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第2章 一元二次方程 單元提升卷
一、選擇題（每題3分，共30分）
1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2．將關(guān)于的一元二次方程化成一般形式后，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A. 1, B. ,6 C. , D. 1,
3．用配方法解方程時(shí)，配方后正確的是（ ）
A. B. C. D.
4．若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則的值為（ ）
A. B. 1 C. D. 4
5．方程的根的情況是（ ）
A. 沒有實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D. 無法確定
6．已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,，且，則的值是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
7．去年“十一”長假期間某濕地公園迎來旅游高峰，第一天的游客人數(shù)是0.8萬人，第三天的游客人數(shù)是3.2萬人，假設(shè)每天游客增加的百分率相同且設(shè)為，則根據(jù)題意可列方程為（ ）
A.
B.
C.
D.
8．已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
9．若直角三角形的兩邊長分別是方程的兩根，則該直角三角形的面積是（ ）
A. 48 B. 24 C. 48或 D. 24或
10．《周髀算經(jīng)》中有一種幾何方法可以用來求形如的方程的正數(shù)解.如圖，將四個(gè)長為，寬為的矩形（面積均為10）拼成一個(gè)大正方形，其內(nèi)部的小正方形的邊長為3，于是大正方形的面積為，邊長為7，故得的正數(shù)解為.小智按此方法解關(guān)于的方程時(shí)，構(gòu)造出類似的圖形.已知大正方形的面積為36，小正方形的面積為4，則和的值分別是（ ）
A. 6，4 B. 4，6 C. 2，8 D. 8，2
二、填空題（每題3分，共24分）
11．已知是一元二次方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為_ _ _ _ .
12．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
13．若，則_ _ _ _ .
14．若是反比例函數(shù)，則的值為_ _ _ _ _ _ .
15．某商場將進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)的臺燈以單價(jià)40元售出，平均每月能售出600個(gè).調(diào)查表明：這種臺燈的單價(jià)每上漲1元，其銷售量將減少10個(gè).為實(shí)現(xiàn)平均每月10 000元的銷售利潤，從讓利消費(fèi)者的角度考慮，該商場應(yīng)將這種臺燈的售價(jià)定為 元/個(gè).
16．有一個(gè)兩位數(shù)，如果個(gè)位上的數(shù)比十位上的數(shù)大1，并且其十位上的數(shù)的平方比個(gè)位上的數(shù)也大1，那么這個(gè)兩位數(shù)是 .
17．《九章算術(shù)》“勾股”章中有一題：今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲、乙行各幾何.大意是說：已知甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲每單位時(shí)間走7步，乙每單位時(shí)間走3步.乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？設(shè)甲走了步（步為古代長度單位，類似于現(xiàn)在的米），根據(jù)題意可列方程：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .（結(jié)果化為一般式）
18．下列說法：①若一元二次方程有一個(gè)根是，則代數(shù)式的值是；②若，則關(guān)于的一元二次方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③若，則關(guān)于的一元二次方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④已知兩實(shí)數(shù)，（均不為0）滿足，，且，則的值為.其中正確的有_ _ （只需填序號）.
三、解答題（19~25題每題8分，26題10分，共66分）
19．下面是小聰同學(xué)用配方法解方程的過程，請仔細(xì)閱讀后，解答下面的問題.
解：移項(xiàng)，得.① 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得 配方，得，即 由此可得，④ ，
整個(gè)解答過程是否正確？若不正確，說出從第幾步開始出現(xiàn)錯誤，并寫出正確的完整解答過程.
20．用括號中的方法解下列方程：
（1） （直接開平方法）；
（2） （因式分解法）；
（3） （配方法）；
（4） （公式法）.
21．已知關(guān)于的一元二次方程.
（1） 求證：無論為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
（2） 若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，求的值.
22．又是一年臍橙豐收季！小石通過網(wǎng)絡(luò)平臺進(jìn)行直播銷售.已知每箱（小箱）臍橙的成本是30元，如果售價(jià)定為每箱40元，那么日銷售量將達(dá)到100箱.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每箱單價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2箱.
（1） 若售價(jià)定為每箱元，請用含的式子表示日銷售量；
（2） 要使每天銷售這種臍橙盈利1 600元，同時(shí)又要讓利給顧客，那么臍橙的售價(jià)應(yīng)定為每箱多少元？
23．已知平行四邊形的兩邊,的長是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
（1） 當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是菱形？求出這時(shí)菱形的邊長.
（2） 若的長為2，那么平行四邊形的周長是多少？
（3） 如果這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,，且，求的值.
24．某商店以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一批玩具，計(jì)劃以每件48元的價(jià)格銷售，為了讓顧客得到實(shí)惠，現(xiàn)決定降價(jià)銷售.已知這批玩具的銷售量（件）與每件降價(jià)金額（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.
（1） 求與之間的函數(shù)關(guān)系式.
（2） 當(dāng)每件玩具降價(jià)2元時(shí)，商店獲利多少元？
（3） 若該商店想要獲利1 680元，且讓顧客獲得更大實(shí)惠，則這批玩具每件應(yīng)降價(jià)多少元？
25．為美化市容，某廣場用規(guī)格為的灰、白兩色的廣場磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫出的一些備選圖案如圖所示.
【觀察思考】
圖①灰磚有1塊，白磚有8塊；圖②灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推.
【規(guī)律總結(jié)】
（1） 圖⑤灰磚有塊，白磚有塊；圖 灰磚有_ _ _ _ _ _ 塊，白磚有_ _ _ _ _ _ _ _ 塊.
【問題解決】
（2） 是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少56的情形，請通過計(jì)算說明.
26．如圖，在中， ，，，一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒4個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，另一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒8個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動，，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為.
（1） 當(dāng)為何值時(shí)，是等腰直角三角形？
（2） 當(dāng)時(shí)，求的值.
（3） 在運(yùn)動過程中，線段能平分的面積嗎？若能，求出的值；若不能，請說明理由.
答案
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】5
12.【答案】且
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】50
16.【答案】23
17.【答案】
18.【答案】①②③④
19.解：不正確,從第③步開始出現(xiàn)錯誤.
移項(xiàng)，得.二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得.
配方，得，即.
由此可得，，.
20.【答案】
（1） 解：原方程可化為，
兩邊同時(shí)開平方，得，
即或，,.
（2） 原方程可化為，
，
即，
或，,.
（3） 移項(xiàng)，得，，
配方，得，
即，，,.
（4） ，，，
，
，
,.
21.【答案】
（1） 證明：，
，
恒成立， 無論為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
（2） 解：由根與系數(shù)的關(guān)系得， ，
，即，
，，
解得，的值為3或.
22.【答案】（1） 解：由題意，得.
（2） 設(shè)這種臍橙的售價(jià)定為每箱元，則每箱的銷售利潤為元，日銷售量為箱，
根據(jù)題意得，
整理得，解得，，
要讓利給顧客，.
答：臍橙的售價(jià)應(yīng)定為每箱50元.
23.【答案】
（1） 解：根據(jù)題意，可知四邊形是菱形時(shí)，，
方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，即，
解得，
此時(shí)方程為，解得，
當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，邊長為.
（2） 根據(jù)題意得，
解得，則，解得,，
的長為2，，
平行四邊形的周長是.
（3） 方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,，，，
，
，解得.
24.【答案】
（1） 解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，將,代入，
得
解得
與之間的函數(shù)關(guān)系式為.
（2） 由題意得（元）.
答：當(dāng)每件玩具降價(jià)2元時(shí)，商店獲利1 440元.
（3） 由題意可得，
整理得，解得,，
要讓顧客獲得更大實(shí)惠，.
答：這批玩具每件應(yīng)降價(jià)10元.
25.【答案】（1） 25；24；；
（2） 解：假設(shè)存在，設(shè)圖 白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少56，
，，
，或（舍去），
故存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少56的情形.
26.【答案】
（1） 解：由題意知，，，
.
是等腰直角三角形， ，
，，解得.
由題意易知, 當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形.
（2） 在中，，，
.
，，
，解得.
（3） 在運(yùn)動過程中，線段不能平分的面積.
理由：假設(shè)在運(yùn)動過程中，線段能平分的面積，則，
由（2）知，，，
，而，
此方程無實(shí)數(shù)根，
在運(yùn)動過程中，線段不能平分的面積.
第頁

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