為斜邊 上一5
點(diǎn)，連接 ，將△ 沿 翻折得到△ ， 與 交于點(diǎn) ，當(dāng) ⊥

時(shí)，則 = ______．
23 2 2 12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，拋物線 = 5 3
2 + 5 3 + 5 3的圖象
與 軸分別交于點(diǎn) 和點(diǎn) ，過頂點(diǎn) 的直線 ⊥ 軸于點(diǎn) ，點(diǎn) 為線段 上一點(diǎn)，
1
點(diǎn) 在線段 上，且 = 2 ，當(dāng)2 + 取最小值時(shí)，則 = ______．
四、解答題：本題共 3 小題，共 30 分。
24.（本小題 8 分）
春節(jié)期間，由“餃子”編劇并執(zhí)導(dǎo)的奇幻動畫電影《哪吒之魔童鬧海》一上映就獲得觀眾好評，某商家抓
住商機(jī)，隨即銷售一種成本為每件 20 元的特色哪吒紀(jì)念品.經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)為每件 30 元時(shí)，每天可售
出 100 件；售價(jià)每上漲 2 元，日銷量就會減少 4 件；售價(jià)每下降 1 元，日銷量就會增加 5 件.設(shè)該紀(jì)念品的
售價(jià)為每件 元( 為整數(shù)且 20 < ≤ 50)，每天的銷售量為 件．
(1)求出 與 的函數(shù)關(guān)系式；
(2)該紀(jì)念品售價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天獲得的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
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25.（本小題 10 分）
1
如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，直線 = 2 2 與 軸， 軸分別交于點(diǎn) ， ，拋物線 ： =
2 + +
1
經(jīng)過 ， 兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn) ，連接 ，且 tan∠ = 2．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)如圖 2 1，點(diǎn) 為拋物線上一點(diǎn)，且位于第三象限， ⊥ 于點(diǎn) ，若 = 2，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
(3)拋物線 21與拋物線 ： = + + 關(guān)于原點(diǎn)對稱，拋物線 1與 軸正半軸交于點(diǎn) ，作 ⊥ 交直
線 于點(diǎn) ，在拋物線 1上是否存在點(diǎn) ，使得∠ = 2∠ ，若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)，若不存在，請
說明理由．
26.（本小題 12 分）
在△ 中， = = 8，∠ = 60°，點(diǎn) 為直線 上一點(diǎn)，連接 ，將 繞點(diǎn) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 30°至
線段 ′，直線 ′與直線 交于點(diǎn) ．
(1)如圖 1，當(dāng) 平分∠ 時(shí)，連接 ′，求證：△ ′∽△ ；
(2)如圖 2，當(dāng)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合時(shí)，連接 ′，求 ′的值；
(3)過點(diǎn) 作 ⊥ ′于點(diǎn) ，連接 ，當(dāng) 最小時(shí)，求△ 的面積．
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參考答案
A 卷
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.1
10. < 12
11.19
12. 5 + 7 = 9204 + 8 = 920
13. 6
14.解：(1)( 1 ) 12 12 + ( 2025)
0 + | 3 3|
= 2 2 3 + 1 + 3 3
= 6 3 3；
2( 3) < 3 2①
(2) +4 ，
2 ≥ 1②
由①得：2 6 < 3 2，
> 4，
由②得： + 4 ≥ 2 2，
≤ 6，
∴ 4 < ≤ 6．
15.解：(1)本次調(diào)查的學(xué)生共有 50 ÷ 25% = 200(名)．
= 200 × 15% = 30，
= 200 × 10% = 20，
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故答案為：50，30，20；
(2)“ ”比賽項(xiàng)目對應(yīng)的圓心角度數(shù)為 360° × 60200 = 108°，
25“ ”比賽項(xiàng)目對應(yīng)的圓心角度數(shù)為 360° × 200 = 45°；
(3)1600 × 200 60 50 30 20 25200 = 120(人)．
答：估計(jì)選擇“ ”比賽項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)有 120 人．
16.解：作 ， 分別垂直 于點(diǎn) ， ，
∴ = 110 ， = 64.8 ，
∴ 58° = ，
∴ ≈ 110 ÷ 1.6 = 68.75 ，
∴ 39° = ，
∴ ≈ 64.8 ÷ 0.81 = 80 ，
∴ = 80 68.75 = 11.25 ，
∴點(diǎn) 與點(diǎn) 的水平距離為 11.25 ．
17.(1)證明：∵ 為⊙ 的直徑，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ ∠ + ∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵