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第八章立體幾何初步檢測卷-2024-2025學年高一數學下學期人教A版（2019）必修第二冊
一、單選題
1．在三棱臺中，截去三棱錐，則剩余部分是（ ）
A．三棱錐 B．三棱臺 C．四棱錐 D．三棱柱
2．已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖是一個圓心角為的扇形，則此圓錐的母線長為（ ）
A．3 B． C．4 D．
3．如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為直角梯形，其中，，，則四邊形的周長為（ ）
A． B． C． D．
4．已知圓臺的側面展開圖是半個圓環，側面積為4π，則圓臺上下底面面積之差的絕對值為（ ）
A．π B．2π C．4π D．8π
5．在直三棱柱中，，若該棱柱外接球的表面積為，則側面繞直線旋轉一周所得到的旋轉體的體積為（ ）
A． B． C． D．
6．設m、n是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面．下列命題中正確的命題是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，則
7．如圖，正方體的棱長為1，，分別為，的中點，在上，且，平面與棱所在直線交于點，則（ ）

A． B． C． D．
8．如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方形內一個動點（包括邊界），且平面，則下列說法不正確的有（ ）
A．動點軌跡的長度為
B．三棱錐體積的最小值為
C．與不可能垂直
D．當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為
二、多選題
9．如圖，一圓錐的側面展開圖中，，弧長為，則下列說法正確的是（ ）
A．該圓錐的側面積為
B．該圓錐的體積為
C．該圓錐可以整體放入半徑為的球內
D．該圓錐可以整體放入邊長為的正方體中
10．下列命題正確的有（ ）
A．如果一條直線上有兩個點在一個平面內，那么這條直線一定在這個平面內
B．過直線外一點，只能作一個平面與這條直線平行
C．如果一條直線與平面內的無數條直線平行，則該直線與平面平行
D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
11．如圖，在棱長為2的正方體中，為正方體的中心，為的中點，為側面正方形內一動點，且滿足平面，則（ ）
A．動點的軌跡是一條線段
B．直線與的夾角為
C．三棱錐的體積是隨點的運動而變化的
D．若過，，三點作正方體的截面，為截面上一點，則線段長度最大值為
三、填空題
12．已知正四棱臺的上下底面分別是邊長為2和4的正方形，側棱長為2，則該正四棱臺的體積為 ．
13．在棱長為的正方體，中，，過點，，的平面截該正方體所得截面的周長為 ．
14．已知正方體的棱長為3，點是線段上靠近點的三等分點，是中點，則下列命題正確的有 ．
①直線與所成角的正切值為 ②三棱柱外接球的半徑為
③平面截正方體所得截面為等腰梯形 ④點到平面的距離為
四、解答題
15．如圖，已知圓臺的軸截面為梯形，梯形的面積為.

(1)求圓臺的體積；
(2)在圓臺的側面上，從點到點的最短路徑長度是多少？
16．如圖，正四棱柱.
(1)請在正四棱柱中，畫出經過P、Q、R三點的截面（無需證明）；
(2)若Q、R分別為中點，證明：AQ、CR、三線共點.
17．如圖，正三棱柱內接于圓柱，圓柱底面半徑為2，圓柱高為4.若，分別為，中點.
(1)求證：、、、四點共面；
(2)若從圓柱中把該正三棱柱挖掉，求剩余幾何體的表面積.
18．如圖，在正方體1中，，E、F、G分別為、、中點.
(1)求三棱錐的表面積；
(2)求證：平面.
19．如圖，在三棱錐A-BCD中，為三棱錐的高，，點M是AC的中點，且，點E，F分別在，上，且，．
(1)線段上是否存在一點N，使得M，N，E，F四點共面？若存在，請確定點N的位置并證明；若不存在，請說明理由；
(2)求三棱錐的外接球的體積．
《第八章立體幾何初步檢測卷-2024-2025學年高一數學下學期人教A版（2019）必修第二冊》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C B B C C C ABD AD
題號 11
答案 ABD
1．C
【分析】由棱臺和棱錐的結構特征判斷即可.
【詳解】如圖，在三棱臺中，截去三棱錐后得到的是四棱錐.
故選：C.
2．A
【分析】由側面展開圖為扇形，扇形的弧長為底面圓的周長，扇形半徑為圓錐的母線，據此計算即可求解.
【詳解】由圓錐的特征可知圓錐的側面展開圖形成的扇形弧長為底面圓的周長，
則該弧長為，又，由扇形的弧長公式可知：圓錐的母線長為．
故選：A.
3．C
【分析】由余弦定理求出，在平面直角坐標系中還原，計算即可
【詳解】由斜二測畫法知，，
所以由余弦定理得，
，代入上式解得，，
，
,，
還原平面圖如圖，
即，，
，
四邊形的周長為．
故選：C.
4．B
【分析】由側面面積公式建立等式，然后分別寫出上下底面面積，作差后代入即可得到結果.
【詳解】如圖：
設展開圖小圓半徑和大圓半徑分別為，則圓臺側面積，即，
上底面半徑，下底面半徑，
圓臺上下底面面積之差的絕對值為.
故選：B.
5．B
【分析】由外接球表面積得到球的半徑，進而求得，即可求解.
【詳解】因直三棱柱中，，
則兩個底面三角形的外接圓圓心分別為的中點，
如圖所示，.
設棱柱的外接球的半徑為，圓心為，
由，可得，由對稱性知，O為中點，
由圖，解得.
因側面繞直線旋轉一周后得到的幾何體是底面半徑為，高為2的圓柱，
其體積為.
故選：B
6．C
【分析】根據題意，由空間中直線與平面的位置關系，對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】若，，則與相交或平行，故A錯誤；
若，,則或，故B錯誤；
若，，，則，故C正確；
若，，則或或者與相交，故D錯誤；
故選：C
7．C
【分析】根據正方體的性質可得平面與平面平行，利用面面平行的性質定理可得平面與它們的交線平行，
然后作平行線找到點的位置，利用三角形相似即可求出的值.
【詳解】

在正方體中，根據正方體的性質可得平面與平面平行，
利用面面平行的性質定理可得平面與它們的交線平行，
所以過點作直線的平行線與延長線交于一點，
此交點即為平面與棱所在直線交點，連接，如圖所示.
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又，分別為，的中點，所以，
因為，所以，所以，
又因為，所以，
所以.
故選：.
8．C
【分析】對A由平面，聯想到存在一個過的平面與平面平行，利用正方體特征找到平面平面，進而得到的軌跡為線段，對B，根據棱錐體積公式分析即可，對C舉反例即可；對D，利用勾股定理求出外接球半徑即可.
【詳解】對A，如圖，令中點為，中點為，連接，
又正方體中，為棱的中點，可得，
平面平面，又，
且平面，所以平面平面，
又平面，且平面，平面，
又為正方形內一個動點（包括邊界），平面平面，而平面平面，
，即的軌跡為線段.
由棱長為2的正方體得線段的長度為，故選項A正確；
對B，由正方體側棱底面，所以三棱錐體積為，
所以面積最小時，體積最小，如圖，
，易得在處時最小，
此時，所以體積最小值為，故選項B正確；
對C，當為線段中點時，由可得，
又中點為，中點為，
，而，，故選項C不正確；
對D，如圖，當在處時，三棱錐的體積最大時，
由已知得此時，所以在底面的射影為底面外心，
，，所以底面為直角三角形，
所以在底面的射影為中點，設為，如圖，設外接球半徑為，
由，可得外接球半徑，
外接球的表面積為，故選項D正確.
故選：C.
9．ABD
【分析】對于A由扇形面積公式即可判斷，對于B計算圓錐的半徑和高，利用圓錐曲線的體積公式即可求解，對于C設圓錐外接球的半徑為，即得求出與比較即可，對于D正方體一邊的中點作與體對角線垂直的平面，如圖2，此平面到頂點的距離為體對角線的一半，計算平面截正方體得的正六邊形的邊長和點到該正六邊形的高即可判斷.
【詳解】對于A：因為圓錐的側面展開圖中，，弧長為，所以圓錐的側面積為，故A正確；
對于B：設圓錐底面半徑為，則，解得，
圓錐的高，母線長，圓錐體積，故B正確；
對于C：因為圓錐的底面半徑為，高為，所以圓錐的外接球球心在圓錐內部，設圓錐外接球的半徑為，
過點的軸截面如圖1，為外接球球心，則，解得，故C錯誤；
對于D：過正方體一邊的中點作與體對角線垂直的平面，如圖2，此平面到頂點的距離為體對角線的一半，即為，
平面截正方體得到邊長為2的正六邊形，該正六邊形的內切圓的半徑為，
以該圓作為圓錐的底面，點為頂點即可得到圓錐.故D正確.
故選：ABD.
10．AD
【分析】由基本事實2判斷A，由基本事實3判斷D，由空間中點、線、面的位置關系判斷B和C.
【詳解】由基本事實2可知，如果一條直線上有兩個點在一個平面內，那么這條直線一定在這個平面內，故A正確；
因為過直線外一點可以作一條直線與已知直線平行，
所以經過這條直線且不經過已知直線的平面都與已知直線平行，
即過直線外一點，可以作無數個平面與這條直線平行，故B錯誤；
一條直線平行于平面內的無數條直線，該直線與平面平行或直線在平面內，故C錯誤.
由基本事實3知，如果兩個不重合的平面有一個公共點，
那么他們有且只有一條過該點的公共直線，故D正確；
故選：AD.
11．ABD
【分析】A：分別取，的中點H，G，連接，，，，證明平面平面，從而得到點F的軌跡；B：由正方體的結構特征易知且為等邊三角形，即可判斷；C：根據B得出平面，從而得到點F到平面的距離為定值，再結合的面積也為定值，即可判斷；D：設為的中點，從而根據面面平行的性質定理得到截面即為面，從而線段長度的最大值為線段的長，即可判斷.
【詳解】A：如圖分別取，的中點H，G，連接，，，．
由正方體的性質可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
且，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面，所以點F的軌跡為線段GH，對；
B：由正方體的結構特征易知且為等邊三角形，
所以直線與的夾角，即直線與的夾角為，對；
C：由B知，點F的軌跡為線段GH，因為平面，則點F到平面的距離為定值，
同時的面積也為定值，則三棱錐的體積為定值，錯；
D：如圖，設平面與平面交于AN，N在上．
因為截面平面，截面平面，平面平面，
所以，同理，所以截面為平行四邊形，則點N為的中點．
在四棱錐中，側棱最長，且，對.
故選：ABD
12．/
【分析】根據正四棱臺的概念可知四邊形為等腰梯形，進而可得四棱臺的高，即可求得體積.
【詳解】如圖所示，
由正四棱臺可知且，，，四邊形為等腰梯形，
取上底下底的中心平面，過作，垂足為，，
且，，，
所以，
所以，
故答案為：
13．
【分析】先作出截面圖形，然后根據相似和勾股定理求出各邊，即可求得結果.
【詳解】取正方體軸線與交點為，
連接并延長，交延長線與，
連接，交于，
連接，
作出圖形如圖，
由圖可知，過點，，的平面截該正方體所得截面為五邊形，
則，所以，同理，，
正方體的棱長為，，
，
，
四邊形的周長為.
故答案為：
14．①②④
【分析】借助等角定理可得直線與所成角與直線與所成角相等，計算出可判斷①；由三棱柱外接球與正方體外接球相同，故計算正方體體對角線的一半可判斷②；借助平行線的性質可作出該截面，計算邊長可判斷③：借助等體積法計算可判斷④.
【詳解】對于①：由，故直線與所成角與直線與所成角相等，
連接，可得，又，
平面，平面，所以，
故，故①正確；
對于②：三棱柱外接球與正方體外接球相同，
故其外接球半徑為，故②正確；
對于③：如圖：取中點，連接，過點作，
交于點，則，所以平面截正方體所得截面為梯形，
由，所以，
所以，，所以，
所以梯形不是等腰梯形，故③錯誤；
對于④：如圖：設點到平面的距離為，則，
而，
，
所以，故④正確.
故答案為：①②④.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由得圓臺的下底面和上底面的半徑，又由梯形的面積求得高，最后利用圓臺的體積公式即可求解；
（2）由圓臺性質，延長交于點，由與相似即可計算,設該圓臺的側面展開圖的圓心角為，計算出圓心角為，在側面展開圖中，連接，即可計算出的最短距離.
【詳解】（1）由，得圓臺的下底面的半徑為，上底面的半徑為，
設圓臺的高為，則，所以，
所以圓臺的體積為.
（2）在梯形中，，即母線長為3.
如圖，由圓臺性質，延長交于點，
由與相似，得，即，解得.
設該圓臺的側面展開圖的圓心角為，
則，所以，
在側面展開圖中，連接，則從點到的最短路徑為線段，
又在中，，
由余弦定理得，
所以.
驗證知，由，得，
此時，恰與扇形弧所在圓相切于點，滿足題意.

16．(1)圖象見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據給定條件，利用平面的基本性質作圖.
（2）證明四邊形為梯形，設，再證明，即可得到三線共點．
【詳解】（1）作直線分別交的延長線于，連接交于，
連接交于點，連接，則五邊形即為所求，如圖：
（2）如圖，連接，，，四邊形是正四棱柱的對角面，則，，
由Q、R分別為中點，得，則，且，
即四邊形為梯形，令，則，而平面，
則平面，同理平面，又平面平面，因此，
所以三線共點.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）要證、、、四點共面，只需證明，利用中位線定理及平行的傳遞性即可證明；
（2）令，由正弦定理求得，分別求出所以圓柱的側面積，圓柱的底面積，正三棱柱的側面積，正三棱柱的底面積，根據剩余幾何體的表面積即可求解.
【詳解】（1）由于，分別為，中點，所以，
又，所以，
所以、、、四點共面；
（2）令，則，解得，
所以圓柱的側面積為，
圓柱的底面積為，
正三棱柱的側面積為，
正三棱柱的底面積為，
所以剩余幾何體的表面積.
18．(1)16；
(2)證明見解析.
【分析】（1）借助正方體的結構特征求出三棱錐的表面積.
（2），連接，利用線面平行的判定推理得證.
【詳解】（1）在正方體中，，兩兩垂直，
由分別為的中點，得，，
等腰底邊上的高，
所以三棱錐的表面積
.
（2）連接，，連接，
由是正方形對邊中點，得四邊形是矩形，則是的中點，
而是的中點，因此，而平面，平面，
所以平面.
19．(1)存在，當為的中點，證明見解析
(2)
【分析】(1)已知E，F分別為、上的三等分點，可證，據傳遞性，為的中點時，，滿足題設；
(2)據線面垂直的性質和直角三角形的性質，可發現M到各頂點距離相等，為外接球球心，問題可得解.
【詳解】（1）存在，當為的中點時滿足條件．證明如下：
如圖，連接，
則是的中位線，所以，
又，所以，
所以，所以四點共面．
（2）因為是的中點，為三棱錐的高，
所以，
所以，
又，所以點為三棱錐的外接球的球心，
則外接球的半徑為，
三棱錐的外接球的體積為．
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