資源簡介

云南省宣威市第七中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期期中考試
高二 數(shù)學(xué)
注意事項:
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷.草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。
一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知兩個向量，，且，則的值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2.已知A，B，C，D是空間中互不相同的四個點，則（ ）
A. B. C. D.
3.在平行六面體中，為的中點，若，則（ ）
A. B. C. D.
4.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
5. 經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
6.已知直線過點，且傾斜角是，則直線的方程是（ ）
A. B. C. D.
7.已知平面上兩定點A，B，滿足（，且）的點P的軌跡是一個圓．這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱作阿氏圓．利用上述結(jié)論，解決下面的問題：若直線與x，y軸分別交于A，B兩點，點M，N滿足，，，則直線MN的方程為（ ）
A. B.
C. D.
8.已知為橢圓上的動點，直線與圓相切，切點恰為線段的中點，當(dāng)直線斜率存在時點的橫坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.在空間直角坐標(biāo)系中，，則（ ）
A.
B. 點B到平面的距離是2
C. 異面直線與所成角的余弦值
D. 點O到直線的距離是
10.已知橢圓的左 右焦點分別為，上頂點為，離心率為為上關(guān)于原點對稱的兩點，則（ ）
A. 的標(biāo)準(zhǔn)方程為
B.
C. 四邊形的周長隨的變化而變化
D. 當(dāng)不與的上、下頂點重合時，直線的斜率之積為
11.已知拋物線：的焦點為，點為拋物線上一動點，點，則（ ）
A. 拋物線的準(zhǔn)線方程為
B. 的最小值為5
C. 當(dāng)時，則拋物線在點處的切線方程為
D. 過的直線交拋物線于兩點，則弦的長度為16
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知實數(shù)，則的取值范圍是______.
13.在三棱錐中，在線段上，滿足是平面內(nèi)任意一點，，則實數(shù)__________.
14.已知橢圓的左右焦點分別為，為橢圓上的點，若，，則橢圓的離心率等于______.
四、解答題:本題共5 小題，其中第 15 題 13 分，第 16、17 題 15 分,第18、19題17分，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，，E是PC的中點，作于點F．求證：
（1）平面EDB；
（2）平面EFD．
16.已知點和點關(guān)于直線：對稱．
（1）若直線過點，且使得點A到直線的距離最大，求直線的方程；
（2）若直線過點A且與直線交于點，的面積為2，求直線的方程．
17.已知圓C：和定點，直線l：（）.
（1）當(dāng)時，求直線l被圓C所截得的弦長；
（2）若直線l上存在點M，過點M作圓C的切線，切點為B，滿足，求m的取值范圍.
18.已知動點到直線的距離比到點的距離大，點的軌跡為曲線，曲線是中心在原點，以為焦點的橢圓，且長軸長為．
（1）求曲線、的方程；
（2）經(jīng)過點的直線與曲線相交于、兩點，與曲線相交于、兩點，若，求直線的方程．
19.已知橢圓過點，焦距為.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線：與橢圓交于異于的兩點，直線分別與直線交于點兩點，為坐標(biāo)原點且，求證：直線過定點，并求出定點坐標(biāo).
一、單選題
1.【答案】C
【解析】∵，∴，使，得，解得：，所以
故選：C
2.【答案】B
【解析】.
故選：B.
3.【答案】A
【解析】由題意可作出平行六面體，如圖，
則，
即，故A正確.
故選：A.
4.【答案】A
【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點坐標(biāo)為，
故選：A.
5.【答案】D
【解析】因為直線經(jīng)過，
所以經(jīng)過該兩點的直線的斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為，則，
因為，所以，
故選：D.
6.【答案】C
【解析】由于直線過點，且傾斜角是，則直線的方程為，即.
故選：C.
7.【答案】A
【解析】由題得，，設(shè)，
∵，
∴點M在圓：上．
∵，∴，整理得，
∴點M也在圓：上，同理點N也在這兩個圓上，
∴MN是這兩圓的公共弦，兩圓方程作差，得，即直線MN的方程為，
故選：A．
8.【答案】A
【解析】設(shè)，
設(shè)直線，且，
則，作差得：，
由，所以，①
因為為直線與圓的切點，所以，②
由①②消去可得，
所以.
故選：A.
二、多選題
9.【答案】BD
【解析】因為，所以，A錯誤．
在空間直角坐標(biāo)系中，結(jié)合A與C兩點的坐標(biāo)可知y軸與平面垂直，所以為平面的一個法向量，則點B到平面的距離是，B正確．
因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，C錯誤．
因為，所以，所以點O到直線的距離是．D正確．
故選：BD.
10.【答案】ABD
【解析】對于A，由題意知，解得，
故的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A正確；
對于B，因為關(guān)于原點對稱，且也關(guān)于原點對稱，
所以，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，B正確；
對于C，，
故四邊形的周長為，為定值，C錯誤；
對于D，設(shè)，則，
因為在上，所以，整理得，
所以，故D正確.
故選：ABD.
11.【答案】ABD
【解析】對于A，由題意拋物線：的準(zhǔn)線方程為，故A正確；
對于B，如圖所示：
過點向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為點，過點向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)垂足為點，
所以，
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點與點重合，點為與拋物線的交點，故B正確；
對于C，切點為，且切線斜率存在，所以設(shè)切線方程為，
聯(lián)立拋物線方程得，
所以，解得，
所以當(dāng)時，則拋物線在點處的切線方程為，故C錯誤；
對于D，由題意，所以，
所以直線，即，聯(lián)立拋物線方程得，
所以，，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
12.【答案】
【解析】根據(jù)題意，設(shè)直線：，設(shè)點，
那么點到直線的距離為：，
因為，所以，且直線的斜率，
當(dāng)直線的斜率不存在時，，所以，
當(dāng)時， ，
所以，即，
因為，所以，
故答案為：.
13.【答案】
【解析】依題意，，
則
，
由于四點共面，所以.
故答案：.
14.【答案】
【解析】由橢圓定義可得，又，
故，
由余弦定理得，
故，故，
解得，故離心率為，
故答案為：.
四、解答題
15.【答案】證明?。?）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，連接AC交BD于點G，連接EG，
可得，，，，
因為底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故點G的坐標(biāo)為，所以，
又因為，所以，所以．
而平面，且平面，所以平面．
（2）由（1）得，所以，，
可得，所以，即．
又由，且，所以平面EFD．
16.【答案】解　（1）設(shè)點
則 ，解得：，所以點關(guān)于直線：對稱的點的坐標(biāo)為，
若直線過點，且使得點A到直線的距離最大，則直線與過點的直線垂直，所以，則直線為：，即.
（2）由條件可知：，的面積為2，則的高為，
又點C在直線上，直線與直線 垂直，所以點到直線AB的距離為.
直線方程為，設(shè)，則有，即或，
又，解得： 或，
則直線為：或.
17.【答案】解?。?）圓C：，圓心，半徑，
當(dāng)時，直線l的方程為，
所以圓心C到直線l的距離，
故弦長為.
（2）設(shè)，則，
由，，得.
化簡得，
所以點M的軌跡是以為圓心，8為半徑的圓.
又因為點M在直線l：上，所以與圓D有公共點，
所以，
解得，
所以m的取值范圍是.
18.【答案】解?。?）由題意知，點到直線的距離等于，
所以，點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線的方程為.
因為橢圓的長軸長，為橢圓的一個焦點，則，，
所以，，所以，曲線方程為.
（2）若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，
所以，直線的斜率必存在，則直線的方程為
由，整理得，則，
設(shè)、，則，，
所以，，則，
由，整理得，
則，
設(shè)、，則，，
所以，
，
因為，即，可得，解得，
所以，直線的方程為.
19.【答案】解?。?）由橢圓過點，焦距為，得，解得，
則橢圓的方程為.
（2）則消去并整理得，
此時，即，設(shè)，
則，
直線的方程為，令，得點的縱坐標(biāo)，
即點，同理得點，
由，得，即，
于是，
整理得，
則，化簡得，
解得或，
當(dāng)時，直線的方程為，即，直線過定點，不符合題意；
當(dāng)時，直線方程為，即，直線過定點，
所以直線經(jīng)過定點.

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