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第六章平面向量及其應用檢測卷-2024-2025學年高一數學下學期人教A版（2019）必修第二冊
一、單選題
1．關于非零向量方向上的單位向量，下列說法正確的是（ ）
A．有無數個 B．與可能反向
C． D．
2．已知是平面內不共線的四點，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．是平面上一定點，P是中一動點且滿足：，則直線AP一定通過的（ ）
A．外心 B．重心 C．內心 D．垂心
4．已知非零向量，若，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
5．已知點為的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量為，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，邊BC上的中線為AD，點O滿足，則等于（ ）
A． B． C． D．
7．四邊形中，，，則下列表示正確的是（ ）
A． B．
C． D．
8．雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖區，是“西湖十景”之一，也是中國九大名塔之一，是中國首座彩色銅雕寶塔．某同學為測量雷峰塔的高度AB（塔底視為點B，塔頂視為點A），在山腳下選取了兩點C，D（其中A，B，C，D四點在同一個鉛垂平面內），在點C處測得點A的仰角為，在點D處測得點A，B的仰角分別為，，測得，則按此法測得的雷峰塔塔高為（ ）（參考數據：）
A．68m B．70m C．72m D．74m
二、多選題
9．設、、是三個非零向量，且相互不共線，下列命題正確的是（ ）
A． B．
C．與垂直 D．若，則
10．已知向量，，，其中均為正數，且，則下列說法正確的是（ ）
A．與的夾角為銳角 B．向量在上的投影向量為
C． D．的最大值為1
11．在中，角所對的邊分別是且，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．若，且有一解，則的取值范圍為
C．若，且為銳角三角形，則的取值范圍為
D．若，且，為的內心，則
三、填空題
12．已知是兩個不共線的單位向量，，若與共線，則 ．
13．已知的內角所對的邊分別是，若，，則角為 .
14．一輛汽車從點出發向西行駛了100km到達點，然后又改變方向向西偏北方向行駛了200km到達點，最后又改變方向，向東行駛了100km到達點，則 km， km．
四、解答題
15．在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)，點在點的正西方向；
(2)，點在點的北偏西方向；
(3)求出的值．
16．已知單位向量的夾角為.
(1)求；
(2)求與的夾角.
17．如圖，中，，，D為中點，E為上一點，且，設，．
(1)請用，來表示，；
(2)若，求的值；
(3)當時，求與夾角的余弦值．
18．如圖，在中，點，，分別在邊，，上，且，，交于點.
(1)已知.
（?。┤羰撬谄矫鎯热我庖稽c，證明：；
（ⅱ）若，，求的值；
(2)若，，，證明：.
19．射影幾何學中，中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影，如圖，光從點出發，平面內四個點經過中心投影之后的投影點分別為．對于四個有序點，若，，定義比值叫做這四個有序點的交比，記作．
(1)若點分別是線段的中點，求；
(2)當時稱為調和點列，若，求值；
(3)已知，且，點為線段的中點，，，求，，
《第六章平面向量及其應用檢測卷-2024-2025學年高一數學下學期人教A版（2019）必修第二冊》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B D D A B C BC AC
題號 11
答案 ACD
1．D
【分析】根據單位向量的定義即可判斷．
【詳解】非零向量方向上的單位向量，且，故ABC錯誤，
故選：D．
2．C
【分析】根據充要條件的判斷方法，從兩個方向判斷即得.
【詳解】因為是不共線的四點，
若，則有，，故四邊形為平行四邊形；
若四邊形為平行四邊形，則有.
故“”是“四邊形為平行四邊形”的充要條件.
故選：C.
3．B
【分析】根據已知得，結合向量加法的幾何性質即可得.
【詳解】若為中點，由題設，
如下圖示，易知直線AP是的一條中線，
所以直線AP一定通過的重心.
故選：B
4．D
【分析】根據數量積的運算律，結合垂直滿足的關系即可求解.
【詳解】由可得，
故，
由于所以，
故選：D
5．D
【分析】根據判斷出，，三點共線，再結合外心的性質得到的形狀，最后根據投影向量的定義求出的值.
【詳解】已知，將其變形可得，即.
根據向量共線定理，可知與共線，所以，，三點共線.
因為點為的外心，外心是三角形三邊垂直平分線的交點，且，，三點共線，
所以為外接圓的直徑，那么，即是直角三角形.

根據投影向量的定義求的值，，
可得，即，
又因為，所以，因為，所以.
的值為.
故選：D.
6．A
【分析】利用向量的線性運算可求.
【詳解】
，
故，
故選：A.
7．B
【分析】以為基底，根據平面向量的線性運算可得答案，判斷選項.
【詳解】由，
則,
則，故A錯誤；
由，所以，
則
，故B正確；
，故C錯誤；
，故D錯誤.
故選：B.
8．C
【分析】結合幾何圖形，根據三角函數表示長度關系，即可求解.
【詳解】令直線的延長線交于點，則．
依題意，，，而，
所以，解得，
又，所以，
而，
所以．
故選：C
9．BC
【分析】利用平面向量的數量積和線性運算可判斷A選項；利用向量三角不等式可判斷B選項；利用平面向量垂直與數量積的關系可判斷CD選項.
【詳解】對于A選項，不妨設，，則，
由于、、是三個非零向量，且相互不共線，則不一定為零向量，A錯；
對于B選項，作，，則，如下圖所示：
因為、不共線，由三角形三邊關系可得，即，B對；
對于C選項，易知為非零向量，
則，
所以與垂直，C對；
對于D選項，若，則，所以或，D錯.
故選：BC.
10．AC
【分析】對于A，根據數量積的符號分析向量夾角；對于B，根據投影向量的定義運算求解；對于C，根據向量垂直運算求解即可；對于D，利用基本不等式運算求解即可.
【詳解】對于A，因為，，
所以，
又因為，所以不共線，
所以與的夾角為銳角，故A正確；
對于B，向量在上的投影向量為，故B錯誤；
對于C，因為，，
若，則，即，故C正確；
對于D，由C可知，，
所以，當且僅當時，等號成立，
所以的最大值為.故D錯誤.
故選：AC
11．ACD
【分析】選項A：根據條件求出；選項B：由余弦定理得，將此式看作關于的二次方程，由題意得此方程有一個正解，利用跟的判別式求得的取值范圍；選項C：根據正弦定理得，利用為銳角三角形求角的范圍，從而求邊的范圍；選項D：利用正弦定理求出角，從而判斷出是直角三角形，利用等面積法求得內切圓半徑，從而求的面積.
【詳解】對于A，由可得，即，
因為，所以，且，所以，故A正確；
對于B，根據余弦定理可得，，即，
將此式看作關于的二次方程，由題意得此方程有一個正解，
因為，
所以或
解得或，因為，所以或，故B錯誤；
對于C，由正弦定理可得， ，即,
因為為銳角三角形，所以，即，解得，
所以，故C正確；
對于D，因為，所以.
因為，所以.
由正弦定理可得，，即，即，
所以，即，
因為，所以，又因為，所以為銳角，則.
所以，所以為直角三角形，
所以內切圓的半徑滿足，即，
所以，故D正確.
故選：ACD.
12．2
【分析】根據向量共線，可設，利用向量相等的條件求解即可.
【詳解】因為是兩個不共線的單位向量，，
若與共線，可設，即，則，解得：
故答案為：2
13．
【分析】利用正弦定理和余弦定理，結合已知條件，整理化簡，即可求得.
【詳解】，由余弦定理得，，整理得，即；
又，由正弦定理得，，．
又，，又，
是等邊三角形，．
故答案為：
14． 100 200
【分析】根據判定四邊形為平行四邊形，即可求解.
【詳解】如圖所示，汽車從點出發，經過點，到達點，最后停在點，
易知，，
又在四邊形中，，
所以四邊形為平行四邊形，所以．
故答案為：100，200

15．(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)3
【分析】（1）根據向量的大小和方向，作向量，
（2）根據向量的大小和方向，作向量，
（3）根據向量的模的定義求.
【詳解】（1）因為，點在點的正西方向，故向量的圖示如下：

（2）因為，點在點的北偏西方向，故向量的圖示如下：

（3）
.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）由數量積的定義及運算律可得；
（2）由數量積的運算律和夾角公式的運算可得；
【詳解】（1）由，則；
（2）由，所以，
由，所以，
由（1）知，
設與的夾角為，則，
因為，所以.
17．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）結合圖形，由向量的加法和減法法則可得；
（2）由數量積的運算律結合向量垂直的條件可得；
（3）由數量積的運算律結合向量的模長和夾角的計算可得.
【詳解】（1）由題意知點D是的中點，故，
則；．
（2）由題意，，
當時，
，∴，．
（3）時，
，
．
18．(1)（?。┳C明見解析；（ⅱ）
(2)證明見解析
【分析】（1）（?。├闷矫嫦蛄康木€性運算證明即可.
（ⅱ）利用平面向量的線性運算將用不同的基底表示，再利用系數相等建立方程，求解參數即可.
（2）利用平面向量的線性運算得到，再設，進而得到，同理得到，，再聯立這些方程消去變量證明結論即可.
【詳解】（1）（ⅰ）因為，所以，
則，整理得.
（ⅱ）設，則
，
又
，
所以，解得.
（2）因為，所以，
則，整理得，
設，代入上式得，記為①，
同理可得，，設，，
可得，記為②，，記為③，
聯立①②消去，聯立①③消去，
可得，，
又因為，，中任意兩個向量互不共線，
所以故有，
由得，由得，
又，故，即.
19．(1)
(2)
(3)，，
【分析】（1）由射影幾何學新定義可得；
（2）由射影幾何學新定義結合調和點列可得；
（3）方法一，由射影幾何學新定義結合正余弦定理可得；
方法二，由射影幾何學新定義結合三角形的面積公式和余弦定理可得.
【詳解】（1）由已知，，所以．
（2）由知：兩點分屬線段內外分點，
不妨設，，則，，
由知：，，，即．
（3）方法一：由，可得，即，所以，
又點B為線段的中點，即，所以，又，所以，，，
又已知，所以．
設，，由，得，
即，解得，…①
在中，由正弦定理可得，得，…②
在中，由正弦定理可得，得，…③
又，得，即，…④
由①④解得，（負值舍去），即，，
所以．
方法二：因為，所以，設，則，
又B為線段的中點，所以，
又已知，，所以，
所以，得，所以，，
由，得，
所以，設，則，
由，互補得，即，
解得，所以，，所以
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