資源簡介

2023-2024學年河南省新鄉八中八年級（下）期中數學試卷
一、單選題
1．（3分）若式子x2﹣3＝（x﹣2）0成立，則x的取值為（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在
2．（3分）在綜合實踐活動中，小華同學了解到褲子的尺寸（英寸）與腰圍的長度（cm）對應關系如下表：
尺碼/英寸 … 22 23 24 25 26
腰圍/cm … 60±1 62.5±1 65±1 67.5±1 70±1
小華的腰圍是80.5cm，那么他所穿褲子的尺碼是（　　）
A．28英寸 B．29英寸 C．30英寸 D．31英寸
3．（3分）在平面直角坐標系中，已知一次函數y＝﹣mx+m的圖象向右平移2個單位長度后經過一、二、四象限，則m的值可能為（　　）
A．0 B．1 C． 1 D． 2
4．（3分）在下列給出的條件中，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AO＝OC，DO＝OB D．AB＝AD，CB＝CD
5．（3分）如圖1，動點P、Q在平行四邊形ABCD的邊和對角線上運動，動點P的運動軌跡為折線O﹣A﹣D﹣O，動點Q的運動軌跡為折線O﹣C﹣B﹣O，兩動點同時開始運動，且運動速度均為1cm/s．設動點運動時間為x秒，兩動點間距離為y cm，x與y的函數關系式如圖2所示．當點P在平行四邊形ABCD的邊上運動時，兩動點間的最短距離為m，此時運動時間為秒，則m的值為（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（4，0），分別以點O，A為圓心，以OA的長為半徑畫弧，兩弧交于點B，然后按如圖所示的尺規作圖得到OB邊上的點M．若以點M為旋轉中心，將△OAB繞點M逆時針旋轉90°，則點A的對應點A′的橫坐標是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如圖，已知雙曲線經過Rt△OAB斜邊OA的中點D，且與直角邊AB相交于點C．若點A的坐標為（﹣6，4），則△ACD的面積為（　　）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
8．（3分）如圖，在 ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB＝4，AC＝6，BD＝10，則BC的長為（　　）
A．8 B．6 C． D．
9．（3分）平面直角坐標系中，已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標分別是A（m，n），B（﹣2，1），C（﹣m，﹣n），則點D的坐標是（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
10．（3分）已知四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，給出下列5個條件：①AB∥CD；②OA＝OC；③AB＝CD；④∠BAD＝∠DCB；⑤AD∥BC，從以上5個條件中任選2個條件為一組，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的有（　　）組．
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空題
11．（3分）若關于x的方程有增根，則m＝　 　 ．
12．（3分）關于x的不等式組有解且最多五個整數解，關于y的分式方程有非負整數解，則符合條件的所有整數a的和為 　 　 ．
13．（3分）如圖，△ABC的兩個頂點A，B分別在反比例函數和的圖象上，頂點C在x軸上．已知AB∥x軸，且△ABC的面積等于4，則k的值為 　 　 ．
14．（3分）如圖，AC為 ABCD的對角線，AC⊥AB，點E在AD上，連結CE，分別延長CE，BA交于點F，若CE＝AE＝4，則BC的長為 　 　 ．
15．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，點D是AB上任意一點（不與點A重合），連結CD，以DA、DC為鄰邊作 ADCE，連結DE，則DE長度的最小值為 　 　 ．
三、解答題
16．解分式方程：
（1）；
（2）．
17．已知如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點A（3，1），B（4，3），C（2，4），按要求回答問題：
（1）將△ABC向左平移7個單位，得到△A1B1C1．
①畫出△A1B1C1圖形；
②求線段AB平移中掃過的面積；
（2）將△ABC以A點為旋轉中心，逆時針旋轉90°，得到△AB2C2．
①畫出△AB2C2圖形；
②寫出點C2的坐標．
18．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O，過點O畫直線EF分別交AD、BC于點E、F．求證：OE＝OF．
19．黨的二十大報告提出：“加快建設高質量教育體系，發展素質教育”．為扎實做好育人工作，某校深入開展“陽光體育”活動．該校計劃購買乒乓球拍和羽毛球拍用于“陽光體育大課間”和學生社團活動．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元購買乒乓球拍的數量和用2000元購買羽毛球拍的數量相等．
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的價格；
（2）學校計劃采購乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的數量不超過羽毛球拍數量的2倍，要想花費的資金總額最少，則最多購買乒乓球拍多少副？資金總額最少為多少元？
20．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是∠DAB的角平分線與BD的交點，小谷想在平行四邊形ABCD里面再剪出一個以AE為邊的平行四邊形，小谷的思路是：做∠BCD的角平分線，將其轉化為證明三角形全等，通過一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形使問題得到解決，請根據小谷的思路完成下面的作圖與填空：
（1）用尺規完成以下基本作圖：作∠BCD的角平分線與BD交于點F，連接AF，CE．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結論）
（2）根據（1）中作圖，求證：四邊形AECF為平行四邊形．
證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，①　 　 ．
∴②　 　 ．
∵AE，CF分別平分∠DAB，∠BCD．
∴，．
∴③　 　 ．
∵在△AED與△CFB中，
∵，
∴△AED≌△CFB（ASA）．
∴AE＝CF，④　 　 ．
∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠CFB，即∠AEF＝∠CFE，
∴⑤　 　 ．
∴四邊形AECF為平行四邊形．
21．某玩具公司對一款長90厘米的玩具火車做性能測試．現有一斜坡軌道AB，如圖玩具火車從A點勻速出發，途中玩具火車頭經過測速點2秒后，火車的尾部也經過測速點．火車頭到達B點時火車停留了2秒，然后進行倒車測試，火車勻速倒回點A運動停止．設運動時間為t秒，車尾離A的距離為m厘米，車頭離B的距離為n厘米，記y＝m﹣n，已知火車從A向B運動過程中，t＝7和t＝9的時候與之對應的y的值互為相反數．火車從點A出發到倒回到點A，整個過程總用時36秒（含停留時間）．
（1）火車從A向B運動的速度為 　 　 厘米/秒；
（2）軌道AB的長為 　 　 厘米；
（3）求火車倒回過程中y與t的函數表達式；
（4）在整個過程中，若y＝360，求t的值．
22．已知小李家、菜鳥驛站、文具店依次在同一直線上，小李從家出發，先用5min勻速跑步前往文具店，到文具店后停留了11min，接著勻速步行4min到達菜鳥驛站，用2min取到快遞后返回家．如圖反映了該過程中，小李離家的距離y（m）與所用時間x（min）之間的關系．
請根據相關信息回答下列問題：
（1）小李從家跑步到文具店的速度為 　 　 m/min；
（2）求AB段的函數解析式；
（3）若小李取完快遞準備返回家時給媽媽打電話，媽媽從家以75m/min的速度沿同一線路去接小李，那么接到小李后離家還有多少m？
23． ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，連接DE，將ED繞點E逆時針旋轉90°，得到EF，連接BF．
（1）若∠ABC＝45°，
①如圖①，當點E在線段BC上時，易證△AED≌△BEF，結合圖形，請直接寫出線段BF，AE，EC的數量關系是 　 　 ；（不需說明理由）
②如圖②，當點E在線段BC的延長線上時，請寫出線段BF，AE，EC的數量關系，并證明；
（2）如圖③，若∠ABC＝135°，當點E在線段CB延長線上時，猜想并直接寫出線段BF，AE，EC的數量關系是 　 　 ．（不需說明理由）
（3）在（1）、（2）的情況下，若BE＝3，DE＝5，則CE＝　 　 ．（不需說明理由）
2023-2024學年河南省新鄉八中八年級（下）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C B A D D A C
一、單選題
1．【解答】解：由題意得，
解得x＝﹣2．
故選：C．
2．【解答】解：由題意，設腰圍的長度y“cm”與褲子的尺寸x“英寸”之間存在一種換算關系為y＝kx+b，
∴．
∴．
∴腰圍的長度y“cm”與褲子的尺寸x“英寸”之間存在一種換算關系為y＝2.5x+5．
∴當腰圍為80.5cm，即y＝80.5時，有80.5＝2.5x+5．
∴x＝30.2．
答：他的褲子尺碼是30英寸．
故選：C．
3．【解答】解：由平移的性質知，平移后一次函數的表達式為：y＝﹣m（x﹣2）+m＝﹣mx+3m，
∵經過一、二、四象限，
∴，
解得：m＞0，
故選：B．
4．【解答】解：A、AB∥CD，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，不符合題意；
B、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，不符合題意；
C、∵AO＝OC，DO＝OB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，符合題意；
D、由AB＝AD，CB＝CD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形，不符合題意；
故選：C．
5．【解答】解：過點O作EF⊥AD于E，交BC于F，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴當點P運動到點E處時，點Q運動到點F處，此時EF最短，即m＝EF，
當點P運動到點A處時，點Q運動到點C處，此時y＝2，
∴OA＝OC＝，
當點P運動到點E處時，點Q運動到點F處，x＝+，
∴AE＝CF＝，
∴OE＝＝，
∴EF＝2OE＝，即m＝．
故選：B．
6．【解答】解：過A′作A′E⊥y軸于點E，如圖，連接AM，
根據作圖可知△OAB是等邊三角形，過點M的直線垂直平分線段OB，
即AM垂直平分線段OB，
∴∠AMB＝90°，
∴根據旋轉可知點A的對應點A′在OB所在的直線上，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴在等邊△OAB中，OA＝4＝OB，∠BOA＝60°，
∴∠EOA′＝30°，
∴在Rt△EOA′中，，
∵AM垂直平分線段OB，OA＝4＝OB，
∴在等邊△OAB中，，
∴，
∴根據旋轉可得：，
∴，
∴，
∴點A的對應點A′的橫坐標是，
故選：A．
7．【解答】解：作DE⊥AB于D．
∵D是OA的中點，點A坐標為（﹣6，4），
∴D的坐標為（﹣3，2），E的坐標（﹣6，2）．
∴k＝﹣3×2＝﹣6．
∴C的坐標為（﹣6，1）．
∴AC＝3，DE＝3，
∴S△ACD＝×3×3＝4.5．
故選：D．
8．【解答】解：在 ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC＝6，BD＝10，則AO＝AC＝3，BO＝BD＝5．
在△AOB中，AB＝4，AO＝3，BO＝5，則AB2+AO2＝BO2．
所以∠BAO＝90°，
在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，則由勾股定理知：BC＝＝＝2．
故選：D．
9．【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），
∴點A和點C關于原點對稱，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴D和B關于原點對稱，
∵B（﹣2，1），
∴點D的坐標是（2，﹣1）．
故選：A．
10．【解答】解：①與⑤根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABCD為平行四邊形；
①與③根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABCD為平行四邊形；
①與④，⑤與④根據兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABCD為平行四邊形；
①與②，②與⑤根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABCD為平行四邊形．
所以能推出四邊形ABCD為平行四邊形的有6組．
故選：C．
二、填空題
11．【解答】解：原方程去分母得：1+（x+m）＝2（x﹣1），
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程，可得：1+1+m＝0，
解得：m＝﹣2，
故答案為：﹣2．
12．【解答】解：，
由①得：x≥a，
由②得：x＜1，
∴a≤x＜1，
∵不等式組最多五個整數解，
∴a≥﹣4，
∵，
a+y+1＝2﹣y，
y+y＝2﹣1﹣a
2y＝1﹣a，
，
∵y的分式方程有非負整數解，
∴且，
解之得：a≤1且a≠﹣3，
∴﹣4≤a≤1且a≠﹣3，
∵y為非負整數，
∴a＝﹣1，1，
∴符合條件的所有整數a的和為：﹣1+1＝0，
故答案為：0．
13．【解答】解：如圖，連接OA、OB，
∵AB∥x軸，且△ABC的面積等于4，
∴S△AOB＝4，
∵點B在反比例函數y＝﹣的圖象上，
∴S△BOE＝，
∴S△AOE＝4﹣＝，
∵點A在反比例函數y＝圖象上，
∴k＝2S△AOE＝2×＝3，
故答案為：3．
14．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AE＝CE＝4，
∴∠EAC＝∠ACE，
∴∠ECA＝∠ACB，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠CAF＝90°，
∴∠F+∠ACF＝∠CAE+∠EAF＝90°，
∴∠F＝∠EAF，
∴EF＝AE＝4，
∵∠BAC＝∠FAC＝90°，AC＝AC，∠ACB＝∠ACF，
∴△ACB≌△ACF（ASA），
∴CF＝BC＝8．
，∠EAF＝∠B，
∵CE＝EF＝4，
∴△BCE≌△AFE（AAS），
∴BC＝AF，
∴AD＝AF，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠ACB＝90°，
∴AC垂直平分DF，
∴BC＝CF＝CE+EF＝8．
故答案為：8．
15．【解答】解：過C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
∵△ABC的面積＝AB CH＝AC BC，
∴10CH＝6×8，
∴CH＝4.8，
∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴CE∥AB，
∴當DE⊥AB時，DE長最小，
∵CH⊥AB，
∴四邊形CHDE是矩形，
∴DE＝CH＝4.8，
∴DE長度的最小值為4.8．
故答案為：4.8．
三、解答題
16．【解答】解：（1），
2x＝3（x﹣3），
2x＝3x﹣9，
x＝9，
經檢驗：x＝9是原分式方程的解；
（2），
3x＝2x+3x+3，
2x＝﹣3，
x＝﹣，
經檢驗：x＝﹣是原分式方程的解．
17．【解答】解：（1）①如圖，△A1B1C1即為所求．
②∵平行四邊形ABB1A1的面積為7×2＝14，
∴線段AB平移中掃過的面積為14．
（2）①如圖，△AB2C2即為所求．
②由圖可得，點C2的坐標為（0，0）．
18．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
19．【解答】解：（1）設每副乒乓球拍的價格是x元，則每副羽毛球拍的價格是（x+30）元．
根據題意，得＝，
解得x＝30，
經檢驗，x＝30是所列分式方程的根，
30+30＝60（元），
∴每副乒乓球拍的價格是30元，每副羽毛球拍的價格是60元．
（2）設購買乒乓球拍a副，則購買羽毛球拍（100﹣a）．
根據題意，得a≤2（100﹣a），
解得a≤，
設花費的資金總額為W元，則W＝30a+60（100﹣a）＝﹣30a+6000，
∵﹣30＜0，
∴W隨a的增大而減小，
∵a≤且x為整數，
∴當a＝66時，W取最小值，W最小＝﹣30×66+6000＝4020，
∴要想花費的資金總額最少，則最多購買乒乓球拍66副，資金總額最少為4020元．
20．【解答】（1）解：作∠BCD的角平分線與BD交于點F，連接AF，CE．如圖：
；
（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△AED與△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA）．
∴AE＝CF，∠DEA＝∠BFC，
∴180°﹣∠AED＝180°﹣∠CFB，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF．
∴四邊形AECF為平行四邊形．
故答案為：∠DAB＝∠BCD；∠ADE＝∠CBF；∠DAE＝∠BCF；∠DEA＝∠BFC；AE∥CF．
21．【解答】解：（1）設火車從A向B運動的速度為x厘米/秒，
由題意得，2x＝90，
解得x＝45，
∴火車從A向B運動的速度為45厘米/秒，
故答案為：45；
（2）火車由A→B時m＝45t，
∵m+90+n＝AB，
∴n＝AB﹣45t﹣90，
∴y＝m﹣n＝45t﹣AB+45t+90＝90t+90﹣AB，
∵t＝7和t＝9時y的值互為相反數，
∴90×7+90﹣AB+90×9+90﹣AB＝0，
∴AB＝810，
故答案為：810；
（3）∵（秒），
∴tB→A＝36﹣16﹣2＝18（秒），
∴（厘米），
∴當18≤t≤36時 n＝40（t﹣18），m＝810﹣90﹣40（t﹣18）＝1440﹣40t，
∴y＝m﹣n＝1440﹣40t﹣40（t﹣18）＝﹣80t+2160；
（4）當18≤t≤36時，﹣80t+2160＝360，
解得t＝22.5；
當0≤t≤16時，
y＝m﹣n＝45t﹣（810﹣90﹣45t）＝90t﹣720，
令y＝360，
解得t＝12，
綜上t的值為12秒或22.5秒．
22．【解答】解：（1）由圖可得，
小李從家跑步到文具店的速度為：600÷5＝120（m/min），
故答案為：120；
（2）設AB段的函數解析式為y＝kx+b（k≠0），
∵點A（16，600），B（20，400）在該函數圖象上，
∴，
解得，
∴AB段的函數解析式為y＝﹣50x+1400（16≤x≤20）；
（3）由題意得小李取完快遞后回家的速度為，
則400÷（75+25）＝4（min），
此時媽媽走了75×4＝300（m），
∴接到小李后離家還有300m．
23．【解答】解：（1）①BF＝AE+EC，證明如下：
∵△AED≌△BEF，
∴BF＝AD，BE＝AE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，
∴BF＝BC＝BE+EC＝AE+EC，
即BF＝AE+EC，
故答案為：BF＝AE+EC；
②線段AE，EC，BF的數量關系是：BF＝AE﹣EC；
證明：∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴AE＝BE，
由旋轉可知：∠DEF＝90°，ED＝EF，
∴∠DEF﹣∠AEF＝∠AEB﹣∠AEF，
∴∠AED＝∠BEF，
在△AED和△BEF中，
，
∴△AED≌△BEF（SAS），
∴AD＝BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，
∴BC＝BF，
∵BC＝BE﹣EC＝AE﹣EC，
∴BF＝AE﹣EC；
（2）BF＝EC﹣AE，證明如下：
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABE＝45°，∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAE＝∠ABE，
∴AE＝BE，
由旋轉可知：∠DEF＝90°，ED＝EF，
∴∠DEF﹣∠DEC＝∠AEB﹣∠DEC，
∴∠AED＝∠BEF，
在△AED和△BEF中，
，
∴△AED≌△BEF（SAS），
∴AD＝BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，
∴BC＝BF，
∵BC＝EC﹣BE＝EC﹣AE，
∴BF＝EC﹣AE，
故答案為：BF＝AE﹣EC；
（3）如圖3.1，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AEB＝90°，
∵△BEF≌△AED，
∴∠EAD＝∠EBF＝90°，
Rt△EBF中，EF＝DE＝5，BE＝AE＝3，
，
由AE+EC＝BF，得EC＝BF﹣AE＝4﹣3＝1；
如圖3.2，BE＝3，則AE＝3，
在Rt△ADE中，，
∴BC＝AD＝4，與BE＝3矛盾，故圖②中，不存在BE＝3，DE＝5的情況；
如圖③，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EAD+∠AEB＝180°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠EAD＝90°，
在Rt△AED中，AE＝BE＝3，，
∴BF＝AD＝4，
由EC﹣AE＝BF知，EC＝AE+BF＝3+4＝7．
綜上，CE＝1或7，
故答案為：1或7．

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